《2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式》最新教研教案教學(xué)設(shè)計(jì)

1、第2課時(shí)一元二次不等式的應(yīng)用學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.掌握一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用(重點(diǎn)).2.理解三個(gè)“二次”之間的關(guān)系.3.會(huì)解一元二次不等式中的恒成立問題(難點(diǎn)).1.通過分式不等式的解法及不等式的恒成立問題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.借助一元二次不等式的應(yīng)用培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).1分式不等式的解法主導(dǎo)思想：化分式不等式為整式不等式類型同解不等式0(0)(其中a，b，c，d為常數(shù))法一：或法二：(axb)(cxd)0(0)0(0)法一：或法二：k(其中k為非零實(shí)數(shù))先移項(xiàng)通分轉(zhuǎn)化為上述兩種形式思考1：>0與(x3)(x2)>0等價(jià)嗎？將>0變形為(x3)(x2)&g

2、t;0，有什么好處？提示：等價(jià)；好處是將不熟悉的分式不等式化歸為已經(jīng)熟悉的一元二次不等式2(1)不等式的解集為R(或恒成立)的條件不等式ax2bxc>0ax2bxc<0a0b0，c>0b0，c<0a0(2)有關(guān)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的方法設(shè)二次函數(shù)yax2bxc若ax2bxck恒成立ymaxk若ax2bxck恒成立ymink3.從實(shí)際問題中抽象出一元二次不等式模型的步驟(1)閱讀理解，認(rèn)真審題，分析題目中有哪些已知量和未知量，找準(zhǔn)不等關(guān)系(2)設(shè)出起關(guān)鍵作用的未知量，用不等式表示不等關(guān)系(或表示成函數(shù)關(guān)系)(3)解不等式(或求函數(shù)最值)(4)回扣實(shí)際問題思考2：解

3、一元二次不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵是什么？提示：解一元二次不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵在于構(gòu)造一元二次不等式模型，選擇其中起關(guān)鍵作用的未知量為x，用x來表示其他未知量，根據(jù)題意，列出不等關(guān)系再求解1若集合Ax|12x13，B，則AB等于()Ax|1x<0Bx|0<x1Cx|0x<2 Dx|0x1BAx|1x1，Bx|0<x2，ABx|0<x12不等式5的解集是_原不等式0解得0<x.3不等式x2ax40的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_a4或a4x2ax40的解集不是空集，即不等式x2ax40有解，a24×1×40，解得，a4或a4.4.在如圖所示的銳

4、角三角形空地中，欲建一個(gè)面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x(單位：m)的取值范圍是_x|10x30設(shè)矩形高為y，由三角形相似得：，且x>0，y>0，x<40，y<40，xy300，整理得yx40，將y40x代入xy300，整理得x240x3000，解得10x30.分式不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)<0；(2)1.解(1)<0(x3)(x2)<02<x<3，原不等式的解集為x|2<x<3(2)1，10，0，即0.此不等式等價(jià)于(x4)0且x0，解得x<或x4，原不等式的解集為.1對(duì)于比較簡單

5、的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零2對(duì)于不等號(hào)右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項(xiàng)再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號(hào)右邊為零，然后再用上述方法求解1解下列不等式：(1)0；(2)<3.解(1)根據(jù)商的符號(hào)法則，不等式0可轉(zhuǎn)化成不等式組解這個(gè)不等式組，可得x1或x>3.即知原不等式的解集為x|x1或x>3(2)不等式<3可改寫為3<0，即<0.可將這個(gè)不等式轉(zhuǎn)化成2(x1)(x1)<0，解得1<x<1.所以，原不等式的解集為x|1<x<1一元二次不等式的應(yīng)用【例2】國家原計(jì)劃以

6、2 400元/噸的價(jià)格收購某種農(nóng)產(chǎn)品m噸按規(guī)定，農(nóng)戶向國家納稅為：每收入100元納稅8元(稱作稅率為8個(gè)百分點(diǎn)，即8%)為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)，制定積極的收購政策根據(jù)市場規(guī)律，稅率降低x個(gè)百分點(diǎn)，收購量能增加2x個(gè)百分點(diǎn)試確定x的范圍，使稅率調(diào)低后，國家此項(xiàng)稅收總收入不低于原計(jì)劃的78%.思路點(diǎn)撥將文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言：“稅率降低x個(gè)百分點(diǎn)”即調(diào)節(jié)后稅率為(8x)%；“收購量能增加2x個(gè)百分點(diǎn)”，此時(shí)總收購量為m(12x%)噸，“原計(jì)劃的78%”即為2 400m×8%×78%.解設(shè)稅率調(diào)低后“稅收總收入”為y元y2 400m(12x%)·(8x)%m(x242x400

7、)(0<x8)依題意，得y2 400m×8%×78%，即m(x242x400)2 400m×8%×78%，整理，得x242x880，解得44x2.根據(jù)x的實(shí)際意義，知x的范圍為0<x2.求解一元二次不等式應(yīng)用問題的步驟2某校園內(nèi)有一塊長為800 m，寬為600 m的長方形地面，現(xiàn)要對(duì)該地面進(jìn)行綠化，規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同)，中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍解設(shè)花卉帶的寬度為x m(0<x<600)，則中間草坪的長為(8002x)m，寬為(6002x)m.根據(jù)題意可得(8002x)(600

8、2x)×800×600，整理得x2700x600×1000，即(x600)(x100)0，所以0<x100或x600，x600不符合題意，舍去故所求花卉帶寬度的范圍為0x100.不等式恒成立問題探究問題1若函數(shù)yax22x2對(duì)一切xR，f(x)>0恒成立，如何求實(shí)數(shù)a的取值范圍？提示：若a0，顯然y>0不能對(duì)一切xR都成立所以a0，此時(shí)只有二次函數(shù)yax22x2的圖象與直角坐標(biāo)系中的x軸無交點(diǎn)且拋物線開口向上時(shí)，才滿足題意，則解得a>.2若函數(shù)yx2ax3對(duì)3x1上恒有x2ax3<0成立，如何求a的范圍？提示：要使x2ax3<0

9、在3x1上恒成立，則必使函數(shù)yx2ax3在3x1上的圖象在x軸的下方，由y的圖象可知，此時(shí)a應(yīng)滿足即解得a<2.故當(dāng)a2時(shí)，有f(x)<0在3x1上恒成立3若函數(shù)yx22(a2)x4對(duì)任意3a1時(shí)，y<0恒成立，如何求x的取值范圍？提示：由于本題中已知a的取值范圍求x，所以我們可以把函數(shù)f(x)轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量是a的函數(shù)，求參數(shù)x的取值問題，則令y2x·ax24x4.要使對(duì)任意3a1，y<0恒成立，只需滿足即因?yàn)閤22x4<0的解集是空集，所以不存在實(shí)數(shù)x，使函數(shù)yx22(a2)x4對(duì)任意3a1，y<0恒成立【例3】已知yx2ax3a，若2x2，x

10、2ax3a0恒成立，求a的取值范圍思路點(diǎn)撥對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在某一范圍上的函數(shù)值恒大于等于零的問題，可以利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解解設(shè)函數(shù)yx2ax3a在2x2時(shí)的最小值為關(guān)于a的一次函數(shù)，設(shè)為g(a)，則(1)當(dāng)對(duì)稱軸x<2，即a>4時(shí)，g(a)(2)2(2)a3a73a0，解得a，與a>4矛盾，不符合題意(2)當(dāng)22，即4a4時(shí)，g(a)3a0，解得6a2，此時(shí)4a2.(3)當(dāng)>2，即a<4時(shí)，g(a)222a3a7a0，解得a7，此時(shí)7a<4.綜上，a的取值范圍為7a2.1(變結(jié)論)本例條件不變，若yx2ax3a2恒成立，求a的取值范圍解若2x2，x2ax

11、3a2恒成立可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)2x2時(shí)，ymin2或或解得a的取值范圍為5x22.2(變條件)將例題中的條件“yx2ax3a，2x2，y0恒成立”變?yōu)椤安坏仁絰22xa23>0的解集為R”，求a的取值范圍解法一：不等式x22xa23>0的解集為R，函數(shù)yx22xa23的圖象應(yīng)在x軸上方，44(a23)<0，解得a>2或a<2.法二：令yx22xa23，要使x22xa23>0的解集為R，則a滿足ymina24>0，解得a>2或a<2.法三：由x22xa23>0，得a2>x22x3，即a2>(x1)24，要使該不等式在R上恒成立，必

12、須使a2大于(x1)24的最大值，即a2>4，故a>2或a<2.1不等式ax2bxc>0的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是：當(dāng)a0時(shí)，b0，c>0；當(dāng)a0時(shí)，2不等式ax2bxc<0的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是：當(dāng)a0時(shí)，b0，c<0；當(dāng)a0時(shí)，3解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)1解分式不等式時(shí)，一定要等價(jià)變形為一邊為零的形式，再化歸為一元二次不等式(組)求解當(dāng)不等式含有等號(hào)時(shí)，分母不為零2對(duì)于某些恒成立問題，分離參數(shù)是一種行之有效的方法這是因?yàn)閷?shù)分離后，問題往往會(huì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問

13、題，從而得以迅速解決當(dāng)然，這必須以參數(shù)容易分離作為前提分離參數(shù)時(shí)，經(jīng)常要用到以下簡單結(jié)論：(1)若f(x)有最大值f(x)max，則a>f(x)恒成立a>f(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，則a<f(x)恒成立a<f(x)min.3在某集合A中恒成立問題設(shè)yax2bxc(a0)若ax2bxc0在集合A中恒成立，則集合A是不等式ax2bxc0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的取值(范圍).1思考辨析(1)不等式>1的解集為x<1.()(2)求解m>ax2bxc(a0)恒成立時(shí)，可轉(zhuǎn)化為求解yax2bxc的最小值，從而求出m的范圍()提示(1)>11>0<0x|0<x<1故(1)錯(cuò)(2)m>ax2bxc(a0)恒成立轉(zhuǎn)化為m>ymax，故(2)錯(cuò)答案(1)×(2)×2不等式>0的解集為_x|4<x<3或x>1原式可轉(zhuǎn)化為(x1)(x2)2(x3)(x4)>0，根據(jù)數(shù)軸穿根法，解集為4<x<3或x>1.3對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_2a2當(dāng)a20，即a2時(shí)，40恒成立；當(dāng)a20，即a2時(shí)，則有解得2a2.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是2