解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性

1、第三章第三章 一階微分方程解的一階微分方程解的 存在唯一性定理存在唯一性定理existence & uniqueness theorem of first-order ode2021-11-141 1常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人3.3 解對(duì)初值的連續(xù)性和可解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性微性/continuous and differentiable dependence of the solutions/ 解對(duì)初值的連續(xù)性解對(duì)初值的連續(xù)性 解對(duì)初值的可微性解對(duì)初值的可微性本節(jié)要求本節(jié)要求： 1 了解解對(duì)初值及參數(shù)的連續(xù)依賴(lài)性定理；了解解對(duì)初值及參數(shù)的連續(xù)依賴(lài)性定理； 2 了解解對(duì)初值及參

2、數(shù)的可微性定理。了解解對(duì)初值及參數(shù)的可微性定理。內(nèi)容提要內(nèi)容提要3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-143 3常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人3.3.1 解對(duì)初值的對(duì)稱(chēng)性定理解對(duì)初值的對(duì)稱(chēng)性定理設(shè) f (x,y) 于域 d 內(nèi)連續(xù)且關(guān)于 y 滿(mǎn)足利普希茨條件，),(,),(0000 yxxygyx是初值問(wèn)題00)( ),(yxyyxfdxdy的唯一解，則在此表達(dá)式中， 與 可以調(diào)換其相對(duì)位置，即在解的存在范圍內(nèi)成立著關(guān)系式3.3 continuity & dif

3、ferentiability continuity & differentiability),(00yx),(yx),(00yxxy2021-11-144 4常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人3.3.2解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性定理解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性定理假設(shè) f (x,y) 于域 g 內(nèi)連續(xù)且關(guān)于 y 滿(mǎn)足局部利普希茨條件，),(,),(0000 yxxygyx是初值問(wèn)題00 yxyyxfdxdy)(),(的解，它于區(qū)間 有定義 ，那么，對(duì)任意給定的 ，必存在正數(shù)， 使得當(dāng)bxa)(bxa00),(ba2200200)()(yyxx時(shí)，方程滿(mǎn)足條件 的解00yxy)(),(00yxxy在區(qū)間

4、bxa也有定義，并且bxayxxyxx 0000,),(),(3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-145 5常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人引理引理 如果 f(x,y) 在某域 d 內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于 y 滿(mǎn)足利普希茲條件（利普希茲常數(shù)為l），則方程(3.1.1)任意兩個(gè)解 在它們公共存在區(qū)間成立不等式)()(xx及000 xxlexxxx)()()()(其中 為所考慮區(qū)間內(nèi)的某一值。0 x證明證明設(shè) 在區(qū)間 均有定義，令)(),(xxbxa2)()()(xxxvbxa不妨

5、設(shè)因此，有( )( )xx3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-146 6常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人則)()()()()(xxxxxv2),(),()()(xfxfxx 2)()()()(xxxxl 2)(xlv20222lxlxexlvexv)()(于是02)(lxexvdxd因此，在區(qū)間 a,b 上 為減函數(shù)，有l(wèi)xexv2)(02 ()00( )(),l x xv xv x exxb3.3 continuity & differentiability

6、continuity & differentiability2021-11-147 7常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人對(duì)于區(qū)間，并記令000txtxxxa,則則),(ytfdtdy并且已知它有解)(),(tyty類(lèi)似以上推導(dǎo)過(guò)程，令2)()()(ttt)()(tt2attettttl0200,)()()(注意到)()()()(00 xvtxvtxt及0200 xxaexvxvxxl,)()()(因此0200( )(),l x xv xv x eaxb axb兩邊取平方根，得000 xxlexxxx)()()()(3.3 continuity & differentiabilit

7、y continuity & differentiability2021-11-148 8常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性定理的證明解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性定理的證明（一）構(gòu)造滿(mǎn)足利普希茨條件的有界閉區(qū)域（一）構(gòu)造滿(mǎn)足利普希茨條件的有界閉區(qū)域因?yàn)椋e分曲線(xiàn)段bxaxyxxys :00),(),(是 x y 平面上一個(gè)有界閉集，又按假定對(duì)s上每一點(diǎn)(x,y)必存在一個(gè)以它為中心的開(kāi)圓 使在其內(nèi)函數(shù) f(x , y) 關(guān)于 y 滿(mǎn)足利普希茨條件。根據(jù)有限覆蓋定理，可以找到有限個(gè)具有這種性質(zhì)的圓 并且它們的全體覆蓋了整個(gè)積分曲線(xiàn)段s。設(shè) 為圓 的半徑， 表示 f(x,y) 于

8、 內(nèi)的相應(yīng)的利普希茨常數(shù)。,:gcc),(nici21iricilic3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-149 9常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人令,inicg1 則有,ggs且 的邊界與s的距離 。對(duì)預(yù)先給定的g00若取),max(),min(nllll21 2及則以s上每一點(diǎn)為中心，以 為半徑的圓的全體，連同它們的圓周一起構(gòu)成s的有界閉域 ，且 f (x，y)gd 在d上關(guān)于 y 滿(mǎn)足利普希茨條件，利普希茨常數(shù)為l。3.3 continuity & dif

9、ferentiability continuity & differentiability2021-11-141010常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人（二）解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性（二）解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性斷言，必存在這樣的正數(shù)),(),( ba使得只要 滿(mǎn)足不等式2200200)()(yyxx則解 必然在區(qū)間 00yx ,)(),(xyxxy00bxa也有定義。由于d是有界閉區(qū)域，且 f (x，y)在其內(nèi)關(guān)于 y 滿(mǎn)足利普希茨條件，由延拓性定理知，解 必能延拓到區(qū)域d的邊界上。設(shè)它在d的邊界上的點(diǎn)為),(00yxxy和)(,(cc,),(,(dcdd這時(shí)必然有.,bdac3.3 cont

10、inuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-141111常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人因?yàn)榉駝t設(shè) 則由引理,bdacdxcexxxxxxl,)()()()(000由 的連續(xù)性，對(duì))(x,)(able211必存在,02使得當(dāng) 時(shí)有20 xx10)()(xx取),min(21則當(dāng)2200200)()(yyxx022002xxlexxxx)()()()(0220000 xxlexxxx)()()()(3.3 continuity & differentiability continuity

11、 & differentiability2021-11-141212常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人022002xxlexxxx)()()()(0220000 xxlexxxx)()()()(02200200 2xxlexxxx)()()()(222 ()1002 l b ayye22 ()214l b aedxc,于是)()(xx對(duì)一切 成立，特別地有, dcx)()(cc)()(dd即點(diǎn)和)(,(cc)(,(dd均落在d的內(nèi)部，而不可能位于d的邊界上。與假設(shè)矛盾，因此，解 在區(qū)間a,b上有定義。)(x3.3 continuity & differentiability co

12、ntinuity & differentiability2021-11-141313常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人)()(xxdxc,在不等式中，將區(qū)間c，d換為a，b ，可知 ，當(dāng)2200200)()(yyxx時(shí)，有bxayxxyxx 0000,),(),(定理得證。3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-141414常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人的解 作為 的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的。解對(duì)初值的連續(xù)性定理解對(duì)初值的連續(xù)性定理假設(shè) f (x,y) 于域 g

13、 內(nèi)連續(xù)且關(guān)于 y 滿(mǎn)足局部利普希茨條件，則方程),(00 yxxy ),(yxfdxdy00yxx,3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-141515常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人1.1. 含參數(shù)的一階方程表示含參數(shù)的一階方程表示)(),(eyxfdxdy ,),(:gyxg2. 2. 一致利普希茲條件一致利普希茲條件 設(shè)函數(shù)),(yxf一致地一致地關(guān)于 y 滿(mǎn)足局部利普希茲局部利普希茲 (lipschitz)(lipschitz)條件條件，為中心的球 ，使得對(duì)任何2

14、121yylyxfyxf),(),(其中l(wèi) 是與 無(wú)關(guān)的正數(shù)。在 內(nèi)連續(xù)，且在 內(nèi)gg即對(duì) 內(nèi)的每一點(diǎn) 都存在以成立不等式g),(yx),(yxgc ),(1yx),(2yx3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-141616常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人由解的存在唯一性定理，對(duì)每一方程 的解唯一確定。記為e),(000yxxy ),(03.3 continuity & differentiability continuity & differentiab

15、ility2021-11-141717常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴(lài)性定理解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴(lài)性定理假設(shè) 于域 內(nèi)連續(xù)，且在 內(nèi)關(guān)于 y 一致地滿(mǎn)足局部利普希茨條件，),(,),(000000 yxxygyx是方程 通過(guò)點(diǎn) 的解，在區(qū)間 那么，對(duì)任意給定的 ，必存在正數(shù)bxa,bxa00),(ba220200200)()()(yyxx時(shí)，方程滿(mǎn)足條件 的解00yxy)(),(00yxxy 在區(qū)間bxa也有定義，并且bxayxxyxx 00000,),(),(),(yxfgge),(00yx有定義其中使得當(dāng)3.3 continuity & different

16、iability continuity & differentiability2021-11-141818常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人的解 作為 的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的。解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性定理解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性定理),(00 yxxy ),(yxfdxdy,00yxx假設(shè) 于域 內(nèi)連續(xù)，且在 內(nèi)關(guān)于 y 一致地滿(mǎn)足局部利普希茨條件，則方程),(yxfgg3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-141919常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人3.3.3

17、解對(duì)初值的可微性定理解對(duì)初值的可微性定理的解 作為 的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)可微的。若函數(shù) f (x,y) 以及 都在區(qū)域 g 內(nèi)連續(xù)，則方程),(00 yxxy ),(yxfdxdy00yxx,yf3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-142020常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人解分別是下列初值問(wèn)題的00yx,000( , ) ()(,)dzf xzdxyz xf xy 0( , ) ()1dzf xzdxyz xxxdxyxfyxfx0000),(exp),(xx

18、dxyxfy00),(exp),(,(00yxxxfx3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-142121常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人證明證明yf由在區(qū)域 g 內(nèi)連續(xù)，推知 f (x,y)在g 內(nèi)關(guān)于 y 滿(mǎn)足局部利普希茨條件。因此，解對(duì)初值的連續(xù)性定理成立，即),(00 yxxy下面進(jìn)一步證明對(duì)于函數(shù) 的存在范圍內(nèi)任一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)),(00 yxxy00yxx,在它的存在范圍內(nèi)關(guān)于 是連續(xù)的。存在且連續(xù)。00 yxx,3.3 continuity & diffe

19、rentiability continuity & differentiability2021-11-142222常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人設(shè)由初值),(),(00000 yxxxyyxxy 和為足夠小的正數(shù)）所確定的方程的解分別為,)(,(),(000000 xyxxyx 和即 )( 00dxx,fyxx )( 000dxx,fyxxx 于是 )()( 000dxx,fdxx,fxxxxx )()(0000dxyx,fdxx,fxxxxx)()( 其中.10先證0 x存在且連續(xù)。3.3 continuity & differentiability continuity

20、& differentiability2021-11-142323常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人注意到 及的連續(xù)性，有yf,1)()(ryx,fyx,f)(其中 具有性質(zhì)1r。時(shí)，且當(dāng)時(shí)當(dāng)0 00 01010rxrx 類(lèi)似地2000)( )(1000r,yxfdxx,fxxxx 其中 與 具有相同的性質(zhì)，因此對(duì)2r1r 00時(shí)，有x 3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-142424常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人 )()( 0120000dxxryx,fr,y

21、xfxxx 0 x 即是初值問(wèn)題00001)(zryxfxzzryx,fdxdz),()(的解，在這里 被視為參數(shù)。 00 x 顯然，當(dāng) 時(shí)上述初值問(wèn)題仍然有解。00 x 3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-142525常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人0 x 根據(jù)解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性定理，知是000 xzxx ,的連續(xù)函數(shù)。從而存在0000 xxx lim而是初值問(wèn)題),()(000)(yxfxzzyx,fdxdz的解。0 x0000( , )(,)expxxf xf

22、 x ydxxy 且 ，顯然00yxx,的連續(xù)函數(shù)。它是3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-142626常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人再證存在且連續(xù)。0y為初值),(000 yyxxy ),(000yyx 設(shè))(0y 所確定的方程的解。類(lèi)似地可推證0y 是初值問(wèn)題1)(03)(xzzryx,fdxdz的解。因而xxdxryxfx030),(exp 3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-142727常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人其中 具有性質(zhì)3r。時(shí)，且當(dāng)時(shí)當(dāng)0 00 03030ryry xxydxyxfyy00000),(explim 故有至于 的存