(完整版)排列組合問題的解題方法與技巧的總結(jié)

1、尊重樂學(xué)博識第1頁知識成就未來！學(xué)員數(shù)學(xué)科目第次個性化教案授課時間教師姓名備課時間學(xué)員年級高二課題名稱排列組合問題的解題策略課時總數(shù)共課時教育顧問學(xué)管邱老師教學(xué)目標1、兩個計數(shù)原理的掌握與應(yīng)用；2、關(guān)于排列與組合的定義的理解；關(guān)于排列與組合數(shù)公式的掌握；關(guān)于組合數(shù)兩個性質(zhì)的掌握；3、運用排列與組合的意義與公式解決簡單的應(yīng)用問題（多為排列與組合的混合問題）教學(xué)重點1、兩個計數(shù)原理的掌握與應(yīng)用；2、關(guān)于排列與組合的定義的理解；關(guān)于排列與組合數(shù)公式的掌握；關(guān)于組合數(shù)兩個性質(zhì)的掌握；教學(xué)難點運用排列與組合的意義與公式解決簡單的應(yīng)用問題（多為排列與組合的混合問題）教學(xué)過程教師活動一、作業(yè)檢查與評價（第一

2、次課程）二、復(fù)習(xí)導(dǎo)入排列組合問題聯(lián)系實際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，因此解決排列組合問題，首先要認真審題，弄清楚是排列問題、組合問題還是排列與組合綜合問題；其次要抓住問題的本質(zhì)特征，采用合理恰當?shù)姆椒▉硖幚?。三、?nèi)容講解1. 分類計數(shù)原理 ( 加法原理 ) 完成一件事，有n類辦法，在第1 類辦法中有1m種不同的方法，在第2 類辦法中有2m種不同的方法，在第n類辦法中有nm種不同的方法，那么完成這件事共有：12nnmmml種不同的方法2. 分步計數(shù)原理（乘法原理）完成一件事， 需要分成n個步驟，做第 1 步有1m種不同的方法， 做第 2 步有2m種不同的方法， ，做第n步有nm種不同的方法，

3、那么完成這件事共有：12nnmmml種不同的方法3. 分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理區(qū)別分類計數(shù)原理方法相互獨立，任何一種方法都可以獨立地完成這件事。分步計數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:1. 認真審題弄清要做什么事2. 怎樣做才能完成所要做的事, 即采取分步還是分類, 或是分步與分類同時進行, 確定分多少步及多少類。3. 確定每一步或每一類是排列問題( 有序 ) 還是組合 ( 無序 ) 問題 , 元素總數(shù)是多少及取出多少個元素 . 4. 解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略排列組合問題的解題

4、策略尊重樂學(xué)博識第2頁知識成就未來！一、相臨問題 捆綁法例 1 7 名學(xué)生站成一排，甲、乙必須站在一起有多少不同排法？解：兩個元素排在一起的問題可用“ 捆綁 ” 法解決，先將甲乙二人看作一個元素與其他五人進行排列，并考慮甲乙二人的順序，所以共有種。評注：一般地: n 站成一排 ,其中某 m 個人相鄰 ,可用 “ 捆綁 ” 法解決，共有nmmnmmaa種排法。練習(xí)： 5 個男生 3 個女生排成一排,3 個女生要排在一起,有多少種不同的排法?二、不相臨問題 選空插入法例 2 7 名學(xué)生站成一排，甲乙互不相鄰有多少不同排法？解：甲、乙二人不相鄰的排法一般應(yīng)用“插空”法，所以甲、乙二人不相鄰的排法總數(shù)

5、應(yīng)為：2565a a種 . 插入法 : 對于某兩個元素或者幾個元素要求不相鄰的問題,可以用插入法. 即先排好沒有限制條件的元素 , 然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可. 若 n個人站成一排，其中m個人不相鄰，可用“插空”法解決，共有種排法。練習(xí)：學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票12 張。 8 個學(xué)生， 4 個老師，要求老師在學(xué)生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？分析此題涉及到的是不相鄰問題, 并且是對老師有特殊的要求, 因此老師是特殊元素, 在解決時就要特殊對待 . 所涉及問題是排列問題. 解 先排學(xué)生共有種排法 , 然后把老師插入學(xué)生之間的空檔，共有 7

6、 個空檔可插 , 選其中的4 個空檔 ,共有種選法 . 根據(jù)乘法原理 , 共有的不同坐法為種. 三、復(fù)雜問題- 總體排除法或排異法有些問題直接法考慮比較難比較復(fù)雜，或分類不清或多種時，而它的反面往往比較簡捷，可考慮用“排除法”，先求出它的反面, 再從整體中排除. 解決幾何問題必須注意幾何圖形本身對其構(gòu)成元素的限制。例 3.(1996年全國高考題 ) 正六邊形的中心和頂點共7 個點，以其中3 個點為頂點的三角形共有個 . 解：從 7 個點中取3 個點的取法有種，但其中正六邊形的對角線所含的中心和頂點三點共線不能組成三角形，有3 條，所以滿足條件的三角形共有 332 個. 練習(xí)：我們班里有43 位

7、同學(xué) , 從中任抽5 人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種 ? 分析此題若是直接去考慮的話, 就要將問題分成好幾種情況, 這樣解題的話, 容易造成各種情況遺漏或者重復(fù)的情況. 而如果從此問題相反的方面去考慮的話, 不但容易理解, 而且在計算中也是非常的簡便 . 這樣就可以簡化計算過程. 解 43人中任抽5 人的方法有種, 正副班長 , 團支部書記都不在內(nèi)的抽法有種, 所以正副班長 , 團支部書記至少有1 人在內(nèi)的抽法有種. 尊重樂學(xué)博識第3頁知識成就未來！四、特殊元素- 優(yōu)先考慮法對于含有限定條件的排列組合應(yīng)用題，可以考慮優(yōu)先安排特殊位置，然后再考慮其他位置的安排。例 4 (

8、1995 年上海高考題) 1名老師和4 名獲獎學(xué)生排成一排照像留念，若老師不排在兩端，則共有不同的排法種解：先考慮特殊元素（老師）的排法，因老師不排在兩端，故可在中間三個位置上任選一個位置，有3種，而其余學(xué)生的排法有種，所以共有72 種不同的排法. 例 5（ 2000 年全國高考題）乒乓球隊的10 名隊員中有3 名主力隊員，派5 名隊員參加比賽，3 名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7 名隊員選2 名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有種 . 解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力隊員，有種排法，而其余7名隊員選出2 名安排在第二、四位置，有種排法，所以不同的出場安排共有252

9、 種. 五、多元問題- 分類討論法對于元素多，選取情況多，可按要求進行分類討論，最后總計。例 6（ 2003 年北京春招）某班新年聯(lián)歡會原定的5 個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目 . 如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（）a42 b 30 c20 d12 解：增加的兩個新節(jié)目，可分為相臨與不相臨兩種情況：1. 不相臨：共有種； 2. 相臨：共有種。故不同插法的種數(shù)為：26a +22a16a=42 ，故選 a。例 7（ 2003 年全國高考試題）如圖，一個地區(qū)分為5 個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4 種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有

10、種. （以數(shù)字作答）解： 由題意，選用3 種顏色時，c43種顏色，必須是同色，同色，與進行全排列，涂色方法有 c43a33=24 種 4 色全用時涂色方法：是同色或同色，有2 種情況，涂色方法有c21a44=48 種所以不同的著色方法共有48+24=72種；故答案為72六、混合問題- 先選后排法對于排列組合的混合應(yīng)用題，可采取先選取元素，后進行排列的策略尊重樂學(xué)博識第4頁知識成就未來！例 8（ 2002 年北京高考） 12 名同學(xué)分別到三個不同的路口進行車流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案共有（）種a. b.3種 c. 種 d.解：本試題屬于均分組問題。則12 名同學(xué)均分成3 組共有

11、種方法 , 分配到三個不同的路口的不同的分配方案共有：種，故選a。例 9（ 2003 年北京高考試題）從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4 種蔬菜品種中選出3 種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有（）a24 種b18 種c12 種 d6 種解： 黃瓜必選，故再選2 種蔬菜的方法數(shù)是c32種，在不同土質(zhì)的三塊土地上種植的方法是a33，種法共有 c32a33=18 ，故選 b七相同元素分配- 檔板分隔法例 10把 10 本相同的書發(fā)給編號為1、2、3 的三個學(xué)生閱覽室，每個閱覽室分得的書的本數(shù)不小于其編號數(shù)，試求不同分法的種數(shù)。請用盡可能多的方法求解，并思考這些方法是否適合

12、更一般的情況？本題考查組合問題。解一：先讓2、3 號閱覽室依次分得1 本書、 2 本書；再對余下的7 本書進行分配，保證每個閱覽室至少得一本書， 這相當于在7 本相同書之間的6 個“空檔”內(nèi)插入兩個相同“i ” （一般可視為“隔板”）共有26c種插法，即有15 種分法。2、解二：由于書相同，故可先按閱覽室的編號分出6 本，此時已保證各閱覽室所分得的書不小于其編號，剩下的4 本書有以下四種分配方案：某一閱覽室獨得4 本，有種分法；某兩個閱覽室分別得1 本和 3 本，有種分法；某兩個閱覽室各得2 本，有種分法；某一閱覽室得2本，其余兩閱覽室各得1 本，有種分法 .由加法原理，共有不同的分法3+=1

13、5 種. 八轉(zhuǎn)化法 :對于某些較復(fù)雜的、或較抽象的排列組合問題，可以利用轉(zhuǎn)化思想, 將其化歸為簡單的、具體的問題來求解。例 11 高二年級8 個班 , 組織一個12 個人的年級學(xué)生分會, 每班要求至少1 人,名額分配方案有多少種 ? 分析此題若直接去考慮的話, 就會比較復(fù)雜. 但如果我們將其轉(zhuǎn)換為等價的其他問題, 就會顯得比較清楚 , 方法簡單 , 結(jié)果容易理解 . 解：此題可以轉(zhuǎn)化為: 將 12 個相同的白球分成8 份, 有多少種不同的分法問題, 因此須把這12 個白球排成一排 , 在 11 個空檔中放上7 個相同的黑球 , 每個空檔最多放一個, 即可將白球分成8 份, 顯然有種不同的放法

14、, 所以名額分配方案有種. 尊重樂學(xué)博識第5頁知識成就未來！九剩余法 :在組合問題中, 有多少取法, 就有多少種剩法, 他們是一一對應(yīng)的, 因此 , 當求取法困難時, 可轉(zhuǎn)化為求剩法 . 例 12 袋中有 5 分硬幣 23 個,1 角硬幣 10 個, 如果從袋中取出2 元錢 , 有多少種取法 ? 分析此題是一個組合問題, 若是直接考慮取錢的問題的話, 情況比較多 , 也顯得比較凌亂, 難以理出頭緒來 . 但是如果根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)考慮剩余問題的話, 就會很容易解決問題. 解把所有的硬幣全部取出來, 將得到0.0523+0.1010=2.15元, 所以比 2 元多 0.15 元,所以剩下 0.15

15、元即剩下 3 個 5 分或 1 個 5 分與 1 個 1 角, 所以共有2種取法 . 十對等法 :在有些題目中, 它的限制條件的肯定與否定是對等的, 各占全體的二分之一. 在求解中只要求出全體 , 就可以得到所求. 例 13 期中安排考試科目9 門, 語文要在數(shù)學(xué)之前考, 有多少種不同的安排順序? 分析對于任何一個排列問題, 就其中的兩個元素來講的話, 他們的排列順序只有兩種情況, 并且在整個排列中, 他們出現(xiàn)的機會是均等的, 因此要求其中的某一種情況, 能夠得到全體, 那么問題就可以解決了 . 并且也避免了問題的復(fù)雜性. 解不加任何限制條件, 整個排法有種, “語文安排在數(shù)學(xué)之前考”, 與“

16、數(shù)學(xué)安排在語文之前考”的排法是相等的, 所以語文安排在數(shù)學(xué)之前考的排法共有種. 十一平均分組問題:例 146 本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：（ 1）分給甲、乙、丙三人，每人2 本；（ 2）分為三份，每份2 本；（ 3）分為三份，一份1 本，一份2 本，一份3 本；（ 4）分給甲、乙、丙三人，一人1 本，一人2 本，一人3 本；（ 5）分給甲、乙、丙三人，每人至少1 本。解： 1.c2/6xc2/4=90；2.(c2/6xc2/4)/a3/3=15；3.c1/6xc2/5=60；4.c1/6xc2/5xa3/3=360；5.【(c2/6xc2/4)/a3/3+c1/6xc2/5+c1/6xc1/5/a2/2】xa3/3=540.尊重樂學(xué)博識第6頁知識成就未來！總之，排列、組合應(yīng)用題的解題思路可總結(jié)為：排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類為加，分步為乘。具體說，解排列組合的應(yīng)用題，通常有以