直線與平面平行的判定和性質(zhì)

1、直線與平面平行的判定和性質(zhì)【課前復習】 溫故會做了，學習新課才會有保障 1空間兩直線的位置關系有 2公理 1：如果一條直線上的兩點在一個 平面內(nèi)，那么 答案： 1平行，相交，異面 2這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi) 知新先看書，再來做一做1直線 a 在平面 外是指直線 a 和平面 2直線 a 和平面的位置關系有 ，其中與統(tǒng)稱直線在平面外， 記作3直線和平面平行的判定定理： 4直線和平面平行的性質(zhì)定理： 學習目標】1了解直線與平面的三種位置關系，能用符號語言表示這些關系并能畫出正確的圖形；2掌握直線與平面平行的判定定理，并能 予以證明；3掌握直線與平面平行的性質(zhì)定理，并能 用符號語言表示定理的條

2、件和結論； 會用性質(zhì)定 理解決有關問題；4提高空間想象能力，能綜合運用知識分 析和解決問題【基礎知識精講】課文全解1直線和平面的位置關系 （1）直線與平面平行的定義：一條直線和 平面沒有公共點（2）直線與平面的位置關系及相應的圖形 與記法圖 9-3-1 直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點， 記作 a ，如圖 9-3-1 甲所示； 直線和平面相交有且只有一個公共 點，記作 aP，如圖 9-3-1 乙所示； 直線和平面平行沒有公共點，記作 a ，如圖 9-3-1 丙所示我們把直線和平面相交以及直線和平面平 行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，記作 a 直線和平面的位置關系可由直線與平面的 交點的個數(shù)來確定由公理

3、1，當直線與平面有 兩個交點時 a ；當直線與平面只有一個交點 時， a 與相交；當直線與平面無交點時， a在畫圖時要注意以下幾點： 線在面內(nèi)：直線不要超出表示平面的平行 四邊形的各條邊 線面相交：交點到水平線這一段是不可見 的，注意畫成虛線或不畫 線面平行：直線要與表示平面的平行四邊 形的一組對邊平行2直線與平面平行的判定（1）直線與平面平行的定義；（2）直線與平面平行的判定定理： 如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條 直線平行，那么這條直線和這個平面平行用符號表示為：若 a ，b ，ab，則 a直線與平面平行的判定定理的實質(zhì)是： 對于 平面外的一條直線， 只需在平面內(nèi)找到一條直線 和這條直

4、線平行， 就可判定這條直線必和這個平 面平行即由線線平行得到線面平行3直線和平面平行的性質(zhì)定理 如果一條直線和一個平面平行， 經(jīng)過這條直 線的平面和這個平面相交， 那么這條直線和交線 平行用符號表示為：若 a，a ， b，則 a b直線和平面平行的性質(zhì)定理的實質(zhì)是： 已知 線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相 交，其交線必和已知直線平行即由線面平行 線線平行由線面平行 線線平行，并不意味著平面內(nèi) 的任意一條直線都與已知直線平行 正確的結論 是： a，若 b ，則 b 與 a 的關系是：異面 或平行即平面 內(nèi)的直線分成兩大類， 一類與 a 平行有無數(shù)條， 另一類與 a 異面，也有無數(shù)條4判定

5、定理的證明之所以用反證法，是因 為有關直線與平面平行的概念只有一個定義， 而 定義是講直線與平面無公共點， 由于直線可以無 限延長，平面可以無限伸展， 很難實現(xiàn)直接證明因為已知條件給出 a ，那么直線 a 與 的位置關系有兩種： a；a 與相交在 證明過程中， 作出與結論相反的假設， 即 a 與 不平行，那么可設 aA，點 A b，過點 A在 內(nèi)作直線 cb，由 ab，則 ac，這與 a c A矛盾，所以假設不成立，從而 a附：直線與平面的位置關系圖表對比：位置關 系圖形公共點情 況表示方法直線在 平面內(nèi)有無數(shù)個 公共點a直線與 平面平 行無公共點a a 直線與 平面相 交有且只有 一個公共

6、點a A問題全解1直線與平面的位置關系有哪些？如何判定？直線和平面的位置關系可按公共點個數(shù)分類：無公共點 平行； 唯一公共點 相交； 無數(shù)個公共點 直線在平面內(nèi) 證明直線在平面內(nèi)并不用“有無數(shù)個公共 點”，應用公理 1，有兩個公共點即可判斷直 線和平面相交的方法常用： 證明直線和平面有 且只有唯一公共點； 反證法； 轉化為平面問 題等其次要會正確畫出直線和平面的位置關系 例 1求證：兩條平行線中的一條與已知 平面相交，則另一條也和該平面相交已知：直線 ab，a平面 P 求證：直線 b 與平面相交 策略：證明直線和平面相交，按定義，須證 明直線 b 和平面 有且只有一個公共點， 即（1） 直線

7、b與平面有公共點，（2）直線 b和平面 只有一個公共點 解決方法常轉化為平面問題解 決，解決直線與平面相交，有時也常用反證法圖 9-3-2證明：如圖 9-3-2ab，a與 b 確定平面 ，aP，平面與平面 相交于過 P點的直線，設 為l在平面內(nèi) l 與兩條平行直線 a、b中的 一條直線 a 相交l 必與 b 相交于 Q 即 bl Q，又因為 b 不在平面 內(nèi)，故直線 b和平面 相交例 2已知一條直線與一個平面平行，求 證經(jīng)過這個平面內(nèi)的一點與這條直線平行的直 線必在這個平面內(nèi)已知：直線 a平面 ，點 A，點 A 直線 b，且 a b求證： b 策略：直線在平面內(nèi)的判定方法： （1）公理 1；（

8、2）直線與平面位置關系共三種，排除其中 兩種（相交、平行）即為第三種證明：（反證法）假設 b ， A， Abb 和 a 相交， a，A A a，則過點 A和 a 存在一個平面 ，即 A，a ，在內(nèi)，過 A 可作直線 b，使 a b且 Ab又 a bbb 這與 bb A矛盾 b 評注：本題結論可作為直線在平面內(nèi)的又一 種判定方法2直線與平面平行的判定定理的運用應注 意哪些問題？判定一條直線與平面平行除了根據(jù)定義外， 更主要是依據(jù)直線與平面平行的判定定理： 如果 平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行， 那 么這條直線和這個平面平行 這個定理用符號表示為： 簡稱為“線線平行，則線面平行”， 應用此

9、定理時， 要注意三個條件 （“內(nèi)”“外”“平 行”）必須齊備，缺一不可難點：是判定定理的運用 在運用時應注意 “內(nèi)”（平面內(nèi)的直線），“外”（平面外的直線） 二字，通過線與線的平行達到線與面的平行， 正 確理解掌握它可幫助我們建立空間概念， 形成空間想象能力例 3P 是平行四邊形 ABCD所在平面外一 點，Q是 PA的中點，如圖 9-3-3 所示求證： PC平面 BDQ策略：線線平行 線面平行，注意利用“中 點”證明：連 AC交 BD于 O，連 QOABCD是平行四邊形， O為 AC的中點 又 Q為 PA的中點， QO PC 顯然 QO平面 BDQ，PC平面 BDQ PC平面 BDQ 評注：（

10、1）線面平行問題，通常轉化為線線 平行來處理，如何尋找平行直線自然成為問題的 關鍵這可通過聯(lián)想三角形中位線、 平行四邊形 對邊、梯形兩底邊、平行公理等來完成（2）圖中還有哪些線面平行關系？請讀者 自己寫出3如何運用直線和平面平行的性質(zhì)定理解 相關問題？線面平行的性質(zhì)定理給我們提供了一種判 斷直線平行的方法，但要注意“線面平行 線線 平行”不是指面外直線和面內(nèi)任意一條直線都 平行，面外直線只和過此直線的平面與已知平面 的交線平行， 因此遇線面平行時， 應著眼于過面 外線且與已知面相交的面，從而找到“交線” ， 得到線線平行例 4求證平面外的兩條平行線中的一條 平行于這個平面，那么另一條也平行于這

11、個平 面圖 9-3-4策略：根據(jù)題意畫出圖形，寫出已知，求證 再證明由判定定理知， 只要在 內(nèi)找一條直線 cb即可已知：直線 ab，a平面 ，b ，如圖 9-3-4 所示，求證 b證明：過及平面 內(nèi)點 A作平面 ，設c評注：根據(jù)條件 a，為了利用線面平行 的性質(zhì)，過 a 作平面 和相交，輔助平面 起 到橋梁作用實現(xiàn)“線面平行”與“線線平行” 的轉化例 5三個平面兩兩相交于三條交線，證 明這三條交線或平行、或相交于一點已知：a，b，c圖 9-3-5求證： a、b、c 互相平行或相交于一點 策略：本題考查的是空間三直線的位置關 系，我們可以先從熟悉的兩條交線的位置關系入 手，根據(jù)共面的兩條直線平行

12、或相交來推論三條 交線的位置關系證明： a， b，a、b ， a 與 b 平行或相交圖 9-3-6若 ab，如圖 9-3-5 中所示b ，a ， a又 c，a ，ac，abc若 a與 b相交，如圖 9-3-6 所示，設 a b，Oa，Ob又 a ， b O， O 又 ac， Oc直線 a、b、c 交于同一點 O 評注：這一結論常用于求一個幾何體的截面 與各面的交線問題 如正方體 ABCDA1B1C1D1 中， M、N分別是 CC1、A1B1 的中點，畫出過點 D、M、N 的平面與正方體各面的交線， 并說明截面多邊形 是幾邊形學習方法指導】運用直線與平面平行的判定和性質(zhì)時應注 意以下幾點：（1）

13、直線與直線平行是直線與平面平行的 基礎和依據(jù)，要論證直線和平面平行只需證直線 與直線平行即可（2）在學習直線和平面平行的判定定理時， 應注意“平面外”和“平面內(nèi)”兩個條件（3）由直線和平面平行可推出直線與直線 平行，因此線面平行的性質(zhì)定理可作為空間圖形 中直線與直線平行的判定定理（4）應用性質(zhì)定理時關鍵是找過已知直線 的平面與已知平面相交， 所得的交線不僅得到線 線平行的結論，而且起到已知平面內(nèi)任一條直線 與已知直線位置關系的判定作用， 即在已知平面 內(nèi)所有與交線平行的直線都與已知直線平行， 所 有與交線相交的直線都與已知直線異面證明直線與平面平行，若用定義直接判定， 一般用反證法； 也可以用

14、判定定理來判定， 這里 關鍵是在平面內(nèi)找 （或作） 一條直線與已知直線 平行證明時，“a ，b ，a b”三個條件 缺一不可同時還要逐步熟悉用符號語言來敘述 證明過程例 1如圖 9-3-7 所示，四邊形 ABCD、ADEF 都是正方形， MBD，NAE，且 BMAN，求證： MN面 CDE圖 9-3-7策略：要證明 MN平面 CDE，根據(jù)性質(zhì)定理 可以知道，只要在平面 CDE中找到一直線與 MN 平行即可，因此需要構造過 MN的平面與平面 CDE 相交平面 AMN面 CDE GE，通過 MN與 GE平 行來證，問題得到解決證明：連結 AM，延長交 CD于 G，連結 GE， ABCD有AMBGM

15、，D AM BM ANAG BD AEMNGEGE平面 CDE，MN面 CDE MN平面 CDE定理的綜合運用 在解題中要能夠運用類比的思想方法認識 “直線和直線平行”與“直線和平面平行”的內(nèi) 在聯(lián)系； 能夠運用轉化的思想方法將 “證明直線和直線平行”的問題與“證明直線和平面平行” 的問題互相轉化例 2如圖 9-3-8 所示，若空間四邊形的 兩條對角線 AC，BD 的長分別為 8，12，求平行兩對角線的截面四邊形的周長的取值范圍圖 9-3-8解：設截面四邊形 EFGH，AC平面 EFGH，且平面 ABC平面 EFGHEF，AC平面 ABC，EFAC，EF BEAC AB同理EBHDAEAB所以

16、四邊形 EFGH的周長C2（EFEH）2（BAEBACAABEBD）2（ BABE 8 AABE12）2（ BAEB 8 AABE 8 AAEB 4）2（BEABAE8AABE4）168AAEB 當 AB0 時， Cmin 16；當 AB1 時， Cmax24截面四邊形的周長取值范圍為（ 16，24）知識拓展】遷移一個顯然的事實兩條平行線中的一條與已知平面相交， 則另 一條也與該平面相交要直接證明它卻并不輕松，請看下面的證明已知 直線 ab，a平面 P，求證 b 與平面 相交著眼點 轉化為平面問題思路 a 和 b 確定面 和有公共點 P圖 9-3-9證明：如圖 9-3-9ab，a和 b 確定平

17、面 a P，平面 和平面 相交于過 P 點的直線 l 在平面 內(nèi) l 與兩條平行直線 a、b 中的 一條直線 a 相交，l 必與 b 相交于 Q，即 b l Q， b 且 b （若 b ，則 和 都過兩 相交直線 b和 l ，因此和重合，a ，這與 已知矛盾），故直線 b和平面 相交 說明：證明直線和平面相交的一般方法有：（1）否定直線在平面內(nèi)，否定直線與平面 平行；（2）證明直線與平面只有一個公共點；（3）證明直線在平面外，且只有一個公共 點發(fā)散介紹同一法（1）同一法一個命題，如果它的題設和結論所指的事物都是唯一的， 那么原命題和它的 逆命題中，只要有一個成立，另一個就一定成 立這個道理叫做

18、同一法則 在符合同一法則的 前提下，代替證明原命題而證明它的逆命題成立 的一種方法叫做同一法（2）同一法的一般過程 不從已知條件入手， 而另作圖形使它具有 求證的結論中所提的特性； 證明所作的圖形的特性，與已知條件符 合； 因為已知條件和求證的結論所指的事物 都是唯一的，從而推出所作的圖形與已知條件要 求的是同一個東西，由此判定原命題成立（3）反證法與同一法 反證法與同一法都是間接證法， 但前者證的 是原命題的逆否命題； 而后者證的是原命題的逆 命題，但原命題必須符合同一法則【同步達綱訓練】一、選擇題1下列說法中正確的是（A直線 l 平行于平面 內(nèi)的無數(shù)條直線， 則 l B若直線 a 在平面外

19、，則 aC若直線 a b，直線 b ，則 aD若直線 ab，b ，則 a 就平行于平面 內(nèi)的無數(shù)條直線圖 9-3-102如圖 9-3-10 ，平面四邊形 EFGH的四個 頂點分別在空間四邊形 ABCD的四條邊上，且 EH FG，則（）AEH BD，F(xiàn)G BDBEHBD，F(xiàn)GBDCFG BD，EH BDD有不同于 A、 B、C的情況3a、b 是兩條異面直線，下列結論正確的 是（ ）A過不在 a、b 上的任一點，可作一個平面 與 a、b 平行B過不在 a、b 上的任一點，可作一條直線 與 a、 b 相交C過不在 a、b 上的任一點，可作一條直線 與 a、 b 都平行D過 a 可以并且只可以作一平面

20、與 b 平行4 a、 b 是兩條不相交的直線，則過直線 b 且平行于 a 的平面（ ）A有且只有一個B 至 少有一個C至多有一個D 只 能 有有限個5若直線 m不平行于平面 ，且 m ，則 下列結論成立的是（ ）A內(nèi)所有直線與 m異面B內(nèi)不存在與 m平行的直線C內(nèi)存在唯一的直線與 m平行D內(nèi)的直線與 m都相交二、填空題 6過直線外一點與這直線平行的直線有 條；過直線外一點與這直線平行的平面 有個7ABCD是空間四邊形， E、F、G、H分別是 四邊上的點，它們共面，且 AC平面 EFGH，BD平面 EFGH，ACm，BDn，當 EFGH是菱形時， AEEB三、解答題8如圖 9-3-10 ，線段 AB、 BC、CD是不共 面的三線段， E、F、G分別是它們的中點求證：（1）E、F、G確定一個平面；（2）AC平面 EFG，BD平面 EFG參考答案一、1解析：由直線 l 平行于 內(nèi)的無數(shù) 條直線，但 l 可能在平面 內(nèi)知 l 不一定平行于 ，排除 A直線 a 在外包括 a 和 a 與 相交，排除 Bab，b ，只能說明 a、 b 無 公共點，但 a可能在 內(nèi)，故排除 C答案：D2解析： EHFG，EH 平面 BCD，F(xiàn)G 平面 BCD EH平面 BCD又 EH 平面 ABD平面 BCD平面 ABD BD EH BD，EHFG FG BD答案：B3解析：在