高中數(shù)學(xué)高初中銜接讀本

1、第一講 數(shù)與式1.1 數(shù)與式的運(yùn)算例1 解不等式：4解法一：由，得；由，得；若，不等式可變?yōu)椋?，解得x0，又x1，x0；若，不等式可變?yōu)?，?4，不存在滿足條件的x；若，不等式可變?yōu)?，?， 解得x4又x3，x4綜上所述，原不等式的解為 x0，或x413abx04cdxp|x1|x3|圖111解法二：如圖111，表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)p到坐標(biāo)為1的點(diǎn)a之間的距離|pa|，即|pa|x1|；|x3|表示x軸上點(diǎn)p到坐標(biāo)為2的點(diǎn)b之間的距離|pb|，即|pb|x3|所以，不等式4的幾何意義即為|pa|pb|4由|ab|2，可知點(diǎn)p 在點(diǎn)c(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點(diǎn)p在點(diǎn)d(坐標(biāo)為4)的右側(cè) x0

2、，或x4練 習(xí)1填空：（1）若，則x=_；若，則x=_.（2）如果，且，則b_；若，則c_.2選擇題：下列敘述正確的是 （ ）（a）若，則 （b）若，則 （c）若，則 （d）若，則3化簡(jiǎn)：|x5|2x13|（x5）習(xí)題11a 組1解不等式： (1) ； (2) ； (3) 已知，求的值3填空：（1）_；（2）若，則的取值范圍是_；（3）_b 組1填空： （1），則_ _；（2）若，則_ _；2已知：，求的值c 組1選擇題：（1）若，則 （ ） （a） （b） （c） （d）（2）計(jì)算等于 （ ）（a） （b） （c） （d）2解方程3計(jì)算：4試證：對(duì)任意的正整數(shù)n，有第二講 函數(shù)與方程2.1

3、一元二次方程一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值是一個(gè)重要的量，今后我們經(jīng)常會(huì)遇到求這一個(gè)量的問(wèn)題，為了解題簡(jiǎn)便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)x1和x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則，| x1x2| 于是有下面的結(jié)論：若x1和x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則| x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值時(shí)，可以直接利用上面的結(jié)論例1 若關(guān)于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，則 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得 a4，由得 aa的取值范圍是a4a 組1選擇題:（1

4、）已知關(guān)于x的方程x2kx20的一個(gè)根是1，則它的另一個(gè)根是（ ） （a）3 （b）3 （c）2 （d）2（2）下列四個(gè)說(shuō)法： 方程x22x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程x22x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程3 x270的兩根之和為0，兩根之積為；方程3 x22x0的兩根之和為2，兩根之積為0其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是 （ ） （a）1個(gè) （b）2個(gè) （c）3個(gè) （d）4個(gè)（3）關(guān)于x的一元二次方程ax25xa2a0的一個(gè)根是0，則a的值是（ ）（a）0 （b）1 （c）1 （d）0，或12填空:（1）方程kx24x10的兩根之和為2，則k （2）方程2x2x40的兩根為，則22 （

5、3）已知關(guān)于x的方程x2ax3a0的一個(gè)根是2，則它的另一個(gè)根是 （4）方程2x22x10的兩根為x1和x2，則| x1x2| 3試判定當(dāng)m取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程m2x2(2m1) x10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？沒(méi)有實(shí)數(shù)根？4求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程x27x10各根的相反數(shù)b 組1選擇題:若關(guān)于x的方程x2(k21) xk10的兩根互為相反數(shù)，則k的值為 （ ） （a）1，或1 （b）1 （c）1 （d）02填空:（1）若m，n是方程x22005x10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2nmn2mn的值等于 （2）如果a，b是方程x2x10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式a3

6、a2bab2b3的值是 3已知關(guān)于x的方程x2kx20（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩根為x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，求實(shí)數(shù)k的取值范圍4一元二次方程ax2bxc0（a0）的兩根為x1和x2求：（1）| x1x2|和；（2）x13x235關(guān)于x的方程x24xm0的兩根為x1，x2滿足| x1x2|2，求實(shí)數(shù)m的值c 組1選擇題：（1）已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)恰好是方程2x28x70的兩根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于 （ ） （a） （b）3 （c）6 （d）9（2）若x1，x2是方程2x24x10的兩個(gè)根，則的值為 （ ） （a）6 （b）4 （c）

7、3 （d）（3）如果關(guān)于x的方程x22(1m)xm20有兩實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為 （ ） （a） （b） （c）1 （d）1 （4）已知a，b，c是abc的三邊長(zhǎng)，那么方程cx2(ab)x0的根的情況是 （ ） （a）沒(méi)有實(shí)數(shù)根 （b）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（c）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 （d）有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根2填空：若方程x28xm0的兩根為x1，x2，且3x12x218，則m 3 已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程4kx24kxk10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根（1）是否存在實(shí)數(shù)k，使(2x1x2)( x12 x2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由；（2）求使2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值；（3）若k

8、2，試求的值4已知關(guān)于x的方程（1）求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根；（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿足|x2|x1|2，求m的值及相應(yīng)的x1，x25若關(guān)于x的方程x2xa0的一個(gè)大于1、零一根小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍22 二次函數(shù)2.2.1 二次函數(shù)yax2bxc的圖像和性質(zhì)問(wèn)題1 函數(shù)yax2與yx2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？為了研究這一問(wèn)題，我們可以先畫出y2x2，yx2，y2x2的圖象，通過(guò)這些函數(shù)圖象與函數(shù)yx2的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)yax2與yx2的圖象之間所存在的關(guān)系先畫出函數(shù)yx2，y2x2的圖象先列表：x3210123x294101492x

9、2188202818yx2y2x2圖2.2-1xoy從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應(yīng)的x2的值擴(kuò)大兩倍就可以了再描點(diǎn)、連線，就分別得到了函數(shù)yx2，y2x2的圖象（如圖21所示），從圖21我們可以得到這兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y2x2的圖象可以由函數(shù)yx2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍得到同學(xué)們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)yx2，y2x2的圖象，并研究這兩個(gè)函數(shù)圖象與函數(shù)yx2的圖象之間的關(guān)系圖2.2-2xyo1y2x2y2(x1)2y2(x1)21通過(guò)上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)yax2(a0)的圖象可以由yx2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的a倍得到在二次函

10、數(shù)yax2(a0)中，二次項(xiàng)系數(shù)a決定了圖象的開口方向和在同一個(gè)坐標(biāo)系中的開口的大小問(wèn)題2 函數(shù)ya(xh)2k與yax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？同樣地，我們可以利用幾個(gè)特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來(lái)研究它們之間的關(guān)系同學(xué)們可以作出函數(shù)y2(x1)21與y2x2的圖象（如圖22所示），從函數(shù)的同學(xué)我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y2x2的圖象向左平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位，就可以得到函數(shù)y2(x1)21的圖象這兩個(gè)函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點(diǎn)類似地，還可以通過(guò)畫函數(shù)y3x2，y3(x1)21的圖象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系通過(guò)上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)ya(xh)

11、2k(a0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移”由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象的方法：由于yax2bxca(x2)ca(x2)c ，所以，yax2bxc(a0)的圖象可以看作是將函數(shù)yax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)yax2bxc(a0)具有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)yax2bxc圖象開口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線x；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而減?。划?dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取最小值y（2）當(dāng)

12、a0時(shí)，函數(shù)yax2bxc圖象開口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線x；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而減?。划?dāng)x時(shí)，函數(shù)取最大值y xyoxa圖2.2-3xyoxa圖2.2-4上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過(guò)圖223和圖224直觀地表示出來(lái)因此，在今后解決二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解決問(wèn)題2.2.2 二次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用一、函數(shù)圖象的平移變換與對(duì)稱變換1平移變換問(wèn)題1 在把二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí)，有什么特點(diǎn)？依據(jù)這一特點(diǎn)，可以怎樣來(lái)研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在對(duì)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí)，具有這樣的特點(diǎn)只改變函數(shù)圖象的位置、不改變其

13、形狀，因此，在研究二次函數(shù)的圖象平移問(wèn)題時(shí)，只需利用二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)式研究其頂點(diǎn)的位置即可例1 求把二次函數(shù)yx24x3的圖象經(jīng)過(guò)下列平移變換后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式：（1）向右平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位；（2）向上平移3個(gè)單位，向左平移2個(gè)單位分析：由于平移變換只改變函數(shù)圖象的位置而不改變其形狀（即不改變二次項(xiàng)系數(shù)），所以只改變二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置（即只改變一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)），所以，首先將二次函數(shù)的解析式變形為頂點(diǎn)式，然后，再依據(jù)平移變換后的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置求出平移后函數(shù)圖像所對(duì)應(yīng)的解析式解：二次函數(shù)y2x24x3的解析式可變?yōu)?y2(x1)21，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)（1

14、）把函數(shù)y2(x1)21的圖象向右平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位后，其函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(3，2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就為 y2(x3)22（2）把函數(shù)y2(x1)21的圖象向上平移3個(gè)單位，向左平移2個(gè)單位后，其函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1， 2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就為 y2(x1)222對(duì)稱變換問(wèn)題2 在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對(duì)稱變換時(shí)，有什么特點(diǎn)？依據(jù)這一特點(diǎn)，可以怎樣來(lái)研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對(duì)稱變換時(shí)，具有這樣的特點(diǎn)只改變函數(shù)圖象的位置或開口方向、不改變其

15、形狀，因此，在研究二次函數(shù)圖象的對(duì)稱變換問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是要抓住二次函數(shù)的頂點(diǎn)位置和開口方向來(lái)解決問(wèn)題xyox1a(1,1)a1(3,1)圖2.27例2 求把二次函數(shù)y2x24x1的圖象關(guān)于下列直線對(duì)稱后所得到圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式：（1）直線x1；（2）直線y1解：（1）如圖227，把二次函數(shù)y2x24x1的圖象關(guān)于直線x1作對(duì)稱變換后，只改變圖象的頂點(diǎn)位置，不改變其形狀由于y2x24x12(x1)21，可知，函數(shù)y2x24x1圖象的頂點(diǎn)為a(1,1)，所以，對(duì)稱后所得到圖象的頂點(diǎn)為a1(3，1)，所以，二次函數(shù)y2x24x1的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為y2(x3)21，即y2

16、x212x17xyoy1a(1,1)b(1，3)圖2.28（2）如圖228，把二次函數(shù)y2x24x1的圖象關(guān)于直線x1作對(duì)稱變換后，只改變圖象的頂點(diǎn)位置和開口方向，不改變其形狀由于y2x24x12(x1)21，可知，函數(shù)y2x24x1圖象的頂點(diǎn)為a(1,1)，所以，對(duì)稱后所得到圖象的頂點(diǎn)為b(1，3)，且開口向下，所以，二次函數(shù)y2x24x1的圖象關(guān)于直線y1對(duì)稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為y2(x1)23，即y2x24x1二、分段函數(shù)一般地，如果自變量在不同取值范圍內(nèi)時(shí)，函數(shù)由不同的解析式給出，這種函數(shù)，叫作分段函數(shù) 例3 在國(guó)內(nèi)投遞外埠平信，每封信不超過(guò)20g付郵資80分，超過(guò)20g不超過(guò)4

17、0g付郵資160分，超過(guò)40g不超過(guò)60g付郵資240分，依此類推，每封xg(0x100)的信應(yīng)付多少郵資（單位：分）？寫出函數(shù)表達(dá)式，作出函數(shù)圖象分析：由于當(dāng)自變量x在各個(gè)不同的范圍內(nèi)時(shí)，應(yīng)付郵資的數(shù)量是不同的所以，可以用分段函數(shù)給出其對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式在解題時(shí)，需要注意的是，當(dāng)x在各個(gè)小范圍內(nèi)（如20x40）變化時(shí)，它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值（郵資）并不變化（都是160分）解：設(shè)每封信的郵資為y（單位：分），則y是x的函數(shù)這個(gè)函數(shù)的解析式為x(克)y(分)o圖2.29 20 40 60 80 10040032024016080 由上述的函數(shù)解析式，可以得到其圖象如圖229所示acbdp圖10例4如圖9

18、2所示，在邊長(zhǎng)為2的正方形abcd的邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)p，從點(diǎn)a出發(fā)沿折線abcd移動(dòng)一周后，回到a點(diǎn)設(shè)點(diǎn)a移動(dòng)的路程為x，pac的面積為y（1）求函數(shù)y的解析式；（2）畫出函數(shù)y的圖像； （3）求函數(shù)y的取值范圍分析：要對(duì)點(diǎn)p所在的位置進(jìn)行分類討論解：（1）當(dāng)點(diǎn)p在線段ab上移動(dòng)（如圖2210），即0x2時(shí)，yx；當(dāng)點(diǎn)p在線段bc上移動(dòng)（如圖2210），即2x4時(shí)，y4x；當(dāng)點(diǎn)p在線段cd上移動(dòng)（如圖2210），即4x6時(shí)，yx4；當(dāng)點(diǎn)p在線段da上移動(dòng)（如圖2210），即6x8時(shí)，abcdp acbdp acbdp adbcp 圖2.210y8x綜上所述，函數(shù)f（x）的解析式為（2）函數(shù)y的圖

19、像如圖2211所示xyo22468圖11（3）由函數(shù)圖像可知，函數(shù)y的取值范圍是0y2練 習(xí)1選擇題：（1）把函數(shù)y(x1)24的圖象向左平移2個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式為 （ ） （a）y (x1)21 （b）y(x1)21 （c）y(x3)24 （d）y(x3)21（2）把函數(shù)y2(x3)23的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為 （ ） （a）y2 (x1)23 （b）y2 (x1)23 （c）y2 (x1)23 （d）y2 (x1)23 （3）把函數(shù)y2(x3)23的圖象關(guān)于直線y2對(duì)稱后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為 （ ） （a）y2 (x1)23

20、（b）y2 (x3)23 （c）y2 (x3)21 （d）y2 (x3)23 2填空：（1）已知函數(shù) 則當(dāng)x4時(shí)，y ；當(dāng)x4時(shí)，y （2）把二次函數(shù)y2x2+4x1的函數(shù)圖象向 平移 單位后，得到的圖象所對(duì)應(yīng)的解析式為y2x27；再向 平移 個(gè)單位后，得到的圖象所對(duì)應(yīng)的解析式為y2x21；再將其關(guān)于 對(duì)稱后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y2x253已知點(diǎn)p是邊長(zhǎng)為1的正方形abcd的頂點(diǎn)a出發(fā)，順次經(jīng)過(guò)b，c，d移動(dòng)一周后回到點(diǎn)a，設(shè)x表示點(diǎn)p的行程，y表示線段pa的長(zhǎng)，試求y關(guān)于x的函數(shù)習(xí)題22a 組1選擇題：（1）把函數(shù)y(x1)24的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 （ ） （a）（1，4） （b）（

21、1，4） （c）（1，4） （d）（1，4）（2）函數(shù)yx24x6的最值情況是 （ ） （a）有最大值6 （b）有最小值6 （c）有最大值10 （d）有最大值2（3）函數(shù)y2x24x5中，當(dāng)3x2時(shí)，則y值的取值范圍是 （ ） （a）3y1 （b）7y1 （c）7y11 （d）7y11 2填空：（1）已知某二次函數(shù)的圖象與x軸交于a(2，0)，b(1，0)，且過(guò)點(diǎn)c（2，4），則該二次函數(shù)的表達(dá)式為 （2）已知某二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（1，0），（0，3），（1，4），則該函數(shù)的表達(dá)式為 3把已知二次函數(shù)y2x24x7的圖象向下平移3個(gè)單位，在向右平移4個(gè)單位，求所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式4已知某二

22、次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為a（2，18），它與x軸兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為6，求該二次函數(shù)的解析式b 組1填空：（1）將二次函數(shù)y2x24x7的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為 ；再將該圖象關(guān)于直線y2對(duì)稱，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為 （2）函數(shù)yx24x2在0x3上的最大值為 ，最小值為 （3）函數(shù)y=x2+4ax+2在x6時(shí)，y隨著x的增大而減小，則a的取值范圍是 25432某市空調(diào)公共汽車的票價(jià)按下列規(guī)則制定：（1）5km以內(nèi)，票價(jià)2元； （2）5km以上，每增加5km，票價(jià)增加1元（所增加的里程，不足5km的按5km的按5km計(jì)算）已知兩個(gè)相鄰的公共汽車站間相距1km，如果沿途（

23、包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站）有21個(gè)汽車站，請(qǐng)根據(jù)題意，寫出票價(jià)與里程之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)圖象c 組第2題1已知二次函數(shù)ya(x)2+25的最大值為25，且方程a(x)2+250兩根的立方和為19，求函數(shù)表達(dá)式2如圖，某農(nóng)民要用12m的竹籬笆在墻邊圍出一塊一面為墻、另三面為籬笆的矩形地供他圈養(yǎng)小雞已知墻的長(zhǎng)度為6m，問(wèn)怎樣圍才能使得該矩形面積最大？3把二次函數(shù)y2x24x3的圖象向下平移3個(gè)單位后，所得圖象記為c1；再把c1向右平移2個(gè)單位的圖象再將c2沿著直線y2對(duì)稱得圖象c3；最后，再將c3以原點(diǎn)為對(duì)稱中心作其中心對(duì)稱圖形得到c4分別求出c1，c2，c3，c4所對(duì)應(yīng)函數(shù)的表達(dá)式2.3 方程

24、與不等式2.3.1 二元二次方程組解法方程 是一個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程,這樣的方程叫做二元二次方程其中,叫做這個(gè)方程的二次項(xiàng),叫做一次項(xiàng),6叫做常數(shù)項(xiàng)我們看下面的兩個(gè)方程組： 第一個(gè)方程組是由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的，第二個(gè)方程組是由兩個(gè)二元二次方程組成的，像這樣的方程組叫做二元二次方程組下面我們主要來(lái)研究由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的方程組的解法一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的方程組一般可以用代入消元法來(lái)解例1 解方程組 分析：二元二次方程組對(duì)我們來(lái)說(shuō)較為生疏，在解此方程組時(shí)，可以將其轉(zhuǎn)化為我們熟悉的形式注意到方程是一

25、個(gè)一元一次方程，于是，可以利用該方程消去一個(gè)元，再代入到方程，得到一個(gè)一元二次方程，從而將所求的較為生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的問(wèn)題解：由,得 x2y2， 把代入,整理,得 8y28y0，即 y(y1)0 解得 y10，y21 把y10代入, 得 x12； 把y21代入, 得x20 所以原方程組的解是 說(shuō)明：在解類似于本例的二元二次方程組時(shí)，通常采用本例所介紹的代入消元法來(lái)求解例2 解方程組 解法一：由，得 把代入，整理，得解這個(gè)方程，得把代入，得；把代入，得所以原方程的解是 解法二：對(duì)這個(gè)方程組，也可以根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，把看作一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根，通過(guò)解這個(gè)一元二次方程來(lái)

26、求這個(gè)方程組的是一元二次方程的兩個(gè)根，解這個(gè)方程，得，或所以原方程組的解是練 習(xí)1下列各組中的值是不是方程組的解?（1） （2） （3） （4） 2解下列方程組:（1） （2）（3） （4）2.3.2 一元二次不等式解法二次函數(shù)yx2x6的對(duì)應(yīng)值表與圖象如下：x32101234y60466406xo23yx2x6yy0y0y0圖2.31由對(duì)應(yīng)值表及函數(shù)圖象(如圖2.31)可知當(dāng)x2，或x3時(shí)，y0，即x2x60；當(dāng)x2，或x3時(shí)，y0，即x2x60；當(dāng)2x3時(shí)，y0，即x2x60這就是說(shuō)，如果拋物線y= x2x6與x軸的交點(diǎn)是(2，0)與(3，0)，那么一元二次方程x2x60的解就是x12，x

27、23；同樣，結(jié)合拋物線與x軸的相關(guān)位置，可以得到一元二次不等式x2x60的解是 x2，或x3；一元二次不等式 x2x60的解是 2x3上例表明：由拋物線與x軸的交點(diǎn)可以確定對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解和對(duì)應(yīng)的一元二次不等式的解集 那么，怎樣解一元二次不等式ax2bxc0(a0)呢？ 我們可以用類似于上面例子的方法，借助于二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象來(lái)解一元二次不等式ax2bxc0(a0) 為了方便起見(jiàn)，我們先來(lái)研究二次項(xiàng)系數(shù)a0時(shí)的一元二次不等式的解xyox1x2xyox1= x2yxo圖2.32我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2bxc0(a0)，設(shè)b24ac，它的解的情形按照0，=0，0分別

28、為下列三種情況有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解和沒(méi)有實(shí)數(shù)解，相應(yīng)地，拋物線yax2bxc（a0）與x軸分別有兩個(gè)公共點(diǎn)、一個(gè)公共點(diǎn)和沒(méi)有公共點(diǎn)(如圖2.32所示)，因此，我們可以分下列三種情況討論對(duì)應(yīng)的一元二次不等式ax2bxc0（a0）與ax2bxc0（a0）的解（1）（1）當(dāng)0時(shí)，拋物線yax2bxc（a0）與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)(x1，0)和(x2，0)，方程ax2bxc0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1和x2(x1x2)，由圖2.32可知不等式ax2bxc0的解為 xx1，或xx2； 不等式ax2bxc0的解為 x1xx2 （2）當(dāng)0時(shí)，拋物線yax2bxc（a0）與x軸有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)

29、，方程ax2bxc0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1x2，由圖2.32可知不等式ax2bxc0的解為 x； 不等式ax2bxc0無(wú)解（3）如果0，拋物線yax2bxc（a0）與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，方程ax2bxc0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，由圖2.32可知不等式ax2bxc0的解為一切實(shí)數(shù)；不等式ax2bxc0無(wú)解今后，我們?cè)诮庖辉尾坏仁綍r(shí)，如果二次項(xiàng)系數(shù)大于零，可以利用上面的結(jié)論直接求解；如果二次項(xiàng)系數(shù)小于零，則可以先在不等式兩邊同乘以1，將不等式變成二次項(xiàng)系數(shù)大于零的形式，再利用上面的結(jié)論去解不等式例3 解不等式： （1）x22x30； （2）xx260； （3）4x24x10； （4）x26x90； （5）4x

30、x20 解：（1）0，方程x22x30的解是 x13，x21 不等式的解為 3x1 （2）整理，得 x2x60 0，方程x2x6=0的解為 x12，x23所以，原不等式的解為 x2，或x3（3）整理，得 (2x1)20.由于上式對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，原不等式的解為一切實(shí)數(shù)（4）整理，得 (x3)20.由于當(dāng)x3時(shí)，(x3)20成立；而對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，(x3)20都不成立，原不等式的解為 x3（5）整理，得 x2x400，所以，原不等式的解為一切實(shí)數(shù)例4 已知不等式的解是求不等式的解解：由不等式的解為，可知，且方程的兩根分別為2和3，即 由于，所以不等式可變?yōu)?，即 整理，得 所以，不等式的解是

31、x1，或x說(shuō)明：本例利用了方程與不等式之間的相互關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題例5 解關(guān)于的一元二次不等式為實(shí)數(shù)).分析 對(duì)于一元二次不等式,按其一般解題步驟,首先應(yīng)該將二次項(xiàng)系數(shù)變成正數(shù),本題已滿足這一要求,欲求一元二次不等式的解,要討論根的判別式的符號(hào),而這里的是關(guān)于未知系數(shù)的代數(shù)式, 的符號(hào)取決于未知系數(shù)的取值范圍，因此,再根據(jù)解題的需要,對(duì)的符號(hào)進(jìn)行分類討論. 解: , 當(dāng) 所以,原不等式的解集為 或； 當(dāng)0，即a±2時(shí)，原不等式的解為 x； 當(dāng)為一切實(shí)數(shù) . 綜上,當(dāng)a2，或a2時(shí)，原不等式的解是 或；當(dāng)為一切實(shí)數(shù) 例6 已知函數(shù)yx22ax1(a為常數(shù))在2x1上的最小值為n，試將n用a

32、表示出來(lái)分析：由該函數(shù)的圖象可知，該函數(shù)的最小值與拋物線的對(duì)稱軸的位置有關(guān)，于是需要對(duì)對(duì)稱軸的位置進(jìn)行分類討論 解：y(xa)21a2， 拋物線yx22ax1的對(duì)稱軸方程是xa （1）若2a可知,當(dāng)xa時(shí)，該函數(shù)取最小值 n1a2； (2)若a可知, 當(dāng)x-2時(shí)，該函數(shù)取最小值 n4a+5； (2)若a1可知, 當(dāng)x1時(shí)，該函數(shù)取最小值 n-2a+2. 綜上,函數(shù)的最小值為 圖2.33yo21xaxxyo21xaxyo21xa練 習(xí)1解下列不等式：（1）3x2x40； （2）x2x120；（3）x23x40； （4）168xx20 x的不等式x22x1a20（a為常數(shù)）習(xí)題23a 組1解下列方

33、程組：（1） （2）（3）2解下列不等式： （1）3x22x10； （2）3x240； （3）2xx21； （4）4x20b 組1取什么值時(shí),方程組有一個(gè)實(shí)數(shù)解?并求出這時(shí)方程組的解2解關(guān)于x的不等式x2(1a)xa0（a為常數(shù)）c 組1已知關(guān)于x不等式2x2bxc0的解為x1，或x3試解關(guān)于x的不等式bx2cx402試求關(guān)于x的函數(shù)yx2mx2在0x2上的最大值k第三講 三角形與圓3.2 三角形321 三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面圖形，很多較復(fù)雜的圖形問(wèn)題可以化歸為三角形的問(wèn)題.如圖3.2-1 ，在三角形中，有三條邊，三個(gè)角，三個(gè)頂點(diǎn)，在三角形中，角平分線、中線、高（如圖3.2-

34、2）是三角形中的三種重要線段. 三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內(nèi)部，恰好是每條中線的三等分點(diǎn).例1 求證三角形的三條中線交于一點(diǎn)，且被該交點(diǎn)分成的兩段長(zhǎng)度之比為2：1.已知 d、e、f分別為三邊bc、ca、ab的中點(diǎn)，求證 ad、be、cf交于一點(diǎn)，且都被該點(diǎn)分成2：1.證明 連結(jié)de，設(shè)ad、be交于點(diǎn)g，d、e分別為bc、ae的中點(diǎn)，則de/ab，且，且相似比為1：2，.設(shè)ad、cf交于點(diǎn)，同理可得，則與重合， ad、be、cf交于一點(diǎn)，且都被該點(diǎn)分成.三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，是三角形的內(nèi)心. 三角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，它到三角形的三

35、邊的距離相等.（如圖3.2-5）例2 已知的三邊長(zhǎng)分別為，i為的內(nèi)心，且i在的邊上的射影分別為，求證：.證明 作的內(nèi)切圓，則分別為內(nèi)切圓在三邊上的切點(diǎn)，為圓的從同一點(diǎn)作的兩條切線，同理，bd=bf，cd=ce.即.例3 若三角形的內(nèi)心與重心為同一點(diǎn)，求證：這個(gè)三角形為正三角形.已知 o為三角形abc的重心和內(nèi)心.求證 三角形abc為等邊三角形.證明 如圖，連ao并延長(zhǎng)交bc于d.o為三角形的內(nèi)心，故ad平分，（角平分線性質(zhì)定理）o為三角形的重心，d為bc的中點(diǎn)，即bd=dc.，即.同理可得，ab=bc.為等邊三角形.三角形的三條高所在直線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三角形的垂心.銳角三角形的垂心一定在

36、三角形的內(nèi)部，直角三角形的垂心為他的直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.（如圖3.2-8）例4 求證：三角形的三條高交于一點(diǎn).已知 中，ad與be交于h點(diǎn).求證 .證明 以ch為直徑作圓，在以ch為直徑的圓上，.同理，e、d在以ab為直徑的圓上，可得.，又與有公共角，即.過(guò)不共線的三點(diǎn)a、b、c有且只有一個(gè)圓，該圓是三角形abc的外接圓，圓心o為三角形的外心.三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點(diǎn).練習(xí)11求證：若三角形的垂心和重心重合，求證：該三角形為正三角形.2 （1） 若三角形abc的面積為s，且三邊長(zhǎng)分別為，則三角形的內(nèi)切圓的半徑是_;（2）若直角三角形的三邊

37、長(zhǎng)分別為（其中為斜邊長(zhǎng)），則三角形的內(nèi)切圓的半徑是_. 并請(qǐng)說(shuō)明理由.332 點(diǎn)的軌跡在幾何中，點(diǎn)的軌跡就是點(diǎn)按照某個(gè)條件運(yùn)動(dòng)形成的圖形，它是符合某個(gè)條件的所有點(diǎn)組成的.例如，把長(zhǎng)度為的線段的一個(gè)端點(diǎn)固定，另一個(gè)端點(diǎn)繞這個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周就得到一個(gè)圓，這個(gè)圓上的每一個(gè)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離都等于；同時(shí)，到定點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的軌跡.我們把符合某一條件的所有的點(diǎn)組成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡.這里含有兩層意思：（1）圖形是由符合條件的那些點(diǎn)組成的，就是說(shuō)，圖形上的任何一點(diǎn)都滿足條件；（2）圖形包含了符合條件的所有的點(diǎn)，就是說(shuō)，符合條件的任何一點(diǎn)都在圖形上.下面，我們討論一些常見(jiàn)的平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡.從上

38、面對(duì)圓的討論，可以得出：（1） 到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓.我們學(xué)過(guò)，線段垂直平分線上的每一點(diǎn)，和線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過(guò)來(lái)，和線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，都在這條線段的垂直平分線上.所以有下面的軌跡：（2） 和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線.由角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理，同樣可以得到另一個(gè)軌跡：（3） 到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線.例3 o過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)、，圓心的軌跡是什么？畫出它的圖形.分析 如圖3.3-11，如果以點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，那么；反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)點(diǎn)到、兩點(diǎn)距離相等，即，那么以為圓心，oa

39、為半徑的圓一定經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn).這就是說(shuō)，過(guò)、點(diǎn)的圓的圓心的軌跡，就是到、兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡，即和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡.答：經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)的圓的圓心o的軌跡是線段的垂直平分線.練習(xí)21畫圖說(shuō)明滿足下列條件的點(diǎn)的軌跡：（1） 到定點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的軌跡；（2） 到直線的距離等于的點(diǎn)的軌跡；（3） 已知直線，到、的距離相等的點(diǎn)的軌跡. 2畫圖說(shuō)明，到直線的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡.a組1 已知弓形弦長(zhǎng)為4，弓形高為1，則弓形所在圓的半徑為（ ）a b c3 d42 在半徑等于4的圓中，垂直平分半徑的弦長(zhǎng)為（ ）a b c d3 ab為o的直徑，弦，e為垂足，若be=6，ae=4，則cd等于（ ）

40、a b c d4 如圖3.3-12，在o中，e是弦ab延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，已知ob=10cm,oe=12cm，求ab。b組1 如圖3.3-13，已知在中，以c為圓心，ca為半徑的圓交斜邊于d，求ad。2 如圖3.3-14，在直徑為100mm的半圓鐵片上切去一塊高為20mm的弓形鐵片，求弓形的弦ab的長(zhǎng)。3 如圖3.3-15，內(nèi)接于o，d為的中點(diǎn)，于e。求證：ad平分。4 如圖3.3-16，c、d是的三等分點(diǎn)，ab分別交oc、od于點(diǎn)e、f，求證：ae=bf=cd。5 已知線段.畫出到點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的軌跡，再畫出到點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的軌跡，指出到點(diǎn)的距離等于，且到點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？參

41、考答案第一講 數(shù)與式1.1.1絕對(duì)值1（1）； （2）；或 2d 33x18習(xí)題11a組1（1）或 （2）4x3 （3）x3，或x321 3（1） （2） （3） b組1（1） （2），或 24c組1（1）c （2）c 2 34提示：第二講 函數(shù)與方程2.1 一元二次方程練習(xí)1 （1）c （2）d 2 （1）3 （2）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 （3）x22x303k4，且k041 提示：(x13)( x23)x1 x23(x1x2)9習(xí)題21a 組1 （1）c （2）b 提示：和是錯(cuò)的，對(duì)于，由于方程的根的判別式0，所以方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；對(duì)于，其兩根之和應(yīng)為 （3）c 提示：當(dāng)a0時(shí)，方程不是一元二次方程，不合題意2 （1）2 （2） （3）6 （3）3當(dāng)m，且m0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)m時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)m時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根4設(shè)已知方