求導在數(shù)列中應用

1、微積分在數(shù)列求和中的應用數(shù)列求和是中學階段數(shù)列部分的重要內(nèi)容之一，有許多初等解決方法.是運用微積分知識進行數(shù)列求和的基本方法，從中可見高等數(shù)學與初等數(shù)學的密切聯(lián)本文探討的系.1 微分知識在數(shù)列求和中的應用首先證明一個等式：l+z+z a + -+= Ci l + Ct1 (z-l)+ll(z-l)a + -+O-ir事實上利用二項式定理有:Zn+l = l+(x-l)ri = l + CCx-l)+ CiL(z一 1 尸 +- 1嚴】而： ( X 1)(1 + x+ x2+ xn)= xn+1 1因而：仗一1)(1 + 盟+ x3 +/) = C 爲仗一 1) + C 爲仗一V + Cj(x

2、1 嚴 1當 X 工 1 時，兩邊同除以x 1 得:則恒有 :1+掘+ *+滬二 C加+ C指仗一 1) + C=血一 1尸+ C常仗一廳 (I)從(I )式出發(fā)利用微分知識可推出以下求和公式:公式h 1 +2 +n='(n+ l)對(I )式兩邊求導則有 :1 + 2 龍 + 她 +謔 1= 匚鼻 + 241 伍 T) + + nC(z 1 嚴】(11 )令區(qū) =則得：1+ 2+ * +n= n(n +1)1公式 21* 2+ 2 ? 3+ 3* 4+ "+ n(n+l)= |n(n4-l)(n+ 2)由(I)式可知= C + Cfe-l)+ CCx-l) 3 + - +

3、CCx-l)n+1兩邊求二階導數(shù)，則:2 + 2? *+ 1 ?4= 2C 誘 +2 *兀爲仗一1) + (n+ 1)? nC(x-令 x = 1, 則1* 2 + 2 ? 3+3* 4+ n(n+ 1) = 2C =n(n+ l)(n + 2)公式 3:F + 爭 + t? = in(n+ l)(2n+ 1)6由( n) 式，可知 :x+ “+ 3x 3 + 宀C 爲 +2(Z- 1) + nCK仗- 1 嚴 ?- 1)+1=Cl+ (C+ 】+ 2C 誘)( 盟一1)+ (2C誘 + 3C)(x- 1)'+ nC( 盟一兩邊求導得 :1+23+羅? + 疋嚴 =(% + 略) +

4、2(2*1 + 3C+1 Xx- 1) + 口中仗-l)z( III)令 x = 1, 則:I3 + 2 3 + 羅 + t? = ln(n+ l)(2n+ 1)6仿此，若 （川式兩邊同時乘以x 求導后再令 x = 1, 便會有 :公式 4:I3 4 - 尸 + 羅 +i? = 扌 1?( 口+ 1 尸2 積分知識在數(shù)列求和中的應用首先由二項式定理 :兩邊對 x 從 0 到 1 求積分，則 :（1 +盟尸矗二 fw +c x+c 討 +CK 迦 所以喀 1 口+1 0?哈 |;+ 推辺 +"+ 尋門嚴n + l從而有 :公式 5:如果兩邊對 x 從 0 到 2 積分，則 :血+幻論膽

5、+ Cx+ C才) dz便可得到 :公式 6:繼續(xù)推廣便有 :公式 7:由以上知識，若聯(lián)想到 1994 年中學生數(shù)理化 ( 高中版 )3 期“數(shù)學問題有獎征答” 第 2 題： B 工 2k n (k ? N) 且sin 0 + 2sin2 0 + nsin(n 0 ) = 0, 求證： (n + 1)sin(n 0 ) = nsin(n + 1) 0 其巧妙證法可為：設 f( 0 ) = sin 0 + 2sin2 0 +?+nsin(n 0 )f f( e e=J (sin e 4-2SH12 0+ + nsirni9 )d 0 +C=(cos 0十cos2 9+ + cosn 0) + 00 , 2n+lr-sin + sm -0= _2 _2 _2 sin- 2i e2n+ 1 門 2n+ 1二 f( e )=(_ 2cos_ 2-cos -B ? - )e e2 2? 2sin + (sin2n+ 1 - an ? e2 ecos