函數(shù)極限的性質(zhì)證明

1、函數(shù)極限的性質(zhì)證明第一篇：函數(shù)極限的性質(zhì)證明函數(shù)極限的性質(zhì)證明x1=2,xn+1=2+1/xn,證明xn的極限存在，并求該極限求極限我會(huì)|xn+1-a|<|xn-a|/a以此類推，改變數(shù)列下標(biāo)可得|xn-a|<|xn-1-a|/a;|xn-1-a|<|xn-2-a|/a;|x2-a|<|x1-a|/a;向上迭代，可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/(a)2只要證明x(n)單調(diào)增加有上界就可以了。用數(shù)學(xué)歸納法：lim就省略不打了。n/(n+1)=0(n+4)/n=1sin(1/n)=0實(shí)質(zhì)就是計(jì)算題，只不過(guò)題目把答案告訴你了，你把過(guò)程寫出來(lái)就好了第一題，分子分母

2、都除以n，把n等于無(wú)窮帶進(jìn)去就行第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數(shù)列極限變成函數(shù)極限，用羅比達(dá)法則(不知樓主學(xué)了沒(méi)，沒(méi)學(xué)的話以后會(huì)學(xué)的)第三題，n趨于無(wú)窮時(shí)1/n=0，sin(1/n)=0不知樓主覺(jué)得我的解法對(duì)不對(duì)呀limn/(n+1)=lim(1/n)/(1+1/n)=lim(1/n)/(1+lim(1+n)=0/1=0lim(n+4)/n=lim(1+4/n)=1+lim(4/n)=1+4lim(1/n)=1limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0第二篇：函數(shù)極限的性質(zhì)3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)2函數(shù)極限的性質(zhì). 教學(xué)目的與要求1.理解掌握函數(shù)極

3、限的唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、保不等式性，迫斂性定理并會(huì)利用這些定理證明相關(guān)命題.2.掌握函數(shù)極限四則運(yùn)算法則、迫斂性定理,會(huì)利用其求函數(shù)極限. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn):重點(diǎn): 函數(shù)極限的性質(zhì).難點(diǎn): 函數(shù)極限的性質(zhì)的證明及其應(yīng)用. 講授內(nèi)容在1中我們引入了下述六種類型的函數(shù)極限：1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?x?x?x?f?x?；6)limf?x?。 4)limf?x?； 5)lim?x?x0x?x0x?x0它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，下面以第4)種類型的極限為代表來(lái)敘述并證明這些性質(zhì)至于其他類型極限的性質(zhì)及其證明，只要相應(yīng)地作些修改即可.定理32(唯一性

4、)若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的 x?x0證設(shè)?,?都是f當(dāng)x?x0時(shí)的極限，則對(duì)任給的?0，分別存在正數(shù)?1與?2，使得當(dāng)0?x?x0?1時(shí)有f?x? ，(1)當(dāng)0?x?x0?2時(shí)有f?x? ，(2)取?min?1,?2?，則當(dāng)0?x?x0?時(shí)，(1)式與(2)式同時(shí)成立，故有?(f?x?)?f?x?f?x?f?x?2?由?的任意性得?，這就證明了極限是唯一的.定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域u0?x0?內(nèi)有界 x?x0證設(shè)limf?x?取?1，則存在?0使得對(duì)一切x?u0?x0;?有 x?x0f?x?1?f?x?1這就證明了f在u0?x0;?

5、內(nèi)有界定理34(局部保號(hào)性)若limf?x?0 (或?0)，則對(duì)任何正數(shù)r?（或x?x0r?)，存在u0?x0?，使得對(duì)一切x?u0?x0?有f?x?r?0（或f?x?r?0）證設(shè)?0，對(duì)任何r?(0,?)，取?r，則存在?0，使得對(duì)一切x?u0?x0;?f?x?r，這就證得結(jié)論對(duì)于?0的情形可類似地證明注在以后應(yīng)用局部保號(hào)性時(shí)，常取r?a2x?x0定理35(保不等式性)設(shè)limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域u0x0;?內(nèi)x?x0?有f?x?g?x?則limf?x?limg?x?（）x?x0x?x0證設(shè)limf?x?=?，limg?x?=?，則對(duì)任給的?0，分別存在正數(shù)?1與?2

6、使x?x0x?x0得當(dāng)0?x?x0?1時(shí)有?f?x?， 當(dāng)0?x?x0?2 時(shí)有g(shù)?x?令?min?,?1,?2，則當(dāng)0?x?x0?時(shí)，不等式f?x?g?x?與(4)、(5)兩式同時(shí)成立，于是有?f?x?g?x?從而?2?由?的任意性推出?，即(3)式成立定理36(迫斂性)設(shè)limf?x?=limg?x?=，且在某u0x0;?內(nèi)有 x?x0x?x0?f?x?則limh?x? x?x0h?x?g?x?證按假設(shè)，對(duì)任給的?0，分別存在正數(shù)?1與?2，使得當(dāng)0?x?x0?1時(shí)有，2?f?x?(7)當(dāng)0?x?x0?2時(shí)有g(shù)?x?(8)令?min?,?1,?2，則當(dāng)0?x?x0?時(shí)，不等式(6)、(7)

7、、(8)同時(shí)成立， 故有?f?x?h?x?g?x?由此得h?x?，所以limh?x? x?x0?定理37（四則運(yùn)算法則）若極限limf?x?與limg?x?都存在，則函數(shù) x?x0x?x0f?g,f?g當(dāng)x?x0時(shí)極限也存在，且1)lim?f?x?g?x?limf?x?limg?x?； x?x0x?x0x?x02）lim?f?x?g?x?x?x0x?x0limf?x?limg?x?； x?x0又若limg?x?0，則f|g當(dāng)x?x0時(shí)極限存在，且有 x?x03）limx?x0f?x?gxx?x0limf?x?limg?x? x?x0這個(gè)定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理，留給學(xué)生作為練習(xí)利用

8、函數(shù)極限的迫斂性與四則運(yùn)算法則，我們可從一些簡(jiǎn)單的函數(shù)極限出發(fā)，計(jì)算較復(fù)雜的函數(shù)極限例 1求limx?x?0?x?解當(dāng)x?0時(shí)有1?x?x?1， ?x?1? ?1?1?x?1?故由迫斂性得：xlim而limx?=1 ?0?x?0?x?另一方面，當(dāng)x?0有1?x?1?x，故又由迫斂性又可得：lim x?1 ?x?0?x?x?綜上，我們求得lim x?1 x?0?x?3 ?1?1?1?1?例 2求lim?xtanx?1?x?解由xtanx?xsinx及1例4所得的， cosxsixn?si?limx?442?limcoxs， ?2x?4并按四則運(yùn)算法則有l(wèi)imsinx?xtanx?1?=limx?

9、limx?x?4?4x?4limcosxx?1=?lim?x?4?1 4例 3求lim?3?1?3? x?1x?1x?1?解 當(dāng)x?1?0時(shí)有?x?1?x?2?x?213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1故所求的極限等于x?2?1?2?1 2x?1x2?x?1?1?1?1lim例4證明lima?1?a?1? xx?0證任給?0 (不妨設(shè)?1)，為使xa?1?（9）即1?a?1?，利用對(duì)數(shù)函數(shù)logaloga?1?x?loga?1?于是，令x（當(dāng)a?1時(shí)）的嚴(yán)格增性，只要 ?min?loga?1?,?loga?1?， 則當(dāng)0?x?時(shí)，就有(9)式成立，從而證得結(jié)論 小結(jié)與提問(wèn):本節(jié)要求學(xué)生理

10、解掌握函數(shù)極限的性質(zhì)，并利用其討論相關(guān)命題.指導(dǎo)學(xué)生對(duì)定理的應(yīng)用作總結(jié). 課外作業(yè): p51 2、3、5、7、8、9.第三篇：2函數(shù)極限的性質(zhì)數(shù)學(xué)分析上冊(cè)教案第三章函數(shù)極限武漢科技學(xué)院理學(xué)院2 函數(shù)極限的性質(zhì)教學(xué)章節(jié)：第三章函數(shù)極限2 函數(shù)極限的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì).教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等. 教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計(jì)算.教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用.教學(xué)方法：講練結(jié)合.教學(xué)過(guò)程：引言在1中我們引進(jìn)了下述六種類型的函數(shù)極限：1、limf(x)；2、limf(x)；3、limf(x)；4、limf(x);5

11、、limf(x)；6、limf(x).x?x?x?x?x0x?x0?x?x0?它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，下面以limf(x)為代表來(lái)敘述并證明這些性質(zhì).至x?x0于其它類型極限的性質(zhì)及其證明，只要作相應(yīng)的修改即可.一、函數(shù)極限的性質(zhì)性質(zhì)1（唯一性） 如果x?alimf(x)x?alimf(x)存在，則必定唯一. 證法一設(shè)?a，x?alimf(x)?b,則?0,?1?0,當(dāng)0?|x?a|?1時(shí)，|f(x)?a|?,(1)?2?0,當(dāng)0?|x?a|?2時(shí)，|f(x)?b|?.(2)?min?1,?2?取因而有 ，則當(dāng)0?x?a?時(shí)（1）和（2）同時(shí)成立.a?b?(f(x)?a)?(f(x

12、)?b)?f(x)?a?f(x)?b?2?,(3)由?的任意性，（3）式只有當(dāng)a?b?0時(shí)，即a?b時(shí)才成立.a?b2證法二反證,如x?a0?x?a?limf(x)?a，x?alimf(x)?b且a?b，取?0?，則?0，使當(dāng)時(shí)，f(x)?a?0,f(x)?b?0,即a?b2?a?0?f(x)?b?0?a?b2矛盾.性質(zhì)2（局部有界性） 若limf(x)存在，則f在x0的某空心鄰域內(nèi)有界.x?x0limf(x)?a?1x?x0證明取, 由 , ?0, 當(dāng)0?x?x0?時(shí), 有f(x)?a?1,即f(x)?a?f(x)?a?a?1，a?1說(shuō)明f(x)在u0(x0;?)上有界，就是一個(gè)界.limf

13、(x)?bx?a性質(zhì)3（保序性） 設(shè)，x?alimg(x)?c.0?x?a?0?01）若b?c，則0，當(dāng)時(shí)有f(x)?g(x)；0?x?a?02）若?0?0，當(dāng)時(shí)有f(x)?g(x)，則b?c.（保不等式性）證明1） 取?0?b?c2即得.2）反證，由1）即得.注若在2）的條件中, 改“f(x)?g(x)”為“f(x)?g(x)”,未必就有a?b.以 f(x)?1?x,g(x)?1,x0?0舉例說(shuō)明.推論（局部保號(hào)性） 如果x?a號(hào).limf(x)?b0?x?a?0?0且b?0，則0使當(dāng)時(shí)f(x)與b同性質(zhì)4（迫斂性） 設(shè)limf(x)?limh(x)?a，且在某u0(x0;?)內(nèi)有f(x)?

14、g(x)?h(x)，x?x0x?x0則limh(x)?a.x?x0證明?0, 由x?xlimh(x)?alimf(x)?a，?1?0，使得當(dāng)0?x?x0?1時(shí)，有f(x)?a?，即 a?f(x)?a?.又由x?x0，?2?0，使得當(dāng)0?x?x0?2時(shí) ，有h(x)?a?，即a?h(x)?a?.令?min(?1,?2)，則當(dāng)0?x?x0?時(shí)，有a?f(x)?g(x)?h(x)?a?limg(x)?a即g(x)?a?，故 x?x.性質(zhì)6（四則運(yùn)算法則） 若limf(x)和limg(x)都存在，則函數(shù)f?g,fg當(dāng)x?x0時(shí)極限x?x0x?x0也存在，且 1）lim?f(x)?g(x)?limf(x

15、)?limg(x)；2）lim?f(x)?g(x)?limf(x)?limg(x).x?x0x?x0x?x0x?x0x?x0x?x0又若limg(x)?0，則x?x0fg當(dāng)x?x0時(shí)極限也存在，且有 3）limf(x)g(x)x?x0?x?x0limf(x)x?x0limg(x).3）的證明 只要證有x?x0lim1g(x)b2?1b，令?0?b2?0，由x?x0limg(x)?bb20?x?x0?1，?1?0使得當(dāng)時(shí)，b2g(x)?b?， 即g(x)?b?g(x)?b?b?.g(x)?b?b2?0,仍然由x?x0limg(x)?b?2?0, 使得當(dāng)0?x?x0?2時(shí)，有?.0?x?x0?取?

16、min(?1,?2)，則當(dāng)時(shí)，有1g(x)?1b?g(x)?bg(x)b?2bg(x)?b?2b?b2?即x?x0lim1g(x)?1b.二、利用函數(shù)極限的性質(zhì)計(jì)算某些函數(shù)的極限利用“迫斂性”和“四則運(yùn)算”，可以從一些“簡(jiǎn)單函數(shù)極限”出發(fā)，計(jì)算較復(fù)雜函數(shù)的極限.已證明過(guò)以下幾個(gè)極限：limc?c,limx?x0,limsinx?sinx0,limcosx?cosx0;x?x0x?x0x?x0x?x0lim1xx?0,limarctgx?x?.（ 注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值 ）這些極限可作為公式用.在計(jì)算一些簡(jiǎn)單極限時(shí),利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過(guò)有關(guān)性質(zhì), 把所求極限化

17、為基本極限,代入基本極限的值, 即計(jì)算得所求極限. 例1 求limx?.x?0?x?1?例2 求lim?(xtgx?1).x?例3 求lim(1x?1x?1?3x3?1).例4lim5x?3x?73x3?2x2?5.x?注關(guān)于x的有理分式當(dāng)x?時(shí)的極限.參閱4p37. 7例5limx?1nx10利用公式x?1?1.a?1?(a?1)(an?1?an?2?a?1).例6limx?2x?2?1x?1x2?x?2.例7lim2x?3x?1x?3x?5.例8limxsin(2x?x?10)3?2x.x?例9lim?x?1.x?0?x?1例10已知 limx?16?a參閱4p69.x?3x?3?b.求

18、a和b.作業(yè)教材p51521 -7，8(1)(2)(4)(5)； 2補(bǔ)充題已知limx?ax?b7.求a和b.(a?16x?2x2?4?b?3,b?203.)例11lim?2?x2?ax?b?0.x?1?x?求a和b. ?2解法一2?x?ax?ax1?x?ax?2?x1?x?(a?1)x2?ax?21?x?b,(x?).?a?1?0,a?1;又 ?a?b,?b?1.解法二2?x21?x?ax?b?x ? 2?x2?a?b?，?x?x2x? 由x?且原式極限存在(本文 來(lái)自好.haO?2?x2?b?1,b?lim?2?x2?x?1x?. ?x?x2x?x?1?x?第四篇：2 函數(shù)極限的性質(zhì)2 函

19、數(shù)極限的性質(zhì)在1中我們引入了下述六種類型的函數(shù)極限：1）；2）；3）；4）；5）；6）。它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，下面以第4）種類型的極限為代表來(lái)敘述并證明這些性質(zhì)。至于其他類型極限的性質(zhì)及其證明，只要相應(yīng)的作些修改即可。定理3.2（唯一性）若極限證設(shè)與、都是當(dāng) 存在，則此極限是唯一的。 時(shí)的極限，則對(duì)任給的，分別存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有（1）當(dāng)時(shí)有（2） 取，則當(dāng)時(shí)，（1）式與 (2) 式同時(shí)成立，故有由的任意性得。這就證明了極限是唯一的。定理3.3（局部有界性） 若極限內(nèi)有界。存在，則在某空心鄰域證設(shè)。取，則存在，使得對(duì)一切。有這就證明了在內(nèi)有界。定理3.4（局部保號(hào)性）若（或），存

20、在，使得對(duì)一切有（或），則對(duì)任何正數(shù)（或證 設(shè)有，這就證得結(jié)論。對(duì)于，對(duì)任何，取，則存在）。，使得對(duì)一切的情形可類似地證明。定理3.5（保不等式性）設(shè)內(nèi)有，則與都存在，且在某鄰域。（3）證 設(shè)，使得當(dāng)，時(shí)，則對(duì)任給的，分別存在正數(shù)與（4）當(dāng)時(shí)有（5）令，則當(dāng)時(shí)，不等式與（4）,（5）式同時(shí)成立，于是有式成立。，從而。由的任意性得，即（3）定理3.6（迫斂性）設(shè)=，且在某內(nèi)有（6）則。證 按假設(shè)，對(duì)任給的，分別存在正數(shù)與，使得當(dāng)時(shí)（7）當(dāng)時(shí)有（8）令式同時(shí)成立，故有，則當(dāng)時(shí)，不等式（6）、（7）、（8），由此得，所以。定理3.7（四則運(yùn)算法則）若極限，當(dāng)與都存在，則函數(shù)時(shí)極限也存在，且1）=2）

21、=又若，則當(dāng)時(shí)極限也存在，且有）這個(gè)定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理，留給讀者作為練習(xí)。 利用函數(shù)極限的迫斂性與四則運(yùn)算法則，我們可從一些簡(jiǎn)單的函數(shù)極限出發(fā)計(jì)算較復(fù)雜的函數(shù)極限。例1求。解 由第一章3習(xí)題13，當(dāng) 時(shí)有，而，故由迫斂性得。另一方面，當(dāng)時(shí)有，故由迫斂性又可得。綜上，我們求得。例2 求。解由及1例4所得的并按四則運(yùn)算法則有=例3 求解 當(dāng) 時(shí)有。故所求極限等于。例4證明證任給（不妨設(shè)），為使（9）即，利用對(duì)數(shù)函數(shù)（當(dāng)時(shí)）的嚴(yán)格增性，只要于是，令成立，從而證得結(jié)論。，則當(dāng)時(shí)，就有（9）式第五篇：函數(shù)極限的證明函數(shù)極限的證明(一)時(shí)函數(shù)的極限：以時(shí)和為例引入.介紹符號(hào):的意義,的直觀意義.定義(和.)幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語(yǔ)言介紹幾何意義.例1驗(yàn)證例2驗(yàn)證