第七章非平穩(wěn)時(shí)間序序列的特征與檢驗(yàn)

1、應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材1第七章第七章 非平穩(wěn)時(shí)間序列的特征及檢驗(yàn)非平穩(wěn)時(shí)間序列的特征及檢驗(yàn) 本章主要討論：v非平穩(wěn)時(shí)間序列的特征v非平穩(wěn)性的常規(guī)檢驗(yàn)法v非平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)法v案例分析應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材2第一節(jié)第一節(jié) 非平穩(wěn)時(shí)間序列的特征非平穩(wěn)時(shí)間序列的特征 本節(jié)基本內(nèi)容：本節(jié)基本內(nèi)容：v非平穩(wěn)時(shí)間序列的概念非平穩(wěn)時(shí)間序列的概念 v非平穩(wěn)序列的分類非平穩(wěn)序列的分類 v非平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特征非平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特征 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材3一、非平穩(wěn)時(shí)間序列的概念一、非平穩(wěn)時(shí)間序列的概念 嚴(yán)格平穩(wěn)與嚴(yán)格非平穩(wěn) ： 如果序列滿足： 其概率

2、分布、均值、方差、協(xié)方差及其它各高階矩均不隨時(shí)間發(fā)生變化 如果時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特征隨時(shí)間的推移而發(fā)生變化，則稱為非平穩(wěn)時(shí)間序列。 1212( , ,)(,)nkkn kfy yyfyyy+=ll應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材4 弱平穩(wěn)，是指時(shí)間序列的均值、方差和協(xié)方差等一、二階矩存在并不隨時(shí)間改變，表現(xiàn)為時(shí)間的常數(shù)。 弱平穩(wěn)的三個(gè)條件： ( )te ym=2( )tvaryd=( , )tst scovy yr-= 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材5【例【例7.1】 ar(1) 時(shí)間序列的平穩(wěn)性分析時(shí)間序列的平穩(wěn)性分析 對(duì)于ar(1)： ，假設(shè)初始值 ，干擾項(xiàng) 為白噪聲，滿足零

3、均值獨(dú)立同分布，其方差為 。討論不同系數(shù) 時(shí)序列的平穩(wěn)性情況。 對(duì) 迭代，得到: 對(duì)均值，有： ，與時(shí)間無(wú)關(guān)。 對(duì)方差，有：1tttyy00y t2( )tvares=r12120tittttt iiyyererr e-=+=ty10()() 0titt iie ye21122222001()()1tttiitt iiivar yvar應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材6【例【例7.1】當(dāng) 時(shí)，分子、分母取極限可得到：當(dāng) 時(shí)，有： 當(dāng) 時(shí)， 與時(shí)間相關(guān)并按指數(shù)增長(zhǎng)。 可見：當(dāng) ，方差與時(shí)間無(wú)關(guān)，其它情形與時(shí)間相關(guān)。容易證明，協(xié)方差與方差具有同樣的特征。1r= 2()tvar yt221(

4、)1tvar y1r()tvar y1r應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材7【例【例7.1】結(jié)論】結(jié)論v當(dāng) 時(shí)，ar(1) 過(guò)程為平穩(wěn)的，因?yàn)槠渚?、方差與協(xié)方差均與時(shí)間無(wú)關(guān)。v當(dāng) 時(shí)，方差與協(xié)方差均與時(shí)間有關(guān)，為非平穩(wěn)的。對(duì)于經(jīng)濟(jì)問題而言，很少出現(xiàn) 的情形。通常將 的情形稱為隨機(jī)漫步過(guò)程，或者稱為單位根過(guò)程。v當(dāng) 時(shí)，方差、協(xié)方差隨時(shí)間指數(shù)增長(zhǎng)，當(dāng)然也是非平穩(wěn)過(guò)程。此時(shí)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)短暫的時(shí)間間隔就會(huì)迅速增加到無(wú)窮，這對(duì)實(shí)際經(jīng)濟(jì)變量而言是比較少見的，故我們?cè)趯?shí)踐中通常不考慮這種非平穩(wěn)情形。1r應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材8二、非平穩(wěn)時(shí)間序列的分類二、非平穩(wěn)時(shí)間序列的分類v隨機(jī)

5、趨勢(shì)非平穩(wěn)過(guò)程（stochastic trend process） 隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)過(guò)程又稱為差分平穩(wěn)過(guò)程（difference stationary process）、有漂移項(xiàng)的非平穩(wěn)過(guò)程（non-stationary process with drift）。其生成過(guò)程為： v趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程（trend stationary process） 趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程又稱為退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程，其生成過(guò)程為： v確定性趨勢(shì)非平穩(wěn)過(guò)程（non-stationary process with deterministic trend） 模型為 1tttyyttty1ttttyy應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材9三

6、、非平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特征三、非平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特征對(duì)單位根過(guò)程而言，有 可以看出，隨著時(shí)間長(zhǎng)度的增加，相關(guān)系數(shù)趨近于常數(shù)1；在小樣本條件下，隨著滯后期k的增加，相關(guān)系數(shù)會(huì)不斷衰減。對(duì)于ar(1) 的平穩(wěn)過(guò)程而言，有 可以看出，相關(guān)系數(shù)隨滯后期k的增加按指數(shù)迅速衰減到0。 單位根過(guò)程與平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)系數(shù)隨滯后期的增加有顯著不同的衰減速度，這個(gè)區(qū)別為我們檢驗(yàn)非平穩(wěn)性提供了一個(gè)思路，樣本相關(guān)圖法就是利用這個(gè)性質(zhì)來(lái)檢驗(yàn)時(shí)間序列的非平穩(wěn)性的。222(,)()1/()()()tt kktt kcov y ytkk tvar yvar yttk(,)()()ktt kktt kcov y yvar y

7、var y應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材10 隨機(jī)漫步過(guò)程與平穩(wěn)一階自回歸過(guò)程特征的比較隨機(jī)漫步過(guò)程與平穩(wěn)一階自回歸過(guò)程特征的比較 隨機(jī)漫步過(guò)程平穩(wěn)一階自回歸過(guò)程方差隨時(shí)間線性增長(zhǎng)保持不變協(xié)方差跟時(shí)間與時(shí)間間隔都有關(guān)與時(shí)間無(wú)關(guān)自相關(guān)系數(shù)不變或緩慢衰減按照指數(shù)衰減記憶性長(zhǎng)記憶性短記憶性t統(tǒng)計(jì)量的有效性傳統(tǒng)用法無(wú)效有效應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材11第二節(jié)第二節(jié) 非平穩(wěn)時(shí)間序列的檢驗(yàn)方法非平穩(wěn)時(shí)間序列的檢驗(yàn)方法本節(jié)基本內(nèi)容：本節(jié)基本內(nèi)容：v數(shù)據(jù)圖示法數(shù)據(jù)圖示法 v相關(guān)圖法相關(guān)圖法v逆序檢驗(yàn)法逆序檢驗(yàn)法應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材12一、數(shù)據(jù)圖示法一、數(shù)據(jù)圖示法v如

8、果時(shí)間序列是平穩(wěn)的，它有一固定不變的均值，并且應(yīng)該在有限的時(shí)間穿越均值，方差也保持不變，在不同的區(qū)域的波動(dòng)性應(yīng)該是一致的。從圖形看，曲線應(yīng)該圍繞一條水平線上下波動(dòng)，無(wú)明顯的趨勢(shì)性。 v非平穩(wěn)過(guò)程可能沒固定均值，或者向均值回歸的時(shí)間非常長(zhǎng)。從圖形上看，大多數(shù)點(diǎn)不會(huì)圍繞一條水平線上下波動(dòng)。 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材13二、基于相關(guān)圖的平穩(wěn)性檢驗(yàn)法二、基于相關(guān)圖的平穩(wěn)性檢驗(yàn)法v檢驗(yàn)原理 平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)要么是截尾的，要么是按照指數(shù)快速衰減到零，也就是說(shuō)，較長(zhǎng)時(shí)間間隔后的自相關(guān)函數(shù)應(yīng)該趨近于0。而單位根過(guò)程的序列自相關(guān)函數(shù)沒有截尾現(xiàn)象，衰減是很緩慢的?？梢岳盟鼈兊倪@個(gè)統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行

9、序列平穩(wěn)與非平穩(wěn)的檢驗(yàn)。 v檢驗(yàn)方法 將樣本相關(guān)系數(shù)隨滯后期數(shù)變化的情形描點(diǎn)，可以得到樣本相關(guān)圖（sample correlogram）。根據(jù)平穩(wěn)與非平穩(wěn)樣本相關(guān)圖的不同特征，可以得出序列平穩(wěn)與否的結(jié)論。應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材14例子：例子： 平穩(wěn)平穩(wěn)ar(1)的自相關(guān)圖的自相關(guān)圖應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材15例子：例子： 非平穩(wěn)過(guò)程的樣本自相關(guān)圖非平穩(wěn)過(guò)程的樣本自相關(guān)圖應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材16三、逆序檢驗(yàn)法三、逆序檢驗(yàn)法v逆序數(shù)的定義 逆序 逆序數(shù)v逆序檢驗(yàn)方法 檢驗(yàn)原理 檢驗(yàn)步驟應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材17四、游程檢驗(yàn)四、

10、游程檢驗(yàn)v游程的概念v游程檢驗(yàn)應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材18第三節(jié)第三節(jié) 時(shí)間序列非平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)法時(shí)間序列非平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)法本節(jié)基本內(nèi)容：本節(jié)基本內(nèi)容：v單位根過(guò)程單位根過(guò)程v單位根過(guò)程檢驗(yàn)基礎(chǔ)單位根過(guò)程檢驗(yàn)基礎(chǔ)vdf單位根檢驗(yàn)法單位根檢驗(yàn)法vpp單位根檢驗(yàn)法與單位根檢驗(yàn)法與adf單位根檢驗(yàn)法單位根檢驗(yàn)法v其它高效的單位根檢驗(yàn)法簡(jiǎn)介其它高效的單位根檢驗(yàn)法簡(jiǎn)介應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材19一、單位根過(guò)程一、單位根過(guò)程時(shí)間序列 稱為隨機(jī)漫步過(guò)程，如果有： 其中 獨(dú)立同分布，其均值、方差分別滿足 隨機(jī)漫步過(guò)程的方差、協(xié)方差皆與時(shí)間有關(guān)，是非平穩(wěn)的。 帶漂移的隨機(jī)

11、漫步過(guò)程 ：其中 ， tytttyy1t22)()(, 0)(tttedetttyy1022)()(, 0)(tttede應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材20較隨機(jī)漫步過(guò)程更一般的是單位根過(guò)程。單位根過(guò)程(unit root process)的定義如下：若隨機(jī)過(guò)程滿足：其中 ，為一平穩(wěn)過(guò)程，且 如果包含非0常數(shù)項(xiàng) ，稱為帶漂移的單位根過(guò)程 ：隨機(jī)漫步過(guò)程是單位根過(guò)程中退化為的一個(gè)特例。1tttyy1( )0,( ,),0,1,2,ttt ssecovs 1tttyy應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材21經(jīng)過(guò)一次差分后變?yōu)槠椒€(wěn)的序列稱為一階單整序列(integrated proce

12、ss)，或者叫可積序列，記為i(1) 。如果序列經(jīng)過(guò)二階差分后才變成平穩(wěn)過(guò)程，則稱序列為二階單整序列，記為i(2) 。如果序列經(jīng)過(guò)d次差分后平穩(wěn)，而d-1次差分卻不平穩(wěn)，那么稱為d階單整序列，記為i(d)，d稱為單整階數(shù)。 平穩(wěn)序列為零階單整序列，記為i(0)。 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材22二、單位根過(guò)程檢驗(yàn)基礎(chǔ)二、單位根過(guò)程檢驗(yàn)基礎(chǔ)維納過(guò)程(wiener process)也稱為布朗運(yùn)動(dòng)(brownian motion) 。應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材23應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材24三、三、df單位根檢驗(yàn)法單位根檢驗(yàn)法假設(shè)時(shí)間序列是由下列兩種模型之一

13、產(chǎn)生出來(lái)： 或其中 。如果 ，第一種為隨機(jī)漫步過(guò)程，第二種為帶漂移的隨機(jī)漫步過(guò)程，皆為非平穩(wěn)過(guò)程。如果 ，則為平穩(wěn)過(guò)程。所謂單位根檢驗(yàn)，就是檢驗(yàn) 是否成立。tttyy1tttyy1), 0 (2iidt1| 11應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材25單位根檢驗(yàn)的單位根檢驗(yàn)的4種情形種情形應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材26（一）（一） 情形一的情形一的df檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法回歸模型(7.29)系數(shù) 的ols估計(jì)為：構(gòu)造t統(tǒng)計(jì)量： 其中 為回歸殘差的方差。 在 成立的條件下，t統(tǒng)計(jì)量具有如下極限：211tttyyy21212tyst2s1:0h 212121102221221211111

14、drrwwsynyntlttt應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材27df單位根檢驗(yàn)在情形單位根檢驗(yàn)在情形1時(shí)時(shí)t統(tǒng)計(jì)量的概率分布密度函數(shù)統(tǒng)計(jì)量的概率分布密度函數(shù)(樣本數(shù)樣本數(shù)200) 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材28統(tǒng)計(jì)量分布特征統(tǒng)計(jì)量分布特征vt統(tǒng)計(jì)量依分布收斂于維納過(guò)程的泛函，不再服從傳統(tǒng)的t分布，傳統(tǒng)的t檢驗(yàn)法失效。上面的極限分布一般稱為dickeyfuller分布，對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)稱為df檢驗(yàn)。 v檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的極限分布是非對(duì)稱、左偏的，檢驗(yàn)值大都是負(fù)數(shù)。 vdickeyfuller分布是非標(biāo)準(zhǔn)的，因此人們用monte carlo方法模擬得到檢驗(yàn)的臨界值，并編成df檢驗(yàn)臨界值

15、表供查。 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材29檢驗(yàn)方法：檢驗(yàn)方法：v在進(jìn)行df檢驗(yàn)時(shí)，比較t統(tǒng)計(jì)量值與df檢驗(yàn)臨界值，就可在某個(gè)顯著性水平上拒絕或接受原假設(shè)。v若t統(tǒng)計(jì)量值小于df檢驗(yàn)臨界值，則拒絕原假設(shè) ，說(shuō)明序列不存在單位根。v若t統(tǒng)計(jì)量值大于或等于df檢驗(yàn)臨界值，則接受原假設(shè) ，說(shuō)明序列存在單位根。 1:0h1:0h應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材30檢驗(yàn)回歸式的變形：檢驗(yàn)回歸式的變形：應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材31（二）（二） 情形二的情形二的df檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法情形二參數(shù)的估計(jì)模型為：在 成立時(shí)，序列服從隨機(jī)漫步過(guò)程，有以下統(tǒng)計(jì)量極限分布： tttyy11,

16、 0:0h 21010210210221 1121) 1 (drrwdrrwdrrwwdrrwwnl) 1(n 210102102) 1 ( 1121drrwdrrwdrrwwwl 21210102102212122111)(11drrwdrrwdrrwwwnntl應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材32情形情形2時(shí)時(shí)t統(tǒng)計(jì)量概率分布密度函數(shù)統(tǒng)計(jì)量概率分布密度函數(shù) （樣本數(shù)為（樣本數(shù)為200） 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材33情形情形2統(tǒng)計(jì)量分布特征統(tǒng)計(jì)量分布特征v當(dāng)估計(jì)模型中含有常數(shù)項(xiàng)時(shí)，t統(tǒng)計(jì)量的極限分布發(fā)生了變化，從而臨界值也就不同。 v比情形1時(shí)更加向左偏移。 應(yīng)用時(shí)間

17、序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材34（三）其它情形的（三）其它情形的df檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法vdickey、fuller還考察了情形三、情形四下的單位根檢驗(yàn)問題，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量同前。v可以證明，在情形三下，檢驗(yàn)用的t統(tǒng)計(jì)量的極限分布為正態(tài)分布，從而可按照傳統(tǒng)ols檢驗(yàn)法進(jìn)行。v在情形四下，檢驗(yàn)用的t統(tǒng)計(jì)量的極限分布為非正規(guī)分布，需要參考其特殊的臨界值表。應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材35四、四、pp單位根檢驗(yàn)法與單位根檢驗(yàn)法與adf單位根檢驗(yàn)法單位根檢驗(yàn)法數(shù)據(jù)模型：其中 滿足白噪聲要求，獨(dú)立同分布，且 的自相關(guān)函數(shù)記為 ，記 。 回歸模型為：檢驗(yàn)假設(shè)為： 01)(,jjtjtttttbuuyy

18、t2)(, 0)(ttdetu()jttje u u0jjtttuyy10; 1:0h應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材36pp單位根檢驗(yàn)法單位根檢驗(yàn)法原假設(shè)下：統(tǒng)計(jì)量存在冗余參數(shù)，需要調(diào)整為：新統(tǒng)計(jì)量的極限分布為：t統(tǒng)計(jì)量同樣需要進(jìn)行修正： 2101022022121010210221/1111drrwdrrwdrrwdrrwdrrwwwnl)(21) 1(22202snn)(21) 1(22202snn 2121010210221111drrwdrrwdrrwwwlsnt2)(020 2121010210221111drrwdrrwdrrwwwl應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教

19、材37pp檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材38v對(duì)于情形一、四，phillips、perron證明了，修正統(tǒng)計(jì)量的極限分布與df檢驗(yàn)中對(duì)應(yīng)情形的極限分布相同，從而可使用df檢驗(yàn)的臨界值表。vpp單位根檢驗(yàn)法是針對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)存在序列相關(guān)性而提出的，該方法是對(duì)df單位根檢驗(yàn)法的進(jìn)一步推廣，其關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)df檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行了適當(dāng)?shù)男拚?。v修正后的統(tǒng)計(jì)量與df檢驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)量有相同的極限分布，因此可借用df檢驗(yàn)臨界值表進(jìn)行檢驗(yàn)。應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材39單位根過(guò)程的單位根過(guò)程的adf檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法 p階自回歸過(guò)程的變換階自回歸過(guò)程的變換 ：應(yīng)用時(shí)間序列分析”十

20、一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材40adf單位根檢驗(yàn)的單位根檢驗(yàn)的4種情形：種情形：應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材41vdickey和fuller證明，對(duì)于情形一、二、四，t統(tǒng)計(jì)量與df檢驗(yàn)中對(duì)應(yīng)情形的極限分布完全一致，從而可直接使用df檢驗(yàn)對(duì)應(yīng)情形的臨界值表。adf檢驗(yàn)中，不需要對(duì)t統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行修正，就可直接利用df檢驗(yàn)中的臨界值表進(jìn)行檢驗(yàn)。這一點(diǎn)與pp檢驗(yàn)是明顯不同的。 v情形三的t統(tǒng)計(jì)量的極限分布為常規(guī)的t分布，因此可用常規(guī)的t檢驗(yàn)。 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材42adf檢驗(yàn)中對(duì)回歸式的修改：檢驗(yàn)中對(duì)回歸式的修改：應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材43五、其它高效的單位根檢驗(yàn)法簡(jiǎn)介五、其它高效的單位根檢驗(yàn)法簡(jiǎn)介 在樣本數(shù)較小時(shí)，df單位根檢驗(yàn)的檢驗(yàn)功效是很低的，常常會(huì)將平穩(wěn)過(guò)程誤判為存在單位根。adf與pp的檢驗(yàn)功效盡管有所改善，但也并