大二上高等數(shù)學(xué)試卷及答案

1、南京大學(xué)匡亞明學(xué)院08級（二上）期末考試答案，a卷 2010.01.13.1、 將函數(shù) 展開成fourier級數(shù)，并給出級數(shù)和的表示式. （15分） 解 確定區(qū)間 上的 直交系為 ， 亦即. 于是，設(shè) 在區(qū)間上的fourier級數(shù)展開式為，下面來確定有限fourier變換（即fourier系數(shù)）： ，故； ，故； ，故. 最后，得到的fourier級數(shù)和 ，其中， ， ， ， . 2. 將函數(shù) ，展開成fourier余弦級數(shù)，并給出級數(shù)和的表示式.（15分） 解 將 ，作偶延拓，得；進(jìn)而，在上，取完整直交系 ，亦即 ，于是，由在上為偶函數(shù)，所以， 求，故； 求，故；于是， ；故， ；在上展開成

2、余弦級數(shù)，且其和函數(shù)為 3. (1) 將復(fù)值函數(shù) 在 的分支上展開成冪級數(shù). （10分）(2) 將復(fù)值函數(shù) 在展開成兩個環(huán)：、中洛朗級數(shù). （10分）解 （1） 將復(fù)值函數(shù) 在 的分支上展開成冪級數(shù). 由， 與 得、. 于是，在展開成冪級數(shù)為 ， . 解 (2) 將復(fù)值函數(shù) 展開成兩個環(huán)：、中的洛朗級數(shù). 在 中： 故 ，故， ； 中： 與 ，于是，故， . 4. （1） 用fourier級數(shù)法，求解偏微分方程的定解問題 . （15分）（2） 用fourier變換法，求解偏微分方程的定解問題 . （15分）解 （1） 由于問題是有限長桿上的熱傳導(dǎo)問題，故用有限fourier變換方法，由， 得，

3、 ，亦即， .此方程是，的一階線性方程，其解為， . 為確定，由始值條件的fourier變換， ，得到， ，然后得到， ；最后得到原來問題的解. （2） 由于問題是無限區(qū)域上的波動問題，故要用fourier變換方法，由方程作fourier變換：， ，得到， ，亦即， .此方程是，的二階常系數(shù)線性方程，其特征方程為，特征根為，. 于是，方程的解為， . 為求解，對初始條件作fourier變換， 、， ，故、；從而. 的解為，最后，得到問題的解為 （在理論上，上面反演公式要在、成立）. 5. （1） 求一個正交變換，將方陣化為對角型. （10分）（2） 將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型. （10分）解 （1） 第一步 求特征方程 ，故、；第二步 求特征向量 對于 ，方程組 的系數(shù)矩陣為的秩為，故其基礎(chǔ)解系中有個線性無關(guān)的解，于是， ，故取、 ；對于 ，方程組 的系數(shù)矩陣為的秩為，故其基礎(chǔ)解系中有個線性無關(guān)的解，于是， ，故??； 這樣，我們得到，但它不是正交方陣，因為、 、 并不兩兩正交、；第三步 用施密特正交化方法將正交化 令 ，于是，得到、 、 故正交方陣為. 解 （2） 由 于是，令 ，得到；事實上，二次型的方陣為，于是，故我們有：，與所作的可逆變換 與 得到的結(jié)果相同. 第一題 15分第二題 15