函數(shù)模型及其應(yīng)用

1、第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用【知識(shí)梳理【知識(shí)梳理】1.1.必會(huì)知識(shí)教材回扣填一填必會(huì)知識(shí)教材回扣填一填(1)(1)幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型: :函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式函數(shù)解析式一次函數(shù)模型一次函數(shù)模型f(xf(x)=ax+b(a,b)=ax+b(a,b為常數(shù)為常數(shù),a0),a0)二次函數(shù)模型二次函數(shù)模型f(xf(x)=ax)=ax2 2+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c為常數(shù)為常數(shù),a0),a0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)模型與指數(shù)函數(shù)相關(guān)模型f(xf(x)=ba)=bax x+c(a,b,c+c(a,b,c為常數(shù)為常數(shù),a0,a0且且a1,b0)a1,b0)與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)模型與對(duì)數(shù)函

2、數(shù)相關(guān)模型f(xf(x)=blog)=bloga ax+c(a,b,cx+c(a,b,c為常數(shù)為常數(shù),a0,a0且且a1,b0)a1,b0)與冪函數(shù)相關(guān)模型與冪函數(shù)相關(guān)模型f(xf(x)=ax)=axn n+b(a,b,n+b(a,b,n為常數(shù)為常數(shù),a0),a0)(2)(2)三種函數(shù)模型性質(zhì)比較三種函數(shù)模型性質(zhì)比較: :y=ay=ax x(a(a1)1)y=logy=loga ax(ax(a1)1)y=xy=xn n(n(n0)0)在在(0,+)(0,+)上的單調(diào)性上的單調(diào)性單調(diào)單調(diào)_函數(shù)函數(shù)單調(diào)單調(diào)_函數(shù)函數(shù)單調(diào)單調(diào)_函數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度增長(zhǎng)速度越來(lái)越越來(lái)越_越來(lái)越越來(lái)越_相對(duì)平穩(wěn)相對(duì)平穩(wěn)圖象

3、的圖象的變化變化隨隨x x值增大值增大, ,圖象與圖象與_軸軸接近平行接近平行隨隨x x值增大值增大, ,圖象與圖象與_軸軸接近平行接近平行隨隨n n值變化值變化而不同而不同增增增增增增快快慢慢y yx x(3)(3)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟: :審題審題: :弄清題意弄清題意, ,分清條件和結(jié)論分清條件和結(jié)論, ,理順數(shù)量關(guān)系理順數(shù)量關(guān)系, ,初步選擇數(shù)學(xué)模型初步選擇數(shù)學(xué)模型; ;建模建模: :將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言, ,利用數(shù)學(xué)知識(shí)利用數(shù)學(xué)知識(shí), ,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型模型; ;求模求模: :求解數(shù)學(xué)模型求解數(shù)學(xué)模型, ,得

4、出數(shù)學(xué)結(jié)論得出數(shù)學(xué)結(jié)論; ;還原還原: :將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題. .以上過(guò)程用框圖表示如下以上過(guò)程用框圖表示如下: :2.2.必備結(jié)論教材提煉記一記必備結(jié)論教材提煉記一記“f(xf(x)=x+ (a0)”)=x+ (a0)”型函數(shù)模型型函數(shù)模型形如形如f(xf(x)=x+ (a0)=x+ (a0)的函數(shù)模型稱(chēng)為的函數(shù)模型稱(chēng)為“對(duì)勾對(duì)勾”函數(shù)模型函數(shù)模型: :該函該函數(shù)在數(shù)在(-,- (-,- 和和 ,+) ,+)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, ,在在- ,0)- ,0)和和(0, (0, 上單上單調(diào)遞減調(diào)遞減. .當(dāng)當(dāng)x0 x0時(shí)時(shí),x=_,x=_時(shí)取最小值時(shí)取最小值_,_

5、,當(dāng)當(dāng)x0 x1)1)的增長(zhǎng)速度會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大的增長(zhǎng)速度會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于于y=xy=xa a(a(a0)0)的增長(zhǎng)速度的增長(zhǎng)速度.(.() )(3)“(3)“指數(shù)爆炸指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)是指數(shù)型函數(shù)y=ay=ab bx x+c(a0,b0,b1)+c(a0,b0,b1)增長(zhǎng)速度增長(zhǎng)速度越來(lái)越快的形象比喻越來(lái)越快的形象比喻.(.() )(4)(4)指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型, ,一般用于解決變化較快一般用于解決變化較快, ,短時(shí)間內(nèi)變化量較大的實(shí)短時(shí)間內(nèi)變化量較大的實(shí)際問(wèn)題中際問(wèn)題中.(.() )【解析【解析】(1)(1)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .當(dāng)當(dāng)x x(0,2)(0,2)和和(4,+(4,+) )時(shí)時(shí)

6、,2,2x xxx2 2, ,當(dāng)當(dāng)x x(2,4)(2,4)時(shí)時(shí),x,x2 222x x. .(2)(2)正確正確. .由兩者的圖象易知由兩者的圖象易知. .(3)(3)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .增長(zhǎng)越來(lái)越快的指數(shù)型函數(shù)是增長(zhǎng)越來(lái)越快的指數(shù)型函數(shù)是y=ay=ab bx x+c(a+c(a0,b1).0,b1).(4)(4)正確正確. .根據(jù)指數(shù)函數(shù)根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=ay=ax x(a(a1)1)函數(shù)值增長(zhǎng)特點(diǎn)知函數(shù)值增長(zhǎng)特點(diǎn)知(4)(4)正確正確. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2.2.教材改編鏈接教材練一練教材改編鏈接教材練一練(1)(1)(必修必修1P107A1P107

7、A組組T1T1改編改編) )在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中, ,測(cè)量得變量測(cè)量得變量x x和變量和變量y y的的幾組數(shù)據(jù)幾組數(shù)據(jù), ,如下表如下表: :則則x,yx,y最適合的函數(shù)的是最適合的函數(shù)的是( () )A.yA.y=2x=2xB.yB.y=x=x2 2-1-1C.y=2x-2C.y=2x-2D.yD.y=log=log2 2x xx x0.500.500.990.992.012.013.983.98y y-0.99-0.990.010.010.980.982.002.00【解析【解析】選選D.D.根據(jù)根據(jù)x=0.50,y=-0.99,x=0.50,y=-0.99,代入計(jì)算代入計(jì)算,

8、 ,可以排除可以排除A;A;根據(jù)根據(jù)x=2.01,y=0.98,x=2.01,y=0.98,代入計(jì)算代入計(jì)算, ,可以排除可以排除B,C;B,C;將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y=logy=log2 2x,x,可知滿(mǎn)足題意可知滿(mǎn)足題意. .故選故選D.D.(2)(2)(必修必修1P107A1P107A組組T3T3改編改編) )一根蠟燭長(zhǎng)一根蠟燭長(zhǎng)20cm,20cm,點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5cm,5cm,燃燃燒時(shí)剩下的高度燒時(shí)剩下的高度h(cmh(cm) )與燃燒時(shí)間與燃燒時(shí)間t(ht(h) )的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為圖中的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為圖中的的( () )【解析【解析】選選B.

9、B.由題意知由題意知h=20-5t(0h=20-5t(0t t4),4),故選故選B.B.3.3.真題小試感悟考題試一試真題小試感悟考題試一試(1)(2015(1)(2015泉州模擬泉州模擬) )某產(chǎn)品的總成本某產(chǎn)品的總成本y(y(萬(wàn)元萬(wàn)元) )與產(chǎn)量與產(chǎn)量x(x(臺(tái)臺(tái)) )之間的函之間的函數(shù)關(guān)系是數(shù)關(guān)系是y=3000+20 x-0.1xy=3000+20 x-0.1x2 2(0 x240,xN(0 x240,xN* *),),若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為2525萬(wàn)元萬(wàn)元, ,則生產(chǎn)者不虧本時(shí)則生產(chǎn)者不虧本時(shí)( (銷(xiāo)售收入不小于總成本銷(xiāo)售收入不小于總成本) )的最低產(chǎn)量是的最低產(chǎn)量是(

10、 () )A.100A.100臺(tái)臺(tái)B.120B.120臺(tái)臺(tái)C.150C.150臺(tái)臺(tái)D.180D.180臺(tái)臺(tái)【解析解析】選選C.C.設(shè)利潤(rùn)為設(shè)利潤(rùn)為f(xf(x)()(萬(wàn)元萬(wàn)元),),則則f(xf(x)=25x-(3000+20 x-0.1x)=25x-(3000+20 x-0.1x2 2) )=0.1x=0.1x2 2+5x-3000+5x-30000,0,所以所以x x150.150.(2)(2015(2)(2015武漢模擬武漢模擬) )里氏震級(jí)里氏震級(jí)M M的計(jì)算公式為的計(jì)算公式為:M=lg A-lg:M=lg A-lg A A0 0, ,其中其中A A是測(cè)震儀記錄的地震曲線(xiàn)的最大振幅是測(cè)

11、震儀記錄的地震曲線(xiàn)的最大振幅,A,A0 0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅. .假假設(shè)在一次地震中設(shè)在一次地震中, ,測(cè)震儀記錄的最大振幅是測(cè)震儀記錄的最大振幅是1000,1000,此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為為0.001,0.001,則此次地震的震級(jí)為則此次地震的震級(jí)為級(jí)級(jí);9;9級(jí)地震的最大振幅是級(jí)地震的最大振幅是5 5級(jí)級(jí)地震最大振幅的地震最大振幅的倍倍. .【解析【解析】由由lg1000-lg0.001=6,lg1000-lg0.001=6,得此次地震的震級(jí)為得此次地震的震級(jí)為6 6級(jí)級(jí). .因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)地因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)地震的振幅為震的振幅為0.001,0.001,設(shè)設(shè)9

12、9級(jí)地震最大振幅為級(jí)地震最大振幅為A A9 9, ,則則lglg A A9 9-lg0.001=9-lg0.001=9解得解得A A9 9=10=106 6, ,同理同理5 5級(jí)地震最大振幅級(jí)地震最大振幅A A5 5=10=102 2, ,所以所以9 9級(jí)地震的最大振幅是級(jí)地震的最大振幅是5 5級(jí)地級(jí)地震的最大振幅的震的最大振幅的1000010000倍倍. .答案答案: :6 61000010000考點(diǎn)考點(diǎn)1 1一次函數(shù)、二次函數(shù)模型一次函數(shù)、二次函數(shù)模型知知考情考情以一次函數(shù)、二次函數(shù)為模型的應(yīng)用題常出現(xiàn)在高考試題中以一次函數(shù)、二次函數(shù)為模型的應(yīng)用題常出現(xiàn)在高考試題中, ,尤尤其是二次函數(shù)其

13、是二次函數(shù), ,考查較多考查較多, ,既有選擇題、填空題既有選擇題、填空題, ,也有解答題也有解答題, ,難度適中難度適中, ,屬中檔題屬中檔題. .明明角度角度命題角度命題角度1:1:單一考查一次函數(shù)或二次函數(shù)模型單一考查一次函數(shù)或二次函數(shù)模型【典例【典例1 1】(1)(2015(1)(2015西安模擬西安模擬) )某電信公司推出兩某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式種手機(jī)收費(fèi)方式:A:A種方式是月租種方式是月租2020元元,B,B種方式是月種方式是月租租0 0元元. .一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)通話(huà)時(shí)間一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)通話(huà)時(shí)間t(t(分鐘分鐘) )與電話(huà)與電話(huà)費(fèi)費(fèi)s(s(元元) )的函數(shù)關(guān)系如圖所示的函數(shù)

14、關(guān)系如圖所示, ,當(dāng)通話(huà)當(dāng)通話(huà)150150分鐘時(shí)分鐘時(shí), ,這這兩種方式電話(huà)費(fèi)相差兩種方式電話(huà)費(fèi)相差( () )A.10A.10元元B.20B.20元元C.30C.30元元D. D. 元元403(2)(2015(2)(2015昆明模擬昆明模擬) )在如圖所示的銳角三角形空地中在如圖所示的銳角三角形空地中, ,欲建一個(gè)面積欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園最大的內(nèi)接矩形花園( (陰影部分陰影部分),),則其邊長(zhǎng)則其邊長(zhǎng)x x為為m.m.【解題提示【解題提示】(1)(1)根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別求出兩條直線(xiàn)方程根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別求出兩條直線(xiàn)方程. .(2)(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)根據(jù)相似三角形的性質(zhì),

15、 ,找出比例關(guān)系找出比例關(guān)系, ,列出以列出以x x為變量的二次函數(shù)為變量的二次函數(shù)式表示出陰影部分的面積。式表示出陰影部分的面積。【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選A.A.依題意可設(shè)依題意可設(shè)s sA A(t(t)=20+kt,s)=20+kt,sB B(t)=mt(t)=mt, ,又又s sA A(100)=s(100)=sB B(100),(100),所以所以100k+20=100m,100k+20=100m,得得k-mk-m=-0.2,=-0.2,于是于是s sA A(150)-s(150)-sB B(150)=20+150k-150m=20+150(150)=20+150k-15

16、0m=20+150(-0.2)=-10,(-0.2)=-10,即兩種方式電話(huà)費(fèi)相差即兩種方式電話(huà)費(fèi)相差1010元元. .(2)(2)由相似三角形性質(zhì)可得由相似三角形性質(zhì)可得 , ,解得解得y=40-x,y=40-x,所以面積所以面積S=x(40-x)=-xS=x(40-x)=-x2 2+40 x=-(x-20)+40 x=-(x-20)2 2+400(0 x40),+400(0 x40),當(dāng)當(dāng)x=20 x=20時(shí)時(shí),S,Sm maxax=400.=400.答案答案: :2020 x40y4040【互動(dòng)探究【互動(dòng)探究】在本例在本例(2)(2)中中, ,欲建一個(gè)面積不小于欲建一個(gè)面積不小于300m

17、300m2 2的內(nèi)接矩形的內(nèi)接矩形花園花園, ,則其邊長(zhǎng)則其邊長(zhǎng)x x的取值范圍又是多少呢的取值范圍又是多少呢? ?【解析【解析】 , ,則則x=40-y,y=40-x.x=40-y,y=40-x.由由xy300,xy300,即即x(40-x)300,x(40-x)300,解得解得10 x30.10 x30.x40y4040命題角度命題角度2:2:以分段函數(shù)的形式考查一次函數(shù)和二次函數(shù)模型以分段函數(shù)的形式考查一次函數(shù)和二次函數(shù)模型【典例【典例2 2】(2015(2015廈門(mén)模擬廈門(mén)模擬) )提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善整提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況個(gè)城市的交通狀況.

18、.在一般情況下在一般情況下, ,大橋上的車(chē)流速度大橋上的車(chē)流速度v(v(單位單位: :千米千米/ /時(shí)時(shí)) )是車(chē)流密度是車(chē)流密度x(x(單位單位: :輛輛/ /千米千米) )的函數(shù)的函數(shù). .當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到200200輛輛/ /千千米時(shí)米時(shí), ,造成堵塞造成堵塞, ,此時(shí)車(chē)流速度為此時(shí)車(chē)流速度為0;0;當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)2020輛輛/ /千米時(shí)千米時(shí), ,車(chē)車(chē)流速度為流速度為6060千米千米/ /時(shí)時(shí). .研究表明研究表明: :當(dāng)當(dāng)20 x20020 x200時(shí)時(shí), ,車(chē)流速度車(chē)流速度v v是車(chē)流密是車(chē)流密度度x x的一次函數(shù)的一次函數(shù). .(1)(1

19、)當(dāng)當(dāng)0 x2000 x200時(shí)時(shí), ,求函數(shù)求函數(shù)v(xv(x) )的表達(dá)式的表達(dá)式. .(2)(2)當(dāng)車(chē)流密度當(dāng)車(chē)流密度x x為多大時(shí)為多大時(shí), ,車(chē)流量車(chē)流量( (單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)輛數(shù), ,單位單位: :輛輛/ /時(shí)時(shí))f(x)=x)f(x)=xv(xv(x) )可以達(dá)到最大可以達(dá)到最大, ,并求出最大值并求出最大值.(.(精確精確到到1 1輛輛/ /時(shí)時(shí)) )【解題提示【解題提示】(1)(1)根據(jù)已知條件根據(jù)已知條件, ,確定確定0 0 x x200200時(shí)時(shí)v(xv(x) )的表達(dá)式的表達(dá)式. .(2)(2)確定確定0 x200 x20

20、及及20 x20020 x200時(shí)時(shí),v(x,v(x) )的分段函數(shù)的分段函數(shù), ,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)確定確定f(x)=xf(x)=xv(xv(x) )的最大值的最大值. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由題意由題意, ,當(dāng)當(dāng)0 x200 x20時(shí)時(shí),v(x,v(x)=60;)=60;當(dāng)當(dāng)20 x20020 x200時(shí)時(shí), ,設(shè)設(shè)v(x)=ax+bv(x)=ax+b, ,再由已知得再由已知得解得解得故函數(shù)故函數(shù)v(xv(x) )的表達(dá)式為的表達(dá)式為v(xv(x)=)=200ab0,20ab60,1a,3200b.3 60 0 x20,1200 x ,20 x200.3，(2)(2

21、)依題意并由依題意并由(1)(1)可得可得f(xf(x)=)=當(dāng)當(dāng)0 x200 x20時(shí)時(shí),f(x,f(x) )為增函數(shù)為增函數(shù), ,故當(dāng)故當(dāng)x=20 x=20時(shí)時(shí), ,其最大值為其最大值為606020=1200;20=1200;當(dāng)當(dāng)20 x20020 x200時(shí)時(shí),f(x,f(x)= )= x(200 x(200 x)x)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x=200-x,x=200-x,60 x 0 x201x 200 x20 x200.3， ， 132x200 x110 000323，即即x=100 x=100時(shí)時(shí), ,等號(hào)成立等號(hào)成立. .所以當(dāng)所以當(dāng)x=100 x=100時(shí)時(shí),f(x,f(x) )在區(qū)間

22、在區(qū)間(20,200(20,200上取得最上取得最大值大值 3333.3333.綜上綜上, ,當(dāng)車(chē)流密度為當(dāng)車(chē)流密度為100100輛輛/ /千米時(shí)千米時(shí), ,車(chē)流量可以達(dá)到最大車(chē)流量可以達(dá)到最大, ,最大值約為最大值約為33333333輛輛/ /時(shí)時(shí). .10 0003悟悟技法技法一次函數(shù)、二次函數(shù)模型問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略一次函數(shù)、二次函數(shù)模型問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)(1)直接考查一次函數(shù)、二次函數(shù)模型直接考查一次函數(shù)、二次函數(shù)模型. .解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)注意三點(diǎn)解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)注意三點(diǎn): :二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決, ,

23、但一定要密但一定要密切注意函數(shù)的定義域切注意函數(shù)的定義域, ,否則極易出錯(cuò)否則極易出錯(cuò); ;確定一次函數(shù)模型時(shí)確定一次函數(shù)模型時(shí), ,一般是借助兩個(gè)點(diǎn)來(lái)確定一般是借助兩個(gè)點(diǎn)來(lái)確定, ,常用待定系數(shù)法常用待定系數(shù)法; ;解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題時(shí)解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題時(shí), ,最后要還原到實(shí)際問(wèn)題最后要還原到實(shí)際問(wèn)題. .(2)(2)以分段函數(shù)的形式考查以分段函數(shù)的形式考查. .解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)關(guān)注以下三點(diǎn)解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)關(guān)注以下三點(diǎn): :實(shí)際問(wèn)題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出實(shí)際問(wèn)題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出, ,而是由幾而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成, ,如出租車(chē)票價(jià)與路程

24、之間的關(guān)系如出租車(chē)票價(jià)與路程之間的關(guān)系, ,應(yīng)構(gòu)建分段函應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解數(shù)模型求解; ;構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)構(gòu)造分段函數(shù)時(shí), ,要力求準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔要力求準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔, ,做到分段合理、不重不漏做到分段合理、不重不漏; ;分段函數(shù)的最值是各段的最大分段函數(shù)的最值是各段的最大( (或最小或最小) )者的最大者者的最大者( (最小者最小者).).提醒提醒: :(1)(1)構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)不要忘記考慮函數(shù)的定義域構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)不要忘記考慮函數(shù)的定義域. .(2)(2)對(duì)構(gòu)建的較復(fù)雜的函數(shù)模型對(duì)構(gòu)建的較復(fù)雜的函數(shù)模型, ,要適時(shí)地用換元法轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)要適時(shí)地用換元法轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)問(wèn)題求解問(wèn)題求解. .通

25、通一類(lèi)一類(lèi)1.(20151.(2015鹽城模擬鹽城模擬) )某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料( (如圖如圖),),為降低消耗為降低消耗, ,開(kāi)源節(jié)流開(kāi)源節(jié)流, ,現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片( (如圖陰影如圖陰影部分部分) )備用備用, ,則截取的矩形面積的最大值為則截取的矩形面積的最大值為. .【解析【解析】依題意知依題意知: : 即即x= (24-y),x= (24-y),所以陰影部分的面積所以陰影部分的面積S=xyS=xy= (24-y)y= (-y= (24-y)y= (-y2 2+24y),+24y),所以當(dāng)所以

26、當(dāng)y=12y=12時(shí)時(shí),S,S有最大值為有最大值為180.180.答案答案: :18018020 xy8x24y，5454542.(20152.(2015福州模擬福州模擬) )為了在為了在“十一十一”黃金周期間降價(jià)搞促銷(xiāo)黃金周期間降價(jià)搞促銷(xiāo), ,某超市某超市對(duì)顧客實(shí)行購(gòu)物優(yōu)惠活動(dòng)對(duì)顧客實(shí)行購(gòu)物優(yōu)惠活動(dòng), ,規(guī)定一次購(gòu)物付款總額規(guī)定一次購(gòu)物付款總額: :如果不超過(guò)如果不超過(guò)200200元元, ,則不予優(yōu)惠則不予優(yōu)惠; ;如果超過(guò)如果超過(guò)200200元元, ,但不超過(guò)但不超過(guò)500500元元, ,則按標(biāo)價(jià)給予則按標(biāo)價(jià)給予9 9折折優(yōu)惠優(yōu)惠; ;如果超過(guò)如果超過(guò)500500元元, ,其中其中5005

27、00元按第元按第條給予優(yōu)惠條給予優(yōu)惠, ,超過(guò)超過(guò)500500元的部元的部分給予分給予7 7折優(yōu)惠折優(yōu)惠. .辛云和她母親兩次去購(gòu)物辛云和她母親兩次去購(gòu)物, ,分別付款分別付款168168元和元和423423元元, ,假假設(shè)他們一次性購(gòu)買(mǎi)上述同樣的商品設(shè)他們一次性購(gòu)買(mǎi)上述同樣的商品, ,則應(yīng)付款額為則應(yīng)付款額為. .【解析【解析】依題意依題意, ,價(jià)值為價(jià)值為x x元的商品和實(shí)際付款數(shù)元的商品和實(shí)際付款數(shù)f(xf(x) )之間的函數(shù)關(guān)系之間的函數(shù)關(guān)系式為式為當(dāng)當(dāng)f(xf(x)=168)=168時(shí)時(shí), ,由由1681680.9187200,0.9187200,故此時(shí)故此時(shí)x=168;x=168;

28、當(dāng)當(dāng)f(xf(x)=423)=423時(shí)時(shí), ,由由4234230.9=470(200,500,0.9=470(200,500,故此時(shí)故此時(shí)x=470.x=470.所以?xún)纱喂操?gòu)得價(jià)值為所以?xún)纱喂操?gòu)得價(jià)值為470+168=638470+168=638元的商品元的商品, ,又又5005000.9+(638-500)0.9+(638-500)0.7=546.60.7=546.6元元, ,即若即若一次性購(gòu)買(mǎi)上述商品一次性購(gòu)買(mǎi)上述商品, ,應(yīng)付款額為應(yīng)付款額為546.6546.6元元. .答案答案: :546.6546.6元元 x,0 x200,f x0.9x,200 x500,500 0.9x5000.

29、7,x500.3.(20153.(2015日照模擬日照模擬) )某家庭進(jìn)行理財(cái)投資某家庭進(jìn)行理財(cái)投資, ,根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè)根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè), ,投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比, ,投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比. .已知投資已知投資1 1萬(wàn)元時(shí)兩類(lèi)產(chǎn)品萬(wàn)元時(shí)兩類(lèi)產(chǎn)品的收益分別為的收益分別為0.1250.125萬(wàn)元和萬(wàn)元和0.50.5萬(wàn)元萬(wàn)元. .(1)(1)分別寫(xiě)出兩類(lèi)產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系分別寫(xiě)出兩類(lèi)產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系. .(2)(2)該家庭

30、有該家庭有2020萬(wàn)元資金萬(wàn)元資金, ,全部用于理財(cái)投資全部用于理財(cái)投資, ,問(wèn)問(wèn): :怎么分配資金能使怎么分配資金能使投資獲得最大收益投資獲得最大收益, ,其最大收益是多少萬(wàn)元其最大收益是多少萬(wàn)元? ?【解析【解析】(1)(1)設(shè)兩類(lèi)產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)分別為設(shè)兩類(lèi)產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)分別為f(xf(x)=k)=k1 1x,g(x)=kx,g(x)=k2 2 . .由已知得由已知得f(1)= =kf(1)= =k1 1,g(1)= =k,g(1)= =k2 2, ,所以所以f(xf(x)= x(x0),g(x)= )= x(x0),g(x)= (x0).(x0).x1812181x2

31、(2)(2)設(shè)投資債券類(lèi)產(chǎn)品為設(shè)投資債券類(lèi)產(chǎn)品為x x萬(wàn)元萬(wàn)元, ,則投資股票類(lèi)產(chǎn)品為則投資股票類(lèi)產(chǎn)品為(20-x)(20-x)萬(wàn)元萬(wàn)元, ,依題意得依題意得y=f(x)+g(20-x)= (0 x20).y=f(x)+g(20-x)= (0 x20).令令t= t= 則則y= y= 所以當(dāng)所以當(dāng)t=2,t=2,即即x=16x=16時(shí)時(shí), ,收益最大收益最大,y,ym maxax=3=3萬(wàn)元萬(wàn)元. .投資債券類(lèi)產(chǎn)品投資債券類(lèi)產(chǎn)品1616萬(wàn)元萬(wàn)元, ,投資股票類(lèi)產(chǎn)品投資股票類(lèi)產(chǎn)品4 4萬(wàn)元萬(wàn)元, ,可使投資獲得最大可使投資獲得最大收益收益, ,最大收益為最大收益為3 3萬(wàn)元萬(wàn)元. .x120 x

32、8220 x(0t2 5), 2220t11tt23,828 【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】1.(20141.(2014武漢模擬武漢模擬) )在經(jīng)濟(jì)學(xué)中在經(jīng)濟(jì)學(xué)中, ,函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )的邊際函數(shù)的邊際函數(shù)Mf(xMf(x) )定義為定義為:Mf(x:Mf(x)=f(x+1)-f(x).)=f(x+1)-f(x).某公司每月生產(chǎn)某公司每月生產(chǎn)x x臺(tái)某種產(chǎn)品的收臺(tái)某種產(chǎn)品的收入為入為R(xR(x) )元元, ,成本為成本為C(xC(x) )元元, ,且且R(xR(x)=3000 x-20 x)=3000 x-20 x2 2, C(x, C(x)=500 x+4000)=500 x+4000(x

33、N(xN* *).).現(xiàn)已知該公司每月生產(chǎn)該產(chǎn)品不超過(guò)現(xiàn)已知該公司每月生產(chǎn)該產(chǎn)品不超過(guò)100100臺(tái)臺(tái). .(1)(1)求利潤(rùn)函數(shù)求利潤(rùn)函數(shù)P(xP(x) )以及它的邊際利潤(rùn)函數(shù)以及它的邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(xMP(x).).(2)(2)求利潤(rùn)函數(shù)的最大值與邊際利潤(rùn)函數(shù)的最大值之差求利潤(rùn)函數(shù)的最大值與邊際利潤(rùn)函數(shù)的最大值之差. .【解析【解析】(1)(1)由題意由題意, ,得得x x1,100,1,100,且且x xN N* *. .P(x)=R(x)-C(x)=(3000 x-20 xP(x)=R(x)-C(x)=(3000 x-20 x2 2)-(500 x+4000)-(500 x+4000

34、)=-20 x=-20 x2 2+2500 x-4000,+2500 x-4000,MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2 2+2500(x+1)-4000-(-20 x+2500(x+1)-4000-(-20 x2 2+2500 x-+2500 x-4000)=2480-40 x.4000)=2480-40 x.(2)P(x)=(2)P(x)= +74125,+74125,當(dāng)當(dāng)x=62x=62或或x=63x=63時(shí)時(shí),P(x,P(x) )取得最大值取得最大值7412074120元元; ;因?yàn)橐驗(yàn)镸P(xMP(x)=2480-

35、40 x)=2480-40 x是減函數(shù)是減函數(shù), ,所以當(dāng)所以當(dāng)x=1x=1時(shí)時(shí), ,MP(xMP(x) )取得最大值取得最大值24402440元元. .故利潤(rùn)函數(shù)的最大值與邊際利潤(rùn)函數(shù)的最大值之差為故利潤(rùn)函數(shù)的最大值與邊際利潤(rùn)函數(shù)的最大值之差為7168071680元元. .212520(x)22.2.據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測(cè)據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測(cè): :發(fā)生于發(fā)生于M M地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng)地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng), ,其移動(dòng)速度其移動(dòng)速度v(km/hv(km/h) )與時(shí)間與時(shí)間t(ht(h) )的函數(shù)圖象如圖所示的函數(shù)圖象如圖所示, ,過(guò)線(xiàn)段過(guò)線(xiàn)段OCOC上一上一點(diǎn)點(diǎn)T(t,0)T(

36、t,0)作橫軸的垂線(xiàn)作橫軸的垂線(xiàn)l, ,梯形梯形OABCOABC在直線(xiàn)在直線(xiàn)l左側(cè)部分的面積即為左側(cè)部分的面積即為t(ht(h) )內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過(guò)的路程內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過(guò)的路程s(kms(km).).(1)(1)當(dāng)當(dāng)t=4t=4時(shí)時(shí), ,求求s s的值的值. .(2)(2)將將s s隨隨t t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來(lái)變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來(lái). .(3)(3)若若N N城位于城位于M M地正南方向地正南方向, ,且距且距M M地地650km,650km,試判斷這場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)試判斷這場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到侵襲到N N城城, ,如果會(huì)如果會(huì), ,在沙塵暴發(fā)生后多長(zhǎng)時(shí)間它將侵襲到在沙塵暴發(fā)生后

37、多長(zhǎng)時(shí)間它將侵襲到N N城城? ?如果不如果不會(huì)會(huì), ,請(qǐng)說(shuō)明理由請(qǐng)說(shuō)明理由. .【解析【解析】(1)(1)由圖象可知由圖象可知: :當(dāng)當(dāng)t=4t=4時(shí)時(shí),v=3,v=34=12(km/h),4=12(km/h),所以所以s= s= 4 412=24(km).12=24(km).(2)(2)當(dāng)當(dāng)0t100t10時(shí)時(shí),s= ,s= t t3t= t3t= t2 2; ;當(dāng)當(dāng)10t2010t20時(shí)時(shí), ,s= s= 101030+30(t-10)=30t-150;30+30(t-10)=30t-150;當(dāng)當(dāng)20t3520t35時(shí)時(shí),s= ,s= 101030+1030+1030+(t-20)30+

38、(t-20)30- 30- (t-20)(t-20)2(t-20)=-t2(t-20)=-t2 2+70t-550.+70t-550.123212121212綜上綜上, ,可知可知s= s= (3)(3)沙塵暴會(huì)侵襲到沙塵暴會(huì)侵襲到N N城城. .因?yàn)橐驗(yàn)閠0,10t0,10時(shí)時(shí),s,sm maxax= = 10102 2=150650,=150650,t(10,20t(10,20時(shí)時(shí),s,sm maxax=30=3020-150=450650,20-150=450650,所以當(dāng)所以當(dāng)t(20,35t(20,35時(shí)時(shí), ,令令-t-t2 2+70t-550=650.+70t-550=650.解

39、得解得t t1 1=30,t=30,t2 2=40(=40(舍舍).).所以沙塵暴發(fā)生后所以沙塵暴發(fā)生后30h30h會(huì)侵襲到會(huì)侵襲到N N城城. .223t ,t0,10 ,230t150,t(10,20 ,t70t550,t(20,35 .32考點(diǎn)考點(diǎn)2 2 函數(shù)函數(shù)y yx x 模型的應(yīng)用模型的應(yīng)用【典例【典例3 3】(2015(2015天津模擬天津模擬) )某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800m800m2 2的的矩形蔬菜溫室矩形蔬菜溫室, ,在溫室內(nèi)在溫室內(nèi), ,沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m1m寬的通寬的通道道, ,沿前側(cè)內(nèi)墻保留沿前

40、側(cè)內(nèi)墻保留3m3m寬的空地寬的空地, ,當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí)當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí), ,蔬蔬菜的種植面積最大菜的種植面積最大? ?最大面積是多少最大面積是多少? ?【解題提示【解題提示】根據(jù)條件設(shè)溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為根據(jù)條件設(shè)溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為x m,x m,列出種植面積列出種植面積y=y=(x-4)( -2),(x-4)( -2),然后化簡(jiǎn)然后化簡(jiǎn), ,構(gòu)建構(gòu)建“對(duì)勾函數(shù)對(duì)勾函數(shù)”求解求解. .ax800 x【規(guī)范解答【規(guī)范解答】設(shè)溫室的設(shè)溫室的左左側(cè)邊長(zhǎng)為側(cè)邊長(zhǎng)為x m,x m,則右側(cè)邊長(zhǎng)為則右側(cè)邊長(zhǎng)為 m.m.所以蔬所以蔬菜種植面積菜種植面積y=(x-4)( -2)y=(x-4)(

41、-2)=808-2(x+ )(4x400).=808-2(x+ )(4x400).因?yàn)橐驗(yàn)閤+ 2 =80,x+ 2 =80,所以所以y808-2y808-280=648.80=648.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x= ,x= ,即即x=40 x=40時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào), ,此時(shí)此時(shí) =20,y=20,y最最大值大值=648(m=648(m2 2).).即當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為即當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為40m,20m40m,20m時(shí)時(shí), ,蔬菜的種植面積最大蔬菜的種植面積最大, ,最大面最大面積是積是648m648m2 2. .800 x800 x1600 x1600 x1 600 xx1600 x800 x【規(guī)

42、律方法【規(guī)律方法】應(yīng)用函數(shù)應(yīng)用函數(shù)y=x+ y=x+ 模型的關(guān)鍵點(diǎn)模型的關(guān)鍵點(diǎn)(1)(1)明確對(duì)勾函數(shù)是正比例函數(shù)明確對(duì)勾函數(shù)是正比例函數(shù)f(xf(x)=ax)=ax與反比例函數(shù)與反比例函數(shù)f(xf(x)= )= 疊加而疊加而成的成的. .(2)(2)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)一般可以直接建立解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)一般可以直接建立f(xf(x)=ax+ )=ax+ 的模型的模型, ,有時(shí)可以有時(shí)可以將所列函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為將所列函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為f(xf(x)=ax+ )=ax+ 的形式的形式. .(3)(3)利用模型利用模型f(xf(x)=ax+ )=ax+ 求解最值時(shí)求解最值時(shí), ,要注意自變量的取值范圍要注意自

43、變量的取值范圍, ,及取及取得最值時(shí)等號(hào)成立的條件得最值時(shí)等號(hào)成立的條件. .bxbxbxbxax【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗, ,房屋的屋房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層頂和外墻需要建造隔熱層. .某幢建筑物要建造可使用某幢建筑物要建造可使用2020年的隔熱層年的隔熱層, ,每厘米厚的隔熱層建造成本為每厘米厚的隔熱層建造成本為6 6萬(wàn)元萬(wàn)元. .該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(C(單位單位: :萬(wàn)元萬(wàn)元) )與隔熱層厚度與隔熱層厚度x(x(單位單位:cm):cm)滿(mǎn)足關(guān)系滿(mǎn)足關(guān)系C(xC(x)=)=(

44、0 x10),(0 x10),若不建隔熱層若不建隔熱層, ,每年能源消耗費(fèi)用為每年能源消耗費(fèi)用為8 8萬(wàn)元萬(wàn)元, ,設(shè)設(shè)f(xf(x) )為隔為隔熱層建造費(fèi)用與熱層建造費(fèi)用與2020年的能源消耗費(fèi)用之和年的能源消耗費(fèi)用之和. .(1)(1)求求k k的值及的值及f(xf(x) )的表達(dá)式的表達(dá)式. .(2)(2)隔熱層修建多厚時(shí)隔熱層修建多厚時(shí), ,總費(fèi)用總費(fèi)用f(xf(x) )達(dá)到最小達(dá)到最小, ,并求最小值并求最小值. .k3x5【解析【解析】(1)(1)由已知條件得由已知條件得C(0)=8,C(0)=8,則則k=40,k=40,因此因此f(xf(x)=6x+20C(x)=6x+20C(x

45、)=6x+ (0=6x+ (0 x x10).10).(2)f(x)=6x+10+ -10(2)f(x)=6x+10+ -102 -10=70(2 -10=70(萬(wàn)元萬(wàn)元),),當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)6x+10= ,6x+10= ,即即x=5x=5時(shí)等號(hào)成立時(shí)等號(hào)成立. .所以當(dāng)隔熱層厚度為所以當(dāng)隔熱層厚度為5cm5cm時(shí)時(shí), ,總費(fèi)用總費(fèi)用f(xf(x) )達(dá)到最小值達(dá)到最小值, ,最小值為最小值為7070萬(wàn)元萬(wàn)元. .8003x58003x58006x103x58003x5【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】1.1.某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品, ,其其

46、生產(chǎn)的總成本生產(chǎn)的總成本y(y(萬(wàn)元萬(wàn)元) )與年產(chǎn)量與年產(chǎn)量x(x(噸噸) )之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為表示為y= -48x+8000,y= -48x+8000,已知此生產(chǎn)線(xiàn)年產(chǎn)量最大為已知此生產(chǎn)線(xiàn)年產(chǎn)量最大為210210噸噸. .(1)(1)求年產(chǎn)量為多少?lài)崟r(shí)求年產(chǎn)量為多少?lài)崟r(shí), ,生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低, ,并求最低成并求最低成本本. .(2)(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為4040萬(wàn)元萬(wàn)元, ,那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少?lài)崟r(shí)那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少?lài)崟r(shí), ,可以可以獲得最大利潤(rùn)獲得最大利潤(rùn)? ?最大利潤(rùn)是多少最大利潤(rùn)是多

47、少? ?2x5【解析【解析】(1)(1)每噸平均成本為每噸平均成本為 ( (萬(wàn)元萬(wàn)元).).則則 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) , ,即即x=200 x=200時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào). .所以年產(chǎn)量為所以年產(chǎn)量為200200噸時(shí)噸時(shí), ,每噸平均成本最低為每噸平均成本最低為3232萬(wàn)元萬(wàn)元. .yxyx8 000 x 8 000482 4832x5x5x ，x8 0005x(2)(2)設(shè)年獲得總利潤(rùn)為設(shè)年獲得總利潤(rùn)為R(xR(x) )萬(wàn)元萬(wàn)元. .則則R(xR(x)=40 x-y=40 x- +48x-8000)=40 x-y=40 x- +48x-8000=- +88x-8000=- +88x-8000=-

48、(x-220)=- (x-220)2 2+1680(0 x210).+1680(0 x210).因?yàn)橐驗(yàn)镽(xR(x) )在在0,2100,210上是增函數(shù)上是增函數(shù), ,所以當(dāng)所以當(dāng)x=210 x=210時(shí)時(shí), ,R(xR(x) )有最大值為有最大值為- (210-220)- (210-220)2 2+1680=1660.+1680=1660.所以年產(chǎn)量為所以年產(chǎn)量為210210噸時(shí)噸時(shí), ,可獲得最大利潤(rùn)可獲得最大利潤(rùn)16601660萬(wàn)元萬(wàn)元. .2x52x515152.2.某旅游風(fēng)景區(qū)為方便學(xué)生集體旅游某旅游風(fēng)景區(qū)為方便學(xué)生集體旅游, ,特制學(xué)生寒假旅游專(zhuān)用卡特制學(xué)生寒假旅游專(zhuān)用卡, ,

49、每每張卡張卡6060元元, ,使用規(guī)定使用規(guī)定: :不記名不記名, ,每卡每次一人每卡每次一人, ,每天只限一次每天只限一次, ,可連續(xù)使可連續(xù)使用一周用一周. .實(shí)驗(yàn)小學(xué)現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)小學(xué)現(xiàn)有15001500名學(xué)生名學(xué)生, ,準(zhǔn)備在寒假分若干批去此風(fēng)景區(qū)準(zhǔn)備在寒假分若干批去此風(fēng)景區(qū)旅游旅游( (來(lái)回只需一天來(lái)回只需一天),),除需購(gòu)買(mǎi)若干張旅游卡外除需購(gòu)買(mǎi)若干張旅游卡外, ,每次都乘坐每次都乘坐5 5輛客車(chē)輛客車(chē)( (每輛客車(chē)最大客容量為每輛客車(chē)最大客容量為5555人人),),每輛客車(chē)每天費(fèi)用為每輛客車(chē)每天費(fèi)用為500500元元, ,若使全體若使全體同學(xué)都到風(fēng)景區(qū)旅游一次同學(xué)都到風(fēng)景區(qū)旅游一次,

50、,按上述方案按上述方案, ,每位同學(xué)最少要交多少錢(qián)每位同學(xué)最少要交多少錢(qián)? ?【解析【解析】設(shè)買(mǎi)設(shè)買(mǎi)x x張旅游卡張旅游卡, ,總費(fèi)用為總費(fèi)用為y y元元, ,依題意依題意, ,購(gòu)買(mǎi)卡需購(gòu)買(mǎi)卡需60 x60 x元元, ,租車(chē)的次數(shù)為租車(chē)的次數(shù)為 , ,則租車(chē)的則租車(chē)的費(fèi)用為費(fèi)用為( ( 5005005)5)元元, ,所以所以y=60 x+ y=60 x+ 5005005(0 x2755(00,x0,所以所以y =30000(y =30000(元元),),1 500 x1 500 x1 500 x1 5002 60 x500 5x當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)60 x= 60 x= 5005005,5,即即x

51、=250 x=250時(shí)時(shí),y,y取得最小值為取得最小值為3000030000元元, ,此時(shí)此時(shí), ,每人所每人所需交錢(qián)數(shù)為需交錢(qián)數(shù)為 =20(=20(元元),),旅游所需天數(shù)旅游所需天數(shù) =67,=67,每輛車(chē)所載人數(shù)為每輛車(chē)所載人數(shù)為 =5055,=5055,符合要求符合要求. .故每位同學(xué)至少要交故每位同學(xué)至少要交2020元元. .1 500 x30 0001 5001 5002502505考點(diǎn)考點(diǎn)3 3指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)模型【典例【典例4 4】(2015(2015長(zhǎng)春模擬長(zhǎng)春模擬) )某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)的某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)的一種新藥一種新藥, ,如果成年人按規(guī)定的劑量服

52、用如果成年人按規(guī)定的劑量服用, ,據(jù)監(jiān)測(cè)據(jù)監(jiān)測(cè): :服藥后每毫升血液中的含藥量服藥后每毫升血液中的含藥量y(y(微克微克) )與時(shí)間與時(shí)間t(t(小小時(shí)時(shí)) )之間近似滿(mǎn)足如圖所示的曲線(xiàn)之間近似滿(mǎn)足如圖所示的曲線(xiàn). .(1)(1)寫(xiě)出第一次服藥后寫(xiě)出第一次服藥后,y,y與與t t之間的函數(shù)關(guān)系式之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(ty=f(t).).(2)(2)據(jù)進(jìn)一步測(cè)定據(jù)進(jìn)一步測(cè)定: :每毫升血液中含藥量不少于每毫升血液中含藥量不少于0.250.25微克時(shí)微克時(shí), ,治療有效治療有效. .求服藥一次后治療有效的時(shí)間是多長(zhǎng)求服藥一次后治療有效的時(shí)間是多長(zhǎng)? ?【解題提示】【解題提示】(1)(1)依據(jù)圖象

53、寫(xiě)出依據(jù)圖象寫(xiě)出y=f(t).(2)y=f(t).(2)令令y y0.250.25解所得不等式解所得不等式即可即可. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由題意可設(shè)由題意可設(shè)y= y= 當(dāng)當(dāng)t=1t=1時(shí)時(shí), ,由由y=4y=4得得,k=4.,k=4.由由 =4=4得得,a=3.,a=3.因此因此,y= ,y= t akt,0t1,1(),t1,2 1 a1()2t 34t,0t1,1(),t12 ，(2)(2)由由y0.25y0.25得得, , 或或 解得解得 t5.t5.因此因此, ,服藥一次后治療有效的時(shí)間是服藥一次后治療有效的時(shí)間是 小時(shí)小時(shí). .0t1,4t0.25 t 3t1,1(

54、)0.25,211617951616【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型應(yīng)注意的問(wèn)題應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型應(yīng)注意的問(wèn)題(1)(1)指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用類(lèi)型指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用類(lèi)型. .常與增長(zhǎng)率相結(jié)合進(jìn)行考查常與增長(zhǎng)率相結(jié)合進(jìn)行考查, ,在實(shí)際問(wèn)在實(shí)際問(wèn)題中有人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問(wèn)題可以利用指數(shù)函題中有人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問(wèn)題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來(lái)解決數(shù)模型來(lái)解決. .(2)(2)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)的關(guān)鍵應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)的關(guān)鍵. .關(guān)鍵是對(duì)模型的判斷關(guān)鍵是對(duì)模型的判斷, ,先設(shè)定模型先設(shè)定模型, ,再將已知有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證再將已知有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證, ,確定參數(shù)確定參數(shù),

55、 ,從而確定函數(shù)模型從而確定函數(shù)模型. .(3)y=a(1+x)(3)y=a(1+x)n n通常利用指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解通常利用指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】(2015(2015商丘模擬商丘模擬) )為了保證信息安全為了保證信息安全, ,傳輸必須使用加傳輸必須使用加密方式密方式, ,有一種方式其加密、解密原理如下有一種方式其加密、解密原理如下: :已知加密為已知加密為y=ay=ax x-2(x-2(x為明文為明文,y,y為密文為密文),),如果明文如果明文“3”3”通過(guò)加密后得通過(guò)加密后得到密文為到密文為6,6,再發(fā)送再發(fā)送, ,接收方通過(guò)解密得到明文接收方

56、通過(guò)解密得到明文“3”,3”,若接收方接到密若接收方接到密文為文為“14”,14”,則原發(fā)的明文是則原發(fā)的明文是. .【解析】【解析】依題意依題意y=ay=ax x-2-2中中, ,當(dāng)當(dāng)x=3x=3時(shí)時(shí),y=6,y=6,故故6=a6=a3 3-2,-2,解得解得a=2,a=2,所以加密所以加密為為y=2y=2x x-2.-2.因此因此, ,當(dāng)當(dāng)y=14y=14時(shí)時(shí), ,由由14=214=2x x-2,-2,解得解得x=4.x=4.答案答案: :4 4【加固訓(xùn)練】【加固訓(xùn)練】1.1.某位股民購(gòu)進(jìn)某支股票某位股民購(gòu)進(jìn)某支股票, ,在接下來(lái)的交易時(shí)間內(nèi)在接下來(lái)的交易時(shí)間內(nèi), ,他他的這支股票先經(jīng)歷了

57、的這支股票先經(jīng)歷了n n次漲停次漲停( (每次上漲每次上漲10%),10%),又經(jīng)歷了又經(jīng)歷了n n次跌停次跌停( (每次每次下跌下跌10%),10%),則該股民這支股票的盈虧情況則該股民這支股票的盈虧情況( (不考慮其他費(fèi)用不考慮其他費(fèi)用) )為為( () )A.A.略有盈利略有盈利B.B.略有虧損略有虧損C.C.沒(méi)有盈利也沒(méi)有虧損沒(méi)有盈利也沒(méi)有虧損D.D.無(wú)法判斷盈虧情況無(wú)法判斷盈虧情況【解析】【解析】選選B.B.設(shè)該股民購(gòu)這支股票的價(jià)格為設(shè)該股民購(gòu)這支股票的價(jià)格為a,a,則經(jīng)歷則經(jīng)歷n n次漲停后的價(jià)次漲停后的價(jià)格為格為a(1+10%)a(1+10%)n n=a=a1.11.1n n,

58、,經(jīng)歷經(jīng)歷n n次跌停后的價(jià)格為次跌停后的價(jià)格為a a1.11.1n n(1-10%)(1-10%)n n =a=a1.11.1n n0.90.9n n=a=a(1.1(1.10.9)0.9)n n=0.99=0.99n naa,aa,故該股民這支股票略故該股民這支股票略有虧損有虧損. .2.2.一個(gè)人喝了少量酒后一個(gè)人喝了少量酒后, ,血液中的酒精含量迅速上升到血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,0.3mg/mL,在在停止喝酒后停止喝酒后, ,血液中的酒精含量以每小時(shí)血液中的酒精含量以每小時(shí)25%25%的速度減少的速度減少, ,為了保障交為了保障交通安全通安全, ,某地根據(jù)某地根據(jù)道

59、路交通安全法道路交通安全法規(guī)定規(guī)定: :駕駛員血液中的酒精含駕駛員血液中的酒精含量不得超過(guò)量不得超過(guò)0.09mg/mL,0.09mg/mL,那么那么, ,此人至少經(jīng)過(guò)此人至少經(jīng)過(guò)小時(shí)后才能開(kāi)小時(shí)后才能開(kāi)車(chē)車(chē).(.(精確到精確到1 1小時(shí)小時(shí)) )【解析】【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)設(shè)經(jīng)過(guò)x x小時(shí)才能開(kāi)車(chē)小時(shí)才能開(kāi)車(chē). .由題意得由題意得0.3(1-25%)0.3(1-25%)x x0.09,0.09,所以所以0.750.75x x0.3,x0.3,xloglog0 0.75.750.30.34.19.4.19.所以此人至少經(jīng)過(guò)所以此人至少經(jīng)過(guò)5 5小時(shí)后才能開(kāi)車(chē)小時(shí)后才能開(kāi)車(chē). .答案答案: :5 53.

60、3.一片森林原來(lái)面積為一片森林原來(lái)面積為a,a,計(jì)劃每年砍伐一些樹(shù)計(jì)劃每年砍伐一些樹(shù), ,且每年砍伐面積的百且每年砍伐面積的百分比相等分比相等, ,當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí)當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí), ,所用時(shí)間是所用時(shí)間是1010年年, ,為保護(hù)生態(tài)環(huán)境為保護(hù)生態(tài)環(huán)境, ,森林面積至少要保留原面積的森林面積至少要保留原面積的 , ,已知到今年為止已知到今年為止, ,森林剩余面積為森林剩余面積為原來(lái)的原來(lái)的 (1)(1)求每年砍伐面積的百分比求每年砍伐面積的百分比. .(2)(2)到今年為止到今年為止, ,該森林已砍伐了多少年該森林已砍伐了多少年? ?(3)(3)今后最多還能砍伐多少年今后最多還能砍伐多