線(xiàn)性代數(shù)n階行列式哈工大學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第一頁(yè)，共142頁(yè)。教材：鄭寶東主編教材：鄭寶東主編. . 線(xiàn)性代數(shù)與空間線(xiàn)性代數(shù)與空間(kngjin)(kngjin)解析幾何解析幾何. . 高等教育出版高等教育出版社，北京，社，北京，20132013參考書(shū)：參考書(shū)：1 1同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編. .線(xiàn)性線(xiàn)性代數(shù)代數(shù)( (第六版第六版).).高等教育出版社高等教育出版社.2014.2014年年2 2趙連偶，劉曉東趙連偶，劉曉東. .線(xiàn)性代數(shù)與幾何線(xiàn)性代數(shù)與幾何(j (j h)(h)(面向面向2121世紀(jì)課程教材世紀(jì)課程教材).).高等教育出版高等教育出版社社3 3居余馬等居余馬等. .線(xiàn)性代數(shù)線(xiàn)性代數(shù). . 清華大

2、學(xué)出版社清華大學(xué)出版社第1頁(yè)/共142頁(yè)第二頁(yè)，共142頁(yè)。 第二節(jié)第二節(jié) 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)(xngzh)第四節(jié)第四節(jié) 克萊姆法則克萊姆法則(fz)第三節(jié)第三節(jié) 行列式按行行列式按行(列列)展開(kāi)展開(kāi)(zhn ki) 第一節(jié)第一節(jié) 行列式的概念行列式的概念第2頁(yè)/共142頁(yè)第三頁(yè)，共142頁(yè)。第3頁(yè)/共142頁(yè)第四頁(yè)，共142頁(yè)。第一節(jié)第一節(jié) 行列式的概念行列式的概念(ginin)第4頁(yè)/共142頁(yè)第五頁(yè)，共142頁(yè)。112223823xxxx 系數(shù)系數(shù)(xsh)行列式行列式232 ( 2) 1 3712 稱(chēng)為二階行列式二階行列式。第5頁(yè)/共142頁(yè)第六頁(yè)，共142頁(yè)。給定 a、b、c、

3、d 四個(gè)復(fù)數(shù)，稱(chēng)bcaddcba為二階行列式。.2112221122211211aaaaaaaaD其中元素(yun s) aij 的第一個(gè)下標(biāo) i 為行標(biāo)，第二個(gè)下標(biāo) j 為列標(biāo)。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。為方便(fngbin)記第6頁(yè)/共142頁(yè)第七頁(yè)，共142頁(yè)。11a12a22a主對(duì)角線(xiàn)主對(duì)角線(xiàn)副對(duì)角線(xiàn)副對(duì)角線(xiàn)2211aa .2112aa 二階行列式的計(jì)算二階行列式的計(jì)算 對(duì)角線(xiàn)法則對(duì)角線(xiàn)法則例如(lr)131 7( 2) 31327 21a第7頁(yè)/共142頁(yè)第八頁(yè)，共142頁(yè)。11112212112222a xa xba xa xb 通過(guò)通過(guò)(tnggu)消消元法，

4、有：元法，有：考慮考慮(kol)線(xiàn)性線(xiàn)性方程組：方程組：于是于是(ysh)，當(dāng)當(dāng)11 2212210,a aa a 有唯一解：有唯一解：122212111221221,b ab axaaaa 112212211122212112212212211121()()a aa axb ab aa aa axb ab a 211121211221221b ab axa aa a 第8頁(yè)/共142頁(yè)第九頁(yè)，共142頁(yè)。寫(xiě)成行列式形式寫(xiě)成行列式形式(xngsh)有：有：122212221211111211221221212122aab ab aDxaaaaaaDbaab 112121112122111211

5、221221212122aab ab aDxaaa aa aabbDa 第9頁(yè)/共142頁(yè)第十頁(yè)，共142頁(yè)。aa2!2第10頁(yè)/共142頁(yè)第十一頁(yè)，共142頁(yè)。2 2 三階三階(sn (sn ji)ji)行列式行列式111122133121122223323113223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb 111213212223313233aaaDaaaaaa 222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa 112233122331132132a a aa a aa a a 112332122133132231a a

6、 aa a aa a a 如果如果 ，那么對(duì)于三元一次方程組：，那么對(duì)于三元一次方程組：0D 第11頁(yè)/共142頁(yè)第十二頁(yè)，共142頁(yè)。其中其中(qzhng)，1213122233231233aaDabaabab 1113221213333312bbbaaDaaaa 1112321223132213bbaaDaaaab 利用消元法也有相同利用消元法也有相同(xin tn)的結(jié)果，的結(jié)果，11,DxD 22,DxD 33DxD 111213212223313233aaaDaaaaaa 第12頁(yè)/共142頁(yè)第十三頁(yè)，共142頁(yè)。稱(chēng)3122133321123223113221133123123322

7、11aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa為三階行列式?？捎孟旅?xi mian)的對(duì)角線(xiàn)法則記憶332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 333231232221131211aaaaaaaaa對(duì)角線(xiàn)法則對(duì)角線(xiàn)法則第13頁(yè)/共142頁(yè)第十四頁(yè)，共142頁(yè)。2-43-122-4-21D 計(jì)算三階行列式計(jì)算三階行列式按對(duì)角線(xiàn)法則按對(duì)角線(xiàn)法則(fz)，有有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 第14頁(yè)/共1

8、42頁(yè)第十五頁(yè)，共142頁(yè)。例例2 2 證明證明322)(11122 babbaababa證明證明(zhng(zhngmng)mng)：2222223222232232233()22()22 2222 33aabababb aba ba baa babababba ba baa babbab左邊（）右邊第15頁(yè)/共142頁(yè)第十六頁(yè)，共142頁(yè)。312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa中，6項(xiàng)的行下標(biāo)(xi bio)全為123，而列下標(biāo)(xi bio)分別為在三階行列式，共有

9、 ；每一項(xiàng)都是不同行不同列的三個(gè)數(shù)相乘(xin chn)，前面的正負(fù)號(hào)不同123，231，312 此三項(xiàng)均為正號(hào)132，213，321 此三項(xiàng)均為負(fù)號(hào)(f ho) 為了給出n 階行列式的定義，下面給出全排列及其逆序數(shù)的概念及性質(zhì)。3!6 項(xiàng)第16頁(yè)/共142頁(yè)第十七頁(yè)，共142頁(yè)。定義 由1，2， ，n 組成的有序數(shù)組稱(chēng)為一個(gè)(y )n級(jí) 全排列。（簡(jiǎn)稱(chēng)排列）記為 j1 j2 jn. 例如(lr) 32541 是一個(gè)5級(jí)全排列 83251467是一個(gè)8級(jí)全排列3級(jí)全排列的全體共有6種，分別為 123，231，312，132，213，321n級(jí)全排列的種數(shù)為! 321) 1(nnn第17頁(yè)/共1

10、42頁(yè)第十八頁(yè)，共142頁(yè)。定義 在在一個(gè)排列 中，若某個(gè)較大的數(shù)排在一個(gè)較小的數(shù)前面，即， 則稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)組成此排列的一個(gè)逆序。 nstiiiii21tsjj例如(lr) 排列 32514 中 我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)(y )標(biāo)準(zhǔn)次序, n 個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為自然排序（標(biāo)準(zhǔn)次序）。如：123n 是自然排序排列排列(pili)的逆序數(shù)的逆序數(shù)3 2 5 1 4逆序逆序逆序tsii第18頁(yè)/共142頁(yè)第十九頁(yè)，共142頁(yè)。定義 一個(gè)排列 j1 j2 jn 中所有逆序的總數(shù)稱(chēng)為(chn wi)此排 列的逆序數(shù)。記為 （ j1 j2 jn ）例如(lr) 排列 32514 中3 2 5 1

11、 4逆序數(shù)逆序數(shù)(xsh)為為31010故此排列的逆序數(shù)為 ( 32541)=3+1+0+1+0=5.說(shuō)明：說(shuō)明： ( 1234n)=0第19頁(yè)/共142頁(yè)第二十頁(yè)，共142頁(yè)。定義（p2）: 排列的奇偶性逆序數(shù)(xsh)為奇數(shù)的排列稱(chēng)為奇排列逆序數(shù)(xsh)為偶數(shù)的排列稱(chēng)為偶排列.第20頁(yè)/共142頁(yè)第二十一頁(yè)，共142頁(yè)。分別計(jì)算出排列分別計(jì)算出排列(pili)中每個(gè)元素前面比它大中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，即算出每個(gè)元素的逆序數(shù)，的數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，即算出每個(gè)元素的逆序數(shù)，方法方法(fngf)2 (fngf)2 前看法前看法方法方法(fngf)1 (fngf)1 后看法后看法2 2

12、計(jì)算排列逆序數(shù)的方法計(jì)算排列逆序數(shù)的方法分別計(jì)算出分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素排列中每個(gè)元素后面后面比它比它小小的數(shù)碼個(gè)的數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，即算出每個(gè)元素的逆序數(shù)，數(shù)之和，即算出每個(gè)元素的逆序數(shù)，所有元素的逆序數(shù)總和即為所求排列的逆序數(shù)所有元素的逆序數(shù)總和即為所求排列的逆序數(shù). .所有元素的逆序數(shù)總和即為所求排列的逆序數(shù)所有元素的逆序數(shù)總和即為所求排列的逆序數(shù). .第21頁(yè)/共142頁(yè)第二十二頁(yè)，共142頁(yè)。4 2 5 3 101024于是(ysh)排列 42531的逆序數(shù)為 7為奇數(shù)，稱(chēng)為奇排列5的前面(qin mian)沒(méi)有比5大的數(shù),其逆序數(shù)為0;3的前面(qin mian)比1大的數(shù)有3個(gè),故

13、逆序數(shù)為2;1的前面比1大的數(shù)有4個(gè),故逆序數(shù)為4;例例1 1 (1)求排列求排列42531的逆序數(shù)的逆序數(shù).解解在排列在排列42531中中,4 4排在首位,逆序數(shù)為0;2的前面比2大的數(shù)只有一個(gè)4,故逆序數(shù)為1第22頁(yè)/共142頁(yè)第二十三頁(yè)，共142頁(yè)。 12321n nn解解12 ,21 nn當(dāng)當(dāng) 時(shí)為偶排列；時(shí)為偶排列；14 ,4 kkn當(dāng)當(dāng) 時(shí)為奇排列時(shí)為奇排列. .34 , 24 kkn(1)n 2 n例例 求排列求排列(pili)的逆序數(shù)的逆序數(shù)(xsh)(1)(2)321n nnn個(gè)個(gè)逆序數(shù)逆序數(shù)(xsh)(xsh)的性質(zhì)的性質(zhì): :(1)( (1)321);2n nn n 12

14、(1)0().2nn nj jj (12)0;n 第23頁(yè)/共142頁(yè)第二十四頁(yè)，共142頁(yè)。于是此排列(pili)的逆序數(shù)為4的前面(qin mian)比4大的數(shù)n-2,其逆序數(shù)為n-2;6的前面(qin mian)比6大的數(shù)有n-3個(gè),故逆序數(shù)為n-3; 2n的前面比2n大的數(shù)有0個(gè),故逆序數(shù)為0;解解: 共n個(gè)數(shù) 共n個(gè)數(shù)2的前面比2大的數(shù)只有一個(gè)n-1,故逆序數(shù)為n-1 213521 246(2 )nn13521n(1)(1)(2)02n nnn2 4 6( 2)n第24頁(yè)/共142頁(yè)第二十五頁(yè)，共142頁(yè)。當(dāng)當(dāng) 時(shí)為偶排列；時(shí)為偶排列；14 ,4 kkn當(dāng)當(dāng) 時(shí)為奇排列時(shí)為奇排列.3

15、4 , 24 kkn第25頁(yè)/共142頁(yè)第二十六頁(yè)，共142頁(yè)。定義定義(dngy)在排列在排列(pili)中，將任意兩個(gè)數(shù)對(duì)調(diào)，其余數(shù)不動(dòng)，中，將任意兩個(gè)數(shù)對(duì)調(diào)，其余數(shù)不動(dòng)，這種對(duì)排列這種對(duì)排列(pili)的變換叫做對(duì)換的變換叫做對(duì)換將相鄰兩個(gè)數(shù)對(duì)調(diào)將相鄰兩個(gè)數(shù)對(duì)調(diào)(dudio)，叫做相鄰對(duì)換，叫做相鄰對(duì)換mlbbbaaa11例如例如bamlbbabaa11abnmlccbbbaaa111nmlccabbbaa111baab325143152423 1 32 1第26頁(yè)/共142頁(yè)第二十七頁(yè)，共142頁(yè)。定理定理1 1 一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素(yun s)(yun

16、s)對(duì)換，排列改變奇偶性對(duì)換，排列改變奇偶性證明證明(zhngmng)設(shè)排列設(shè)排列(pili)為為mlbbabaa11對(duì)換對(duì)換 與與abmlbbbaaa11除除 外，其它元素的逆序數(shù)不改變外，其它元素的逆序數(shù)不改變.b ,aabba第27頁(yè)/共142頁(yè)第二十八頁(yè)，共142頁(yè)。當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，ba ab的逆序數(shù)不變的逆序數(shù)不變;經(jīng)對(duì)換后經(jīng)對(duì)換后 的逆序數(shù)增加的逆序數(shù)增加1 ,經(jīng)對(duì)換后經(jīng)對(duì)換后 的逆序數(shù)不變的逆序數(shù)不變 ， 的逆序數(shù)減少的逆序數(shù)減少1.ab因此對(duì)換相鄰兩個(gè)元素，排列因此對(duì)換相鄰兩個(gè)元素，排列(pili)改變奇偶性改變奇偶性.設(shè)排列設(shè)排列(pili)為為 一般情形一般情形nmlcbcb

17、abaa111當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，ba 現(xiàn)來(lái)對(duì)換現(xiàn)來(lái)對(duì)換 與與a.b第28頁(yè)/共142頁(yè)第二十九頁(yè)，共142頁(yè)。次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換mnmlccbbabaa111次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換1 mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換12 m,111nmlcacbbbaa所以一個(gè)排列中的任意兩個(gè)所以一個(gè)排列中的任意兩個(gè)(lin )元素對(duì)換，排列改變?cè)貙?duì)換，排列改變奇偶性奇偶性.abnmlccbbbaaa111abab第29頁(yè)/共142頁(yè)第三十頁(yè)，共142頁(yè)。推論推論 時(shí)，時(shí)，n個(gè)元素的所有排列中，個(gè)元素的所有排列中，2n 奇排列奇排列(pili)和偶排列和偶排列(p

18、ili)的的個(gè)數(shù)相等，個(gè)數(shù)相等，各為各為!2n推論推論 任何一個(gè)任何一個(gè)n 級(jí)排列與自然順序級(jí)排列與自然順序12n排列都可通過(guò)一系列對(duì)換排列都可通過(guò)一系列對(duì)換(du hun)互變，互變，并且并且所做對(duì)換所做對(duì)換(du hun)的次數(shù)與這個(gè)排列有的次數(shù)與這個(gè)排列有相同的相同的奇偶性奇偶性. .第30頁(yè)/共142頁(yè)第三十一頁(yè)，共142頁(yè)。三階三階(sn ji)行列式行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 說(shuō)明說(shuō)明(shumng)（1）三階行列式共有三階行列式共有

19、6 項(xiàng)，即項(xiàng)，即 項(xiàng)項(xiàng)!3（2）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積乘積第31頁(yè)/共142頁(yè)第三十二頁(yè)，共142頁(yè)。（3 3）在行標(biāo)按順序排列后，下列標(biāo)排列的逆序數(shù)）在行標(biāo)按順序排列后，下列標(biāo)排列的逆序數(shù)(xsh)(xsh)決定每項(xiàng)的決定每項(xiàng)的“+“+、-”-”號(hào)，偶號(hào)，偶“+”“+”、奇、奇“-“-”例如例如(lr)322113aaa列標(biāo)排列(pili)的逆序數(shù)為211312322311aaa列標(biāo)排列的逆序數(shù)為1320 1 1 偶排列奇排列奇排列12正號(hào) (-1)1 1負(fù)號(hào) (-1)1 2 31 2 3123123111213()()212223123

20、123313233( 1)( 1).j j ji i ijjjiiiaaaaaaa aaa a aaaa第32頁(yè)/共142頁(yè)第三十三頁(yè)，共142頁(yè)。1 12 233( 1)p qp qp qaaa 為行標(biāo)為行標(biāo) 排列排列(pili)逆序數(shù)逆序數(shù) 與列標(biāo)與列標(biāo) 排列排列(pili)逆序數(shù)的和逆序數(shù)的和.說(shuō)明：說(shuō)明：223p p p123q q q13 21 32a a a 任意改變?cè)氐捻樞?，排列的奇偶性不?321 3232 13213121 12312231224a a aa a a ，都是偶排列，奇偶性不變第33頁(yè)/共142頁(yè)第三十四頁(yè)，共142頁(yè)。nnnnnnnjjjjjjaaaaaaa

21、aaDaaannnnn21222211121121)(2.) 1(2121記作的代數(shù)和個(gè)元素的乘積取自不同行不同列的階行列式等于所有個(gè)數(shù)組成的由定義定義(dngy)4 (p3).det(ija簡(jiǎn)簡(jiǎn)記記作作的元素的元素稱(chēng)為行列式稱(chēng)為行列式數(shù)數(shù))det(ijijaa二、二、n階行列式階行列式第34頁(yè)/共142頁(yè)第三十五頁(yè)，共142頁(yè)。nnnnjjjjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111規(guī)定規(guī)定(gudng) 一階一階行列式行列式aa第35頁(yè)/共142頁(yè)第三十六頁(yè)，共142頁(yè)。nppppppnnaaaD21)(21211其中其中 為行標(biāo)排列為行標(biāo)

22、排列 的逆序數(shù)的逆序數(shù). .nppp21 階行列式也可定義為階行列式也可定義為n事實(shí)上事實(shí)上 按行列式定義按行列式定義(dngy)有有第36頁(yè)/共142頁(yè)第三十七頁(yè)，共142頁(yè)。nnpppaaaD21211npppnaaaD211211記記對(duì)于對(duì)于(duy)D中任意一中任意一項(xiàng)項(xiàng),12121nnpppaaa總有且僅有總有且僅有 中的某一項(xiàng)中的某一項(xiàng)1D ,12121nqqqsnaaa 與之對(duì)應(yīng)與之對(duì)應(yīng)(duyng)并相等并相等;反之反之(fnzh),對(duì)于對(duì)于 中任意一項(xiàng)中任意一項(xiàng)1D,12121npppnaaa也總有且僅有也總有且僅有D中的某一項(xiàng)中的某一項(xiàng) ,12121nnqqqsaaa 與之

23、對(duì)應(yīng)并相等與之對(duì)應(yīng)并相等, 于是于是D與與1D中的項(xiàng)可以一一對(duì)應(yīng)并相等中的項(xiàng)可以一一對(duì)應(yīng)并相等,從而從而.1DD 第37頁(yè)/共142頁(yè)第三十八頁(yè)，共142頁(yè)。1 1221nnp qp qp qDaaannqqq,ppp2121其中其中 是兩個(gè)是兩個(gè) 級(jí)排列，級(jí)排列， 為行為行標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和. .注：注：n n階行列式的一般項(xiàng)為：階行列式的一般項(xiàng)為：n更一般的我們(w men)有:定理（p7 定理2）112233(1)nnp qp qp qpqaaaa第38頁(yè)/共142頁(yè)第三十九頁(yè)，共142頁(yè)。說(shuō)明說(shuō)明(shumng)1、 階行列式是階行列式是

24、項(xiàng)的項(xiàng)的代數(shù)和代數(shù)和;n!n2、 階行列式的每項(xiàng)都是階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同位于不同行、不同列列 個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積;nn3、 一階行列式一階行列式 不要與不要與絕對(duì)值記號(hào)絕對(duì)值記號(hào)相混淆相混淆;aa 4、 的符號(hào)為的符號(hào)為nnpppaaa2121.1)(21nppp思考題思考題1. 若n階行列式D有一行(yxng)(列)元素全為零,則D=?第39頁(yè)/共142頁(yè)第四十頁(yè)，共142頁(yè)。1423314256653243 14512566a a a a a aa a a a a a和-6142331425665( 1)( 1)1a a a a a a （431265）（431265）

25、=0+1+2+2+0+1=6故前面的符號(hào)是正號(hào)324314512566( 1)a a a a a a（341526）+（234156）8（341526）=0+0+2+0+3+0=5（234156）=0+0+0+3+0+0=3（-1）=1故前面的符號(hào)是正號(hào)142331425665a a a a a a324314512566a a a a a a-第40頁(yè)/共142頁(yè)第四十一頁(yè)，共142頁(yè)。111212221122000nnnnnnaaaaaaa aa第41頁(yè)/共142頁(yè)第四十二頁(yè)，共142頁(yè)。證明證明(zhngmng)(zhngmng)：上三：上三角行列式角行列式nnnnaaaaaa00022

26、211211解解展開(kāi)式中一般展開(kāi)式中一般(ybn)項(xiàng)是項(xiàng)是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn第42頁(yè)/共142頁(yè)第四十三頁(yè)，共142頁(yè)。所以所以(suy)不為零的項(xiàng)只有不為零的項(xiàng)只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 第43頁(yè)/共142頁(yè)第四十四頁(yè)，共142頁(yè)。例例2?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 第44頁(yè)/共142頁(yè)第四十五頁(yè)，共142頁(yè)。2.下三角下三角(snjio)行列式行

27、列式特點(diǎn)：對(duì)角線(xiàn)以上元素都是特點(diǎn)：對(duì)角線(xiàn)以上元素都是0nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa 3.對(duì)角行列式對(duì)角行列式特點(diǎn)：主對(duì)角線(xiàn)以外特點(diǎn)：主對(duì)角線(xiàn)以外(ywi)的元素都是的元素都是011221122nnnnaaa aaa第45頁(yè)/共142頁(yè)第四十六頁(yè)，共142頁(yè)。0004003002001000即行列式中不為零的項(xiàng)為即行列式中不為零的項(xiàng)為逆序數(shù)逆序數(shù)(xsh)：故故例例3 3計(jì)算計(jì)算(j sun)(j sun)行列式行列式( 1)2424D （4321）61 2 3 4=(-1).aaaa41322314（4321）=0+1+2+3=6第46頁(yè)/共142頁(yè)

28、第四十七頁(yè)，共142頁(yè)。注：注：112,1212,1111nn nnnnnnaaa aaa4.4.反對(duì)反對(duì)(fndu)(fndu)角行列式角行列式(1)( (1)21)0 1(1)2n nn nn 第47頁(yè)/共142頁(yè)第四十八頁(yè)，共142頁(yè)。解：行列式中不為零的項(xiàng)為解：行列式中不為零的項(xiàng)為逆序數(shù)逆序數(shù)(xsh)：故故( 1)2424D （2314）22 1 3 4=(-1)12233144.a a a a（2314）=0+0+2+0=20200001030000004練習(xí)練習(xí)(linx) ：用定義計(jì)算行列式：用定義計(jì)算行列式第48頁(yè)/共142頁(yè)第四十九頁(yè)，共142頁(yè)。例例5 5設(shè)設(shè)nnnnnn

29、aaaaaaaaaD2122221112111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 證證明明(zhngmng).21DD 證證由行列式定義由行列式定義(dngy)有有第49頁(yè)/共142頁(yè)第五十頁(yè)，共142頁(yè)。 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212121222211121111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 nnnnpppnnppppppppptbaaa 2121212121211第50頁(yè)/共142頁(yè)第五十一頁(yè)，共142頁(yè)。由于由于(yuy

30、),2121npppn 所以所以(suy) .12211212121DaaaDnnnnpppppppppt nnnnpppnnppppppppptbaaaD 21212121212121 nnnnppppppppptaaa212121211 故故第51頁(yè)/共142頁(yè)第五十二頁(yè)，共142頁(yè)。第二節(jié)第二節(jié) 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)(xngzh)第52頁(yè)/共142頁(yè)第五十三頁(yè)，共142頁(yè)。行列式行列式 稱(chēng)為行列式稱(chēng)為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式. TDD記記nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211第53頁(yè)/共142頁(yè)第

31、五十四頁(yè)，共142頁(yè)。證明證明(zhngmng) 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式記記ijaDdet ,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD , 2 , 1,njiabjiij即按定按定義義(dngy) .1121212121 nppptnppptTnnaaabbbD 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?yn wi)行列式行列式D可表示可表示為為 .12121 nppptnaaaD故故.TDD 證畢證畢第54頁(yè)/共142頁(yè)第五十五頁(yè)，共142頁(yè)。131 42 3224TD 則 232205012D 121 42 3234D 121212021D練習(xí): 寫(xiě)出以下兩個(gè)(lin )行列式的轉(zhuǎn)置行列式，并證明

32、D=DT：第55頁(yè)/共142頁(yè)第五十六頁(yè)，共142頁(yè)。設(shè)行列式設(shè)行列式,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbD 是由行列式是由行列式 變換變換 兩行得到的兩行得到的, ijaDdet ji,第56頁(yè)/共142頁(yè)第五十七頁(yè)，共142頁(yè)。于是于是(ysh) njinpjpipptbbbbD1111 njinpjpipptaaaa111 即當(dāng)即當(dāng) 時(shí)時(shí),jik, ;kpkpab 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),jik, ,ipjpjpipabab D 第57頁(yè)/共142頁(yè)第五十八頁(yè)，共142頁(yè)。推論推論(tuln) (tuln) 如果行列式有兩行（列）完全相同如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列

33、式為零，則此行列式為零. .證明證明(zhngmng)互換相同互換相同(xin tn)的兩行，有的兩行，有 . 0 D,DD 第58頁(yè)/共142頁(yè)第五十九頁(yè)，共142頁(yè)。121 42 3234D 例 343 2 1 4212 121 2 1 2012D 設(shè) 第59頁(yè)/共142頁(yè)第六十頁(yè)，共142頁(yè)。練習(xí)練習(xí) 驗(yàn)證驗(yàn)證(ynzhng)性質(zhì)性質(zhì)2 571853266571853266825567361第60頁(yè)/共142頁(yè)第六十一頁(yè)，共142頁(yè)。 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)乘以同一數(shù) ，等于用數(shù)，等于用數(shù) 乘此行列式乘此行列式. .kknnnnin

34、iinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 第61頁(yè)/共142頁(yè)第六十二頁(yè)，共142頁(yè)。26141372052 205012012D 例 111211212niiinnnnnaaaaaaaaa111211212niiinnnnnaaaaaaaaa 第62頁(yè)/共142頁(yè)第六十三頁(yè)，共142頁(yè)。,13523570503253例如例如(lr)2770103535235705032532770103535所以所以(suy)27(5135135第二列提取第二列提取(tq)-5倍倍第63頁(yè)/共142頁(yè)第六十四頁(yè)，共142頁(yè)。性質(zhì)行列式中如果有兩

35、行（列）元素性質(zhì)行列式中如果有兩行（列）元素(yun s)成比例，則此行列式為零成比例，則此行列式為零證明證明(zhngmng)nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 第64頁(yè)/共142頁(yè)第六十五頁(yè)，共142頁(yè)。1202420121D 例如第1行，第2行成比例(bl)第65頁(yè)/共142頁(yè)第六十六頁(yè)，共142頁(yè)。性質(zhì)性質(zhì)5 5若行列式的某一列若行列式的某一列(y li)(y li)（行）的元素都是（行）的元素都是兩數(shù)之和兩數(shù)之和. .nnnininnniiniiaaaaaaa

36、aaaaaaaaD)()()(2122222211111211 則則D等于下列等于下列(xili)兩個(gè)行列式之兩個(gè)行列式之和：和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如(lr)第66頁(yè)/共142頁(yè)第六十七頁(yè)，共142頁(yè)。性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)把行列式的某一列（行）的各元素把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列乘以同一數(shù)然后加到另一列(行行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變列式不變njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjij

37、iaakaaaaakaaaaakaaakrr)()()(1222221111111 k例如例如(lr)第67頁(yè)/共142頁(yè)第六十八頁(yè)，共142頁(yè)。32530507352D例例 計(jì)算計(jì)算(j sun)3030507352D讓第讓第1列加到第列加到第3列，得列，得300050( 3) ( 5) 91357359D 讓第讓第2行乘以行乘以5加到第加到第1行，得行，得分析分析(fnx)：利用性質(zhì)把：利用性質(zhì)把D化為上（下）三角行列式化為上（下）三角行列式第68頁(yè)/共142頁(yè)第六十九頁(yè)，共142頁(yè)。計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的

38、式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值值jikrr 11121222000nnnnaaaaaa第69頁(yè)/共142頁(yè)第七十頁(yè)，共142頁(yè)。3112513420111533D111212223112051342011001533nnnnaaaaaDa第70頁(yè)/共142頁(yè)第七十一頁(yè)，共142頁(yè)。3112513420111533D(1,2)c13121534021151332 1( 1)r13120846021151334 1(5)r13120846021101627第71頁(yè)/共142頁(yè)第七十二頁(yè)，共142頁(yè)。(2,3)r1312021108460162734(2)r1312021100810016

39、2742( 8)r1312021100810001015543( )4r13120211008100005/251 2 8402 第72頁(yè)/共142頁(yè)第七十三頁(yè)，共142頁(yè)。例例22101044614753124025973313211 D3 第73頁(yè)/共142頁(yè)第七十四頁(yè)，共142頁(yè)。2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr第74頁(yè)/共142頁(yè)第七十五頁(yè)，共142頁(yè)。2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2

40、3 122rr 4 第75頁(yè)/共142頁(yè)第七十六頁(yè)，共142頁(yè)。42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 第76頁(yè)/共142頁(yè)第七十七頁(yè)，共142頁(yè)。2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 第77頁(yè)/共142頁(yè)第七十八頁(yè)，共142頁(yè)。6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 第78頁(yè)/共142頁(yè)第七十九頁(yè)，共

41、142頁(yè)。nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa321333323122322211131211綜上可知，化三角形行列式的一般步驟綜上可知，化三角形行列式的一般步驟(bzhu)如如下下00001000200將將a11的下方的下方(xi fn)化為化為0的過(guò)程中，若的過(guò)程中，若（1）011a，則可通過(guò)，則可通過(guò)(tnggu)換行（列）使換行（列）使; 011a（2）11a的下方化為的下方化為0時(shí)，其它元素出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，則可通過(guò)性質(zhì)時(shí)，其它元素出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，則可通過(guò)性質(zhì)11a“不漂亮不漂亮”，即，即變化變化a11，以盡量避免出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，以盡量避免出現(xiàn)分?jǐn)?shù).a22 、a33 的下方化為的下方化為0的

42、過(guò)程依此類(lèi)推的過(guò)程依此類(lèi)推.0步驟第79頁(yè)/共142頁(yè)第八十頁(yè)，共142頁(yè)。第80頁(yè)/共142頁(yè)第八十一頁(yè)，共142頁(yè)。例例3 3計(jì)算計(jì)算 n 階行列式階行列式abbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D將第將第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2第81頁(yè)/共142頁(yè)第八十二頁(yè)，共142頁(yè)。 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna第82頁(yè)/共142頁(yè)第八十三頁(yè)，共142頁(yè)。例例4 4nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111

43、111110 設(shè)設(shè),)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 證明證明(zhngmng)第83頁(yè)/共142頁(yè)第八十四頁(yè)，共142頁(yè)。證明證明(zhngmng);0111111kkkkkpppppD 設(shè)為設(shè)為化為下三角形行列式化為下三角形行列式，把，把作運(yùn)算作運(yùn)算對(duì)對(duì)11DkrrDji 化為下三角形行列式化為下三角形行列式把把作運(yùn)算作運(yùn)算對(duì)對(duì)22,DkccDji .0111112nnnknqqpqqD 設(shè)為設(shè)為第84頁(yè)/共142頁(yè)第八十五頁(yè)，共142頁(yè)。,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化為下三角

44、形行列式化為下三角形行列式把把算算列作運(yùn)列作運(yùn)，再對(duì)后，再對(duì)后行作運(yùn)算行作運(yùn)算的前的前對(duì)對(duì)DkccnkrrkDjiji, nnkkqqppD1111 故故.21DD 第85頁(yè)/共142頁(yè)第八十六頁(yè)，共142頁(yè)。階行列式階行列式計(jì)算計(jì)算411111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1 abcd已知已知例例5 5第86頁(yè)/共142頁(yè)第八十七頁(yè)，共142頁(yè)。解解111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa 第87頁(yè)/共142頁(yè)第八十八頁(yè)，共142頁(yè)。dddcccbbbaaaabcd111111111111

45、2222 dddcccbbbaaa111111111111122223 . 0 第88頁(yè)/共142頁(yè)第八十九頁(yè)，共142頁(yè)。第三節(jié)第三節(jié) 行列式按行行列式按行(列列)展開(kāi)展開(kāi)(zhn ki)第89頁(yè)/共142頁(yè)第九十頁(yè)，共142頁(yè)。,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如(lr) 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaa

46、a1 11 21 3111112121313111112121313( 1)( 1)( 1)a Ma Ma Ma Aa Aa A 111112121313a Ma Ma M第90頁(yè)/共142頁(yè)第九十一頁(yè)，共142頁(yè)。在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，留下來(lái)的列劃去后，留下來(lái)的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的余子式，記作的余子式，記作nijaij1 nija.Mij ，記記ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的代數(shù)余子的代數(shù)余子式式ija例如例如(lr)44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaa

47、aaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 第91頁(yè)/共142頁(yè)第九十二頁(yè)，共142頁(yè)。,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .式余子式和一個(gè)代數(shù)余子每個(gè)元素都對(duì)應(yīng)著一個(gè)第92頁(yè)/共142頁(yè)第九十三頁(yè)，共142頁(yè)。引理引理 一個(gè)一個(gè) 階行列式，如果其中第階行列式，如果其中第 行所有行所

48、有元素除元素除 外都為零，那末這行列式等于外都為零，那末這行列式等于 與它與它的代數(shù)余子式的乘積，即的代數(shù)余子式的乘積，即 ijijAaD niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 例如例如(lr)(lr)第93頁(yè)/共142頁(yè)第九十四頁(yè)，共142頁(yè)。證證當(dāng)當(dāng) 位于第一行第一列時(shí)位于第一行第一列時(shí),ijannnnnaaaaaaaD21222211100 1111Ma.1111Aa再證一般再證一般(ybn)情形情形,nnnnjjjjjjaaa222211111nnnn

49、jjjjjjaaa2222111111111) 1(Ma第94頁(yè)/共142頁(yè)第九十五頁(yè)，共142頁(yè)。nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 ,1,2,1行對(duì)調(diào)行對(duì)調(diào)第第行行第第行行行依次與第行依次與第的第的第把把 iiiD得得 nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1, 1, 11 , 11001 ijaija第95頁(yè)/共142頁(yè)第九十六頁(yè)，共142頁(yè)。,1,2,1對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)列列第第列列第第列列列列依依次次與與第第的的第第再再把把 jjjD得得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1110011 ija第96頁(yè)/共142頁(yè)第九十七頁(yè)，共142頁(yè)。 n

50、njnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 12001 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 1001 ijaija第97頁(yè)/共142頁(yè)第九十八頁(yè)，共142頁(yè)。nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 中的余子式中的余子式.ijM在在余余子子式式仍仍然然是是中中的的在在行行列列式式元元素素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1, 11, 1, 100 ijaija第98頁(yè)/共142頁(yè)第九十九頁(yè)，共142頁(yè)。故得故得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1001 ijijjiMa1于是有于是

51、有nnjnnjnijijiijaaaaaaa1, 11, 1, 100 ,ijijMa ijaija.ijijAa第99頁(yè)/共142頁(yè)第一百頁(yè)，共142頁(yè)。定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素(yun s)(yun s)與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 證證nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 第100頁(yè)/共142頁(yè)第一百零一頁(yè)，共142頁(yè)。nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa21211211

52、00 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni, 2 , 1 第101頁(yè)/共142頁(yè)第一百零二頁(yè)，共142頁(yè)。例例1 計(jì)算行列式計(jì)算行列式277010353 D解解1 110( 1)( 3)72D .27 按第按第1行展開(kāi)行展開(kāi)(zhn ki)，得得1 200( 1)( 5)72 1 301( 1)377 方法方法(fngf)2： 按第按第2行展行展開(kāi)開(kāi)2 233( 1)( 1)72D .27 第102頁(yè)/共142頁(yè)第一百零三頁(yè)，共142頁(yè)。2004310050100232D 1 11 201102 1 1 24 3 ( 1)5 ( 1)23

53、23 44(3 ( 2)5 3)88 1 11 41003102 ( 1)0104 ( 1)501232023D 第103頁(yè)/共142頁(yè)第一百零四頁(yè)，共142頁(yè)。1232120510124312D103210052 1( 2)12124512c103710004 1(5)121745122c0370372121721751225122 2+1按第 行展開(kāi)（-1）27217522511+21+3按第1行展開(kāi) -3(-1）（-1）48 第104頁(yè)/共142頁(yè)第一百零五頁(yè)，共142頁(yè)。例例43351110243152113 D5112111341 3( 2)00115533c51111113143(

54、1)00105530c第105頁(yè)/共142頁(yè)第一百零六頁(yè)，共142頁(yè)。0551111115)1(33 511(2 1)620550r5526)1(31 30( 10)40. 第106頁(yè)/共142頁(yè)第一百零七頁(yè)，共142頁(yè)。后進(jìn)行計(jì)算。后進(jìn)行計(jì)算。第107頁(yè)/共142頁(yè)第一百零八頁(yè)，共142頁(yè)。推論推論 行列式任一行行列式任一行(yxng)(yxng)（列）的元素與另（列）的元素與另一行一行(yxng)(yxng)（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即積之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjn

55、jnjjaaaaaaaaAaAa 證證行展開(kāi)，有行展開(kāi)，有按第按第把行列式把行列式j(luò)aDij)det( 第108頁(yè)/共142頁(yè)第一百零九頁(yè)，共142頁(yè)。,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得換成換成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同第109頁(yè)/共142頁(yè)第一百一十頁(yè)，共142頁(yè)。關(guān)于代數(shù)余子式的重要關(guān)于代數(shù)余子式的重要(zhngyo)性質(zhì)，可簡(jiǎn)記為性質(zhì)，可簡(jiǎn)記為;,0,1jijiDAankk

56、jki當(dāng)當(dāng);,0,1jijiDAankjkik當(dāng)當(dāng)?shù)?10頁(yè)/共142頁(yè)第一百一十一頁(yè)，共142頁(yè)。0532004140013202527102135 D例例5 計(jì)算計(jì)算(j sun)行列式行列式解解0532004140013202527102135 D第111頁(yè)/共142頁(yè)第一百一十二頁(yè)，共142頁(yè)。66027013210 6627210 .1080124220 53241413252 53204140132021352152 (31)r(21( 2)r第112頁(yè)/共142頁(yè)第一百一十三頁(yè)，共142頁(yè)。12312001030100nnDn11121nAAA11121111211 111120

57、01111 0301 00nnAAAAAAn 21111111 2()200211()11 3()030311()00niiciinnn21111102000030000niin221112 31!nniinnii 第113頁(yè)/共142頁(yè)第一百一十四頁(yè)，共142頁(yè)。1232222123111111231111()nnnijj i nnnnnnxxxxVxxxxxxxxxx 213111()()()()ijnj i nxxxxxxxx 其中322()()nxxxx122()()nnnnxxxx1()nnxx第114頁(yè)/共142頁(yè)第一百一十五頁(yè)，共142頁(yè)。3123222123111V = xxx

58、xxx2211211V =xxxx213132()()()xxxxxx第115頁(yè)/共142頁(yè)第一百一十六頁(yè)，共142頁(yè)。2221D= 11aabbccT222111D=D = abcabc是是3階范得蒙行列式階范得蒙行列式()()()Dba ca cb故第116頁(yè)/共142頁(yè)第一百一十七頁(yè)，共142頁(yè)。第四節(jié)第四節(jié) 克萊姆法則克萊姆法則(fz)第117頁(yè)/共142頁(yè)第一百一十八頁(yè)，共142頁(yè)。記作記作 . .劃去后，留下來(lái)的劃去后，留下來(lái)的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列列nij1n ijaij

59、M 1ijijijAM ，叫做元素叫做元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式ija記記1, ,0, ;nikjkijkDija ADij 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)1, ,0 , ;nkikjijkDija ADij 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)1, 0, .ijijij ，當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)?shù)?18頁(yè)/共142頁(yè)第一百一十九頁(yè)，共142頁(yè)。mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111設(shè)線(xiàn)性方程組設(shè)線(xiàn)性方程組,21不全為零若常數(shù)項(xiàng)mbbb則稱(chēng)此方程組為則稱(chēng)此方程組為非非 齊次線(xiàn)性方程組齊次線(xiàn)性方程組;,21全為零若常數(shù)項(xiàng)mbbb此時(shí)此時(shí)(c sh)稱(chēng)方程組為齊次線(xiàn)性方程稱(chēng)方程組為齊次線(xiàn)性方程

60、組組.使得方程組成立使得方程組成立(chngl)(chngl)的一組數(shù)的一組數(shù) 稱(chēng)稱(chēng)為此方為此方程組的解程組的解. .12,nx xx第119頁(yè)/共142頁(yè)第一百二十頁(yè)，共142頁(yè)。12341242341234258,369,225,4760.xxxxxxxxxxxxxx 例如 12341242341234250,360,220,4760.xxxxxxxxxxxxxx是是 非齊次線(xiàn)性方程組非齊次線(xiàn)性方程組是是 齊次線(xiàn)性方程組齊次線(xiàn)性方程組顯然，顯然， 是齊次線(xiàn)性方程組的是齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)一個(gè)(y )解，簡(jiǎn)稱(chēng)解，簡(jiǎn)稱(chēng) 零解零解120nxxx第120頁(yè)/共142頁(yè)第一百二十一頁(yè)，共142頁(yè)。一