橢圓的常見(jiàn)題型

1、高中數(shù)學(xué)重難點(diǎn) 橢圓一、考點(diǎn)、熱點(diǎn)回顧F1 ，F(xiàn)2 的距離的和等于常F1F2 ，當(dāng)常數(shù)小于 F1F21. 圓錐曲線的兩個(gè)定義1）第一定義 中要重視“括號(hào)”內(nèi)的限制條件 ：橢圓中 ，與兩個(gè)定點(diǎn)數(shù) 2a ，且此 常數(shù) 2a 一定要大于 F1F2 ，當(dāng)常數(shù)等于 F1F2 時(shí)，軌跡是線段 時(shí)，無(wú)軌跡（2）第二定義 中要 注意定點(diǎn)和定直線是相應(yīng)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，且“點(diǎn)點(diǎn)距為分子、 點(diǎn)線距為分母 ”其商即是離心率 e 。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與此點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離2間的關(guān)系，要善于 運(yùn)用第二定義對(duì)它們進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化 。如已知點(diǎn) Q（2 2,0） 及拋物線 y x 上一動(dòng)4點(diǎn) P（x,y

2、）, 則 y+|PQ| 的最小值是 （答： 2）2. 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 （標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點(diǎn)）在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)位置的方 程）：1）橢圓 ：焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)2x2a2 y b2參數(shù)），焦點(diǎn)在2y 軸上時(shí) y 2a21（abABC0，且A，B，C同號(hào)，AB）。 如（ 1）1( a b0）x ya cos （參數(shù)方程，其中 為 bsin0 ）。方程Ax2By2C 表示橢圓的充要條件是什么？已知方程2 x2y21表示橢圓，則 k 的取值范圍3 k 2 k11）U（ , 2） ）；（ 2）若 x,y22的最小值是 _（答： 5, 2 ）為（答：（3,22 22R，且3x22y26，

3、則 xy的最大值是 ，x2y23. 圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）1） 橢圓 ：由 x 2 , y 2 分 母 的 大小 決定 ， 焦點(diǎn) 在分 母 大 的坐 標(biāo) 軸上 。 如已 知方 程x2m12y2m1 表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，則 m的取值范圍是 _（答： （1) (1, 23) )（2） 方程2x2m2m11 表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。4. 圓錐曲線的幾何性質(zhì) ：0 ）為例）：范圍： a x a , b y b ；焦點(diǎn)：220, y 0 ，一個(gè)對(duì)稱中心（ 0,0 ），四個(gè)頂點(diǎn) （ a,0）,（0, b） ，（1）橢圓 （以 x2 y2 1（

4、a bab兩個(gè)焦點(diǎn) （ c,0） ；對(duì)稱性： 兩條對(duì)稱軸 x其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 2 a ，短軸長(zhǎng)為 2 b ；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線 xe越小，橢圓越圓； e越大，橢圓越扁。 如（ 1）若橢圓2a； 離心率： ec22x y 1 的離心率5mc ，橢圓 a10e50 e 1 ， 則 m 的值是_（答：1 時(shí)，則橢圓長(zhǎng)3 或 25 ）；（2）以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為3軸的最小值為 _（答： 2 2 ）典型例題橢圓方程的求解31、已知橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為 5，離心率 e ，求其標(biāo)準(zhǔn)方程。532、一直橢圓過(guò)點(diǎn) A 5,4 ， e ，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。53、求經(jīng)過(guò)點(diǎn) M 2, 3 和 N 1

5、,2 3 的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。4、已知?jiǎng)訄A P 過(guò)定點(diǎn) A3，0 ，且在定圓 B：x32y2 64 的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心P 的軌跡方程橢圓的離心率1、求下列橢圓的離心率：21x252y 1；（2） 9x2164y2 36 ；（3）設(shè) F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，B1B 是短軸， B1FB 60o。2FB ，則橢圓的離心2、過(guò)橢圓左焦點(diǎn) F且傾斜角為 60 的直線交橢圓于 A、B 兩點(diǎn)，若 FA 率為 223、若橢圓 x2 y2 1 (a b 0) 和圓 x 2 a2 b22 b 2y2 （c）2 ,（c 為橢圓的半焦距 ）, 有四個(gè)不同的2交點(diǎn) ,則橢圓的離心率 e的取值范圍是 b 0） 長(zhǎng)軸和

6、短軸的頂點(diǎn)，22 xx 4、平面直角坐標(biāo)系 xoy 中， A1、 A2、 B1、 B2是橢圓 2 2 1（a abF 為其右焦點(diǎn)，直線A1B1與直線 B2F相交于點(diǎn) T, 線段 OT與橢圓的交點(diǎn)M恰為線段 OT的中點(diǎn)， 則該橢圓的離心率為 對(duì)稱問(wèn)題x2 y21、已知橢圓 C：xy 1，試確定 m的取值范圍，使得對(duì)于直線 l：y 4x m，橢圓 C 上有43不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱中點(diǎn)弦問(wèn)題x22 1 11、已知橢圓 x y2 1，（1）求過(guò)點(diǎn) P 1，1 且被 P 平分的弦所在直線的方程；2 2 22）求斜率為 2 的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；12，3）過(guò) A 2，1 引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；4）橢圓上有兩點(diǎn) P、 Q ， O為原點(diǎn)，且有直線 OP 、 OQ斜率滿足 kOP kOQ求線段 PQ 中點(diǎn) M 的軌跡方程課堂練習(xí)22 設(shè)橢圓 E: x2x 2 1 的焦點(diǎn)在 x 軸上。a2 1 a2（1） 若橢圓 E 的焦距為 1，求橢圓 E的方程；（2） 設(shè) F1, F2分別是橢圓 E的左、右焦點(diǎn)， P為橢圓 E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)， 直線 F2P交 y 軸于點(diǎn) Q，并且 F1P F1Q.證明：當(dāng) a 變化時(shí)，點(diǎn) P在某定直線上。x2 x2 平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，過(guò)橢圓 M： 2 2 1（a b 0）右焦點(diǎn)的