（寒假總動員）2015年高二數(shù)學(xué)寒假作業(yè) 專題10 空間向量及運(yùn)算（學(xué)）

1、專題十 空間向量及其運(yùn)算學(xué)一學(xué)-基礎(chǔ)知識結(jié)論1.向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律(1)向量的數(shù)乘：實數(shù)與空間向量a的乘積仍然是一個向量，記作，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算當(dāng)>0時，a與向量a方向相同，<0時，a與向量a方向相反，a的長度是a的長度的倍(2)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律與結(jié)合律分配律： ；結(jié)合律： 2.空間向量的數(shù)量積運(yùn)算2空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a|b|cosa，b叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.(2)數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)合律(a)·b交換律a·b分配律a·(bc)(3)數(shù)量積的性質(zhì)兩個向量數(shù)量積

2、的性質(zhì)若a，b是非零向量，則ab.若a與b同向，則a·b；若反向，則a·b.特別地：a·a|a|2或|a|.若為a，b的夾角，則cos |a·b|a|·|b|.3.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則(1)ab；(2)ab；(3)a(R)；(4)a·b；(5)ab； (6)ab學(xué)一學(xué)-方法規(guī)律技巧1.用已知向量表示未知向量.空間內(nèi)用已知向量表示未知向量理論依據(jù)是空間向量基本定理，即選定三個不共面向量，則對于空間內(nèi)任意一個向量，都可以用表示.其實質(zhì)是將空間向量問題轉(zhuǎn)化為平面向量.例1.如圖，已知空間

3、四邊形OABC，其對角線為OB，AC.M，N分別是對邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且MG2GN，用基底向量，表示向量.2.如何求平面的法向量解決立體幾何問題時，注意求解方法既可以用傳統(tǒng)的幾何方法解決，又可用向量方法處理，在求直線和平面所成的角、二面角時，正確求出法向量的坐標(biāo)是關(guān)鍵，常見的求法向量方法有兩種：方程法；雙0速算法例2分別求解下列兩問：若，是平面內(nèi)的三點(diǎn)，設(shè)平面的法向量，則_（）已知向量是平面內(nèi)的兩個不共線向量，且，求平面的一個法向量3判斷若個點(diǎn)共面（或向量共面）證明四點(diǎn)共面，可在四點(diǎn)之中，構(gòu)造向量，先利用空間向量共面定理證明向量共面，進(jìn)而證明四點(diǎn)共面；證明向量共面，將其中一個向量用另外兩個向量表示，進(jìn)而根據(jù)空間向量基本定理證明向量共面，其中靈活地進(jìn)行向量的合成與分解是關(guān)鍵例3如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.(1)證明：A