2018版高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.1.4投影與直觀圖學(xué)案新人教B版必修2

1、1. 1.4 投影與直觀圖 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 1. 了解中心投影、平行投影的概念，會(huì)畫幾何體的投影 .2.2.理解直觀圖的斜二測(cè) 畫法規(guī)則，會(huì)畫常見幾何體的直觀圖. ET問題導(dǎo)學(xué) - 知識(shí)點(diǎn)一平行投影 思考 太陽光線可以把一個(gè)矩形的窗框投射到地板上，影子是平行四邊形，在影子中，框邊 的長度以及框邊之間的夾角有所改變，你能觀察出沒有發(fā)生變化的是什么嗎？ 梳理平行投影的定義及性質(zhì) (1)(1)定義：已知圖形 F,直線I與平面 a相交過F上任意一點(diǎn) M作直線MM _ 于I , 交平面 a于點(diǎn)M，則點(diǎn)M叫做點(diǎn)M在平面 a內(nèi)關(guān)于直線I的 _( (或象) ).如 果圖形F上的所有點(diǎn)在平面 a內(nèi)關(guān)于直線I的

2、平行投影構(gòu)成圖形 F,則F叫做圖形F在 a內(nèi)關(guān)于直線I的 _ . (2)(2)平行投影的性質(zhì) 當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投射線時(shí)，平行投影都具有下述性質(zhì)： 直線或線段的平行投影仍是 _ 或 _ . 平行直線的平行投影是 _ 或 _ 的直線. 平行于投射面的線段，它的投影與這條線段 _ 且 _. 與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個(gè)圖形 _ . 在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比 _這兩條線段的比. 知識(shí)點(diǎn)二直觀圖與斜二測(cè)畫法 思考 1 1 邊長為 2 2 cmcm 的正方形 ABCDK平放置的直觀圖如下，在直觀圖中， A B與C D 有何關(guān)系？ A D與B C呢？在原圖與直觀圖中

3、， AB與A B相等嗎？ AD與A D呢?3 思考 2 2 正方體ABCD ABCD的直觀圖如圖所示，在此圖形中各個(gè)面都畫成正方形了嗎? 梳理直觀圖與斜二測(cè)畫法 (1)(1) 直觀圖 用來表示空間圖形的 _ . (2)(2) 斜二測(cè)畫法的規(guī)則 在已知模型所在的空間中取水平平面，作互相垂直的 Ox Oy軸，再作 Oz軸，使/ xOz= _ ，且/ yOz= _ . . 畫直觀圖時(shí)，把 Ox Oy Oz畫成對(duì)應(yīng)的軸 Ox, O y, O z ，使/ x O y = _ ，/ x Oz = _ , x O y所確定的平面表示水平平面. 已知圖形中，平行于 x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平

4、行于 _ 、 _ 或 _ 的線段，并使它們和所畫坐標(biāo)軸的位置關(guān)系，與已知圖形中相應(yīng)線段和 原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系 _ . 已知圖形中平行于 x軸和z軸的線段，在直觀圖中 _ ，平行于y軸的線段，長 度為 _ . 畫圖完成后，擦去作為輔助線的 _ ，就得到了空間圖形的直觀圖. 知識(shí)點(diǎn)三 中心投影 思考 不同的光源發(fā)出的光線是有差異的，其中燈泡發(fā)出的光線與手電筒發(fā)出的光線有什么 不同？燈泡照射物體形成的投影是平行投影嗎？ 梳理中心投影的概念 4 一個(gè) _ 把一個(gè)圖形照射到一個(gè)平面上，這個(gè)圖形的影子就是它在這個(gè)平面上的中心投 影. 題型探究 類型一 平行投影與中心投影 例 i i （i i）平行投影的投

5、影線互相平行， 中心投影的投影線相交于一點(diǎn)； 空間圖形經(jīng)過中 心投影后，直線變成直線，但平行線可能變成了相交的直線；幾何體在平行投影與中心投 影下有不同的表現(xiàn)形式其中正確說法的個(gè)數(shù)為 （ ） A A. 0 0 B B 1 1 C C 2 2 D D 3 3 如圖所示，在正方體 ABCDA B C D中，E, F分別是A A, C C的中點(diǎn)，則下列判 斷正確的是 . （填序號(hào)） C D 四邊形BFD E在底面ABC內(nèi)的投影是正方形； 四邊形BFD E在面A D DA內(nèi)的投影是菱形； 四邊形BFD E在面A D DA內(nèi)的投影與在面 ABB A內(nèi)的投影是全等的平行四邊形. 反思與感悟 常見圖形的平行

6、投影 圖形 圖形的平行投影 占 八、 是一個(gè)點(diǎn) 線段 是線段或一個(gè)點(diǎn) 線段的中點(diǎn) 仍是這條線段投影的中點(diǎn) 直線 是直線或一個(gè)點(diǎn) 平行直線 是平行直線、一條直線或是兩個(gè)點(diǎn) 跟蹤訓(xùn)練 1 1 （1 1）已知 ABC選定的投影面與厶 ABC所在平面平行，則經(jīng)過中心投影后所得的 A B C與厶ABC的關(guān)系是（ ） A.A. 全等 B.B.相似 C.C.不相似 D.D.以上都不對(duì) 下列命題中，不正確的是 （ ） 正方形的平行投影一定是菱形； 5 平行四邊形的平行投影可能是矩形； 銳角三角形的平行投影一定不是直角或鈍角三角形. A A. B.B. C.C. D.D. 類型二直觀圖的畫法 例 2 2 畫出如

7、圖水平放置的直角梯形的直觀圖. 引申探究 若將本例中的直角梯形改為等腰梯形，其直觀圖如何? O U 反思與感悟 (1)(1)本題利用直角梯形互相垂直的兩邊建系，使畫直觀圖非常簡便. (2)(2)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)， 選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵之一， 一般要使平面 多邊形盡可能多的頂點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，以便于畫點(diǎn).原圖中不平行于坐標(biāo)軸的線段可以通過 作平行于坐標(biāo)軸的線段來作出其對(duì)應(yīng)線段.關(guān)鍵之二是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，借助于平面 直角坐標(biāo)系確定頂點(diǎn)后，只需把這些頂點(diǎn)順次連接即可. 跟蹤訓(xùn)練 2 (1)2 (1)用斜二測(cè)畫法畫邊長為 4 4 cmcm 的水平放置的正三角形( (如圖) )

8、的直觀圖. (2)(2)畫一個(gè)正四棱錐的直觀圖( (尺寸自定) ).6 類型三 直觀圖的還原與計(jì)算 命題角度 1 1 由直觀圖還原平面圖形 例3如圖所示， A B C是水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖, 反思與感悟 由直觀圖還原平面圖形的關(guān)鍵 (1)(1) 平行于x 軸的線段長度不變，平行于 y 軸的線段擴(kuò)大為原來的 2 2 倍. (2)(2) 對(duì)于相鄰兩邊不與 x、y軸平行的頂點(diǎn)可通過作 x軸，y軸平行線變換確定其在 xOy 中的位置. 跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，矩形O A B C是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖， 其中O A =6 6 cmcm, C D D = 2 cm2 cm，則原圖形是 _

9、 命題角度 2 2 原圖形與直觀圖的面積的計(jì)算 例 4 4 如圖所示，梯形ABCD是一平面圖形 ABCD勺直觀圖.若AD/ O y , AB / CD, AB 2 2 =;GD = 2 2, AiD= O D = 1.1.試畫出原四邊形的形狀，并求出原圖形的面積. 3 3 將其還原成平面圖形. 7 反思與感悟 （1 1）由原圖形求直觀圖的面積， 關(guān)鍵是掌握斜二測(cè)畫法， 明確原來實(shí)際圖形中的 高，在直觀圖中變?yōu)榕c水平直線成 4545角且長度為原來一半的線段， 這樣可得出所求圖形相 應(yīng)的高. （2 2）若一個(gè)平面多邊形的面積為 S它的直觀圖面積為 S,則S=s 跟蹤訓(xùn)練 4 4 如圖所示，一個(gè)水平

10、放置的三角形的斜二測(cè)直觀圖是等腰直角三角形 A B O,若O B = 1，那么原三角形 ABO的面積是（ ） 咼當(dāng)堂訓(xùn)練 - 1 1.當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投射線時(shí)， 關(guān)于平行投影的性質(zhì)， 下列說法中不正確的是 （ ） A.A. 直線或線段的平行投影仍是直線或線段 B.B. 平行直線的平行投影仍是平行的直線 C.C. 與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個(gè)圖形全等 D.D. 在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比 2 2 已知一個(gè)正方形的直觀圖是一個(gè)平行四邊形，其中有一邊長為 4 4,則此正方形的面積為 A A. 1616 D.D.無法確定 3.3. 利用斜二測(cè)畫

11、法畫出邊長為 3 3cmcm 的正方形的直觀圖，正確的是圖中的 （ ） 4.4. _ 如圖，水平放置的 ABC勺斜二測(cè)直觀圖是圖中的厶 A B C，已知 A C = 6 6, B C =4 4，則AB邊的實(shí)際長度是 . B. B. 6464 C. C. 16 16 或 6464 D.D. 8 5 5 畫出水平放置的四邊形 OBCD如圖所示) )的直觀圖. 廠規(guī)律與方法 - 1 1 畫水平放置的平面圖形的直觀圖， 關(guān)鍵是確定直觀圖的頂點(diǎn). 確定點(diǎn)的位置，可采用直角 坐標(biāo)系建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是迅速作出直觀圖的關(guān)鍵，常利用圖形的對(duì)稱性，并讓頂點(diǎn)盡量 多地落在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的直線上. 2 2 用

12、斜二測(cè)畫法畫圖時(shí)要緊緊把握?。骸耙恍薄薄ⅰ岸y(cè)”兩點(diǎn)： (1)(1) 一斜：平面圖形中互相垂直的 OxOy軸，在直觀圖中畫成 O x、0 y軸，使/ x O y =4545 或 135135. (2)(2) 二測(cè)：在直觀圖中平行于 x軸的長度不變，平行于y軸的長度取一半，記為“橫不變，縱 折半”. 3 3.中心投影的投射線相交于一點(diǎn)， 中心投影后，圖形與原圖形相比雖然相差較大， 但直觀性 強(qiáng)，看起來與人的視覺效果一致若一個(gè)平面圖形所在的平面與投射面平行，則中心投影后 得到的圖形與原圖形相似.9 合案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考 框邊的平行性沒有改變，平行直線段或同一條直線上的兩條線段的比也沒

13、有改變. 梳理（1 1）平行 平行投影 平行投影 （2 2）直線線段平行重合 平行等長全等等于 知識(shí)點(diǎn)二 1 1 思考 1 1 A B/ C D , A D/ B C , A B= AB A D= q qAD 思考 2 2 沒有都畫成正方形. 梳理平面圖形 （2 2）9090 9090 4545 （或 135135） 9090 x軸 y 軸 z軸相同 1 1 保持長度不變 原來的 q q 坐標(biāo)軸 知識(shí)點(diǎn)三 思考 燈泡發(fā)出的光線是由一點(diǎn)向外分散發(fā)射的；手電筒發(fā)出的光是一束平行光線不是. 梳理點(diǎn)光源 題型探究 例 1 1 D D 由平行投影和中心投影的定義知，平行投影的投影線互相平行，中心投影的投

14、影 線相交于一點(diǎn)，故正確；空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線變成直線，但平行線有可能變成 相交線，如照片中由近到遠(yuǎn)物體之間的距離越來越近，最后相交于一點(diǎn)，故正確；幾何體 在平行投影與中心投影下有不同的表現(xiàn)形式，故正確故選 D.D. 解析 四邊形BFD E的四個(gè)頂點(diǎn)在底面 ABC內(nèi)的投影分別是 B, C, D, A,所以投影是正 方形，即正確；設(shè)正方體的棱長為 2 2,則AE= 1 1,取D D的中點(diǎn)G連接AG則四邊形 BFD E在面A D DA內(nèi)的投影是四邊形 AGD E,由AE/ D G,且AE= D G知四邊形AGD E 是平行四邊形，但 AE= 1 1, D E= 5 5,所以四邊形 AGD

15、E不是菱形，即不正確；對(duì)于， 由可知兩個(gè)投影四邊形是對(duì)邊分別相等的平行四邊形，從而正確.10 跟蹤訓(xùn)練 1 1 (1)B(1)B 根據(jù)題意畫出圖形如圖. AB OB BC OC AC 由圖易得 A B = QEF = B C = OCT=A C，則 ABC A B C . (2)B (2)B 正方形的平行投影可以是矩形或平行四邊形或菱形， 故錯(cuò)；平行四邊形的平行投影 可以是矩形、菱形、正方形，故正確；銳角三角形的平行投影可以是銳角三角形或直角三 角形或鈍角三角形或線段，故錯(cuò).故選 B.B. 例 2 2 解(1)(1)在已知的直角梯形 OBC中，以底邊0B所在直線為x軸，垂直于0B的腰0D所 在

16、直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.畫出相應(yīng)的 x 軸和y 軸，使/ x O y = 4545，如 圖(2)(2)所示. 1 1 在x軸上截取 O B = OB在y 軸上截取 O D=OD過點(diǎn)D作x軸的平行線I , 在I上沿x軸正方向取點(diǎn) C使得D C = DC連接B C，如圖(2)(2). 引申探究 所得四邊形O B C D . 解畫法：(1)(1)如圖所示，取 AB所在直線為x軸, AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，畫對(duì) 應(yīng)的坐標(biāo)系x O y，使/ x O C D 11 1 1 以O(shè)為中點(diǎn)在x軸上取 A B = AB在y軸上取O E = -OE 以E為中點(diǎn)畫出C D/ x軸，并使C D = CD

17、 (3)(3)連接B C , D A ,所得的四邊形 A B C D就是水平放置的等腰梯形 ABCD勺直觀 圖. 跟蹤訓(xùn)練 2 (1)2 (1)解 如圖所示，以 BC邊所在的直線為x軸，以BC邊上的高線 A0所在 的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系. 畫出對(duì)應(yīng)的x軸、y 軸，使/ x O y 在x軸上截取 O B = O C = 2 2 cm,cm,在y 則三角形A B C即為正三角形 ABC的直觀圖，如圖所示. 解 畫軸.如圖 ，畫x軸、y軸、z軸，使/ xOy= 4545 ( (或 135135 ) )，/ xOz= 9090. 畫底面.以 O為中心，在xOy平面內(nèi)，畫出正方形的直觀圖 ABC

18、D 畫頂點(diǎn)在 Oz軸上截取OS使OS等于已知正四棱錐的高. 畫棱連接SA SB SC SD擦去輔助線( (坐標(biāo)軸) )，得到正四棱錐 S- ABC啲直觀圖，如 圖所示. 例 3 3 解 畫出直角坐標(biāo)系 xOy,在x軸的正方向上取 OA= O A，即CA= C A ; 過B作B D / y 軸，交x軸于點(diǎn)D，在OA取OD= O D，過D作DB/ y軸, 且使 DB= 2 2D B; 連接 AB BC得厶ABC 則厶ABC即A B C對(duì)應(yīng)的平面圖形，如圖所示. B 0 C x 12 跟蹤訓(xùn)練 3 3 菱形 解析 如圖所示，在原圖形 OAB(中，應(yīng)有OD= 20 20 D = 2 2X2 2 2 = 4 4 2(cm) 2(cm) , CD= C D = 2(cm) ,2(cm) , 0C= 0D+ CD= 1 1 2 2 一2+ 2 22= 6(cm)6(cm), 0A= 0C故四邊形 OAB(是菱形. 例 4 4 解 如圖，建立直角坐標(biāo)系 x