函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)48191

1、兩類問題: 在收斂域內(nèi)和函數(shù))(xsnnnxa0冪級(jí)數(shù)求 和展 開本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、泰勒一、泰勒 ( taylor ) 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 第十章 )()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xrn其中)(xrn( 在 x 與 x0 之間)稱為拉格朗日余項(xiàng)拉格朗日余項(xiàng) .10) 1()(! ) 1()(nnxxnf則在若函數(shù)0)(xxf在的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù), 此式稱為 f (x) 的 n 階泰勒公式階泰勒公式 ,該鄰域內(nèi)有 :)(0 xf)(00 xxxf200)(!

2、2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(為f (x) 的泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù) . 則稱當(dāng)x0 = 0 時(shí), 泰勒級(jí)數(shù)又稱為麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù) .1) 對(duì)此級(jí)數(shù), 它的收斂域是什么 ？2) 在收斂域上 , 和函數(shù)是否為 f (x) ?待解決的問題待解決的問題 : :若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 0)(xxf在各階導(dǎo)數(shù), )(0 x則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是 f (x) 的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足:.0)(limxrnn證明證明:,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf令)()()(1xrxsxfnn)(limxrnn)()(lim1xsxfnn,0)(

3、0 xxknkknxxkxfxs)(!)()(000)(1)(0 xx設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某一鄰域 內(nèi)具有2. 若 f (x) 能展成 x 的冪級(jí)數(shù), 則這種展開式是唯一的 , 且與它的麥克勞林級(jí)數(shù)相同.證證: 設(shè) f (x) 所展成的冪級(jí)數(shù)為),(,)(2210rrxxaxaxaaxfnn則;2)(121nnxnaxaaxf)0(1fa;) 1(!2)(22 nnxannaxf)0(!212fa ;!)()(nnanxf)0()(!1nnnfa 顯然結(jié)論成立 .)0(0fa 1. 直接展開法直接展開法由泰勒級(jí)數(shù)理論可知, 展開成冪級(jí)數(shù)的步函數(shù))(xf第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在

4、 x = 0 處的值 ;第二步 寫出麥克勞林級(jí)數(shù) , 并求出其收斂半徑 r ; 第三步 判別在收斂區(qū)間(r, r) 內(nèi))(limxrnn是否為驟如下 :展開方法展開方法直接展開法 利用泰勒公式間接展開法 利用已知其級(jí)數(shù)展開式0. 的函數(shù)展開1. 將函數(shù)xexf)(展開成 x 的冪級(jí)數(shù). 解解: ,)()(xnexf), 1 ,0(1)0()(nfn1其收斂半徑為 對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足 )(xrne! ) 1( n1nxxe! ) 1(1nxn故,!1!31!21132nxxnxxxenrlim!1n! ) 1(1nn0),(x( 在0與x 之間)x2!21x3!31xnxn!1故得

5、級(jí)數(shù) 將xxfsin)(展開成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: )()(xfn)0()(nf得級(jí)數(shù):x)sin(2 nx其收斂半徑為 ,r對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足 )(xrn) 1(sin(2 n! ) 1( n1nx! ) 1(1nxn12kn),2, 1,0(k3!31x5!51x12! ) 12(11) 1(nnnx),(xxsinn0kn2,) 1(k,012! ) 12(115!513!31) 1(nnnxxxxnnxnxxx2142! )2(1) 1(!41!211cos類似可推出:),(x),(x12153! ) 12(1) 1(!51!31sinnnxnxxxx例3. 將函數(shù)mx

6、xf)1 ()(展開成 x 的冪級(jí)數(shù), 其中m為任意常數(shù) . 解解: 易求出 , 1)0(f,)0(mf, ) 1()0( mmf, ) 1()2)(1()0()(nmmmmfn于是得 級(jí)數(shù) mx12!2) 1(xmm由于1limnnnaarnmnn1lim1nxnnmmm!) 1() 1(級(jí)數(shù)在開區(qū)間 (1, 1) 內(nèi)收斂. 因此對(duì)任意常數(shù) m, 11, )(xxf2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(1! ) 1() 1() 1(111)(nxnnmmxmmxfxmxf1)()()1 (xfx),(xmfmxxf)1 ()(xxxxmxxfxf00d1d)()()1ln()0

7、(ln)(lnxmfxf1)0(f推導(dǎo)推導(dǎo)則為避免研究余項(xiàng) , 設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 ()11(x稱為二項(xiàng)展開式二項(xiàng)展開式 .說明：說明：(1) 在 x1 處的收斂性與 m 有關(guān) .(2) 當(dāng) m 為正整數(shù)時(shí), 級(jí)數(shù)為 x 的 m 次多項(xiàng)式, 上式 就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理.由此得 對(duì)應(yīng)1,2121m的二項(xiàng)展開式分別為xx21112421x364231x)11(x48642531x111 x24231x3642531x)11(x486427531xx21111 x2x3x)11(xnnx) 1(x) 11(1112xxx

8、xxn211x x11利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì), 例例4. 將函數(shù)展開成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: 因?yàn)閚nxxx) 1(12)11(x把 x 換成2x211xnnxxx242) 1(1)11(x, 得將所給函數(shù)展開成 冪級(jí)數(shù). 將函數(shù))1ln()(xxf展開成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: xxf11)()11() 1(0 xxnnn從 0 到 x 積分, 得xxxxnnnd) 1()1ln(00,1) 1(01nnnxn定義且連續(xù), 區(qū)間為.11x利用此題可得11) 1(41312112lnnn11x11x上式右端的冪級(jí)數(shù)在 x 1 收斂 ,有在而1)1ln(xx所以展開式對(duì) x 1

9、 也是成立的,于是收斂6. 將xsin展成4x解解: )(sinsin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx2132)4(!31)4(!21)4(121xxx)(x的冪級(jí)數(shù). 2)4(!21x4)4(!41x1)4(x3)4(!31x5)4(!51x將3412 xx展成 x1 的冪級(jí)數(shù). 解解: )3)(1(13412xxxx)3(21)1 (21xx 14121x 4121x222) 1(xnnnx2) 1() 1( 81141x224) 1(xnnnx4) 1() 1(nnnnnx) 1(2121) 1(3220)31(x)21(x 18141x11. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法(1) 直接展開法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開法 利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開2. 常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn式的函數(shù) .! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnnmx)1 ( 1xm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(當(dāng) m = 1 時(shí)x11,) 1(132nnxxxx),(x),(x) 1, 1(x) 1, 1(x作業(yè)