數(shù)學(xué)方法在物理學(xué)上應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)方法在物理學(xué)上應(yīng)用【中圖分類號(hào)】g633. 5【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】a【文章編 號(hào)】2095-3089 (2013) 32-0-02數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科，其思想、方法和知識(shí)始終滲透、貫 穿于整個(gè)物理學(xué)習(xí)和研究的過程中，為物理概念、定律的表 述提供簡(jiǎn)潔、精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，為學(xué)生進(jìn)行抽象思維和邏輯 推理提供有效的方法，為物理學(xué)中的數(shù)量分析和計(jì)算提供有 力工具.中學(xué)物理考試大綱中對(duì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決 物理問題的能力作出了明確要求，要求考生有“應(yīng)用數(shù)學(xué)處 理物理問題的能力”高考物理試題的解答離不開數(shù)學(xué)知識(shí) 和方法的應(yīng)用，借助物理知識(shí)考查數(shù)學(xué)能力是高考命題的永 恒主題.所謂數(shù)學(xué)方法，就是要把客觀事物的狀態(tài)、關(guān)系

2、和過程 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，并進(jìn)行推導(dǎo)、演算和分析，以形成對(duì) 問題的判斷、解釋和預(yù)測(cè).可以說(shuō)，任何物理試題的求解過 程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題再經(jīng)過求解還 原為物理結(jié)論的過程。本文作者就高中物理中常用到的數(shù)學(xué) 方法和技巧作以介紹和舉例。一、極值法(1) 用三角函數(shù)求極值例1：物體放置在水平地面上，物理與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為？，物體重為g,欲使物體沿水平地面做勻速直線運(yùn) 動(dòng)，所用的最小拉力f為多大？分析：該題的已知量只有？和g,說(shuō)明最小拉力的表達(dá)式中最多只含有？和g,但是，物體沿水平地面做勻速直線運(yùn)動(dòng) 時(shí)，拉力f可由夾角的不同值而有不同的取值。因此，可根 據(jù)題意先找到與夾角有關(guān)的關(guān)

3、系式再作分析。解：設(shè)拉力f與水平方向的夾角為0 ,根據(jù)題意可列平衡方程式，即由聯(lián)立式解得:其中，所以（2）利用二次函數(shù)求極值。二次函數(shù)的通式：，當(dāng)a0時(shí)，取，則y有最大值，當(dāng) a90° o求繩中張力和大球?qū)π∏虻闹С至Γㄐ∏蛑睆胶雎?不計(jì)）【解析】選小球?yàn)檠芯繉?duì)象，受到重力g、繩的拉力f 和大球支持力fn的作用（如圖1b示）。由于小球處于平衡 狀態(tài)，所以g、f、fn組成一個(gè)封閉三角形。根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí) 可以看出三角形aob跟三角形fgfn相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得f/l二g/ (d+r)二fn/r解得 f二g l/ (d+r) fn=g r/ (d+r)討論由此可見，當(dāng)繩長(zhǎng)l減小

4、時(shí)f變小，fn不變。2.正弦定理(拉密定理)：如果在共點(diǎn)的三個(gè)力作用下, 物體處于平衡狀態(tài)，那么各力的大小分別與另外兩個(gè)力夾角 的正弦成正比。如右圖2所示，表達(dá)式為：fl/sina =f2/sinb =f3/sin 0此法適用于三力構(gòu)成的是銳角或鈍角三角形。例4如圖，船a從港口 p出發(fā)支攔截正以速度沿直線航行的船b, p與b所在航線的垂直距離為，a船啟航時(shí)，b船與p的距離為，如果略去a船啟動(dòng)時(shí)的加速過程，認(rèn)為它 一啟航就做勻速運(yùn)動(dòng)，求：(1) a船能攔到b船的最小速率；(2) a船攔到b船時(shí)兩船的位移解析：(1)設(shè)兩船在c相遇 在zkpec中, ,式中當(dāng)b二900時(shí)，即跟pb垂直時(shí)，最小，最小

5、速率為(2)攔到船時(shí)，a船位移為b船位移為答案：(1) (2)三、圖像法中學(xué)物理中一些比較抽象的習(xí)題常較難求解，若能與數(shù) 學(xué)圖像相結(jié)合，再恰當(dāng)?shù)匾胛锢韴D像，則可變抽象為形象， 突破難點(diǎn)，使解題過程大大簡(jiǎn)化。圖像法是歷年高考的熱點(diǎn)， 因而在復(fù)習(xí)中要密切關(guān)注圖像，掌握?qǐng)D像的識(shí)別繪制方法例5如圖所示，一質(zhì)量m=lkg的木板靜止在光滑水平地 面上.開始時(shí)，木板右端與墻相距l(xiāng)=0. 08m,質(zhì)量m=lkg的 小物塊以初速度v0=2m/s滑上木板左端.木板的長(zhǎng)度可保證 物塊在運(yùn)動(dòng)過程中不與墻接觸物塊與木板之間的動(dòng)摩擦因 數(shù)卩=0.1，木板與墻碰撞后以與碰撞前瞬時(shí)等大的速度反彈. 取 g=10m/s2,求

6、：(1) 從物塊滑上木板到兩者達(dá)到共同速度時(shí)，木板與 墻碰撞的次數(shù)及所用的時(shí)間.(2) 達(dá)到共同速度時(shí)木板右端與墻之間的距離. 解(1)物塊滑上木板后，在摩擦力的作用下，木板做勻加 速運(yùn)動(dòng)的加速度al=ug=lm/s,方向向右物塊做減速運(yùn)動(dòng)的加速度a2= u g=lm/s,方向向左可作出物塊、木板的v-1圖象如圖8-5乙所示由圖可知，木板在0.4s、1.2s時(shí)刻兩次與墻碰撞，在 t=l. 8s時(shí)刻物塊與木板達(dá)到共同速度.(2)由圖8-5乙可知，在t=l. 8s時(shí)刻木板的位移為：s=xal x0. 22=0. 02m木板右端距墻壁的距離a s=l-s=0. 06m.答案(1) 1.8s (2)

7、0. 06m例6：如圖所示，甲、乙兩光滑斜面的高度和斜面的總 長(zhǎng)度都相同，只是乙斜面由兩部分組成，將兩個(gè)相同的小球 從兩斜面的頂端同時(shí)釋放，不計(jì)拐角處的機(jī)械能損失，試分 析兩球中誰(shuí)先落地。解析：甲、乙兩光滑斜面的高度相同，又不計(jì)拐角處的 機(jī)械能損失，因此兩球的機(jī)械能君守恒，即落地時(shí)兩球速度 大小相同。由于斜面的傾斜程度不同，對(duì)兩小球進(jìn)行受力分 析可知，乙圖中，小球在前部分的加速度大于甲，后部分的 加速度小于甲。將乙的兩部分ut圖線合并后與甲相比， 則其前部分ut圖線斜率比甲的斜率大，后部分ut圖 線較甲斜率小。同時(shí)要使兩圖線與t軸圍成的面積相等，則 其ut圖象應(yīng)如下圖所示：由ut圖象可知，乙圖

8、中的小球先落地。四、微元法微元法就是將研究對(duì)象分割成許多微小的單元，或從研 究對(duì)象上選取某一微元加以分析，從而可以化曲為直，使變 量、難以確定的量為常量、容易確定的量。例7如圖2所示，某力f=10牛作用于半徑r=1米的轉(zhuǎn) 的邊緣上，力f的大小保持不變，但方向始終保持與作用點(diǎn)的切線方向一致，則轉(zhuǎn)動(dòng)一周這個(gè)力f做的總功應(yīng)為：a0焦耳b20 ji焦耳cio焦耳d20焦耳解：分析：把圓周分成無(wú)限個(gè)小元段，每個(gè)小元段可認(rèn) 為與力在同一直線上，故aw-fas,則轉(zhuǎn)一周中各個(gè)小元段 做功的代數(shù)和為w=fx2 nr=10x2n j=20n 故b正確。五、比例法 比例計(jì)算法可以避開與解題無(wú)關(guān)的量，直接列出已知和

9、未知的比例式進(jìn)行計(jì)算，使解題過程大為簡(jiǎn)化應(yīng)用比例法 解物理題，要討論物理公式中變量之間的比例關(guān)系，清楚公 式的物理意義，每個(gè)量在公式中的作用，所要討論的比例關(guān) 系是否成立.同時(shí)要注意以下幾點(diǎn):（1）比例條件是否滿足：物理過程中的變量往往有多個(gè)討論某兩個(gè)量比例關(guān)系時(shí)要注意只有其他量為常量時(shí)才 能成比例.（2）比例是否符合物理意義：不能僅從數(shù)學(xué)關(guān)系來(lái)看 物理公式中各量的比例關(guān)系，要注意每個(gè)物理量的意義（例: 不能據(jù)r二認(rèn)定為電阻與電壓成正比）.（3）比例是否存在：討論某公式中兩個(gè)量的比例關(guān)系 時(shí)，要注意其他量是否能認(rèn)為是不變量，如果該條件不成立, 比例也不能成立.（例在串聯(lián)電路中，不能認(rèn)為p二中，

10、p與r成反比，因?yàn)閞變化的同時(shí)，u隨之變化而并非常量）例8如圖1所示電路中，r=10歐，滑動(dòng)變阻器rw的最大阻值為20歐，u二6伏。當(dāng)滑動(dòng)片p從a滑至b時(shí)，電壓表 示數(shù)如何變化？分析：電壓表測(cè)的是r兩端的電壓，要知電壓表示數(shù)變 化范圍，首先要畫出滑片p在a和b時(shí)的等效電路，分別求 出電壓表在這兩種情況下的示數(shù)。p在a時(shí)的等效電路如圖甲所示，因rw被短路，所以 rw接入電路的電阻為零，這時(shí)電壓表示數(shù)即為電源電壓，p 在b端的等效電路見圖乙，這時(shí)rw與r串聯(lián)，rw接入電路 的電阻為它的最大值20歐。p在a端時(shí)，ur=6伏，p在b端時(shí)，因?yàn)閞與rw串聯(lián)， 所以r與rw兩端的電壓ur、uw的關(guān)系是，當(dāng)u二6伏時(shí)， 因此當(dāng)p從a滑至b