第4章離散傅里葉變換

1、離散傅里葉變換離散傅里葉變換(discrete fourier transform，簡，簡稱稱dft)是數(shù)字信號處理中非常重要的一種數(shù)學變是數(shù)字信號處理中非常重要的一種數(shù)學變換，本章主要討論換，本章主要討論dft的定義、物理意義及基本性的定義、物理意義及基本性質、頻率采樣和質、頻率采樣和dft應用舉例。主要內容包括：應用舉例。主要內容包括：周期序列的離散傅里葉級數(shù)定義及其性質周期序列的離散傅里葉級數(shù)定義及其性質有限長度序列的離散傅里葉變換推導有限長度序列的離散傅里葉變換推導離散傅里葉變換的基本性質離散傅里葉變換的基本性質頻率域采樣理論頻率域采樣理論離散傅里葉變換的基本應用離散傅里葉變換的基本應

2、用 第3章 離散傅里葉變換2021-11-1423.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義 3.2 離散傅里葉變換的性質離散傅里葉變換的性質3.3 頻率域采樣頻率域采樣3.4 dft的應用舉例的應用舉例2021-11-1433.1 離散傅里葉變換定義離散傅里葉變換定義 3.1.1傅里葉變換的幾種可能形式 傅里葉變換就是建立以時間為自變量的“信號”與以頻率為自變量的“頻譜函數(shù)”之間的某種變換關系。所以，當自變量“時間”或“頻率”取連續(xù)或離散值時，就形成各種不同形式的傅里葉變換對。1、連續(xù)時間、連續(xù)頻率、連續(xù)時間、連續(xù)頻率傅里葉變換傅里葉變換就是連續(xù)時間非周期信號x(t)的傅里葉變換關系,所

3、得到的是連續(xù)的非周期的頻譜函數(shù)。2021-11-144在“信號與系統(tǒng)”課的內容中，已知這一變換對為這一變換對的示意圖(這里只說明關系，并不表示實際的變換對)見圖3-1。可以看出時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜，而時域的非周期性造成頻域是連續(xù)的譜密度函數(shù)。 dtetxjxtj)()(dejxtxtj)(21)(3-13-22021-11-145圖3-1 連續(xù)的非周期信號及其非周期、連續(xù)的頻譜密度2021-11-1462、連續(xù)時間、離散頻率、連續(xù)時間、離散頻率傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)設x(t)代表一個周期為t0的周期性連續(xù)時間函數(shù)，可展成傅里葉級數(shù)，其傅里葉級數(shù)的系數(shù)為x(jk0)，是離散頻率的非周期

4、函數(shù)，和x(jk0)組成變換對，表示為 2/2/00000)(1)(tttjkdtetxtjkxtjkkejkxtx0)()(0其中0=2f=2/t0為離散頻譜相鄰兩譜線之間的角頻率間隔，k為諧波序號。 3-33-42021-11-147圖3-2 連續(xù)的周期信號及其非周期離散譜線 這一變換對的示意圖如圖3-2所示。可以看出，時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的頻譜函數(shù)，而頻域的離散頻譜就與時域的周期時間函數(shù)相對應。 2021-11-1483、離散時間、連續(xù)頻率、離散時間、連續(xù)頻率序列的傅里葉變換序列的傅里葉變換這正是第二章中討論過的序列（離散時間信號）的傅里葉變換，即 nnjjenxex)()(de

5、exnxnjj)(21)(3-53-6上面討論的三種傅里葉變換對都不適合在計算機上運算，因為它們至少在一個域(時域或頻域)中函數(shù)是連續(xù)的。因而從數(shù)字計算角度出發(fā)，我們感興趣的是時域及頻域都是離散的情況，這就是我們這里要研究的離散傅里葉變換。 2021-11-149離散傅立葉變換離散傅立葉變換有限長序列的離散頻域表示有限長序列的離散頻域表示 離散傅里葉變換的定義設x(n)是一個長度為n的有限長序列， 則定義x(n)的n點離散傅里葉變換為10,)()(dft)(10nkwnxnxkxnnnkn1010,)(1)(idft)(nkknnnnwkxnkxnx3-313-32(3-31)和(3-32)分

6、別是有限長序列的離散傅里葉正變換和反變換。x(n)與x(k)是一個有限長序列的離散傅里葉變換對。已知其中的一個序列，就能唯一確定另一序列。離散傅里葉變換記作dft，idft為逆變換。2021-11-14103.2 離散傅里葉變換的性質3.2.1線性性質線性性質如果和是兩個有限長序列，長度分別為n1和n2。若 )()()(21nbxnaxny式中a，b為任意常數(shù)，取n=maxn1,n2，則的n點dft為 10),()()()(21nkkbxkaxnydftky3-35其中x1(k)和x2(k)分別為x1(n)和x2(n)的n點dft。 2021-11-14113.2.2循環(huán)移位性質循環(huán)移位性質1

7、、序列的循環(huán)移位、序列的循環(huán)移位設為x(n)有限長序列，長度為n，則的循環(huán)移位定義為 )()()(nrmnxnynn3-36式(3-36)表明，將x(n)以n為周期進行周期延拓得到再將 左移m位得到 ，最后取 的主值序列，則得到有限長序列的循環(huán)移位序列y(n)。x(n)及其循環(huán)移位過程如圖3-7所示。顯然y(n)仍是長度為n有限長序列。觀察圖3-7可見，循環(huán)移位的實質是將x(n)左移m位，而左側移出主值區(qū)的序列值又依次從右側進入主值區(qū)。nnxnx)()()(nx)(mnx)(mnx2021-11-1412圖3-7 循環(huán)移位過程示意圖 2021-11-14132、時域循環(huán)移位定理、時域循環(huán)移位定

8、理設x(n)是長度為n的有限序列，y(n)為x(n)的循環(huán)移位，即 )()()(nrmnxnynn則)()(dft)(kxwnykykmn3-37其中 10),(dft)(nknxkx證明： knnnnnknnnnnnwmnxwnrmnxnyky1010)()()()(dft)(2021-11-1414令n+m=n，則有由于上式中求和項 以n為周期，所以對其在任一周期上的求和結果相同。將上式的求和區(qū)間改在主值區(qū)則得 1)(1)()()(knnmnmnnkmnmnknmnmnnwnxwwnxky)(knnnwnx)()()(10kxwwnxwkykmnknnnnnkmn2021-11-14153

9、、頻域循環(huán)移位定理、頻域循環(huán)移位定理如果 x(k)=dftx(n)， 0kn-1 y(k)=x(k+l)nrn(k) 則3-38)()(idft)(nxwkynynln式(3-38)的證明方法與時域循環(huán)定理類似，直接對y(k)=x(k+l)nrn(k)進行idft即得證。 2021-11-14163.2.3循環(huán)卷積定理循環(huán)卷積定理有限長序列x1(n)和x2(n)，長度分別為n1和n2，n=maxn1，n2。x1(n)和x2(n)的n點dft分別為 x1(k)=dftx1(n)，x2(k)=dftx2(n)如果 x(k)= x1(k) x2(k) 則1021)()()()(idft)(nmnnn

10、rmnxmxkxnx3-39或1012)()()()(idft)(nmnnnrmnxmxkxnx一般稱(3-39)式所表示的運算為和的循環(huán)卷積。 2021-11-1417證明：直接對(3-39)式兩邊進行dft 101021101021)()()()()()(dft)(nmnnknnnknnnnnmnnwmnxmxwnrmnxmxnxkx令n-m=n，則有 mnmnknnnkmnnmnmmnmnmnknnwnxwmxwnxmxkx12101101)(21)()()()()(2021-11-1418因為上式中 以n為周期，所以對其在任一周期上的求和結果不變。因此 2)(knnnwnx10),()

11、()()()(21102101nkkxkxwnxwmxkxnnknnnkmnnm式(3-39)的循環(huán)卷積過程如圖3-8所示。 2021-11-1419圖3-8 循環(huán)卷積過程示意圖2021-11-1420由于循環(huán)卷積過程中，要求對x2(m)的循環(huán)反轉，循環(huán)移位，特別是兩個n長的序列的循環(huán)卷積長度仍為n。顯然與一般的線性卷積不同，故稱之為循環(huán)卷積，記為 102121)()()()()()(nmnnmrmnxmxnxnxnx由于 )()()()()(dft)(1221kxkxkxkxnxkx所以 )()()()()(idft)(1221nxnxnxnxkxnx即循環(huán)卷積亦滿足交換率。 2021-11

12、-1421作為習題請讀者證明頻域卷積定理如果 x(n)=x1(n)x2(n)則102121)()()(1)()(1)(dft)(nlnnkrlkxlxnkxkxnnxkx3-40或101212)()()(1)()(1)(nlnnkrlkxlxnkxkxnkx2021-11-14223.2.4復共軛序列的復共軛序列的dft設 x*(n)是x(n)的復共軛序列，長度為n x(k)=dftx(n)則 dftx*(n) = x*(n-k)，0kn-1且 x(n)= x(0)證明：根據(jù)dft的唯一性，只要證明(3-41)式右邊等于左邊即可。 3-412021-11-1423證又由x(k)的隱含周期性有x

13、(n)= x(0)用同樣的方法可以證明 dftx*(n-n) = x*(k) )(dft)()()()-(10)10)(10)(nxwnxwnxwnxknxnnnknnnnknnnnnknn3-422021-11-14243.2.5 dft的共軛對稱性的共軛對稱性 (1)如果 x(n)= xr(n) + jxi(n)由dft的線性性質即可得 3-49)()()(dft)(opepkxkxnxkx3-50其中 )(dft)(repnxkx)(dft)(iopnjxkxx(k)的共軛對稱分量x(k)的共軛反對稱分量 (2)如果 x(n)=xep(n) + xop(n) 3-51)()()(dft)

14、(irkjxkxnxkx3-52其中 )(dft)(re)(eprnxkxkx)(dft)(im)(opinxkxjkjx2021-11-1425綜上所述：如果序列x(n)的dft為x(k)，則x(n)的實部和虛部（包括j）的dft分別為x(k)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量；而x(n)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量的dft分別為x(k)的實部和虛部乘以j。設x(n)是長度為n的實序列，且x(k)=dftx(n)，則(1) x(k)共軛對稱，即 x(k)=x*(n-k)，0kn-1 (2) 如果x(n)=x(n-n)，則x(k)實偶對稱，即 x(k)=x(n-k) (3) 如果x(n)= -x

15、(n-n)，則x(k)純虛奇對稱，即 x(k)= -x(n-k) 3-533-543-552021-11-14263.3 頻率域采樣頻率域采樣設任意序列x(n)存在z變換nnznxzx)()(且x(z)的收斂域包含單位圓(即x(n)存在傅里葉變換)。在單位圓上對x(z)等間隔采樣n點得到 10,)()()(22nkenxzxkxnknnjezknj3-56顯然，式(3-56)表示在區(qū)間0，2上對x(n)的傅里葉變換x(ej)的n點等間隔采樣。如果將x(k)看成長度為n的有限長序列xn(n)的dft，即 xn(n)=idftx(k)，0kn-1 2021-11-1427下面推導序列xn(n)與原

16、序列x(n)之間的關系，并導出頻域采樣定理。由dft和dfs的關系可知，x(k)是xn(n)以n為周期的周期延拓序列 的離散傅立葉系數(shù) 的主值序列，即 將式(3-56)代入上式得 )(nx)(kx)(dfs)()(nxkxkxn)()()(krkxkxn)()()(kxidftnxnxn1010)(1)(1nkknnnkknnwkxnwkxnmnknmknnkmknnwnmxwmxnnx10)(101)()(1)(2021-11-1428式中 所以mrrnnmwnnknmkn其他，為整數(shù)0, 1110)(rrnnxnx)()(rnnnnrrnnxnrnxnx)()()()()(3-573-58

17、式(3-58)說明x(z)在單位圓上的n點等間隔采樣x(k)的idft為原序列x(n)以n為周期的周期延拓序列的主值序列。2021-11-1429頻域采樣定理如果序列x(n)的長度為m，則只有當頻域采樣點數(shù)nm時，才有 xn(n)=idftx(k)= x(n) 即可由頻域采樣x(k)恢復原序列，否則產生時域混疊現(xiàn)象。這就是所謂的頻域采樣定理。下面推導用頻域采樣x(k)表示x(z)的內插公式和內插函數(shù)。設序列x(n)的長度為m，在頻域0到之間等間隔采樣n點，nm，則有 10)()(nnnznxzx1, 2 , 1 , 0)()(2nkzxkxknjez2021-11-1430式中 將上式代入x(

18、z)的表達式中得 10)(1)(idft)(nkknnwkxnkxnx上式中 ，因此1knnw10111)(1)(nkknnzwzkxnzx3-592021-11-1431令 則 1111)(zwznzknnk10)()()(nkkzkxzx3-603-61式(3-61)稱為用x(k)表示x(z)的內插公式，k(z)稱為內插函數(shù)。當z=ej時，(3-60)式和(3-61)式就成為x(n)的傅里葉變換變換x(ej)的內插函數(shù)和內插公式，即 )/2(111)(nkjnjkeen10)()()(nkkjkxex2021-11-1432進一步化簡可得 在數(shù)字濾波器的結構與設計中，我們將會看到，頻域采樣

19、理論及有關公式可提供一種有用的濾波器結構和濾波器設計途徑。 10)2()()(nkjknkxex)21()2/sin()2/sin(1)(njwenn3-623-632021-11-14333.4 dft的應用舉例dft的快速算法fft的出現(xiàn)，使dft在數(shù)字通信、語音信號處理、圖象處理、功率譜估計、仿真、系統(tǒng)分析、雷達理論、光學、醫(yī)學、地震以及數(shù)值分析等各個領域都得到廣泛應用。然而，各種應用一般都以卷積和相關運算的具體處理為依據(jù)，或者以dft作為連續(xù)傅里葉變換的近似為基礎。本節(jié)主要介紹用dft計算卷積和相關系數(shù)的基礎原理以及用dft對連續(xù)信號和序列進行譜分析等最基本的應用。只要掌握了這兩種基本

20、應用的原理，就為用dft解決數(shù)字濾波和系統(tǒng)分析等問題打下了基礎。 2021-11-14343.4.1用用dft計算線性卷積計算線性卷積如果 102121)()()()()()(lmllnrmnxmxnxnxny且)(dft)()(dft)(2211nxkxnxkx 則由時域循環(huán)卷積定理有 0kl-110),()()(dft)(21lkkxkxnyky由此可見，循環(huán)卷積既可在時域直接計算，也可以按照圖3-10所示的計算框圖，在頻域計算。由于dft有快速算法fft，當n很大時，在頻域計算的速度快得多，因而常用dft(fft)計算循環(huán)卷積。 2021-11-1435圖3-10 用dft計算循環(huán)卷積

21、在實際應用中，為了分析時域離散線性非時變系統(tǒng)或者對序列進行濾波處理等，需要計算兩個序列的線性卷積。和計算循環(huán)卷積一樣，為了提高運算速度，也希望用dft(fft)計算線性卷積。而dft只能用來計算循環(huán)卷積，為此導出線性卷積和循環(huán)卷積之間的關系以及循環(huán)卷積和線性卷積相等的條件。 2021-11-1436假設h(n)和x(n)都是有限長序列，長度分別是n和m。它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示如下： 其中，lmaxn，m， ，所以 10)()()()()(nmlmnxmhnxnhny10)()()()()()(nmllcnrmnxmhnxnhny3-643-65qlqlnxnx)()()()()()(

22、)()()(1010nrmqlnxmhnrqlmnxmhnylqnmnmlqc 2021-11-1437對照式(3-64)可以看出，上式中 即)()()(10qlnymqlnxmhlnmqllcnrqlnyny)()()(3-66式(3-66)說明，yc(n)等于yl(n)以l為周期的周期延拓序列的主值序列。我們知道，yl(n)長度為n+m-1，因此只有當循環(huán)卷積長度ln+m-1時，yl(n)以l為周期進行周期延拓才混疊現(xiàn)象。此時取主值序列顯然滿足yc(n)=yl(n)。由此證明循環(huán)卷積等于線性卷積的條件是ln+m-1。圖3-11中畫出了h(n)、x(n)、h(n)*x(n)和l分別取6、8、

23、10時h(n)x(n)的波形。由于h(n)長度n=4，x(n)長度m=4，n+m-1=8，所以只有l(wèi)8時，h(n)x(n)的波形才與h(n)*x(n)相同。 2021-11-1438圖3-11 線性卷積與循環(huán)卷積 2021-11-1439如果取l=n+m-1 ，則可用dft(fft)計算線性卷積，計算框圖如圖3-12所示。其中dft和idft通常用快速算法(fft)來實現(xiàn)，故常稱其為快速卷積。 圖3-12 用dft計算線性卷積框圖 2021-11-1440實際上，經常遇到兩個序列的長度相差很大的情況，例如mn時，直接套用上述方法是不行的。解決這個問題的方法是將長序列分段處理計算。這種分段處理法

24、有重疊相加法和重疊保留法兩種。下面只介紹重疊相加法。 設序列h(n)長度為，x(n)為無限長序列。將均勻分段，每段長度取，則 0)()(kknxnx式中xk(n)= x(n)rm(n-km)2021-11-1441于是，h(n)與x(n)的線性卷積可表示為式中 00)()()()()()()()(kkkkknynxnhnxnhnxnhny3-67)()()(nxnhnykk式(3-67)說明，計算h(n)與x(n)的線性卷積時，可先進行分段線性卷積yk(n)= h(n)*xk(n)，然后再把分段卷積結果疊加起來即可。如圖3-13所示。每一分段卷積yk(n)的長度為n+m-1，因此yk(n)與y

25、k+1(n)有n-1個點重疊，必須把重疊部分的yk(n)與yk+1(n)相加，才能得到完整的卷積序列y(n)。 2021-11-14西安建筑科技大學信于與控制學42圖3-13 重疊相加法卷積示意圖 2021-11-14433.4.2 用dft對信號進行譜分析 所謂信號的譜分析就是計算信號的傅里葉變換。 連續(xù)信號與系統(tǒng)的傅里葉分析顯然不便于直接用計算機進行計算，使其應用受到限制，而dft是一種時域和頻域均離散化的變換，適合數(shù)值運算，成分分析離散信號和系統(tǒng)的有力工具。 1. 用dft對連續(xù)信號進行譜分析工程實際中， 經常遇到的連續(xù)信號xa(t)， 其頻譜函數(shù)xa(j)也是連續(xù)函數(shù)。2021-11-

26、1444設連續(xù)信號xa(t)持續(xù)時間和tp， 最高頻率為fc， 如圖3-14所示。 xa(t)的傅里葉變換為以間隔t1/2fc (即fs=1/t2fc)采樣xa(t)得 = xa(nt)。設共采樣n點，并對xa(jf)作零階近似(t=nt，dt=t)得 2()( )( )jfaaaxifft x tx t etdt120()()njfntanx iftx nt e)(txa顯然，xa(jf)仍是f的連續(xù)周期函數(shù)， 和 如圖3-14(b)所示。對在區(qū)間等間隔采樣n點，采樣間隔為f，如圖3-14(c)所示。 )(txa)(jfxa2021-11-1445參數(shù)fc、tp、n和f滿足如下關系式： 由于

27、nt= tp，所以 ntnffs13-68ptf13-69將f= kf和(3-68)式代入 中可得xa(jf)的采樣 )(jfxa10 ,)()(102nkentxtjkfxnnknnjaa令xa(k)= ，x(n)= xa(nt)，則)(jkfxa102)(dft)()(nnknnjanxtenxtkx3-702021-11-1446用同樣方法，由 可以推出dfejfxatxftja2)()(nknjnkanknjnkaaekxnfnekxfntxnx210210)(1)()()(3-71(3-70)式說明，連續(xù)信號的頻譜特性可以通過對連續(xù)信號采樣并進行dft再乘以t的近似方法得到。時域采樣

28、信號可由(3-71)式得出。對持續(xù)時間有限的帶限信號，在滿足時域采樣定理時，上述分析方法不丟失信息。 2021-11-1447但直接由分析結果xa(k)看不到xa(jf)的全部頻譜特性，而只能看到n個離散采樣點的譜特性，這就是所謂的柵欄效應。如果的持續(xù)時間無限長，上述分析中要進行截斷處理，所以會產生頻率混疊和泄露現(xiàn)象，從而使譜分析產生誤差。下面將討論上述問題產生的原因及改進措施。 2021-11-1448圖3-14 用dft計算連續(xù)信號頻譜原理2021-11-1449理想低能濾波器的單位沖擊響應ha(t)及其頻響函數(shù)ha(if)如圖3-15(a)、 (b)所示。 圖中現(xiàn)在用dft來分析ha(t

29、)的頻率響應特性。由于ha(t)的持續(xù)時間為無窮長，故要截取一段tp，假設tp=8s，采樣間隔t=0.25s(即采樣頻率fs=4hz)，采樣點數(shù)n=tp/t=32。 此時頻域采樣間隔f=1/nt=0.125 hz。 則 h(k)=tdfth(n), 0k31其中 h(n)=ha(nt)r32(n)sin()( )ath tt3-712021-11-1450圖 3-15 用dft計算理想低通濾波器頻響曲線 2021-11-1451h(k)的曲線如圖3-15(c)所示。由圖可見，低頻部分近似理想低通頻響特性，而高頻誤差較大，且整個頻響都有波動。這些差別就是由于對ha(t)截斷所產生的。為減少這種截

30、斷誤差，可適當加長tp，增加采樣點數(shù)n或用窗函數(shù)處理后在進行dft。有關窗函數(shù)的內容將在fir數(shù)字濾波器設計中詳細敘述。 2021-11-1452連續(xù)信號進行譜分析對信號進行譜分析主要關心兩個問題，就是譜分析范圍和頻率分辨率。譜分析范圍受采樣速率fs的限制。為了不產生頻率混疊失真，通常要求信號的最高頻率fs2fc 按照式(3-69)，譜分辨率f=fs/n，如果保持采樣點數(shù)n不變，要提高譜的分辨率，必須降低采樣速率，采樣速率的降低會引起譜分析范圍減少；如維持fs不變，為提高譜的分辨率可以增加采樣點數(shù)n，因為nt=tp，t=1/fs-1，只有增加對信號的觀察時間，才能增加n，tp和n可按照下式選擇

31、： 3-72ffnc2ftp13-733-742021-11-1454例 3-1 對實信號進行譜分析，要求譜分辨率f10 hz，信號最高頻率fc=2.5khz，試確定最小記錄時間tpmin，最大的采樣間隔tmax，最少的采樣點數(shù)nmin。如果fc不變，要求譜分辨率增加一倍，最少的采樣點數(shù)和最小的記錄時間是多少? 解：因此tpmin=0.1 s， 因為要求fs2fc， 所以 110.110ptsf3maxmin110.2 1022250022250050010cctsffnf2021-11-14552. 用dft對序列進行譜分析已知道單位圓上的z變換就是序列傅里葉變換， 即為使頻率分辨率提高一倍

32、， f=5 hz， 要求minmin225001000510.25pnts()( )jjz ex ex zx(ej)是的連續(xù)周期函數(shù)。如果對序列x(n)進行n點dft，得到x(k)，x(k)是在區(qū)間0，2上對x(ej)的n點等間隔采樣。因此序列的傅里葉變換可利用dft(fft)來計算。 2021-11-1456對周期為n的周期序列 ，其頻譜函數(shù)為其中 )(nxkjknkxnnxex)2()(2)(ft)(由dft的隱含周期性知道，截取 的主值序列x(n)= rn(n)，并進行n點dft得到102)()(dfs)(nnknnjenxnxkx)(nx)(nx)()()()(dft)(dft)(kr

33、kxnrnxnxkxnn所以可用x(k)表示 的頻譜結構。 )(nx2021-11-1457如果截取長度m等于 的整數(shù)個周期， 即m=mn， m為正整數(shù)， 則 )(nx)()()(nrnxnxmm1, 1 , 0,)()()(dft)(210210mnkenxenxnxkxknnnjmnnknmjmnmm令n=n+rn，r=0，1，. . .，m-1，n=0，1，. . .，n-1，則 rkmjmrnnkmnnjmrnmnkmnrnnjmeenxernnxkx2101021010)(2)()()( 102102)()(mrrkmjmrrkmjemkxemkx2021-11-1458由此可見，x

34、m(k)也能表示 的頻譜結構，只是在k=rm時，xm(rm)= ，表示 的r次諧波譜線，其幅度擴大m倍，而其它k值時，xm(k)=0。當然，x(r)與xm(rm)對應點頻率是相等的。所以，只要截取 的整數(shù)個周期進行dft，就可得到它的頻譜結構，達到譜分析的目的。 )(nx)(nx)(rxm因為 所以整數(shù)，整數(shù)mkmkmemrrkmj/0/,102整數(shù)整數(shù)mkmkmkmxkxm/, 0/),()()(nx2021-11-1459如果 的周期預先不知道，可先截取m點進行dft，即 再將截取長度擴大一倍，截取 )(nx)()()(nrnxnxmm1, 1 , 0),(dft)(mknxkxmm)()

35、()(22nrnxnxmm12 , 1 , 0),(dft)(22mknxkxmm比較xm(k)和x2m(k)，如果二者的主譜差別滿足分析誤差要求，則已以xm(k)或x2m(k)近似表示 的頻譜，否則，繼續(xù)將截取長度加倍，直至前后兩次分析所得主譜頻率差別滿足誤差要求。設最后截取長度為rm，則xrm(k0)表示 點的譜線強度。 )(nx02krm2021-11-1460實際應用中，并非整個單位圓上的頻譜都很有意義。 例如，對于窄帶信號，往往只希望對信號所在的一段頻段進行譜分析，這時便希望采樣能密集地在著段頻帶內進行，而帶外部分可完全不管。有時希望采樣點不局限于單位圓上。例如，語音信號處理中，常常

36、需要知道系統(tǒng)極點所對應的頻率，如果極點位置偏離單位圓較遠，則其單位圓上的頻譜就很平滑，如圖3-16(a)所示，這時很難從中識別出極點對應的頻率。如果使采樣點軌跡接近這些極點的弧線或圓周進行，則采樣結果將會在極點對應的頻率上出現(xiàn)明顯的尖峰，如圖3-16(b)所示，這樣就能準確地測定出極點頻率。2021-11-1461圖 3-16 單位圓與非單位圓采樣 2021-11-1462對均勻分布在以原點為圓心的任何圓上的n點頻譜采樣，可用dft（fft）計算，而沿螺旋弧線采樣，則要用線性調頻z變換（chirp-z變換，簡稱czt）計算。例如， 要求計算序列在半徑為r的圓上的頻譜，那么n個等間隔采樣點為 k

37、=0, 1, 2, , n-1，zk點的頻譜分量為 ,2knjkrez102)()()(nnknnjnzzkernxzxzxk2021-11-1463令 ，則上式表明，要計算x(n)在半徑為r的圓上的等間隔頻譜分量，可以先對x(n)乘以r-n，再計算n點dft(fft)即可得到。若要求x(n)分布在該圓的有限角度內n點等間隔頻譜分量，可以通過尾部補零的方法，仍按式(3-75)用dft分析整個圓上的等間隔頻譜，最后只取所需角度內的頻譜分量即可。顯然這種方法的計算量大，下面要介紹的chirp-z變換可使這種譜分析的運算量大大減少。 nrnxnx)()(10),(dft)()(102nknxenxzxnnknnjk3-752021-11-14643. chirpz變換設序列x(n)長度為n，要分析z平面上m點頻譜采樣值，分析點為zk， k=0, 1, 2, , m-1。 則 zk=aw-k, 0km-1 式中a和w為復數(shù)， 用極坐標形式表示為 式中a0和