函數(shù)的奇偶性經(jīng)典例題

1、精品資料歡迎下載24 函數(shù)的奇偶性【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】1奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義及其判斷方法；2奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象3應(yīng)用奇函數(shù)、偶函數(shù)解決問(wèn)題【典型例題】例 1（ 1）下面四個(gè)結(jié)論中，正確命題的個(gè)數(shù)是（A ）偶函數(shù)的圖象一定與y 軸相交；函數(shù)f ( x) 為奇函數(shù)的充要條件是f (0) 0；偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱；既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f（ x）=0（ x R）A 1B 2C 3D 4提示：不對(duì)，如函數(shù)f ( x)1y 軸沒(méi)有交點(diǎn)；不對(duì)，因?yàn)槠婧痻2 是偶函數(shù)，但其圖象與f（ x）數(shù)的定義域可能不包含原點(diǎn)；正確；不對(duì)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)可以為=0 x（ a ， a ），答案為

2、A （ 2）已知函數(shù)f ( x)ax2bx3a b 是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)閍1, 2a ，則（）A1b0B ab 0Cb0D a 3b0 a，1 ， a 1，3提示：由 f (x) ax2bx 3ab 為偶函數(shù)，得b 0又定義域?yàn)?a1, 2a， ( a 1)2a0 ， a1故答案為 A 3x2（ 3）已知 f ( x) 是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x0 時(shí)， f ( x)2 x ，則 f ( x) ）在 R 上的表達(dá)式是（）A y x( x2)B yx(| x |2)C y| x |( x 2)D y提示：由 x0 時(shí)， f ( x)x22x， f ( x) 是定義在 R 上的奇函數(shù)得：當(dāng)

3、 x 0 時(shí)，x0 ， f ( x)f (x)( x22x)x( x 2)x( x2)( x0)x(| x |2) ，答案為 D f ( x)x2)( x，即 f ( x)x(0)（ 4）已知 f ( x)x5ax3bx 8，且 f ( 2)10 ，那么 f （2）等于 26提示： f ( x)8x5ax3bx 為奇函數(shù)， f (2)818 ， f (2) 818（ 5）已知 f ( x) 是偶函數(shù)，g (x) 是奇函數(shù)，若1f (x) g( x)，則x1x(| x |2)， f (2)26f ( x) 的解析式為提 示 ： 由 f ( x) 是 偶 函 數(shù) ， g (x)是奇函數(shù)，可得1，

4、聯(lián) 立f ( x) g (x)x1f ( x) g( x)111111x 1 ，得： f ( x)2( x1x 1)x21， f (x)1x2例 2判斷下列函數(shù)的奇偶性：（ 1） f ( x)(x1)1x ； (2) f ( x)1x2x2 1 ；1x2x2x( x 0)（ 3） f (x)lg(1 x)；（ 4） f ( x)x2x| x22 | 2( x 0)解：（ 1）由1x1,1)，關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，f (x) 為非奇非偶函數(shù)10 ，得定義域?yàn)?x精品資料歡迎下載(2)1x20x21 x 1 ， f ( x)0 f ( x) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) x210（3）由1x20得定義域?yàn)?(1

5、,0)(0,1) ， f ( x)lg(1x)2lg(1x)2| x22|2 0( x22) 2x2， f (x)lg1(x) 2 lg(1x2 )f (x) f ( x) 為偶函數(shù)(x) 2x2（ 4）當(dāng) x0 時(shí)，x0 ，則 f ( x)( x)2x(x2x)f (x) ，當(dāng) x0 時(shí)， x0 ，則 f (x) ( x) 2x( x2x)f (x) ，綜上所述，對(duì)任意的x(,) ，都有 f (x)f ( x)， f ( x) 為奇函數(shù)例 3若奇函數(shù)f ( x) 是定義在（1， 1）上的增函數(shù)，試解關(guān)于a 的不等式：f ( a 2) f ( a 24) 0解：由已知得 f ( a 2)f (

6、 a24)因 f(x) 是奇函數(shù)，故f (a24)f (4a2 ) ，于是 f (a2)f (4 a2 ) 又 f ( x) 是定義在（1， 1）上的增函數(shù)，從而a24a 23a21 a211a33a21a2415a或3a53即不等式的解集是(3,2) 例 4已知定義在 R 上的函數(shù) f ( x) 對(duì)任意實(shí)數(shù) x 、y ，恒有 f ( x)f ( y)f ( xy) ，且當(dāng) x 0時(shí)， f ( x)0 ，又 f (1)23（1）求證： f ( x) 為奇函數(shù)；（ 2）求證： f(x ) 在 R 上是減函數(shù)； （ 3）求 f ( x) 在 3， 6上的最大值與最小值（1）證明：令 x y0 ，可

7、得f (0)f (0)f (0 0)f (0)，從而， f(0) = 0 令 yx ，可得f ( x)f (x)f ( x x)f (0)0 ，即 f ( x)f (x)，故 f ( x ) 為奇函數(shù)（2）證明：設(shè)x1 , x2 R，且 x1x2 ，則 x1x20 ，于是 f ( x1 x2 )0 從而f ( x1 ) f ( x2 )f ( x1x2 ) x2 f ( x2 )f ( x1x2 ) f (x2 ) f ( x2 )f ( x1x2 ) 0所以， f ( x) 為減函數(shù)（3）解：由（2）知，所求函數(shù)的最大值為f ( 3) ，最小值為f (6) f (3)f (3) f (2)f

8、 (1)2 f (1)f (1)3 f (1)2f (6)f (6) f (3)f (3)4于是，f ( x)在 -3，6上的最大值為2，最小值為-4【課內(nèi)練習(xí)】1下列命題中，真命題是（C ）精品資料歡迎下載A 函數(shù) y1 是奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)為減函數(shù)xB函數(shù) yx3 ( x 1)0 是奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)為增函數(shù)C函數(shù) yx2 是偶函數(shù)，且在（3， 0）上為減函數(shù)D函數(shù) yax2c(ac0) 是偶函數(shù)，且在（0， 2）上為增函數(shù)提示： A 中， y1B 中，函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；D 中，在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性；x當(dāng) a 0 時(shí)， yax2c(ac0) 在（ 0， 2）上為減函數(shù)，答案

9、為 C2 若(x) ， g (x) 都是奇函數(shù)，f ( x)a ( x)bg ( x)2在（0，）上有最大值5，則 f (x) 在（， 0）上有（）A 最小值 5B 最大值 5C最小值 1D 最大值 3提示：( x) 、g( x) 為奇函數(shù)，f ( x)2a(x)bg( x) 為奇函數(shù)又 f (x) 有最大值5， 2 在（ 0，）上有最大值3 f (x) 2 在 (, 0) 上有最小值 3， f ( x) 在 (,0) 上有最小值 1答案為 C3定義在 R 上的奇函數(shù)f ( x) 在（ 0， +）上是增函數(shù)，又f ( 3) 0，則不等式 xf ( x)0的解集為（ A ）A （ 3， 0）（

10、0， 3）B（，3）（ 3， +）C（ 3， 0）（ 3， +）D（，3）（ 0， 3）提示：由奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系結(jié)合圖象來(lái)解答案為A 4. 已知函數(shù) yf ( x) 是偶函數(shù)， yf ( x2) 在 0，2上是單調(diào)減函數(shù)，則（ A ）A .f (0)f (1)f (2)B .f (1)f (0)f (2)C.f (1)f (2) f (0)D.f (2)f (1)f (0)提示：由 f（ x 2）在 0， 2上單調(diào)遞減，f ( x) 在 2， 0上單調(diào)遞減 . y f ( x) 是偶函數(shù)，f ( x) 在 0， 2上單調(diào)遞增 .又 f ( 1) f (1) ，故應(yīng)選 A .5已知 f (

11、x) 奇函數(shù)，當(dāng) x （ 0，1）時(shí)， f ( x) lg1，那么當(dāng) x （ 1，0）時(shí)， f ( x)的表達(dá)式是 lg(1x) 1x提示：當(dāng) x（ 1，0）時(shí)，x （ 0， 1）， f ( x)f (x)lg1lg(1 x) x2ax 是奇函數(shù)，則 a200716已知 f ( x)log 32007a = 2008a x提示：f (0)log3 2a0， 2a 1 ，解得： a 1 ，經(jīng)檢驗(yàn)適合， a 20072007a2008 aa7若 f ( x) 是偶函數(shù)，當(dāng)x 0，+) 時(shí)， f ( x)x1，則 f (x1) 0的解集是 x | 0x2提示：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱，先作出 f

12、( x) 的圖象，由圖可知 f ( x)0的解集為 x |1x1 ， f ( x1) 0 的解集為 x | 0x2 .8試判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1） f ( x) | x2| | x 2| ； （ 2） f ( x)1x 2；（ 3） f ( x)| x |( x 1)0 x 33x解：（ 1）函數(shù)的定義域?yàn)镽， f (x) | x2|x2| x2| x2|f (x) ，故 f (x) 為偶函數(shù)精品資料歡迎下載1x20x1且 x0 ，定義域?yàn)?1, 0)(0, 1 ，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，（2）由3|得： 1| x3 01x21 x2x)1x2f ( x)3x， f (f ( x) ，故 f ( x

13、) 為奇函數(shù)x 3x（ 3）函數(shù)的定義域?yàn)?(- ， 0) (0，1) (1，+ )，它不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)既非奇函數(shù)，又非偶函數(shù)9已知函數(shù) f (x) 對(duì)一切 x, yR ，都有 f ( xy)f (x)f ( y) ，若 f ( 3)a ，用 a表示 f (12) 解：顯然f (x) 的定義域是 R ，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱在f ( xy)f (x)f ( y) 中，令 yx ，得 f (0)f ( x)f (x) ，令 xy0 ，得 f (0)f (0)f(0)， f (0)0 ， f ( x)f ( x)0 ，即 f (x)f ( x) ， f (x) 是奇函數(shù) f ( 3)a ， f (12) 2 f (6)4 f (3)4 f (3)4a 10已知函