大學(xué)定積分期末復(fù)習(xí)經(jīng)典題庫

1、編輯ppt一、求積分的基本方法一、求積分的基本方法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、多元函數(shù)微分法二、多元函數(shù)微分法微積分II總復(fù)習(xí)三、二重積分的計(jì)算三、二重積分的計(jì)算四、級(jí)數(shù)的斂散性與求和四、級(jí)數(shù)的斂散性與求和五、求解微分方程五、求解微分方程2010級(jí)20110607編輯ppt一、一、 求不定積分的基本方法求不定積分的基本方法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、幾種特殊類型的積分二、幾種特殊類型的積分不定積分的計(jì)算方法 第六六章 編輯ppt一、一、 求不定積分的基本方法求不定積分的基本方法1. 直接積分法直接積分法通過簡單變形, 利用基本積分公式和運(yùn)算法則求不定積分的方法 .2.

2、換元積分法換元積分法xxfd)( 第一類換元法第一類換元法tttfd)()( 第二類換元法(注意常見的換元積分類型) (代換: )(tx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt3. 分部積分法分部積分法vuxvud使用原則:1) 由v易求出 v ;2) xvud比xvud好求 .一般經(jīng)驗(yàn): 按“反, 對(duì), 冪, 指 , 三” 的順序,排前者取為 u , 排后者取為.v計(jì)算格式: 列表計(jì)算xvu d機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯pptxvund) 1(xvuvunnd)()()1()(nnvuvu xvund) 1( )2() 1()(nnnvuvuvuxvunnd) 1() 1

3、(1多次分部積分的多次分部積分的 規(guī)規(guī) 律律機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )2()1()( nnnvuvuvuxvund)2( 快速計(jì)算表格:)(ku)1(knvuuu )(nu)1( nv)(nv)1( nvvn) 1()1( nuv1) 1(n特別特別: 當(dāng) u 為 n 次多項(xiàng)式時(shí),0)1(nu計(jì)算大為簡便 . 編輯ppt例例1. 求.d4932xxxxx解解: 原式xxxxxd233222xxxd)(1)(23232xx2323232)(1)(dln1xaaaxxdlndCx3ln2ln)arctan(32機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例2. 求.d15)1ln(

4、22xxxx解解:215)1ln(2xx原式5)1ln(d2xx21xxxxxd)1 (212221dxx325)1ln(2xxC23機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 分析分析: 5)1ln(d2xx編輯ppt例例3. 求.dcos1sinxxxx解解 :原式xxxxxd2cos22cos2sin222tandxxxxd2tanCxx2tan分部積分抵消機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例4. 設(shè),)(2xyxy解解: 令, tyx求積分.d31xyxxyxy2)(即txy,123ttx,12tty而ttttxd) 1()3(d2222 1原式ttttd) 1()3(22221

5、23tt132tttttd12Ct1ln221Cyx1)(ln221機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例5. 求.darctanxeexx解解:xearctan原式xedxxeearctanxexeexxd12xxeearctanxeeexxxd1)1 (222xxeearctanxCex)1 (ln221機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例6. 求.d)2(23xexxx解解: 取,23xxuxev2)4(23 xx132xx660)(ku)4(kvxe2xe221xe241xe281xe2161xe2 原式)2(321 xx) 13(241xx681Cxxxex

6、)7264(232816161CxxaxaexPxkndcossin)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 此法特別適用于如下類型的積分: 編輯ppt例例7. 設(shè),dsecxxInn證證:證明遞推公式:)2(12tansec1122nInnxxnInnnxInn2secxn 2secxxxnntansecsec)2(3xxdtanxxntansec2xxxnnd) 1(secsec)2(22xxntansec2nIn)2( 2)2(nInxxdsec2xtan)2(12tansec1122nInnxxnInnn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例8. 求.d1xx解解

7、: 設(shè)1)(xxF1x,1x1x,1x則)(xF1,1221xCxx1,2221xCxx因)(xF連續(xù) , , ) 1 ()1 ()1 (FFF得21211121CC221121CC記作C得xxd1)(xF1,21221xCxx1,21221xCxx,) 1(221Cx,) 1(221Cx利用 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例9. 設(shè) 解解:)(xF為)(xf的原函數(shù),時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 x,2sin)()(2xxFxf有有且,1)0(F,0)(xF求. )(xf由題設(shè), )()(xfxF則,2sin)()(2xxFxF故xxFxFd)()(xxd2sin2xxd24cos1即Cxx

8、xF4sin)(412,1)0(F, 1)0(2FC0)(xF, 因此14sin)(41xxxF故)()(xFxf14sin2sin412xxx又機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt二、幾種特殊類型的積分二、幾種特殊類型的積分1. 一般積分方法一般積分方法有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和指數(shù)函數(shù)有理式指數(shù)代換三角函數(shù)有理式萬能代換簡單無理函數(shù)三角代換根式代換機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt2. 需要注意的問題需要注意的問題(1) 一般方法不一定是最簡便的方法 ,(2) 初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù) ,要注意綜合使用各種基本積分法, 簡便計(jì)算 . 因此不一定都能積出.

9、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如 , ,d2xex,dsinxxx,dsin2xx,dln1xx,1d4 xx,d13xx, ) 10(dsin122kxxk編輯ppt例例10 求.1d632xxxeeex解解: 令,6xet 則,ln6tx txtdd6原式原式ttttt)1 (d623tttt) 1)(1(d621331362ttttt dtln61ln3t) 1ln(232tCt arctan3Ceeexxxx636arctan3) 1ln() 1ln(323機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例11 求.dsincossincos3xxxxx解解: 令xxsin

10、cos3xBAxBAsin)(cos)(比較同類項(xiàng)系數(shù)3 BA1BA, 故2, 1BA 原式xxxxxsincos)sind(cos2dCxxxsincosln說明說明: 此技巧適用于形為xxdxcxbxadsincossincos的積分.)sin(cos)sin(cosxxBxxAxbxasincos令)sincos()sincos(xdxcBxdxcA機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例12.解解：xxbxaxIdsincossin1求因?yàn)?dsincoscos2xxbxaxI及12IbIaxxbxaxbxadsincossincos1Cx12IaIbxxbxaxaxbdsi

11、ncossincos)sincosd(xbxa2sincoslnCxbxaCxbxaabxbaI)sincosln(1221CxbxabaxbaI)sincosln(1222機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例13.求不定積分.dsin)cos2(1xxx解解: )cos(xu 令令原式 uuud) 1)(2(12) 1)(2(12uuuA21uB1uC31A61B21C2ln31u1ln61uCu1ln21)2ln(cos31x)cos1ln(61xCx) 1ln(cos21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxxxdsin)cos2(sin2編輯ppt一、與定積分概念有關(guān)的

12、問題的解法一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法定積分及其相關(guān)問題 第七七章 編輯ppt一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法1. 用定積分概念與性質(zhì)求極限2. 用定積分性質(zhì)估值3. 與變限積分有關(guān)的問題機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1 求.d1lim10 xeexxxnn解解: 因?yàn)?1,0 x時(shí),xxneex10所以xeexxxnd1100 xxnd1011n利用夾逼準(zhǔn)則得0d1lim10 xeexxxnn,nx編輯ppt例例2 .d411032xxx估計(jì)下列積分值

13、解解: 因?yàn)?1 ,0 x3241xx 41,412xxxxd411032xd2110 xxd41102即xxxd411032216機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例3 證明.2d222042exeexx證證: 令,)(2xxexf則xxexxf2) 12()(令,0)( xf得,21x, 1)0(f,1)(421ef2)2(ef,1)(min42,0exf22,0)(maxexf故22042d22exeexx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例4 設(shè))(xf在1 ,0上是單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)， 試證1 ,0q都有不等式100d)(d)(xxfqxxfq證明證明：顯

14、然1,0qq時(shí)結(jié)論成立.(用積分中值定理)qxxf0d)(10d)(xxfqqxxfq0d)()1 (1d)(qxxfq)1 (q)(1fqq)()1 (2fq , 01q1 ,2q10 q當(dāng)時(shí),)()()1 (21ffqq0故所給不等式成立 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 明對(duì)于任何編輯ppt例例5 解：解：, 3) 1 (,0)(fxxf處連續(xù)在已知且由方程xyyxttfyttfxttf111d)(d)(d)(確定 y 是 x 的函數(shù) , 求. )(xf方程兩端對(duì) x 求導(dǎo), 得)( yxfyttf1d)(yyfx)(xttfy1d)()(xfy)(yxy令 x = 1, 得) 1

15、(d)()(1fyttfyyfy再對(duì) y 求導(dǎo), 得) 1 (1)(fyyfy3Cyyf ln3)(, 3, 1Cy得令3ln3)(xxf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故編輯ppt例例6ttttfxfxdcos2sin)()(02求可微函數(shù) f (x) 使?jié)M足解解: 等式兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得)()(2xfxfxxxfcos2sin)(不妨設(shè) f (x)0,則xxxfcos2sin21)(xxfxfd)()(xxxdcos2sin21Cx )cos2ln(21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt注意 f (0) = 0, 得3ln21C3ln21)cos2ln(21)(xxfx

16、cos23ln21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ttttfxfxdcos2sin)()(02Cxxf)cos2ln(21)(編輯ppt例例7 求多項(xiàng)式 f (x) 使它滿足方程解解: 令, t xu 10302d) 1(d)(xxttfttxfx則10d)(ttxfxxuuf01d)(代入原方程得xuuf0d)(xttfx0d) 1(242xx 兩邊求導(dǎo):)(xfxttf0d) 1() 1( xfxxx443)(xf ) 1(2xf) 1( xfx4122x可見 f (x) 應(yīng)為二次多項(xiàng)式 , 設(shè)cbxaxxf2)(代入 式比較同次冪系數(shù) , 得. 1,4, 3cba故143)(2xxx

17、f機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 再求導(dǎo):編輯ppt二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法1. 熟練運(yùn)用定積分計(jì)算的常用公式和方法2. 注意特殊形式定積分的計(jì)算3. 利用各種積分技巧計(jì)算定積分4. 有關(guān)定積分命題的證明方法思考思考: 下列作法是否正確?xxx1d1112112xxd111132)(32xt 令0d23112111ttt機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例8 求.d12ln02xex解解: 令,sintex則,sinlntx,dsincosdtttx原式ttttdsincoscos62tttdsinsin1262tttd)sin(csc26

18、coscotcsclnttt6223)32(ln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例9 求.d2sin120 xxI解解:xxxId)cos(sin202xxxdcossin20 xxxd)sin(cos40 xxxd)cos(sin24cossinxx04sincosxx42) 12(2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2yox4xsinxcos編輯ppttttcbcadcos99例例10 選擇一個(gè)常數(shù) c , 使0d)(cos)(99xcxcxba解解: 令, cxt則xcxcxbad)(cos)(99因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù) , 故選擇 c 使)(cbca即2bac可使原式為

19、 0 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例11 設(shè),d)(022yexfxyy解解: .d)() 1(102xxfx求xxfxd)() 1(102013)() 1(31xfxxxfxd)() 1(31103xexxxd) 1(31102322101) 1(2) 1d() 1(612xexx) 1(2 xu令10d6ueueu01) 1(6ueue)2(61e機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例12 若, 1,0)(Cxf解解: 令試證 :xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin20, xt則xxfxd)(sin0ttftd)(sin)(0

20、ttfd)(sin0ttftd)(sin0 xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt因?yàn)閤xfd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin2對(duì)右端第二個(gè)積分令xtxxfd)(sin220綜上所述xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin20機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例13 證明恒等式)20(4darccosdarcsin22cos0sin0 xttttxx證證: 令ttttxfxxdarccosdarcsin)(22cos0sin0則)(xfxxxcossin2xxxcossin20

21、因此, )0()(2xCxf又)(4fttttdarccosdarcsin212100tttdarccosarcsin210td21024故所證等式成立 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例14 ,0)(,)(, )(xgbaxgxf且上連續(xù)在設(shè)試證, ),(ba使baxxfd)(baxxgd)()()(gf分析分析: 要證0d)()(d)()(babaxxgfxxfg即xaxxgd)(baxxfd)(xaxxfd)(baxxgd)(x0故作輔助函數(shù)baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 至少存在一點(diǎn)編輯ppt

22、證明證明: 令baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()()(, )(xgxf因在,ba上連續(xù),)(上連續(xù)在故baxF在,),(內(nèi)可導(dǎo)ba, 0)()(bFaF且至少, ),(ba使,0)(F即0d)()(d)()(babaxxgfxxfg因在,ba上)(xg連續(xù)且不為0 ,0d)(baxxg從而不變號(hào),因此故所證等式成立 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故由羅爾定理知 ,存在一點(diǎn)編輯ppt思考思考: 本題能否用柯西中值定理證明 ?如果能, 怎樣設(shè)輔助函數(shù)?),(babaxxfd)(baxxgd)(,)()(gf要證: xattfxFd)()(xattgxGd

23、)()(提示提示: 設(shè)輔助函數(shù) 例15 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例15 設(shè)函數(shù) f (x) 在a, b 上連續(xù),在(a, b) 內(nèi)可導(dǎo), 且 . 0)( xf:,)2(lim證明存在若axaxfax(1) 在(a, b) 內(nèi) f (x) 0 ; (2) 在(a, b) 內(nèi)存在點(diǎn) , 使 )(2d)(22fxxfabba(3) 在(a, b) 內(nèi)存在與 相異的點(diǎn) , 使 baxxfaabfd)(2)(22(03考研) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt證證: (1) ,)2(lim存在axaxfax,0)2(limaxfax由 f (x)在a, b上連續(xù), 知 f

24、(a) = 0. ，又0)( xf所以f (x) 在(a, b)內(nèi)單調(diào)增, 因此 ),(, 0)()(baxafxf(2) 設(shè))(d)()(,)(2bxaxxfxgxxFxa, 0)()(xfxg則)(),(xgxF故滿足柯西中值定理?xiàng)l件, 于是存在 使),(baaabattfttfabagbgaFbFd)(d)()()()()(22xxattfxd)()(2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt即 )(2d)(22fttfabba(3) 因 0)()(ff)()(aff在a, 上用拉格朗日中值定理),(),( )(aaf代入(2)中結(jié)論得)(2d)(22afttfabba因此得 ba

25、xxfaabfd)(2)(22機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt)(xf例例16 設(shè), ,)(baCxf證證: 設(shè)且試證 :,0)(xf2)()(dd)(abxfxxxfbabattfxFxad)()(xatft)(d則)(xF)(1xf)(2axxa)(tf)(tftd2ttfxftfxfxad)()()()(20)(,xfax0故 F(x) 單調(diào)不減 ,0)()(aFbF即(*) 成立.(*)(xf)(xfxattfd)(xatft)(d2)(ax 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt1. 定積分的幾何應(yīng)用定積分的幾何應(yīng)用平面圖形面積、 旋轉(zhuǎn)體體積2. 基本方法基本方

26、法 : 微元分析法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定積分的應(yīng)用 第七七章 編輯ppt例例1 求拋物線21xy在(0,1) 內(nèi)的一條切線, 使它與兩坐標(biāo)軸和拋物線所圍圖形的面積最小.解解: 設(shè)拋物線上切點(diǎn)為)1 ,(2xxM則該點(diǎn)處的切線方程為)(2)1 (2xXxxY它與 x , y 軸的交點(diǎn)分別為, )0,(212xxA) 1,0(2xB所指面積)(xSxx2) 1(2122102d)1 (xx324) 1(22xx11MBAyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt)(xS) 13() 1(22412xxx,33x0)( xS,33x0)( xS且為最小點(diǎn) . 故所求切線為34

27、332XY,0)( xS令得 0 , 1 上的唯一駐點(diǎn)33x11MBAyx, 1 , 0)(33上的唯一極小點(diǎn)在是因此xSx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例2 設(shè)非負(fù)函數(shù)上滿足在 1,0)(xf)()(xfxfx曲線)(xfy 與直線1x及坐標(biāo)軸所圍圖形(1) 求函數(shù); )(xf(2) a 為何值時(shí), 所圍圖形繞 x 軸一周所得旋轉(zhuǎn)體解解: (1)時(shí)，當(dāng)0 x由方程得axxfxfx23)()(2axxf23)(,223xa面積為 2 ,體積最小 ? 即xCxaxf223)(故得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt又10d)(2xxfxxCxad2321022Caa

28、C 4xaxaxf)4(23)(2(2) 旋轉(zhuǎn)體體積Vxxfd)(1021610132aa,01513aV令5a得又V 5a,0155 a為唯一極小點(diǎn),因此5a時(shí) V 取最小值 .xoy1xoy1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt 第五章 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、 基本概念基本概念 二、多元函數(shù)微分法二、多元函數(shù)微分法 三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法編輯ppt一、一、 基本概念基本概念連續(xù)性 偏導(dǎo)數(shù)存在可微性1. 多元函數(shù)的定義、極限 、連續(xù) 定義域及對(duì)應(yīng)規(guī)律 判斷極限不存在及求極限的方法 函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)2.

29、 幾個(gè)基本概念的關(guān)系機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例1 已知求出 的表達(dá)式. ),(yxf解法解法1 令,yxu),(vuf)(uvu即)(),(xyxyxf,)0,(xxf) 1(),(yxyxf解法解法2 )()(),(yxyxyxyxyxf)(),(xyxyxf以下與解法1 相同., )(),(22yxyxyxyxf,)0(xxf，）（）（vuyvux2121,則xx )(且,yxv)()()(241241uvuvu機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt二、多元函數(shù)微分法二、多元函數(shù)微分法顯示結(jié)構(gòu)隱式結(jié)構(gòu)1. 分析復(fù)合結(jié)構(gòu)(畫變量關(guān)系圖)自變量個(gè)數(shù) = 變量總個(gè)

30、數(shù) 方程總個(gè)數(shù)自變量與因變量由所求對(duì)象判定2. 正確使用求導(dǎo)法則“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”注意正確使用求導(dǎo)符號(hào)3. 利用一階微分形式不變性機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例2 設(shè)其中 f 與F分別具,0),(, )(zyxFyxfxz解法解法1 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得xzdd)0(23FFfxxzdd1F 23FFfx 1 32FFfx12FFfxffx221FffFxfFx有一階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù), 求fxfxzxyfxdddd132ddddFxzFxyFf fx)dd1 (xy.ddxzxyFdd20dd3xzF(99 考研)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

31、 編輯ppt解法解法2 0),(, )(zyxFyxfxz方程兩邊求微分, 得化簡消去 即可得yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0dz)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例3 設(shè)),(zyxfu 有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且,sin2txz , )ln(yxt求.,2yxuxu解解:uzyxtxyxxu1f(3 ftxsin2tx cos2)yxu2 12f(13 ftx cos2) 32f 33f)1cos(2yxtx)cossin2(2yxtxtx 3fyxtx1cos222)( yxxyxt1s

32、in)(yx1cos tyx 1yx 1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt練習(xí)題練習(xí)題1、設(shè)函數(shù) f 二階連續(xù)可微, 求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).2yxz),()3()()2()() 1 (222xyxfzxyxfzxyfxz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt解答提示解答提示: )() 1 (2xyfxz : )()2(2xyxfzxyxyfxyz2)(2xyfyz2 fxyxyfxy )1(22222fxy 232fy 2yxz2yxz2 fy2)(22xyfxy 2)1(22xyfxy22機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt2222fxyyxz) (2xy21

33、f 2222fxy : ),()3(2xyxfz 22fxyyz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯pptxvuxuv2、 設(shè)求,sin,cosvuzveyvexuuyzxz,zvuyxyxxz得由,sin,cosveyvexuu得由,vuz vveuvexuudsindcosd提示提示:vveuveyuudcosdsind機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yvuyuvyz解出 du, dv ：編輯pptveveveveveyvexuuuuuuucossinsincoscosdsinddxuyxdd veucosveusin機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yu代入即得 ;xzxvyx

34、vdddveusinveucosyvxvxu及將代入即得 .yzyvyu及將編輯pptt dtteyxezxxyx0sin, 2),(zyxfu 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) , )(xyy 及)(xzz 分別由下兩式確定求.ddxu又函數(shù)答案答案:321)sin()(1ddfzxzxefxyfxux( 2001考研 ）機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 設(shè)編輯ppt三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用極值與最值問題極值與最值問題 極值的必要條件與充分條件 求條件極值的方法 (消元法, 拉格朗日乘數(shù)法) 求解最值問題 最小二乘法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例4 22

35、yxz求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面之間的最短距離.解：解：2261zyxd設(shè)為拋物面上任一點(diǎn)， 則 P ),(zyxP22yxz的距離為022zyx問題歸結(jié)為(min)22(2zyx約束條件:022zyx目標(biāo)函數(shù):22 zyx作拉氏函數(shù))()22(),(222yxzzyxzyxF機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 到平面編輯ppt)()22(),(222yxzzyxzyxF.81,41,41zyx令22yxz解此方程組得唯一駐點(diǎn)02)22(2yzyxFy0)2)(22(2zyxFz02)22(2xzyxFx由實(shí)際意義最小值存在 ,241414161mind647故機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯

36、ppt一、一、 二重積分計(jì)算的基本方法二重積分計(jì)算的基本方法 二、二重積分計(jì)算的基本技巧二、二重積分計(jì)算的基本技巧 三、重積分的應(yīng)用三、重積分的應(yīng)用 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第八章 二重積分的計(jì)算及應(yīng)用 編輯ppt一、二重積分的累次積分法一、二重積分的累次積分法1. 選擇合適的坐標(biāo)系使積分域成為由平面曲線圍成的區(qū)域;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡潔或變量分離.2. 選擇易計(jì)算的積分序積分域分塊要少, 累次積分易算為妙 .圖示法列不等式法(從內(nèi)到外: 面、線、點(diǎn))3. 掌握確定積分限的方法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt1、 計(jì)算二重積分,d222DyxR其中D 為圓周xRyx

37、22所圍成的閉區(qū)域.提示提示: 利用極坐標(biāo)cosRr 原式cos022dRrrRr2033d)sin1(32R)34(313RyDR xo:Dcos0Rr 2222d機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí)編輯ppt2、計(jì)算積分Ddyx,)(其中D 由,22xy 12,4yxyx所圍成 .提示提示: :如圖所示xy224246oyx,12DDD 內(nèi)有定義且在2),(DyxyxfDyxd)(2d)(Dyx1d)(Dyx連續(xù),所以yyxyx1222d)(46dyyyxyx422d)(24dy15115431D2DD機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt二、二重積分計(jì)算的基本技巧二、二重

38、積分計(jì)算的基本技巧分塊積分法利用對(duì)稱性1. 交換積分順序的方法2. 利用對(duì)稱性簡化計(jì)算3. 消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯pptaxamyxamaxxfexaxxfey0)(0)(0d)()(d)(d1、證明:提示提示: 左端積分區(qū)域如圖,Doyxxy a交換積分順序即可證得.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)題練習(xí)題編輯ppt例例1 計(jì)算二重積分,dd)(222yxeyxxIyxD其中:(1) D為圓域; 122 yx(2) D由直線1,1,xyxy解解: (1) 利用對(duì)稱性.yox1DyxxIDdd20dd)(2122yxyxD10320dd21rr4

39、yxeyxDyxdd22圍成 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯pptyxeyxDyxdd122(2) 積分域如圖:o1yx11D2Dxyxy , xy將D 分為,21DDyxxIDdd2yxeyxDyxdd22200dd1112xyxx32添加輔助線利用對(duì)稱性 , 得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt111 xyo例例2 計(jì)算二重積分,dd)sgn() 1 (2yxxyID,dd)22()2(22yxxyyxID122 yx在第一象限部分. 解解: (1)2xy 21, DD兩部分, 則1ddDyxI1112ddxyx322D2ddDyx2011ddxyx1011:yxD

40、，其中D 為圓域把與D 分成1D作輔助線機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯pptxy1o1xy (2) 提示提示: 21, DD兩部分 1DyxyxDdd)(22yxyxDdd)2(說明說明: 若不用對(duì)稱性, 需分塊積分以去掉絕對(duì)值符號(hào). xy 作輔助線2D將D 分成Dyxdd2yxxyyxIDdd)22(222) 12(32機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯pptxysinxyo2例例3 1d),(Dyxfyyxyxfarcsinarcsind),(10dyIxyyxfsin0d),(0d x0sind),(xyyxf2d xyyxyxfarcsin2arcsind),(01dy

41、如圖所示交換下列二次積分的順序:xyyxfxIsin020d),(d1D2D2d),(Dyxf解解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt三、二重積分的應(yīng)用三、二重積分的應(yīng)用1. 幾何方面面積 ( 平面域)證明某些結(jié)論等 2. 其它方面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例4 ，上連續(xù)在設(shè),)(baxf證明babaxxfabxxfd)()(d)(22證證: :左端yyfxxfbabad)(d)(yxyfxfDdd)()(222baab利用yxyfxfDdd)()(222121xxfybabad)(d2yyfxbabad)(d22abxdxfba)(2xdxfabba)()(

42、2byabxaD:= 右端ydyfba)(2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt級(jí)數(shù)的收斂、求和與展開級(jí)數(shù)的收斂、求和與展開 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十章 編輯ppt)(0 xunn 求和)(xS展開(在收斂域內(nèi)進(jìn)行)(0 xunn基本問題基本問題：判別斂散；求收斂域；求和函數(shù)；級(jí)數(shù)展開.時(shí)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);0 xx 當(dāng)nnnxaxu)(當(dāng)時(shí)為冪級(jí)數(shù);機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件0limnnu不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法 limn1nunu根值審斂法n

43、nnulim1收 斂發(fā) 散1不定 比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt3. 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)1nnuLeibniz判別法判別法: 若,01nnuu且,0limnnu則交錯(cuò)級(jí)數(shù)nnnu1) 1(收斂 ,概念概念:且余項(xiàng).1nnur1nnu若收斂 ,1nnu稱絕對(duì)收斂1nnu若發(fā)散 ,1nnu稱條件收斂機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例1 若級(jí)數(shù)11nnnnba 與均收斂 , 且nnnbca, ),2, 1(n證明級(jí)數(shù)1nnc收斂 .證證: nnnnabac0, ),2,1(n則由題設(shè))(1nnnab 收斂)(1nnna

44、c 收斂1nnc)(1nnnnaac)(1nnnac 1nna收斂機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt1、 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:;1) 1 (1nnnn;2) !()2(122nnn;2cos)3(132nnnn;ln1)4(210nn. )0,0()5(1sanansn提示提示: (1) ,1limnnn11nnn n據(jù)比較判別法, 原級(jí)數(shù)發(fā)散 .因調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)題練習(xí)題編輯ppt利用比值判別法, 可知原級(jí)數(shù)發(fā)散.用比值法, 可判斷級(jí)數(shù)12nnn因 n 充分大時(shí),ln1110nn原級(jí)數(shù)發(fā)散 . :2) !()2(122nnn:2cos)3(

45、132nnnn:ln1)4(210nn: )0,0()5(1sanansn用比值判別法可知:時(shí)收斂 ;時(shí), 與 p 級(jí)數(shù)比較可知時(shí)收斂;1s時(shí)發(fā)散.再由比較法可知原級(jí)數(shù)收斂 .1s1a時(shí)發(fā)散.1a1a21nn發(fā)散,收斂,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt2、 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu和1nnv12)(nnnvu也收斂 .提示提示: 因,0limlimnnnnvu存在 N 0,nnnnvvuu22,又因)(222nnvu)()(2Nnvunn利用收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確.都收斂, 證明級(jí)數(shù)當(dāng)n N 時(shí)2)(nnvu 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt3、 設(shè)級(jí)數(shù)1

46、nnu收斂 , 且,1limnnnuv1nnv是否也收斂？說明理由.但對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)卻不一定收斂 .,) 1(nunn問級(jí)數(shù)提示提示: 對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù),由比較判別法可知1nnv級(jí)數(shù)1nnu收斂 ,1nnvnnnuvlim收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散 .nnn) 1(lim11例如, 取nnvnn1) 1(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt;1ln) 1()3(1nnnn4、討論下列級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性與條件收斂性:;1) 1() 1(1npnn;sin) 1()2(1111nnnn.! ) 1() 1()4(11nnnnn提示提示: (1) P 1 時(shí), 絕對(duì)收斂 ;0 p 1 時(shí), 條件收斂 ;p0 時(shí)

47、, 發(fā)散 .(2) 因各項(xiàng)取絕對(duì)值后所得強(qiáng)級(jí)數(shù) 原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 .故 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,111收斂nn編輯ppt11ln) 1()3(nnnn)11(ln1lnnnnun因單調(diào)遞減, 且但nnn1ln1nknkk1ln)1ln(lim)1ln(limnn所以原級(jí)數(shù)僅條件收斂 .kknk1ln1nlim由Leibniz判別法知級(jí)數(shù)收斂 ;0limnnu機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt11! ) 1() 1()4(nnnnn因nnuu12)2(! )2(nnn1)111 (12nnnn1! ) 1(nnnn11e所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回

48、結(jié)束 編輯ppt二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法 標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù): 先求收斂半徑 R , 再討論Rx 非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式直接用比值法或根值法處的斂散性 .求下列級(jí)數(shù)的斂散區(qū)間:211(1)(1);nnnxn21(2).2nnnnx練習(xí)練習(xí):機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt 1 解解:nnnnnna)11 (limlim當(dāng)ex1因此級(jí)數(shù)在端點(diǎn)發(fā)散 ,enn1)11 (nneu nn)11 ( nn)11 ( )(01ne. )1,1(eee時(shí),211(1)(1)nnnxn,1eR exe11即時(shí)原級(jí)數(shù)收斂 .故收斂區(qū)間為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返

49、回 結(jié)束 編輯ppt21(2)2nnnnx)()(lim1xuxunnn解解: 因) 1(2121nnxn22xnnxn22,122x當(dāng)時(shí)，即22x,2時(shí)當(dāng)x故收斂區(qū)間為. )2,2(級(jí)數(shù)收斂;一般項(xiàng)nun不趨于0,nlim級(jí)數(shù)發(fā)散; 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例2 .) 1(31的收斂半徑求冪級(jí)數(shù)nnnnxn解解: 分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級(jí)數(shù),lim1nnaannnnalim極限不存在1)(kkx,24212kkkxk1)(kkx12112122kkkxk)()(1limxxnnn,)4(2x411R)()(1limxxnnn,)2(2x212R 原級(jí)數(shù) =1)(

50、kkx1)(kkx 其收斂半徑4121,minRRR注意: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt 求部分和式極限三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法 求和逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分nnnxa0)(*xS對(duì)和式積分或求導(dǎo))(xS難直接求和: 直接變換,間接求和: 轉(zhuǎn)化成冪級(jí)數(shù)求和, 再代值求部分和等 初等變換法: 分解、套用公式（在收斂區(qū)間內(nèi)） 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 求和機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nnnxa0編輯ppt例例3 求冪級(jí)數(shù).!) 12(1) 1(120的和函數(shù)nnnxnn法法1 易求出級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?,(022)(! ) 12(1) 1(21nnnxn原式120! ) 12()

51、 1(21nnnxnx)sin(21xx,cos2sin21xxx ),(x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt法法2 先求出收斂區(qū)間, )(xS則xnnnxxxnnxxS01200d! ) 12(1) 1(d)(220! ) 12() 1(nnnxn21120! ) 12() 1(2nnnxnxxxsin2,cos2sin21)(xxxxS, ),(設(shè)和函數(shù)為),(x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt練習(xí)練習(xí):1(2).(1)nnxn n;212) 1() 1(21nnnxn解解: (1) )(21121nnnx原式) 120(2x12)2(1nnxx222211xxx

52、22xx222)2(2xx顯然 x = 0 時(shí)上式也正確,. )2,2(x故和函數(shù)為而在2xx0,)2(2)(222xxxS求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：級(jí)數(shù)發(fā)散,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt(2)nnxnn1111原式xnntt011dxnnttx01d1ttxd110tttxxd1100 x)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx) 10( xttnnxd110ttxnnxd110機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt1) 1(nnnnx, )1(ln)11(1xx顯然 x = 0 時(shí), 和為 0 ; 根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性 , 有)(xS110, )1(ln)

53、11(1xxxx及0 0 x，1 1x，10 xx = 1 時(shí), 級(jí)數(shù)也收斂 . 即得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt00! )12() 1(! )2() 1(21nnnnnn練習(xí)練習(xí):0! ) 12(1) 1(nnnn解解: 原式=0! )12() 1(nnn1cos21的和 .1) 12(n211sin求級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)展開法四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)展開法 直接展開法 間接展開法練習(xí)練習(xí):1. 將函數(shù)2)2(1x展開成 x 的冪級(jí)數(shù). 利用已知展式的函數(shù)及冪級(jí)數(shù)性質(zhì) 利用泰勒公式解解:xx21)2(1221121x0221

54、nnnx,22111nnnxn)2,2(x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法編輯ppt2. 設(shè))(xf0,arctan12xxxx0,1x, 將 f (x)展開成x 的冪級(jí)數(shù) ,1241) 1(nnn的和. ( 01考研 )解解:211x,) 1(02nnnx)1 , 1(xxarctanxxx02d11,12) 1(012nnnxn1 , 1x)(xf1212) 1(1nnnxn02212) 1(nnnxn于是并求級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt02212) 1(nnnxn12112) 1(nnnxn)(xf1212) 1(1nnnxn1212)

55、1(1nnnxn12121121) 1(1nnnxnn,41) 1(21122nnnxn1 , 1x1241) 1(nnn 1) 1 (21f214機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt一階微分方程的 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解法及應(yīng)用 第九章 編輯ppt一、一階微分方程求解一、一階微分方程求解 1. 一階標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解 關(guān)鍵關(guān)鍵: 辨別方程類型 , 掌握求解步驟2. 一階非標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解 (1) 變量代換法 代換自變量自變量代換因變量因變量代換某組合式某組合式(2) 積分因子法 選積分因子, 解全微分方程四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類型: 可分離變量方程, 齊次方程, 線性方程, 全微分

56、方程 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例1. 求下列方程的通解; 01) 1 (32xyeyy提示提示: (1),33xyxyeee因故為分離變量方程:通解;)2(22yyxyx;21)3(2yxy.2336)4(3223yyxyxxyxeyeyxydd32Ceexy331機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt方程兩邊同除以 x 即為齊次方程 , ,0時(shí)xyyxyx22)2(時(shí)，0 x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令 y = u x ,化為分離變量方程.調(diào)換自變量與因變量的地位 ,221)3(yxy,2dd2yxyx用線性方程通解公式求解 .化為機(jī)動(dòng)

57、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt32232336)4(yyxyxxy方法方法 1 這是一個(gè)齊次方程 .方法方法 2 化為微分形式 0d)23(d)36(3223yyyxxyxx故這是一個(gè)全微分方程 .xyu 令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xQyxyP6;xyxyyxdzz dxz dyzz編輯ppt例例2 求下列方程的通解:)lnln() 1(yxyyyx提示提示: (1)令 u = x y , 得(2) 將方程改寫為0d)1ln(dln2)2(2xxyyyxxyyxxyxy22363)3(220d)31(d)3()4(22yyxxyxyuxuxulndd)(ln)(yxyyx

58、xyyxxxy2ln21dd3(貝努里方程) 2 yz令(分離變量方程)原方程化為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt令 y = u tyyxxyxy22363)3(22) 1(2) 1(3dd22xyyxxy(齊次方程)ytytty23dd22令 t = x 1 , 則tyxttyxydddddddd可分離變量方程求解化方程為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt0d)31(d)3()4(22yyxxyxy變方程為yxxydd2兩邊乘積分因子2 y0)dd(3dd2yxxyyyxx用湊微分法得通解:Cyxyx321120)dd(32yxxyy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)

59、束 編輯ppt例例3 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)F(x)f (x) g(x), 其中函數(shù) f(x), g(x) 在(,+)內(nèi)滿足以下條件:, 0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1) 求F(x) 所滿足的一階微分方程 ;(03考研) (2) 求出F(x) 的表達(dá)式 .解解: (1) )()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)()(2xgxfxfxg)(2)2(2xFex所以F(x) 滿足的一階線性非齊次微分方程:.2)()(xexgxf編輯ppt機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 由一階線性微分方程解的公式得CxeeexFxxxd

60、4)(d22d2Cxeexxd442代入上式，將0)0()0()0(gfF1C得于是 xxeexF22)(xexFxF24)(2)(xxCee22編輯ppt練習(xí)題練習(xí)題:1、 求以1)(22yCx為通解的微分方程.提示提示:1)(22yCx02)(2yyCx消去 C 得1) 1(22 yy2、求下列微分方程的通解(只考慮方法及步驟):xyyyx2) 1 (提示提示: 令 u = x y , 化成可分離變量方程 :uu2) 1ln(ln)2(xxayxyx提示提示: 這是一階線性方程 , 其中,ln1)(xxxP)ln11()(xaxQ機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt)ln(2dd