淺談數(shù)學分析中的數(shù)學思想

1、淺談數(shù)學分析中的數(shù)學思想李靜赤峰學院10級 數(shù)學與統(tǒng)計學院 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學2班10041100332摘要：在學習數(shù)學分析屮，首先接觸到的就是關(guān)于數(shù)學名詞的概念問題，那么亳無疑問，深入了解概念是 學習拿握數(shù)學分析的第一耍務(wù);在學握了概念z后,接卜來就是運算能力以及對數(shù)學符號的熟識程度;然 后就是在學習過程中及做題中學習實踐的做題技巧，這就逐漸形成了數(shù)學思憩方法。數(shù)學知識中蘊含的思 想方法是極其豐富的，尤其是隱藏于數(shù)學知識背后的數(shù)學思想的價值不可忽視.本文對數(shù)學分析內(nèi)容中的函 數(shù)思想、極限思想、連續(xù)思想、數(shù)形結(jié)介思想、化歸思想進行初步的分析.關(guān)鍵詞：數(shù)學分析；數(shù)學思想；分析一、函數(shù)思想函數(shù)概念和函

2、數(shù)思想的提出和運用,使得變量數(shù)學誕生了，常量數(shù)學發(fā)展到變量數(shù)學，函 數(shù)思想起了決定性作用.函數(shù)是數(shù)學分析的硏究對象.函數(shù)思想就是運用函數(shù)的觀點,把常量 視作變量、化靜為動、化離散為連續(xù)，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,運用函數(shù)的性質(zhì)加以 解決的一種思想方法.在數(shù)學分析中，我們通常用來解決不等式的證明、方程根的存在性與個 數(shù)、級數(shù)問題、數(shù)列極限等.分析這是一個不等式證明問題,直接證明有一定難度，但是將此問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題 的單調(diào)性，即可解決問題.證明 構(gòu)造輔助函數(shù)/(x) = ln(l + x)-a： + ，則/'(%)= 1 + x,可證當%>()時,廣(兀)0,因此單調(diào)遞增又因為

3、/(0)= 0,所以當兀>0時,/(x)>/(o)= o,ep原 不等式成立.分析這是一個級數(shù)問題，該級數(shù)為交錯級數(shù)從函數(shù)的觀點出發(fā),化離散為連續(xù)，轉(zhuǎn)化為 函數(shù)問題，運用函數(shù)的性質(zhì)，從而解決問題.解 該級數(shù)為交錯級數(shù)，由萊布尼茲判別法知，要判斷其斂散性，只需判斷通項的絕對值"是否單調(diào)減少_h能于為0 為此，將冷連續(xù)化，設(shè)/（兀）= w（x + l）,由于 h+lx+1廣（x）= i（e），當x9吋，廣（x）0, bp f（x）在（9,+00）內(nèi)單調(diào)遞減.將特殊值 （1 + 兀）x = n （ n為大于9 ）的白然數(shù)代入知,un=f（n）也遞減且極限為0,故此級數(shù)收斂.二、

4、極限的思想極限的思想方法是近代數(shù)學的一種重要思想方法，數(shù)學分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極 限理論為主要丄具來研究初等函數(shù)的一門學科極限是研究無限的有力工具，“極限”揭示了 常量與變量、有限與無限、直線與曲線、勻速運動與變速運動對立統(tǒng)一的關(guān)系極限的思想 方法貫穿于數(shù)學分析課程的始終，-方面利用極限的思想給出了連續(xù)函數(shù)、導數(shù)、定積分、 無窮?。ù螅┝俊⒓墧?shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導數(shù)、廣義積分的斂散性、重積分、曲線積分、 曲線弧長、曲面積分等的概念，數(shù)學分析中兒乎所有的概念都離不開極限的思想.另一方面在 閉區(qū)間列上的區(qū)間套足理體現(xiàn)了極限的思想,泰勒定理中的泰勒公式就是利用多項式兩數(shù)去 逼近己知函數(shù)等學

5、習者以”極限理論”為丄具，以現(xiàn)實具休的問題為背景，從具體到抽象, 特殊到一般的去理解概念及定理的木質(zhì)，町以增強分析和解決問題的能力.對所求量，先構(gòu)造與其相關(guān)的變量，前提是該變量無限變化的結(jié)果就是所求量，此時采 用極限運算得到所求量。例如邱瞬時速度、曲面弧長、曲變形面積等問題，就是釆用了極限 的思想。例3如果物體做非勻速直線運動，其運動規(guī)律的函數(shù)是$ = /（/）,其中f為時間，$是 距離，求它在時刻的瞬時速度。解 物體從時刻到時刻這段時間內(nèi)的平均速度是:一v =ar/co 十a(chǎn)r,當很小時，時刻0的瞬時速度”0因此當無限趨近于0（&工0）時，就無限趨近于心，即vn = lim soli

6、m / "o仏）亠 toa/三、連續(xù)的思想在數(shù)學分析中，把函數(shù)的連續(xù)性局部化到當函數(shù)的口變量在某點鄰域內(nèi)作微小變動時， 相應(yīng)函數(shù)值也在對應(yīng)點的函數(shù)值鄰域內(nèi)作微小變動。這種思想應(yīng)用到連續(xù)函數(shù)求極限的情形，就可以把極限的復雜問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值的問 題，從而大大簡化了運算。如果給立的函數(shù)不連續(xù)，可以通過整理、化簡、變換等途徑將其 轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)，再利用上面的方法求其極限。例 4 求 lim 。&（1 + 兀）,（ao,d#l）xtox解 將給定的函數(shù)變形為log“（l + x）； ,再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，冇lim(l + x)x = log,/ e._2() j lim 噸&qu

7、ot;° + 兀）=lim log（l += logxto xx-（）四、數(shù)形結(jié)合的思想數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學，而空間形式和數(shù)量關(guān)系之間往往存在密切的聯(lián) 系，又冇各自特點.數(shù)形結(jié)合思想方法，就是充分利用形的直觀性和數(shù)的規(guī)范性，通過數(shù)與形 的聯(lián)系轉(zhuǎn)化來研究數(shù)學對象和解決數(shù)學問題.具體包括:數(shù)轉(zhuǎn)化為形的思想；形轉(zhuǎn)化為數(shù)的思 想這種方法使得復雜問題簡單-化、抽象問題具體化、形象化、直觀化，化難為易，最終找到 最優(yōu)解決方案.數(shù)形結(jié)合的思想在數(shù)學分析課程中的應(yīng)用廣泛，很多抽象問題中都蘊含著某種兒何意義, 借助兒何圖形，對抽象問題進行兒何解釋，使抽象問題結(jié)合圖形更容易深入理解，更容易

8、掌握 其最本質(zhì)的知識.比如:極限、曲線的漸近線、導數(shù)與微分、二元函數(shù)偏導數(shù)與全微分、定積 分與重積分、反常積分（無窮積分與瑕積分）、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的凹凸性等概念的兒何意 義,對于確切理解并正確掌握這些基本概念是非常重要的，同時為解決各種實際問題提供了 多樣化的方法.乂比如：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)基本性質(zhì)（介值性定理、根的存在定理）、微分中值 定理（羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理）、積分中值定理、費馬定理、隱函數(shù)存在唯一性 定理等兒何意義，不論對定理的深入理解，還是對啟發(fā)證明定理結(jié)論方而有很人幫助.例5下而僅談?wù)剝汉螆D形對拉格朗日定理的內(nèi)容的理解及證明所起的作用.為了敘述的方便，首先將拉格朗日定

9、理陳述如下：若函數(shù)/滿足如下：（1） /在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2） f在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導，則在仏b）內(nèi)至少存在一點0,使得fm =b-a它的兒何意義是若一條曲線在a,列上連續(xù)，曲線上每一點都存在切線，則曲線上至少 存在一點0（0/）,過點0的切線平行于割線ab （圖1）.此定理的證明關(guān)鍵在于運用 其幾何意義，考慮到這個定理比羅爾定理少了一個條件，構(gòu)造輔助函數(shù)使其滿足羅爾定理的 要求，即滿足函數(shù)在端點的取值相同，最厲用羅爾定理得出最后的結(jié)論.因此，想辦法構(gòu)造一 個輔助函數(shù)f（x）,使得在a問上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導并且f（a） = f（b）.觀察圖1可知, 割線與曲線有兩個交點4與b，

10、要使f（a） = f（b）,只需使f（x）的圖像經(jīng)過4,3兩 點，f（x） nj取為曲線縱朋標與割線縱朋標z差.其中，曲線的方程為y = /（x）,割線ab的 方程為），=/） +丿少）7 ）（無_a）,町見,幾何圖形在此立理的證明起到關(guān)鍵的作用.b a圖五、化歸思想在研究數(shù)學問題時，將所|僑臨的未解決或待解決的原問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到類已經(jīng)解決的新問題中去，最終原問題得到解答的-種思維方法稱為化歸思想，基本思維過程如圖:原問題新問題解答化歸的思想在數(shù)學分析中應(yīng)用十分廣泛，挖掘出隱藏于數(shù)學知識背后的化歸的數(shù)學思想, 可深化理解數(shù)學分析中知識體系間的關(guān)系以及處理一些問題的方法,提高數(shù)學綜

11、合能力. 如：（1）海涅定理（heine揭示了函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系，一方面可利川海涅定理和數(shù) 列極限的有關(guān)性質(zhì)得出并證明函數(shù)極限的所有性質(zhì)，另一方面將數(shù)列極限問題轉(zhuǎn)化為兩數(shù)極 限問題來處理，把某些數(shù)列不等式極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式極限，進而用洛比達法則或兩個重 sin r（1要極限（lim =0, lim 1 + - =幺）求出其極限.（2）微分屮值定理揭示函數(shù)與其導 xto xxt81x）數(shù)關(guān)系，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為導數(shù)問題，進而以導數(shù)為工具學習函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值、 最值，解決有關(guān)最值與極值的實際問題（3）微積分基本定理實現(xiàn)了微分與積分的轉(zhuǎn)化.（4） 重積分、曲線積分、曲面積分、廣義積分

12、的計算問題都轉(zhuǎn)化為定積分的計算問題，另外求定 積分及不定積分的兩種基本方法換元法和分步積分法都體現(xiàn)了化歸的思想（5）極限與 級數(shù)z間的轉(zhuǎn)化，如:數(shù)列的極限問題可轉(zhuǎn)化為級數(shù)收斂的必要條件、級數(shù)收斂的定義轉(zhuǎn)化為 極限的方式來定義.數(shù)項級數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)項級數(shù)問題，進而運用逐項求導、逐項求積等性 質(zhì)計算（6）格林公式揭示出平而區(qū)域上的二重積分與沿著該區(qū)域的閉曲線的第二型曲線積 分可以相互轉(zhuǎn)化等.化歸思想的關(guān)鍵在于選擇“轉(zhuǎn)化的方向”，下面舉例說明化歸思想的應(yīng)用.例6求數(shù)列極限lim ."too 2"分析這是一個數(shù)列極限問題,利用數(shù)列極限的理論方向來解決這個問題有一定難度.由 海涅定

13、理可知將此問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限問題，rh洛比達法則可求出結(jié)杲.n2y22x2解 lim = lim - = lim -=lim=0.2“8 2x xtoc 2x in 2 geo 2x （n 2）例7求數(shù)項級數(shù)工/:=1n(/? + !)!分析利用數(shù)項級數(shù)與函數(shù)項級數(shù)z間的關(guān)系,將無法直接求和的數(shù)項級數(shù)問題轉(zhuǎn)化為 求幕級數(shù)和函數(shù)的問題，進而用熟悉的逐項求導、求積分方法加以解決.00s + l)!解設(shè)/w=en=l8/(0) = 0>/(i) = zn=l00又吃n-崙帀疋利在(00,+00)內(nèi)一致收斂心e冷"xn,f (%) = teldt = xel 一 k +1,00zn=l參考文獻：1 李福興.解讀數(shù)學分析中的數(shù)學思想方法j廣西賀州學院學報,2010, 26(3): 109-112.2 林遠華.數(shù)學分析課程中的數(shù)學思想方法研究j.廣西河池師專學報,2001, 21(2):31-34.3 復旦大學數(shù)學系.數(shù)學分析(第二版)(上、下冊)m.北京:高等教育出版社，2007.