第一換元法(或稱湊微分法)

1、一、第一換元法一、第一換元法( (或稱湊微分法或稱湊微分法) )第四章不定積分第四章不定積分第二節(jié)換元積分法第二節(jié)換元積分法二、第二換元法二、第二換元法引例引例 xxd3cos xxd3cos331, )d(33cos31 xx( (因為因為 d(3x) = 3dx) ).dcos31d3cos uuxx一、第一換元法一、第一換元法( (或稱湊微分法）或稱湊微分法）令令 u = 3x，則上式變?yōu)閯t上式變?yōu)閏xxx sindcos把把,dcos上上用用到到 uu那么，那么， uuxxdcos31d3coscu sin31.3sin31cx 也就是說上述結果正確也就是說上述結果正確. . 3cos

2、 3sin 31 的一個原函數(shù)的一個原函數(shù)是是容易驗證容易驗證xx一般地，能否把公式一般地，能否把公式，) )的可微函數(shù)的可微函數(shù)是是( (用到用到xucufuufcxfxxf )(d)( )(d)( 定理定理 1 回答這個問題回答這個問題.定理定理 1( (第一換元法第一換元法) ),)(d)(cxfxxf 設設且且 u = j j (x) 為可微函數(shù)，為可微函數(shù)，xxxfd )()( j jj j.)(cxf j j證證已知已知 f (x) = f (x)， u = j j (x)， 則則 )(xfj j)()(xuf j jxuuf ),()(xxf j jj j所以所以 xxxfd)(

3、)(j jj j.)(cxf j j則則用上式求不定積分的方法稱為第一換元法或用上式求不定積分的方法稱為第一換元法或稱湊微分法稱湊微分法定理定理 1 常寫成：常寫成：則則，若若 )(d )(cxfxxf ,)(d)(cufuuf 式就是把已知的積分式就是把已知的積分cxfxxf )(d)(中的中的 x 所以說把基本積分表所以說把基本積分表中的積分變量中的積分變量換成可微函數(shù)換成可微函數(shù) j j (x) 后仍成立后仍成立 .其中其中 u = j j (x) 可微可微.換成了可微函數(shù)換成了可微函數(shù) j j (x) .例例 1求求.d)23sin( xx解解對照基本積分表，對照基本積分表，相似相似上

4、式與表中上式與表中 dsin xx如果把如果把 dx 寫成了寫成了 d(3x + 2)， 那么就可用定理那么就可用定理 1 及及,cosdsincxxx 為此將為此將 dx 寫成寫成),23(d31d xx代入式中，代入式中， 那么那么 xxd)23sin(. )2d(3)23sin(31 xx令令 3x + + 2 = u 則則 uudsin31cu cos31.)23cos(31cx ),(d1d . 1baxax 利用利用a, b 均為常數(shù)均為常數(shù)，且且 a 0.例例 2求求.d)54(99 xx解解上式與基本積分表中上式與基本積分表中cxxx 111d 相似，相似， 為此將為此將 dx

5、 寫成寫成那么那么 xxd)54(99, )5d(4)54(4199 xx,)54(d41d代入式中代入式中 xx令令 4x + + 5 = u， uu d4199則，原式則，原式cu 1004001.) 54(4001100cx 例例 3求求.1d xx解解上式與基本積分表中上式與基本積分表中. |lnd1類似類似cxxx 為此將為此將 dx = d(x + 1) 代入式中，代入式中， 那么那么 1dxx 1)1d(xx. |1|lncx 例例 4求求 22dxax( (a 0 常數(shù)常數(shù)) ).解解上式與基本積分表上式與基本積分表. arcsin1d2類似類似cxxx 22dxax 21da

6、xax 21daxax.arcsincax .arcsind22caxxax 例例 5求求 22dxax( (a 0 常數(shù)常數(shù)).).解解 22dxax 221d1axxa 21d1axaxa.arctan1caxa .arctan1d22caxaxax ),(d21d . 22axxx 利用利用),d(31d32axxx ,dlnd1xxx ,1dd12xxx ,d2d1xxx ,cosddsinxxx ,sinddcosxxx ,tanddsec2xxx ,cotddcsc2xxx ,arcsindd112xxx xxxarctandd112 等等等等. .例例 6求求.de2 xxx解解

7、將被積分式中的將被積分式中的 xdx 因子湊微分，因子湊微分，.d21d2xx 則則 2de21de22xxxxxcx 2e21經求導驗算，經求導驗算，.ee2122xxxc 結果正確結果正確 .即即即即例例 7求求.dln xxx解解因子因子將被積分式中的將被積分式中的 d1 xx).lnd(d1xxx 湊微分，即湊微分，即則則 xxxdln xx lndln.ln212cx 例例 8求求.dcossin2 xxx解解 x2sin x2sin.sin313cx 解解x1sin x1sin.1coscx 例例 10求求.d1sin12 xxx 21xxdx1dxxdcosxsind例例 11求

8、求.de1e xxx解解.)1eln(cx e1 xxexd 1e x)1d(e x3. .利用三角函數(shù)的恒等式利用三角函數(shù)的恒等式. .例例 12 求求.dtan xx解解 xxdtan. |cos|lncx xcosxsinxd xcosxcosd例例 13求求.dsin2 xx解解 xxdsin2 xxd22cos1 xxxd2cosd21 xxx2d2cos2121.2sin4121cxx 例例 14求求.dsin3 xx解解 xxdsin3 xxxdsinsin2 xx cosdsin2 xxcosd)cos1(2.coscos313cxx 例例 15求求.d2cos5sin xxx

9、解解 xxxd2cos5sin xxxd)3sin7(sin21 xxxx3d3sin31217d7sin7121.3cos617cos141cxx 例例 16求求.d1 xxx解解 xxxd1 xxxd111 xxd111.|1|lncxx 4. .利用代數(shù)恒等式利用代數(shù)恒等式例例 17求求 22dxax( (a 0 常數(shù)常數(shù)).).解解 22dxax )(dxaxax xxaxaxaxaad)()()(21 xaxxaxadd21.ln21cxaxaa cxaxaaxaxln21d22 xaxaxaxaa)(d)(d21例例 18求求 .45d2xxx 45d2xxx解解 )1)(4(dx

10、xx xxxxxd)1)(4()4()1(31 1d4d31xxxx.14ln31cxx 例例 19求求 .54d2xxx解解 54d2xxx 2)2(1dxx 2)2(1)2(dxx.)2arctan(cx 例例 20求求 .d5412xxxx xxxxxd541)54(2122 1)2(dd54)54(21222xxxxxxx解解 xxxxd5412.)2arctan()54ln(212cxxx cxfxfxfxxfxf| )(|ln)()(dd)()(例例 21求求.dsec xx解解 xxdsec xxdcos1xxxdcoscos2 xx2sin1sindcxx sin1sin1ln

11、21 cxxxx |tansec|lndsec. |tansec|lncxx 二、第二換元法二、第二換元法定理定理 2( (第二換元法第二換元法) )設函數(shù)設函數(shù) f (x) 連續(xù)，連續(xù)，函數(shù)函數(shù) x = j j (t) 單調可微，單調可微，且且 j j (t) 0 0，則則 .d)()(d)(tttfxxfj jj j1. .簡單根式代換簡單根式代換例例 22求求 .d1xxx解解為了去掉被積函數(shù)中的根號，為了去掉被積函數(shù)中的根號，,1tx 令令則則 dx = 2tdt ， 于是有于是有 tttd1222 xxxd1 tttd11)1(222tt d11122.)arctan(2ctt ,1

12、2tx 回代變量，回代變量，,1 xt得得 xxxd1.)arctan(2ctt .)1arctan1(2cxx 例例 23求求.d14 xxx解解被積函數(shù)含根式被積函數(shù)含根式,4xx為了去掉根號，為了去掉根號，,44txtx 令令于是有于是有xxx d14 ttttd423ttt d142ttt d1114.|1|ln2142cttt 則則 dx = 4t3 dt， tttd11)1(42回代變量，回代變量，,4xt 得得 4dxxxcttt |1|ln2142.)1ln(44244cxxx 例例 24求求.d11 xxxx解解為了去掉被積函數(shù)中的根號，為了去掉被積函數(shù)中的根號，,11,12

13、 txtxx令令,d)1(2d22tttx 則則于是有于是有 xxxxd11 tttd1222 tttd11) 1(222 ttd11122 tttd11222cttt 11ln2.1111ln12cxxxxxx 2. .三角代換三角代換例例 25求求. )0(d22 axxa,cossin1222tataxa 于是有于是有xxa d22 ttadcos22 ttad)2cos1(22ctta 2sin2122 .cossin22cttta 解解,22sin ttax令令則則 dx = acost dt， 把變量把變量 t 換為換為 x . 為簡便起見，為簡便起見，,sin axt 根據(jù)根據(jù)

14、畫一個直角三角畫一個直角三角形，稱它為輔助三角形，如圖形，稱它為輔助三角形，如圖.,arcsin axt 因為因為,cos22axat 于是有于是有 xxad22cttta )cossin(22caxaaxaxa 222arcsin2.2arcsin2222cxaxaxa xa22xa t例例 26求求 ).0(d22aaxx解解，令令 22tan ttax則則 dx = asec2 tdt ，于是有于是有 22daxx ttatadsecsec2tt dsec. |tansec|ln1ctt ，根據(jù)根據(jù)axt tan作輔助三作輔助三角形，角形，得得axt22ax 122|tansec|lnd

15、cttaxx122lncaaxax acaxxln)ln(122 ，caxx )ln(22其中其中 c = c1 - - lna .例例 27求求).0(d22 aaxx解解令令 x = a sec t，則則 dx = a sec t tan t dt，于是有于是有 22daxx ttattadtantansec ttdsec, |tansec|ln1ctt ,sec axt 根據(jù)根據(jù)作 輔 助 三作 輔 助 三角形，角形， 22daxxaxt22ax 1 |tansec|lnctt 122 lncaaxax acaxxln |ln122 ，caxx |ln22 得得其中其中 c = c1 l

16、na .,)1(22時時含含xa 作三角代換作三角代換 x = a sin t 或或 x = a cos t；,)2(22時時含含xa 作三角代換作三角代換 x = a tan t 或或 x = a cot t；,)3(22時時含含ax 作三角代換作三角代換 x = a sec t 或或 x = a csc t.例例 28求求.1d2 xxx解法一三角代換法解法一三角代換法. .令令 x = tan t，于是得于是得 21dxxx ttttdsectansec2 ttdcsc則則 dx = sec2 tdt，. |cotcsc|lnctt 根據(jù)根據(jù) tan t = x，作輔助三作輔助三角形，角形， 得得1xt21x 21dxxx= ln |csc t cot t | + ccxxx 11ln2.11ln2cxx 解法二湊微分法解法二湊微分法. .,d111d11222