KS5U新課標(biāo)數(shù)學(xué)考點(diǎn)預(yù)測(cè)(28)：特殊與一般的思想方法

1、高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家ks5u2009屆新課標(biāo)數(shù)學(xué)考點(diǎn)預(yù)測(cè)（28）：特殊與一般的思想由特殊到一般,再由一般到特殊反復(fù)認(rèn)識(shí)的過(guò)程是人們認(rèn)識(shí)世界的基本過(guò)程之一，通過(guò)對(duì)個(gè)例認(rèn)識(shí)與研究，形成對(duì)事物的認(rèn)識(shí)，由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì)、由局部到整體、由實(shí)踐到理論。對(duì)數(shù)學(xué)而言，這種由特殊到一般,再由一般到特殊的研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本認(rèn)識(shí)的過(guò)程,就是數(shù)學(xué)研究的特殊與一般的思想。在高考中，會(huì)設(shè)計(jì)一些構(gòu)造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列，尋找特殊點(diǎn)、確立特殊位置，利用特殊值、特殊方程，由特殊到一般進(jìn)行歸納法猜想和類比法猜想的試題。1.取特殊數(shù)值例1（2008重慶卷,理6）若定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意有,則下列說(shuō)法一定正確的是

2、（ ）(a) 為奇函數(shù)（b）為偶函數(shù)(c) 為奇函數(shù)（d）為偶函數(shù)分析：判斷函數(shù)的奇偶性需要用定義，即找與之間的關(guān)系，由于所以需要先求出的值，這時(shí)需要取特殊值解答。解：令，得，令得，為奇函數(shù)，故選答案：評(píng)注：在對(duì)于抽象函數(shù)來(lái)說(shuō)，常常通過(guò)取特殊值研究函數(shù)的奇偶性。例2.若，則下列代數(shù)式中值最大的是a b c d 分析：本題比較大小，可以取特殊值，也可以作差比較，還可以用基本不等式或排序不等式。解法一：特殊值法.取，通過(guò)計(jì)算比較最大。選a解法二：解法三：根據(jù)排序不等式知 、 、中，最大，再取特值比較與答案： a.評(píng)注：本題中有多種做法，其中取特殊值法最簡(jiǎn)單，最直接。例3（2008福建德化一中，理）

3、已知對(duì)一切實(shí)數(shù)都有，且當(dāng)時(shí)，（1）證明為奇函數(shù)且是上的減函數(shù)； （2）若關(guān)于的不等式對(duì)一切恒成立，求m的取值范圍；（3）如果，記數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，求證 分析：本題中的函數(shù)為抽象函數(shù)，可通過(guò)取特殊值研究函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性把不等式轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于的不等式恒成立，有函數(shù)求的最值解答，（1）證明:依題意取 又取可得 由x的任意性可知為奇函數(shù)又設(shè) 在r上減函數(shù)（2）解：函數(shù)是奇函數(shù)，由得即又是上的減函數(shù) 恒成立當(dāng)時(shí)，故此時(shí)的最小值為，（3） 又，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列， 要證明不等式，即是證明也就是證明由柯西不等式得要使不等式取得等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)，而這是不可能成立的。當(dāng)時(shí)，

4、即評(píng)注：研究抽象函數(shù)的單調(diào)性常用取特殊值法，本題較為綜合的考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性以及利用函數(shù)的單調(diào)性解得不等式及函數(shù)的最值，還有把函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列，最終利用柯西不等式證出。2取特殊函數(shù)例4（2008陜西卷，理11.改編）定義在上的函數(shù)滿足（），則等于（ ）a2b3c6d9分析：由及，可令為特殊值，求出，再取特值研究函數(shù)的奇偶性；或直接取滿足條件的特殊函數(shù)解答。解法一：取，則滿足和，選d解法二：中，令，得，再令得，再令，得，令得，再令，得，選d評(píng)注:對(duì)于抽象函數(shù)來(lái)說(shuō),取特殊值和取特殊函數(shù)是常用的方法.例5.（取特殊函數(shù)的三角題）3取特殊數(shù)列例6.（2008四川卷，理7）已知等比數(shù)列中，則其前3

5、項(xiàng)的和的取值范圍是( )（） （）（） （）分析：本題中的等比數(shù)列只知道，如果再知道公比，數(shù)列就可以確定，而選項(xiàng)是范圍問(wèn)題，可取定公比加以排除。解法一：等比數(shù)列中 當(dāng)公比為1時(shí)， ； 當(dāng)公比為時(shí)， 從而淘汰（）（）（）故選d；解法二：等比數(shù)列中 當(dāng)公比時(shí)，； 當(dāng)公比時(shí)， 故選d；評(píng)注：取特殊數(shù)列入手淘汰，如果一次不能區(qū)分，則需多次取有區(qū)分度的值進(jìn)行排除，直至能辨別出正確答案為止，也可多種方法并存。要重視等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，以及均值不等式的應(yīng)用，特別注重均值不等式使用的條件是否具備，不具備就要進(jìn)行分類討論。4.取特殊位置例7.（2008寧夏區(qū)銀川一中）如圖，邊長(zhǎng)為的正中線與中位線相交

6、于，已知是繞旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形，現(xiàn)給出下列命題，其中正確的命題有 （填上所有正確命題的序號(hào)） （1）動(dòng)點(diǎn)在平面上的射影在線段上；（2）三棱錐的體積有最大值；（3）恒有平面平面；（4）異面直線與不可能互相垂直；分析:由于是繞旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形,可以轉(zhuǎn)動(dòng)到特殊位置,需要考慮特殊情況.解: 不論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng),（1）（3）正確,（2）不再變化,當(dāng)高最大時(shí),三棱錐的體積有最大值,即當(dāng)時(shí), 三棱錐的體積有最大值也正確,（4）不正確,由三垂線定理知,當(dāng)在平面內(nèi)的射影與平行時(shí)就一定垂直.評(píng)注:特殊位置法是解決變化的圖形的一種策略,要想到一些特殊位置.例8.（福建省八閩高中）某校高三年級(jí)老師到外校參觀學(xué)習(xí)2天，

7、留下6位老師值班，記每天上午、下午、晚上各為一“工作時(shí)”，則每位老師必須且只需值班一個(gè)“工作時(shí)”，由于有事，甲老師不能值晚班，乙老師不能值下午班，那么年級(jí)值班排法共有（ ）a288種 b312種 c336種 d360種分析：甲老師、乙老師都有特殊要求，應(yīng)該先滿足他們的特殊要求先排，如果先排甲老師，則由于他排在上午和下午會(huì)影響到乙老師的排法，所以需要分類討論。解：先排甲老師有兩種情況，（1）甲老師排在上午值班，有2種方法，乙老師排在晚上值班也有2種方法，其余4位老師有種方法，共2224=96種方法。（2）甲老師排在下午值班，有2種方法，乙老師與其他4位老師隨便排都可以，有種方法，共有240種方法

8、；由（1）（2）可知共336種方法。評(píng)注：本題為排列組合的特殊元素和特殊位置題，按特殊元素和特殊位置優(yōu)先的原則，分情況討論。5取特殊的點(diǎn)例9（2009山東文登三中）已知函數(shù)，則的圖象是（ ）a b c d分析：可以根據(jù)已知函數(shù)寫出所研究的函數(shù)，沒有必要畫出函數(shù)圖象，只需取特殊點(diǎn)就可以判斷。解：由已知得取特殊值和時(shí)，圖象所過(guò)的點(diǎn)為，結(jié)合圖形知選d。答案：d評(píng)注：因?yàn)檫x項(xiàng)中的各圖都有區(qū)別，可以取特殊值加以辨別。6由一般到特殊和由特殊到一般例10（2008湖北卷，理15）觀察下列等式：可以推測(cè)，當(dāng)2（）時(shí)， .，0分析：本題為找規(guī)律題，可以縱觀全局，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這些式子的特點(diǎn)，縱向觀察，找出規(guī)律和共性，

9、得到答案。解：縱向觀察每個(gè)式子的第一項(xiàng)，可知再看每個(gè)式子的第二項(xiàng)，都是，所以，同理，0答案：，0評(píng)注：本題是由特殊到一般，需要觀察歸納總結(jié)規(guī)律。例11（2008遼寧卷，理21）在數(shù)列，中，a1=2，b1=4，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（）（）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè)，的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；（）證明：分析：由已知條件可先算出前幾項(xiàng)，再歸納總結(jié)，用數(shù)學(xué)歸納法證明。解：（）由條件得由此可得猜測(cè)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時(shí)，由上可得結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立由，可知對(duì)一切正整數(shù)都成立（）n2時(shí)，由（）知故綜上，原不

10、等式成立 評(píng)注：本小題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列，數(shù)學(xué)歸納法，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納、總結(jié)、推理、論證等能力注意不等式的變換技巧。oyx例12已知函數(shù)的圖象如圖所示，則滿足的關(guān)系是（ ）abcd由圖可知函數(shù)為增函數(shù)，所以取得，故選a答案：a評(píng)注：本題采用數(shù)形結(jié)合，利用取特殊點(diǎn)的辦法解決問(wèn)題，比較簡(jiǎn)捷。7預(yù)測(cè)題（1）（07天津）在上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且，若在區(qū)間是減函數(shù)，則函數(shù)（ ）a.在區(qū)間上是增函數(shù)，區(qū)間上是增函數(shù)b.在區(qū)間上是增函數(shù)，區(qū)間上是減函數(shù)c.在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間上是增函數(shù)d.在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間上是減函數(shù)分析：本題為抽象函數(shù)，可以從函數(shù)的性質(zhì)入手，研

11、究函數(shù)的單調(diào)性和周期以及圖象。也可以具體化，把一般轉(zhuǎn)為特殊，取符合條件的特殊的例子解答。解法一：因?yàn)楹瘮?shù)在上是偶函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)，可知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，并且，由此知為以2為周期的周期函數(shù)，所以在區(qū)間上的單調(diào)性與在區(qū)間是一致的，是減函數(shù)。故選b-2 -1 0 1 2 3 4 xy解法二：由知函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，又因?yàn)楹瘮?shù)在上是偶函數(shù)，圖象又關(guān)于對(duì)稱，于是可以作如圖所示的示意圖。從圖中判斷，選擇b。答案：b評(píng)注：解法一利用性質(zhì)解答，解法二把一般轉(zhuǎn)化為特殊，結(jié)合圖形一目了然，不適為好的方法。（2）（原創(chuàng)）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，作直線與此拋物線相交于兩點(diǎn)p和q，那么線段pq中點(diǎn)的軌跡方程是（ ）（a）

12、 （b） （c） （d）分析：本題中的直線任意，可以先取特殊情況，當(dāng)線段pq為拋物線的通徑時(shí)，其中點(diǎn)就是焦點(diǎn)，即焦點(diǎn)應(yīng)在所求的軌跡上適合方程。解：（特殊點(diǎn)篩選法）拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，線段pq中點(diǎn)為由已知可知軌跡曲線的頂點(diǎn)為 ，開口向上，由此排除答案a、c、d，所以選b；另解：（直接法）拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線，則，消y得：，中點(diǎn)坐標(biāo)有，消得，選b.評(píng)注：通過(guò)比較即可看出取特殊位置時(shí)解法比較簡(jiǎn)單。（3）設(shè)，則大小關(guān)系是_；分析：已知條件中的任意，可以取特殊值進(jìn)行比較。解：考慮到三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是確定的，不妨令：，評(píng)注：利用取特殊值法時(shí)，所取的值要滿足條件、簡(jiǎn)單而且便于

13、計(jì)算，有區(qū)分度才有利于解答問(wèn)題。（4）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，是它的前項(xiàng)和，若是等差數(shù)列，則=_；分析：由于等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式使用時(shí)需要分兩種情況，當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，所以首先想到解：因?yàn)榉橇愕某?shù)列是公比為1的等比數(shù)列，且前n項(xiàng)和數(shù)列nc是公差為的等差數(shù)列，可知q=1。評(píng)注：注意有些問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)往往很簡(jiǎn)單，但如果直接計(jì)算則相當(dāng)?shù)穆闊?，可以從特殊值或特殊?shù)列入手解答問(wèn)題。（5）由下列各式：你能得出怎樣的結(jié)論，并進(jìn)行證明。分析：對(duì)所給各式進(jìn)行比較觀察，注意各不等式左邊的最后一項(xiàng)的分母特點(diǎn)：，一般地， 第個(gè)式子的最后一項(xiàng)的分母為，對(duì)應(yīng)各式右端為。解：歸納得一般結(jié)論證明：當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.當(dāng)n2時(shí)，故結(jié)論得證。評(píng)注：本題由特殊歸納出一般性的結(jié)論，在歸納時(shí)要總結(jié)每個(gè)式子的特點(diǎn)，隨著序號(hào)發(fā)生怎樣地變化，得出結(jié)論后，又用放縮法給出證明，也可以用數(shù)學(xué)歸納法給出證明。（6）設(shè)二次函數(shù)滿足條件：當(dāng)時(shí)，且；當(dāng)時(shí)，在上的最小值為0。求最大值，使得存在，只要，就有分析：本題先根據(jù)題設(shè)求出函數(shù)解析式，然后假設(shè)存在，取得的范圍，再令求出的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)的范圍求出的最大值。解法一：，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱 即由知當(dāng)時(shí),，即；由得 ，由得