八年級上全等三角形專題講解

1、全等三角形專題講解專題一 全等三角形判別方法的應(yīng)用專題概說：判定兩個三角形全等的方法一般有以下4 種：1三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“SSS”）2兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“SAS”）3兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“ASA ”）4兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“ AAS ”）而在判別兩個直角三角形全等時，除了可以應(yīng)用以上4 種判別方法外，還可以應(yīng)用“斜邊、直角邊”，即斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（簡寫成“HL ”）也就是說“斜邊、直角邊”是判別兩個直角三角形全等的特有的方法，它僅適用于判別兩個直角三角形

2、全等三角形全等是證明線段相等，角相等最基本、 最常用的方法， 這不僅因為全等三角形有很多重要的角相等、線段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等與未知的結(jié)論聯(lián)系起來那么我們應(yīng)該怎樣應(yīng)用三角形全等的判別方法呢？（ 1）條件充足時直接應(yīng)用在證明與線段或角相等的有關(guān)問題時，常常需要先證明線段或角所在的兩個三角形全等， 而從近年的中考題來看， 這類試題難度不大， 證明兩個三角形的條件比較充分 只要同學(xué)們認(rèn)真觀察圖形， 結(jié)合已知條件分析尋找兩個三角形全等的條件即可證明兩個三角形全等例 1 已知：如圖1，CE AB 于點 E，BD AC 于點 D， BD 、CE 交于點 O，且 AO 平分

3、 BAC 那么圖中全等的三角形有_對分析：由 CE AB ， BD AC ，得 AEO= ADO=90 o由 AO 平分BAC ，得 EAO= DAO 又AO 為公共邊，所以AEO ADO 所以AEO=DO ， AE=AD 又 BEO= CDO=90 o， BOE= COD ，所以 BOE COD 由AE=AD ， AEO= ADO=90 o， BAC 為公共角，所以EAC DAO 所以 AB=AC 又B EAO= DAO ， AO 為公共邊，所以ABO ACO 所以圖中全等的三角形一共有4 對（ 2）條件不足，會增加條件用判別方法E DOC圖 1此類問題實際是指條件開放題，即指題中沒有確定的

4、已知條件或已知條件不充分， 需要補充使三角形全等的條件解這類問題的基本思路是：執(zhí)果索因，逆向思維，逐步分析，探索結(jié)論成立的條件，從而得出答案例 2 如圖 2，已知 AB=AD ， 1=2，要使 ABC ADE ，還需添加的條件是（只需填一個） _A12BDEC分析：要使 ABC ADE ，注意到 1= 2，所以 1+ DAC= 2+ DAC ，即 BAC= EAC 要使 ABC ADE ，根據(jù) SAS 可知只需 AC=AE圖 2即可；根據(jù) ASA 可知只需 B= D ；根據(jù) AAS 可知只需 C=E故可添加的條件是 AC=AE 或 B= D 或 C= E（ 3）條件比較隱蔽時，可通過添加輔助線

5、用判別方法在證明兩個三角形全等時， 當(dāng)邊或角的關(guān)系不明顯時， 可通過添加輔助線作為橋梁， 溝通邊或角的關(guān)系， 使條件由隱變顯， 從而順利運用全等三角形的判別方法證明兩個三角形全等例 3 已知：如圖 3， AB=AC ， 1= 2求證： AO 平分 BAC 分析：要證 AO 平分 BAC ，即證 BAO= BCO，A要證 BAO= BCO，只需證 BAO 和 BCO 所在的兩個三角形全等而由已知條件知，只需再證明BO=CO 即可證明：連結(jié) BC1O因為 AB=AC ，所以 ABC ACB 3B因為 1= 2，所以 ABC - 1 ACB - 2圖 3即 3= 4，所以 BO=CO 因為 AB=A

6、C ， BO=CO ， AO=AO ，所以 ABO ACO 所以 BAO= CAO ，即 AO 平分 BAC （ 4）條件中沒有現(xiàn)成的全等三角形時，會通過構(gòu)造全等三角形用判別方法24C有些幾何問題中， 往往不能直接證明一對三角形全等， 一般需要作輔助線來構(gòu)造全等三角形例 4 已知：如圖 4，在 Rt ABC 中， ACB=90 o， AC=BC ， D 為 BC的中點， CEAD 于 E，交 AB 于 F，連接 DF求證： ADC= BDF C證明：過 B 作 BG BC 交 CF 延長線于 G，ED所以 BG AC 所以 G= ACE 因為 AC BC ，BCE AD ，所以 ACE= AD

7、C 所以 G= ADC AF因為 AC=BC ， ACD CBG=90 o，所以圖 4G ACD CBG 所以 BG=CD=BD 因為 CBF= GBF=45 o， BF=BF ，所以 GBF DBF 所以 G= BDF 所以 ADC BDF 所以 ADC BDF 說明：常見的構(gòu)造三角形全等的方法有如下三種： 涉及三角形的中線問題時， 常采用延長中線一倍的方法， 構(gòu)造出一對全等三角形； 涉及角平分線問題時， 經(jīng)過角平分線上一點向兩邊作垂線， 可以得到一對全等三角形；證明兩條線段的和等于第三條線段時， 用“截長補短” 法可以構(gòu)造一對全等三角形（ 5）會在實際問題中用全等三角形的判別方法新課標(biāo)強調(diào)

8、了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值， 注意培養(yǎng)同學(xué)們應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識， 形成解決簡單實際問題的能力在近年中考出現(xiàn)的與全等三角形有關(guān)的實際問題，體現(xiàn)了這一數(shù)學(xué)理念，應(yīng)當(dāng)引起同學(xué)們的重視例 5 要在湖的兩岸 A 、 B 間建一座觀賞橋，由于條件限制，無法直接度量 A ，B 兩點間的距離請你用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識按以下要求設(shè)計一測量方案(1) 畫出測量圖案(2) 寫出測量步驟（測量數(shù)據(jù)用字母表示）圖 5(3) 計算 A 、 B 的距離（寫出求解或推理過程，結(jié)果用字母表示）分析：可把此題轉(zhuǎn)化為證兩個三角形全等第(1) 題，測量圖案如圖5所示第 (2) 題，測量步驟：先在陸地上找到一點O，在 AO 的延長線上取一點 C，并測得

9、OC=OA ，在 BO 的延長線上取一點 D，并測得 OD=OB ，這時測得 CD 的長為 a ，則 AB 的長就是 a 第 (3) 題易證 AOB COD ，所以 AB=CD ，測得 CD 的長即可得 AB 的長解： (1) 如圖 6 示(2) 在陸地上找到可以直接到達(dá)A 、 B 的一點 O，在 AO 的延長線上取AB一點 C，并測得 OC OA ，在 BO 的延長線上取一點D，并測得 ODOB ，這時測出 CD 的長為 a ，則 AB 的長就是(3) 理由：由測法可得 OC=OA ， OD=OB 又 COD= AOB ， COD AOB CD=AB= a 評注：本題的背景是學(xué)生熟悉的，提供

10、了一個學(xué)生動手操作的機會，重點考查了學(xué)生的操作能力，培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識練習(xí)： 1已知：如圖7， D 是 ABC 的邊a OD C圖 6ADEFBCAAB 上一點， AB FC， DF 交 AC 于點 E， DE=FE 求證： AE=CE 2如圖 8，在 ABC 中，點 E 在 BC 上，點圖 7DD 在 AE 上，已知 ABD= ACD ， BDE= CDE B求證： BD=CD 3用有刻度的直尺能平分任意角嗎？下面是一種方法：如圖 9 所示，先在 AOB 的兩邊上取 OP=OQ ，再取 PM=QN ，連接 PN、QM ，得交點 C，則射線 OC 平分 AOB 你能說明道理嗎？4如圖 10

11、， ABC 中， AB=AC ，過點 A 作 GE C圖 8AMPCOQ NB圖 9AEFHDBCGE BC，角平分線 BD 、CF 相交于點H，它們的延長線分別交 GE 于點 E、 G試在圖10 中找出 3對全等三角形，并對其中一對全等三角形給出證明P 圖105已知：如圖 11，點 C、 D 在線段AB 上， PC=PD 請你添加一個條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明所添條件為 _ ，你得到的一對全等三角形是_ _6如圖 12， 1= 2，BC=EF ，那么需要ACDB圖 11AF補充一個直接條件_（寫出一個即可） ，才能BCAE使 ABC DEF圖12D7如圖 13，在 ABD 和 A

12、CD 中， AB=AC ， B= CBC求證： ABD ACD DC D圖 138如圖 14，直線 AD 與 BC 相交于點 O，O且 AC=BD ， AD=BC A求證： CO=DO A 圖14B9已知 ABC ， AB=AC ，E、 F 分別E為 AB 和 AC 延長線上的點，且 BE=CF ，EFCABG交 BC 于 G求證： EG=GF 圖15F10已知：如圖 16， AB=AE ， BC=ED ，BE點 F 是 CD 的中點， AFCDCFD求證： B= E圖 1611如圖 17，某同學(xué)把一把三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊大小形狀完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（

13、）( A ) 帶和去(B) 帶去( C) 帶去(D) 帶去圖 1712有一專用三角形模具，損壞后，只剩下如圖 18 中的陰影部分，你對圖中做哪些數(shù)據(jù)度量后，就可以重新制作一塊與原模具完全一樣的模具，并說明其中的道理圖 1813如圖 19，將兩根鋼條AA' 、 BB' 的中點O 連在一起，使AA' 、BB' 可以繞著點 O 自由轉(zhuǎn)動， 就做成了一個測量工件，則 A' B' 的長等于內(nèi)槽寬 AB ，那么判定 OAB OAB 的理由是（ ）（ A ）邊角邊（B ）角邊角（ C）邊邊邊（ D）角角邊圖 19專題二 角的平分線從一個角的頂點出發(fā)， 把一個角

14、分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線 角的平分線有著重要的作用，它不僅把角分成相等的兩部分，而且角的平分線上的點到角兩邊的距離相等，到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上， 再加上角的平分線所在的直線是角的對稱軸因此當(dāng)題目中有角的平分線時，可根據(jù)角的平分線性質(zhì)證明線段或角相等，或利用角的平分線構(gòu)造全等三角形或等腰三角形來尋找解題思路O（ 1）利用角的平分線的性質(zhì)證明線段或角相等1 2例 6 如圖 20， 1 2，AEOB 于 E，DEBD OA 于 D，交點為 C34CAB求證： AC=BC 圖 20證法： AE OB， BD OA ， ADC= BEC= 90 1 2， CD=C

15、E 在 ACD 和 BCE 中， ADC= BEC， CD=CE ， 3 4 ACD BCE(ASA) ， AC=BC 說明：本題若用全等方法證明點 C 到 OA 、 OB 距離相等，浪費時間和筆墨，不如直接應(yīng)用角平分線性質(zhì)證明， 原因在于同學(xué)們已經(jīng)習(xí)慣了用全等的方法， 不善于直接應(yīng)用定理， 仍去找全等三角形， 結(jié)果相當(dāng)于重新證明了一次定理， 以后再學(xué)新定理， 應(yīng)用時要注意全等定勢的干擾， 注意采用簡捷A證法例 7 已知：如圖21， ABC 中， BD=CD ， 1E2求證： AD 平分 BAC 1D證明：過 D 作 DE AB 于 E，DF AC 于 FB圖 21在 BED 與 CFD 中， 1 2， BED CFD 90 BED CFD(AAS) DEDF ， AD 平分 BAC F2C， BD=C