求解變力做功的十種方法

1、求解變力做功的十種方法功是高中物理的重要概念，對力做功的求解也是高考物理的重要考點(diǎn)，恒力的功可以用公式直接求解, 但變力做功就不能直接求解了，需要通過一些特殊的方法，本文結(jié)合具體的例題，介紹十種解決變力做功 的方法。動能定理法例1一質(zhì)量為m的小球，用長為L的輕繩懸掛于0點(diǎn)，小球在水平力F作用下，從平衡位置P點(diǎn)很緩慢地移到Q點(diǎn)，如圖1所示，此時(shí)懸線與豎直方向夾角為0 ,則拉力F所做的功為: （）A： mgLcosOB： mgL（l 一 cos&）C：尸Zsin OD： FLcos&分析：在這一過程中，小球受到重力、拉力F、和縄的彈力作用，只有重力和拉力做功，由于從平衡位置P點(diǎn)很緩慢地移到Q點(diǎn) 小

2、球的動能的增量 為零。那么就可以用重力做的功替代拉力做的功。解：由動能定理可知：WF WG =0= WG = cos 0故B答案正確。小結(jié)：如果所硏究的物體同時(shí)受幾個(gè)力的作用，而這幾個(gè)力中只有一個(gè)力是變力，其余均為恒力，且 這些恒力所做的功和物體動能的變化量容易計(jì)算時(shí)，利用動能定理可以求變力做功是行之有效的。二. 微元求和法例2.如圖2所示，某人用力F轉(zhuǎn)動半徑為R的轉(zhuǎn)盤，力F的大小不變，但方向 始終與過力的作用點(diǎn)的轉(zhuǎn)盤的切線一致，則轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一周該力做多少功。解：在轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一周過程中，力F的方向時(shí)刻變化，但每一瞬時(shí)力F總是與該瞬 時(shí)的速度同向（切線方向），即F在每瞬時(shí)與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)過的極小位移、“、A

3、j3 片都與當(dāng)時(shí)的F方向同向，因而在轉(zhuǎn)動一周過程中，力F做的功應(yīng)等于在各極小位移段所做功的代數(shù)和，即:W = (FSs + + FJ=F(込 + A52 + A53 + + 片) =F 2兀R小結(jié)：變力始終與速度在同一直線上或成某一固定角度時(shí)，可化曲為直把曲線運(yùn)動或往復(fù)運(yùn)動的路 線拉直考慮，在各小段位移上將變力轉(zhuǎn)化為恒力用W=FscosO計(jì)算功，而且變力所做功應(yīng)等于變力在各 小段所做功之和.三. 等值法在法是若某一變力的功和某一恒力的功相等，則可以通過計(jì)算該恒力的功，求出該變力的功。由于 恒力做功又可以用W=FScosa計(jì)算，從而使問題變得簡單。也是我們常說的：通過關(guān)連點(diǎn)，將變力做功轉(zhuǎn) 化為恒

4、力做功。例3如圖3,定滑輪至滑塊的高度為H,已知細(xì)繩的拉力為F牛（恒定），滑塊沿水平面由A點(diǎn)前進(jìn)s 米至B點(diǎn)，滑塊在初、末位置時(shí)細(xì)繩與水平方向夾角分別為卩和求滑塊由A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)過程中，繩的拉力對滑塊所做的功。圖3分析：在這物體從A到B運(yùn)動的過程，繩的拉力對滑塊與物體位移的方向的 夾角在變小，這顯然是變力做功的問題。繩的拉力對滑塊所做的功可以轉(zhuǎn)化為 力恒F做的功，位移可以看作拉力F的作用點(diǎn)的位移，這樣就把變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功的問題了。解：由圖3可知，物體在不同位置八B時(shí)，猾輪到物體的縄長分別為： H_ Ho | 5 2 sin /sin P那么恒力F的作用點(diǎn)移動的距離為:5 = -5, si

5、n/ sin/7故恒力F做的功： W = FH一 一 一?一)sin y sin /7小結(jié)：把變力做功巧妙轉(zhuǎn)化為恒力做功也是一種很有效的求解方法。四. 平均力法例4：如圖4所示，在盛有水的圓柱形容券內(nèi)豎直地浮著一塊立方體木塊, 木塊的邊長為h,其密度為水的密度P的一半，橫截面積也為容器截面積的一 半，水面高為2h,現(xiàn)用力緩慢地把木塊壓到容器底上，設(shè)水不會溢出，求壓 力所做的功。解:木塊下降同時(shí)水面上升，因緩慢地把木塊壓到容器底上，所以壓力總 等于增加的浮力，壓力是変力，當(dāng)木塊完全浸沒在水中的下降過程壓力是恒 力。本題的解法很多，功能關(guān)系、F-S圖像法.平均值法等均可求変力做功， 現(xiàn)用平均值法求

6、。木塊從開始到完全浸沒在水中，設(shè)木塊下降坷，水面上升吃 根據(jù)水的 體積不變，則：h2x =h2x.得“=無 所以當(dāng)木塊下降2時(shí)，木塊恰好完全浸沒在水中,1-4F = AFi? = pghpx、+x2) = 2pghX x “計(jì)畔呼侶蘭戈=抑木塊恰好完全浸沒柱水中經(jīng) 到容器底部，壓力為恒力F = pgh1 -2所以光=FM = pgh牛扌力=pgh3故壓力所做的功為：W =叫+用2=玄。0小結(jié)：用平均值求變力做功的關(guān)鍵是先判斷変力F與位移S是否成線性關(guān)系，然后求出該過程初狀態(tài) 的力許和末狀態(tài)的力耳。當(dāng)已知力為線性變化的力時(shí)，我們可以求平均力戸=空尹，然后再利用功 的公式W = F s進(jìn)行求解。五

7、. 圖象法例5用鐵錘將一鐵釘擊入木塊，設(shè)阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比，每次擊釘時(shí)錘子對釘子做的功 相同，已知第一次擊后釘子進(jìn)入木板lcm,則第二次擊釘子進(jìn)入木板的深度為多少解：鐵錘每次做功都是用來克服鐵釘阻力做的功，但縻擦阻力不是恒力， 其大小與深度成正比，F(xiàn)二kx,以F為縱坐標(biāo)，F(xiàn)方向上的位移x為橫坐標(biāo)，作 出F-x圖象，如圖5,函數(shù)線與x軸所夾陰影部分面積的值等于F對鐵釘做 的功由于兩次做功相等，故有：SfS2(面積)即：丄 kxiZk(X2+xJ (x2xj)得 xy = Q2cm2 2 -所以第二次擊釘子進(jìn)入木板的深度為：心=心一乃=(血一1)小結(jié)：某些求変力做功的問題，如果能夠畫出

8、変力F與位移S的圖像，則F-S圖像中與S軸所圍的面 積表示該過程中変力F做的功。六. 用公式和Pt求解例6質(zhì)疑為4000千克的汽車，由靜止開始以恒定的功率前進(jìn)，它經(jīng)100/3秒的時(shí)間前進(jìn)425米，這 時(shí)候它達(dá)到最大速度15米/秒。假設(shè)汽車在前進(jìn)中所受阻力不變，求阻力為多大？分析：汽車在運(yùn)動過程中功率晅定，速度增加，所以牽引力不斷減小，當(dāng)減小到與阻力相等時(shí)車速達(dá) 到最大值。已知汽車所受的阻力不變，雖然汽車的牽引力是變力，牽引力所做的功不能用功的公式直接計(jì) 算。但由于汽車的功率恒定，汽車的功率可用P二Fv求，因此汽車所做的功則可用W二Pt進(jìn)行計(jì)算。解：當(dāng)速度最大時(shí)牽引力和阻力相等，P = Fv =

9、 fvmJ mJ汽車牽引力做的功為w = fvj解得：f=6000 (N)根據(jù)動能定理有：w_ fs = Lmv 2 J2nt對于變力做功的問題，首先注意審題，其次在此基礎(chǔ)上弄清物理過程，再建立好物理模型，最后使用以上 談到的各種方法進(jìn)行解題，就會達(dá)到事半功倍的效果。小結(jié)：對于機(jī)器以額定功率工作時(shí)，比如汽車、輪船、火車啟動時(shí)，雖然它們的牽引力是變力，但是 可以用公式W=Pt來計(jì)算這類交通工具發(fā)動機(jī)做的功。對于交通工具以晅定功率運(yùn)動時(shí)，都可以根據(jù) W= Pt來求牽引力這個(gè)變力所做的功。七. 機(jī)械能守恒法例7.如圖7所示，質(zhì)量m為2kg的物體，從光滑斜面的頂端A點(diǎn)以 v0=5m/s的初速度滑下，在

10、D點(diǎn)與彈簧接觸并將彈簧壓縮到B點(diǎn)時(shí)的速度 為零，已知從A到B的豎直高度力=5加，求彈簧的彈力對物體所做的功。解：由于斜面光滑，故機(jī)械能守恒，但彈簧的彈力是變力，彈力對物體 做負(fù)功，彈簧的彈性勢能增加，且彈力做功的數(shù)值與彈性勢能的增加量相等。 取B所在水平面為零參考面，彈賛原長處D點(diǎn)為彈性勢能的零參考點(diǎn)，則2對狀態(tài) A： Ea = mgh +- 對狀態(tài) B： EB =+02由機(jī)械能守恒定律得：=加勸+佟d=125丿2小結(jié)：對于涉及彈簧彈力做功的試題，一般我們都可以用機(jī)核能守恒定律求功。八. 功能原理法例&如圖8所示.將一個(gè)質(zhì)量為皿長為a,寬為b的矩形物體豎立起來的過程中，人至少需要做 多少功解：

11、在人把物體豎立起來的過程中，人對物體的作用力的大小和方向均未知, 無法應(yīng)用W=Flcosa求解。該過程中，物體要經(jīng)歷圖8所示的狀態(tài)，當(dāng)矩形 對角線豎直時(shí)，物體重心高度最大，重心變化為：由功能原理可知W外=HEp +Ek當(dāng)AE* =0時(shí)，W外最小，為:小結(jié)：做功是能呈轉(zhuǎn)化的原因，做功是能量轉(zhuǎn)化的量度，我們可以根據(jù)能量轉(zhuǎn)化的情況來判斷做功的 情況，則給求変力做功提供了一條簡便的途徑。關(guān)鍵是分清研究過程中有多少種形式的能轉(zhuǎn)化，即有什么 能增加或減少，有多少個(gè)力做了功，列出這些量之間的關(guān)系。九. 能量守恒法 14例9如圖9所示，一勁度系數(shù)k=800N/m的輕彈簧兩端各焊接著一個(gè)質(zhì)量為m=12kg的物傳

12、 言 立靜止在水平地面上，現(xiàn)要加一豎直向上的力F在上面物體A上，使八開始向上做勻加速運(yùn)動. 合 要離開地面。設(shè)整個(gè)過程彈熒都處于彈性限度內(nèi)（g取10/H/52）求：（1）此過程中所加外力I 邑 和最小值。 （2）此過程中力F所做的功。殳解：（1）設(shè)A上升前，彈簧的壓縮量為心，B剛要離開地面時(shí)彈簧的伸長量為勺，A 尹上升的加速度為“。圖9A原來靜止時(shí)，因受力平衡，有：kx = mg設(shè)施加向上的力，使A剛做勻加速運(yùn)動時(shí)的最小拉力為仟，有：F, + kx -mg = ma B恰好離開地面時(shí)，所需的拉力最大，設(shè)為竹，對A有：F-,-kx2 -mg = ma 2對B有：kx2 = mg 由位移公式，對A

13、有：X, +x2=2由式，得：小=不=竽=015加由式，解得g = 375加/疋k分別解得:片=45NF2 = 285/V（2）力作用的內(nèi)，在末狀態(tài)有“=吃，彈性勢能相等，由能量守恒知，外力做了功，將其他形式的 能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的重力勢能和動能，即：W,. = ing(x + x2) +)- = 49.5J小結(jié)：當(dāng)我們分析一個(gè)物理過程時(shí)，不僅要看速度.加速度，還要分析能量轉(zhuǎn)化情況。十.利用W=qU在勻強(qiáng)電場中移動電荷的時(shí)候，可以直接根據(jù)恒力做功的公式求解。如果是在非勻強(qiáng)電場中，由于電 場力是變力，不能用功的定義式求解，但若已知電荷的電量和電場中兩點(diǎn)間的電勢差，我們就可以用公式 W = qU進(jìn)行求解。例10.電場中有A、B兩點(diǎn)，它們的電勢分別為（pA =-100V,（pR = 200V，把電量tz = -2.