[數(shù)學(xué)]6第六章 統(tǒng)計(jì)量及其分布ppt課件

1、u 總體總體 個(gè)體個(gè)體 樣本樣本u 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量u 抽樣分布定理抽樣分布定理第六章 統(tǒng)計(jì)量及其分布 從歷史的典籍中，人們不難發(fā)現(xiàn)許多關(guān)于錢糧、戶口、地震、水災(zāi)等等的記載，闡明人們很早就開場了統(tǒng)計(jì)的任務(wù) . 但是當(dāng)時(shí)的統(tǒng)計(jì)，只是對有關(guān)現(xiàn)實(shí)的簡單記錄和整理，而沒有在一定實(shí)際的指點(diǎn)下，作出超越這些數(shù)據(jù)范圍之外的推斷. 到了十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初，隨著近代數(shù)學(xué)和概率論的開展，才真正誕生了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)這門學(xué)科.6.1 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)簡介一 什么是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué) 研討隨機(jī)景象規(guī)律性的一門學(xué)科研討隨機(jī)景象規(guī)律性的一門學(xué)科, ,以概率論以概率論問題作出推斷、預(yù)測和決策.資料,對數(shù)據(jù)進(jìn)展分析(統(tǒng)計(jì)分析)從而對所研討的為根底

2、,研討如何用有效的方法搜集和利用數(shù)據(jù) 詳細(xì)地說詳細(xì)地說, ,就是研討從一定總體中隨機(jī)抽出就是研討從一定總體中隨機(jī)抽出一部分一部分( (樣本樣本),),對樣本的性質(zhì)進(jìn)展研討對樣本的性質(zhì)進(jìn)展研討, ,以對總以對總體的性質(zhì)作出推測性判別的科學(xué)體的性質(zhì)作出推測性判別的科學(xué)( (例如例如, ,產(chǎn)質(zhì)量產(chǎn)質(zhì)量量量, ,人均收入人均收入).).為什么要用樣本去推測和判別總體的性質(zhì),主要有以下幾個(gè)緣由: 破壞性 數(shù)量宏大由于是用部分去推斷總體的性質(zhì),所以得出的結(jié)論就不一定完全正確,分析方法的關(guān)鍵是使能夠產(chǎn)生的錯(cuò)誤越小越好,以對所提問題作出盡能夠正確的結(jié)論. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)和概率論有著親密的聯(lián)絡(luò),概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的根底

3、,數(shù)理統(tǒng)計(jì)是概率論的運(yùn)用. 概率論是將事件出現(xiàn)的頻率籠統(tǒng)為概率的概念進(jìn)展研討,并由此建立了隨機(jī)變量的概率分布的根本實(shí)際.數(shù)理統(tǒng)計(jì)那么是直接從隨機(jī)景象的觀測值去研討其客觀規(guī)律性.二 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的根本內(nèi)容 統(tǒng)計(jì)推斷根據(jù)實(shí)踐問題的不同要求,產(chǎn)生了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的眾多研討分支.本課程偏重于概括起來分為兩大類:實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)和研討例1 某鋼筋廠日產(chǎn)鋼筋10000根,質(zhì)量檢查員每天抽查其中50根的強(qiáng)度. (1)如何從這50根鋼筋的強(qiáng)度數(shù)據(jù)去估計(jì)整批10000根的強(qiáng)度平均值,如何估計(jì)整批鋼筋強(qiáng)度偏離平均值的離散程度?(2)假設(shè)規(guī)定了這種鋼筋的規(guī)范強(qiáng)度,如何由抽查的50個(gè)強(qiáng)度數(shù)據(jù)判別整批鋼筋的平均強(qiáng)度與規(guī)范強(qiáng)度有無差

4、別?(于是可提出很多問題)此問題為參數(shù)估計(jì).此問題為假設(shè)檢驗(yàn).(3)抽查的50個(gè)強(qiáng)度數(shù)據(jù)有大有小,假設(shè)當(dāng)天消費(fèi)的鋼筋是采取不同工藝消費(fèi)的,那么強(qiáng)度呈現(xiàn)的差別是由于工藝不同呵斥的,還是僅僅由隨機(jī)要素呵斥的?(4)假設(shè)鋼筋強(qiáng)度與某種原料的成分含量有關(guān),那么從抽查的50個(gè)強(qiáng)度與該原料含量的50組對應(yīng)數(shù)據(jù),如何去表達(dá)整批鋼筋強(qiáng)度與該原料含量的關(guān)系?此問題為方差分析,即分析呵斥強(qiáng)度差別的緣由.此問題為回歸分析.以上四個(gè)問題都是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)研討的根本內(nèi)容,此外還有正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì),多元統(tǒng)計(jì)分析,時(shí)間序列分析, 抽樣實(shí)際, 質(zhì)量控制, 可靠性實(shí)際和統(tǒng)計(jì)決策實(shí)際等.總體中所含個(gè)體的數(shù)目可以是有限的，也可以是6.2

5、總體和樣本一 總體 個(gè)體 樣本總體：就是研討對象的全體總體：就是研討對象的全體. .個(gè)體：是組成總體的每個(gè)元素個(gè)體：是組成總體的每個(gè)元素.無限的，分別稱為有限總體和無限總體.從總體中隨機(jī)抽取 n 個(gè)個(gè)體,稱為容量為n的樣本(子樣).任何一個(gè)總體，都可以用一個(gè)隨機(jī)變量 X 來表示.例如,從一批日光燈中隨機(jī)抽取一個(gè)，其壽命 X 顯然是為一樣值的日光燈在這批日光燈中所占的比例.因此,一個(gè)隨機(jī)變量,它取各種能夠值的概率恰好就是壽命假設(shè)知道X的分布,那么這批日光燈的壽命情況就完全清楚了.即可以用 X 及其分布來描畫這批日光燈這一總體.再例如,從某大學(xué)全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一個(gè)，其學(xué)習(xí)成果 X 顯然是一個(gè)隨機(jī)

6、變量,它取各種能夠值的概率恰好就是成果為一樣值的學(xué)生在全校所占的比例.因此,可以用 X 及其分布來描畫該校全體學(xué)生這一總體.在統(tǒng)計(jì)研討中，人們關(guān)懷的僅僅是代表總體的一項(xiàng)(或幾項(xiàng))數(shù)量目的以及數(shù)量目的的分布情況. 總體就是指某個(gè)隨機(jī)變量X能夠取值的全體。X的分布稱為總體的分布.常用 “總體 X 服從.分布這一說法.從總體 X 中隨機(jī)抽取容量為 n的樣本 ,用12,nXXX表示.不難了解, X 及12,nXXX 都是隨機(jī)變量.12(,)nXXX 是n維隨機(jī)變量. 簡單隨機(jī)樣本簡單隨機(jī)樣本 簡單隨機(jī)樣本是運(yùn)用中最常見的情形，今后簡單隨機(jī)樣本是運(yùn)用中最常見的情形，今后 假設(shè)取自總體 X的樣本 X1,

7、X2 , Xn 相互獨(dú)立且與 X 有一樣的分布，那么稱 X1, X2, Xn為取自總體 X 的簡單隨機(jī)樣本. 簡稱為樣本.當(dāng)說到“X1, X2 , Xn 是取自某總體的樣本時(shí)，假設(shè)不特別闡明，均指簡單隨機(jī)樣本.12,nXXX(x1, x2, xn)，稱為樣本的一組觀測值，簡稱樣本值 .一旦取定一組樣本，得到的是n個(gè)詳細(xì)的數(shù) 普通來說,不同次的抽取(每次取n個(gè)),將得到不同的樣本觀測值.樣本一切能夠取值的全體稱為樣本空間, 它是n維空間或其中的一個(gè)子集.一組樣本觀測值(x1, x2, xn)就是樣本空間中的一個(gè)點(diǎn). 定理定理1 假設(shè)(X1, X2 , Xn) 是取自總體 X的樣本,而 X的概率密

8、度為f(x)( 或分布函數(shù)為F(x) ),那么(X1, X2 , Xn) 的結(jié)合密度函數(shù)為(或結(jié)合分布函數(shù)為) 1niiF x 1niif x 1212 ,nXUXXX 是取自12211,( )(1,2, )0,iixf xin其它12211,( )0,xf x其它總體X的一個(gè)樣本，求樣本的結(jié)合密度.例1 設(shè)總體解：由于XU1, 2, 其密度為Xi的密度121( , , )( )nniif x xxf x121211(1,2,., )0niiin x其它12211()(1,2,., )0inxin其它樣本的結(jié)合密度為二 實(shí)際分布和閱歷分布 作出閱歷分布用以察看實(shí)際分布的概略. 假設(shè)總體是隨機(jī)變

9、量 X, 那么 X 的分布就是總體的分布(稱為實(shí)際分布). 樣本是總體的代表和反映,簡單隨機(jī)樣天性很好地反映總體的情況.通常的方法是假設(shè)x1, x2 , xn 為總體 X 的n個(gè)獨(dú)立觀測值, 稱Fn*(x)為總體X作n次獨(dú)立察看的閱歷分布函數(shù).并作函數(shù) *1*1*01,2,.11nkknxxkF xxxxknnxx 定義將這些值按從小到大的順序陳列為x1*x2* . xn* 從圖中可以看到, Fn*(x)是F(x)的一個(gè)近似. 關(guān)于Fn*(x)與實(shí)際分布F(x)的關(guān)系,有如下定理:對于樣本的不同取值, 將得到不同的閱歷分布函數(shù)Fn*(x), 所以對于x 的每一個(gè)數(shù)值, Fn*(x)是一個(gè)隨機(jī)變

10、量.當(dāng)n時(shí), Fn*(x)以概率1關(guān)于x一致收斂于F(x),這個(gè)定理是用樣本推斷總體的根本實(shí)際根據(jù). *lim sup01nnxPF xF x 定理2(格列汶科)即Fn*(x)的圖形是一條階梯形曲線, 假設(shè)樣本觀測值不反復(fù), 那么每一躍度為 ; 1n假設(shè)有反復(fù), 那么按 的倍數(shù)為躍度.1n顯然閱歷分布函數(shù)Fn*(x)具有以下性質(zhì): 0 Fn*(x) 1 Fn*(x)單調(diào)上升 Fn*(x) 右延續(xù)三 分布密度的近似求法(略) 假設(shè) X 是一個(gè)延續(xù)型隨機(jī)變量, 可以用樣本觀測值作出的頻率直方圖來近似替代分布密度曲線. 由樣本去推斷總體情況，需求對樣本進(jìn)展“加工和“提煉，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它

11、把樣本中所含的某一方面的信息集中起來.一 統(tǒng)計(jì)量6.3 統(tǒng)計(jì)量和抽樣分布定義設(shè)(X1, X2,. , Xn)為取自總體X的一個(gè)樣本,T=T(X1, X2,. , Xn)為樣本(X1, X2,. , Xn)一個(gè)實(shí)值延續(xù)函數(shù),且T中不含任何未知參數(shù), 那么稱T(X1,X2,. , Xn)為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量. .注: 1. 統(tǒng)計(jì)量是不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù),2. 統(tǒng)計(jì)量T=T(X1, X2, . , Xn)是隨機(jī)變量, 它應(yīng)該有確定它是完全由樣本決議的量.的概率分布.統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布. 21311niiXXXn與12,XX12,nXXX例11X而都不是統(tǒng)計(jì)量.都是統(tǒng)計(jì)量,是取自總體 X

12、的一個(gè)樣本，那么設(shè)總體XN( , 2), 其中, 2未知 幾個(gè)常見的統(tǒng)計(jì)量：幾個(gè)常見的統(tǒng)計(jì)量：樣本均值：樣本均值：樣本方差：樣本方差：11niiXXn2211()1niiSXXn 設(shè)設(shè)X1, X2,. ,Xn 是取自總體X的一個(gè)樣本，2211()1niiXnXn211()1niiXXn2211(2)1niiiXX XXn221111(2)1nnniiiiiXXXXn2211(2)1niiXX nXnXn2211()1niiXnXn由于樣本k 階原點(diǎn)矩:樣本k階中心矩:11nkkiiAXn11()nkkiiBXXn k=1, 2,樣本規(guī)范差：2211()1niiSSXXn k=1, 2,顯然1A

13、X221nBSn 樣本樣本(X1, X2,. ,Xn)的察看值為的察看值為 (x1, x2 , xn )2XS和 的察看值分別記為的察看值分別記為11niixxn2211()1niisxxn 通常通常,大寫字母表示統(tǒng)計(jì)量大寫字母表示統(tǒng)計(jì)量, 如如 小寫字母表示察看值小寫字母表示察看值, 如如2,XSS2,x ss順序統(tǒng)計(jì)量定義設(shè)(X1, X2,. , Xn)為取自總體X的一個(gè)樣本,現(xiàn)由樣本建立n個(gè)函數(shù):( X 1 , X 2 , . . . , X n ) k=1, 2, ., nkkXX x1* x2* . xn*后的第k個(gè)數(shù)值.那么稱X1*, X2*, .Xn*為順序統(tǒng)計(jì)量.顯然X1* X

14、2* . Xn*其中Xk*為這樣的統(tǒng)計(jì)量,它的察看值為xk*. xk*為樣本X1, X2,. , Xn的察看值x1, x2,. , xn中按大小陳列X1*=minX1, X2, ., Xn Xn* =max X1, X2, ., Xn 稱X1*為最小項(xiàng)統(tǒng)計(jì)量, Xn*為最大項(xiàng)統(tǒng)計(jì)量稱Dn*= Xn*X1*為樣本的極差假設(shè)n是奇數(shù), 那么稱 為樣本的中值12nX假設(shè)n是偶數(shù), 那么稱 為樣本的中值12nX設(shè)(X1, X2,. , X5)為總體X的樣本, 今對這個(gè)樣本進(jìn)展了三次察看, 其值如下表:例2X1X2X3X4X5第一次311056第二次26728第三次839105求 , S2及Dn*的察看

15、值X解78.57109853第三次6 8587622第二次911.55106531第一次Dn* S2X5*X4*X3*X2*X1*X二 抽樣分布 (常用統(tǒng)計(jì)量的分布)1 2分布2分布是由正態(tài)分布派生出來的一種分布.定義 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X1, X2,. , Xn相互獨(dú)立且均服相互獨(dú)立且均服從從N(0 , 1), 那么稱隨機(jī)變量221niiX 所服從的分布為自在度是所服從的分布為自在度是n的的2 分布.2 (n)2記為21222102( )( )2xnnexxnfx00 x 定理3 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 2 的分布密度函數(shù)為的分布密度函數(shù)為n取不同值時(shí)的2 分布的圖形2( )fx*例3 相互獨(dú)立

16、, 都服從12,nX XX假設(shè)正態(tài)分布2( ,),N 那么2211()niiX2( )n 證:令()iiXYi=1, 2,., n222111()nniiiiXY那么又由于 Xi 2( ,),N 所以 Yi N(0, 1)且Y1,Y2,.,Yn 相互獨(dú)立所以21niiY2( )n 212()XYnn2(),En2212( )()XnYn，2()2Dn2 分布具有以下性質(zhì)：性質(zhì)1性質(zhì)2(2 分布的可加性)假設(shè)且X, Y 相互獨(dú)立那么2 t 分布 ( student 分布)2( ) n定義設(shè) X N(0, 1) , Y 且X與Y相互獨(dú)立，那么稱隨機(jī)變量XTY n所服從的分布為自在度是n的t分布,記

17、為T t(n)1221()2( )(1)()( )2nTnxfxxnnn 定理4 t分布的密度函數(shù)為( t 分布的密度函數(shù)fT(x)的圖像參見教材 )(1) fT(x)是偶函數(shù), 圖像關(guān)于y 軸對稱. 注：注：(2) t分布曲線很接近規(guī)范正態(tài)分布曲線.且當(dāng)n充分大時(shí)，t分布的極限分布是規(guī)范正態(tài)分布. lim0Txfx21222lim(1)nxnxen112lim22nnnn221lim( )2xTnfxe所以 ( )01E Tn (3) 對于較小的n ，t 分布與N (0, 1)分布相差很大.當(dāng)n30時(shí)，它們的差別已很小.可以證明, t 分布的期望和方差分別為( )22nD Tnn3 F分布分

18、布22( ),( ),XmYnX mFY n假設(shè) 隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且那么稱隨機(jī)變量 ( , )FF m n所服從的分布為F分布,記為其中m稱為第一自在度, n稱為第二自在度.定理5 F分布的密度函數(shù)為1222222()( ) ( )10( )( ) ( )0 0mmm nm nmmnnmnFxxxfxx 推論：假設(shè)推論：假設(shè) FF(m , n) ,1( ,)F n mF那么(, )FF m n/X mFY n1/YnFXm( ,)F n m證證:由于令( F分布的密度fF(x)圖像參見教材 )可以證明, F分布的期望和方差分別為 2222( )424nmnD Fnm nn( )22nE

19、 Fnn4. 概率分布的分位數(shù)概率分布的分位數(shù)設(shè)延續(xù)型隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為F(x), 0p1假設(shè)實(shí)數(shù)滿足 PX =F()=p那么稱實(shí)數(shù)為X的概率分布的p分位數(shù).例如, 規(guī)范正態(tài)分布N(0, 1)的p分位數(shù)即是滿足的實(shí)數(shù)也就是說, N(0, 1)的密度曲線下, 的左邊的面積恰好等于p.2212xedxp上側(cè)分位數(shù)上側(cè)分位數(shù):PX =滿足的實(shí)數(shù)稱為隨機(jī)變量X 的上側(cè)分位數(shù).N(0, 1), t分布, 2分布, F分布的上側(cè)分位數(shù)通常記為u , t , 2 , F ,這些數(shù)值可以查表.上側(cè)分位數(shù)與分位數(shù)的關(guān)系上側(cè)分位數(shù)與分位數(shù)的關(guān)系:即也是X 的1 分位數(shù). 那么有假設(shè)X的上側(cè) 分位數(shù)為 ,

20、PX =PX =1 PX = 1 雙側(cè)雙側(cè)分位數(shù)分位數(shù) 1 , 2 , 是指滿足PX 1=2和 PX 2=2的實(shí)數(shù)1 ,2顯然, 1是 X 的2是 X 的上側(cè)2分位數(shù),2分位數(shù)留意留意:假設(shè)XN(a, 2), 要求X的下側(cè)分位數(shù) ,可化為求N(0, 1)的分位數(shù) P XaXaP此時(shí),0, 1XaN所以au即ua(2) 假設(shè)Tt(n), t (n)表示下側(cè)分位數(shù), 根據(jù)t分布的對稱性PT t (n) = 1PT t (n) =1所以t (n)=t1 (n)(3) 假設(shè) F(m,n)表示上側(cè)分位數(shù),那么有F(m,n)11,Fn m證明:假設(shè) F F (m,n), 那么有1( ,)F n mF所以1

21、1( ,)P FFn m11( , )PFn mF111( ,)PFn mF 11 ( , )P FF m n 例4 當(dāng) n =25 , =0.1 時(shí)，查表求上側(cè)分位數(shù)例5 假設(shè)隨機(jī)變量22(14) ,211)0.95P222)0.95P=34.4220.1( )(25)n2( )n求1 ,2的值使之滿足：14 ,0.95n( )n211)0.95P222)0.95P= 6.572=23.7)14(2220.95(14)解:解:三 正態(tài)總體場所定理6設(shè)總體X 2( ,),N 2XS和 分別為樣本均值和樣本方差,那么有X1, X2, Xn為其樣本22(1)nS2211()niiXX21)n（相互

22、獨(dú)立211( ,)niiXXNnn(1)(1)(0,1)/XNn或(2)(2)2XS和(3)(3)證證: : (1)(1)2( ,)1,2,.,Nin ，iX12,.,nXXX11()()niiE XEXn由于且相互獨(dú)立11()niiE Xn1nn=11( )()niiD XDXn211()niiD Xn2211nin221nn2n所以2( ,)XNn(2)(2) 作一個(gè)n階正交矩陣A=(aij),使其最后一行的1n即元素均為A=111211,11,21,111nnnnnaaaaaannn且 AAT =ATA=In In是n階單位矩陣作正交變換1122nnYXYXAYX那么有Yi= 1nill

23、la X(i=1,2,.,n-1)Yn= 1niiX1nn X21niiX21niiY1212nnYYYYYY1212TnnXXXXXA AX1212nnXXXXXX221niiXXnX221niniXXY即121niiY21niiXX21nS由于A是正交陣,所以10niljlla a,1,2,.1iji jn110nillan211nilla1,2,.1in于是Yi N(0, 2) i=1, 2, ., n1 2,nYNna且Cov (Yi, Yj)=E(YiEYi)(YjEYj)11nnilljsslsEaXaaXa11nniljslslsa a E XaXa21niljllla a E

24、Xa210niljlla aij i, j=1, 2, ., n1 同理有Cov (Yi, Yn)=110nillan i=1, 2, ., n1 因此Y1, Y2 ,. ,Yn 相互獨(dú)立(正態(tài)分布的獨(dú)立從而與兩兩不相關(guān)是等價(jià)的)Y1, Y2 ,. ,Yn1與Yn相互獨(dú)立, 由此得122111niiSYn與1nXYn獨(dú)立(3)(3)22(1)nS212niiXXYi N(0, 2) i=1, 2, ., n1 211niiY21)n（由(2)可知iY1)N （0,定理7 設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體2( ,)N 的樣本,2XS和 分別為樣本均值和樣本方差,那么有 (1)Xt nSn證:(定

25、理7是定理6的推論)由定理6可知(0,1)XNn22(1)nS2(1)n且,獨(dú)立,所以1XSnn XSn (1)t n定理8211(,),XN 設(shè)總體設(shè)總體222(,)YN 總體 X 和 Y 的樣本, 且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立X1, X2,. Xn,和 Y1, Y2,. Ym分別是取自11,niiXXn11miiYYm記22111()1niiSXXn22211()1miiSYYm122212() (2)(1)(1)112XYt nmnSmSnmnm2222112122222212(1,1)SSF nmSS那么有 (1)(2)當(dāng)12 = 22 =2時(shí),122212()(2) (2)(1)(1)XYnm

26、 nmt nmnmnSmS或證:(1)22111()1niiSXXn22211()1miiSYYm由定理6可知2121(1)nS2(1)n2222(1)mS2(1)m由于兩個(gè)樣本相互獨(dú)立,2212,SS獨(dú)立所以再由F分布的定義可知21212222(1)(1)(1)(1)nSnmSm2222112122222212(1,1)SSF nmSS21(,),XNn22(,)YNm,X YXY()E XY()( )E XE Y12()( )D XD Y()D XY22nm2212(,)XYNnm由假設(shè)可知由于兩個(gè)樣本相互獨(dú)立,所以獨(dú)立所以服從正態(tài)分布所以(2)當(dāng)12 = 22 =2時(shí),即12()(0,1

27、)11XYUNnm再根據(jù)定理6212(1)nS21)n（222(1)mS21)m（再根據(jù)2分布的可加性, 可知221222(1)(1)nSmSV22)nm（于是按t分布的定義, 有2UVnm122212() (2)(1)(1)112XYt nmnSmSnmnm四 非正態(tài)總體場所(大樣本)定理9假設(shè)X1, X2, . , Xn獨(dú)立同分布, 且E(Xi)=aD(Xi)=2記那么1nniiYX limnnnnYE YPxxD Y此處 2212txxedt即只需n足夠大(通常n30), 隨機(jī)變量 0, 1nnnYE YND Y例6(10,20)XF110.01P X）110.01P X）由22) P

28、X20.995(10,20)F10.005 10.01(10,20)F0.0051(20,10)F15.27220.005P X）3.3721P X 0.18980.995),(1),(12211nnFnnF求 1 , 2 使之滿足解:例7.設(shè)總體XN(72, 102), 為使樣本均值 大于70的X概率不小于0.9, 那么樣本容量 n 至少應(yīng)取多少?解:設(shè)樣本容量為 n, 那么70P X 727072XPnn722110XnPn 1()5n 11()5n ()5n 0.9查表可得1.295n解出 n41.6, 即n =42例8.設(shè)總體XN(1, 0.32) , 為使樣本均值 滿足X0.91.1

29、0.9,PX那么樣本容量 n 至少應(yīng)取多少?解:2110.3(1,),niiXXNnn由于XN(1, 0.09), 0.91.1PX0.9 111.1 10.30.30.3XPnnn10.333nXnPn查表得 0.91.10.90PX10, 10.3XNn且有故由得0.9033nn1.900.9532n1.645,3n24.235,n 故應(yīng)取n=25.例9.解:設(shè)總體XN(40, 52) (1)抽取容量為36的樣本, 求3843PX(2) 抽取容量為64的樣本, 求(3) 樣本容量n為多大時(shí), 才干使401P X 4010.95P X 總體XN(40, 52), 所以統(tǒng)計(jì)量 400, 15X

30、Nn400, 1536XN(1) n=36, 故即400, 156XN4038432.43.656XPXP3.62.4 (查表)0.99984 (1 0.9918) 0.9916(2) n=64, 那么統(tǒng)計(jì)量400, 158XN404011.61.658XPXP1.61.6(查表)0.9452 (1 0.9452) 0.8904(3) =215n查表, 得40401555nXnPXPn1.965n0.95解出 n 96例10.設(shè)在總體XN(, 2) 中抽取容量為16的樣本,其中, 2均未知,222.041SP(1)求(2)求D(S2)解: (1)由于總體XN(, 2), 根據(jù)定理6, 有222(1)(1)nSn, S2為樣本均值和方差X即22215(15)S222.041SP2215152.041SP2215130.615SP21(15)30.615P 10.01 0.99(查表)例11.設(shè)X1, X2, . , X9是來自總體XN(0, 22)的樣本. 解:Y=a(X1+ X2)2+b(X3+ X4+ X5)2 + c(X6+ X7 + X8 + X9)2服從 2分布, 求系數(shù)a, b, c .因X1, X2, . , X9獨(dú)立同分布且X