第1章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

1、第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 1.1 概述概述 1.2 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算和門電路邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算和門電路 1.3 邏輯代數(shù)的公式和規(guī)則邏輯代數(shù)的公式和規(guī)則 1.4 邏輯函數(shù)常用的描述方法及相互間的轉(zhuǎn)換邏輯函數(shù)常用的描述方法及相互間的轉(zhuǎn)換 1.5 邏輯函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)的化簡 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 1.1 概概 述述 1.1.1 數(shù)字量和模擬量 在自然界中，存在著各種各樣的物理量，這些物 理量可以分為兩大類:數(shù)字量和模擬量。數(shù)字量是指離 散變化的物理量，模擬量則是指連續(xù)變化的物理量。 處理數(shù)字信號的電路稱為數(shù)字電路，而處理模擬信號

2、 的電路稱為模擬電路。同模擬信號相比，數(shù)字信號具 有傳輸可靠、易于存儲、抗干擾能力強(qiáng)、穩(wěn)定性好等 優(yōu)點(diǎn)。因此，數(shù)字電路獲得了愈來愈廣泛的應(yīng)用。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 1.1.2 數(shù)制與代碼 1.數(shù)制 表示數(shù)碼中每一位的構(gòu)成及進(jìn)位的規(guī)則稱為進(jìn)位 計(jì)數(shù)制，簡稱數(shù)制（number system）。一種數(shù)制中允 許使用的數(shù)碼個(gè)數(shù)稱為該數(shù)制的基數(shù)。常用的進(jìn)位計(jì) 數(shù)制有十進(jìn)制、二進(jìn)制、八進(jìn)制和十六進(jìn)制。 121012 1 12 12 01 01 () nnnnmr n inn inn im m nm daaa a aaa ararar ararar 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 式

3、中，n是整數(shù)部分的位數(shù)，m是小數(shù)部分的位數(shù)， ai是第i位的系數(shù)，r是基數(shù)，ri稱為第i位的權(quán)。 1)十進(jìn)制 基數(shù)r為10的進(jìn)位計(jì)數(shù)制稱為十進(jìn)制（decimal）， 它有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共10個(gè)有效數(shù)碼， 低位向其相鄰高位“逢十進(jìn)一，借一為十”。十進(jìn)制 數(shù)一般用下標(biāo)10或d表示，如2310，87d等。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 2) 二進(jìn)制 基數(shù)r為2的進(jìn)位計(jì)數(shù)制稱為二進(jìn)制（binary），它 只有0和1兩個(gè)有效數(shù)碼，低位向相鄰高位“逢二進(jìn)一， 借一為二”。二進(jìn)制數(shù)一般用下標(biāo)2或b表示，如1012， 1101b等。 3)八進(jìn)制 基數(shù)r為8的進(jìn)位計(jì)數(shù)制稱為八進(jìn)制

4、（octal），它 有0、1、2、3、4、5、6、7共8個(gè)有效數(shù)碼，低位向相 鄰高位“逢八進(jìn)一，借一為八”。八進(jìn)制數(shù)一般用下 標(biāo)8或o表示，如6178，547o等。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 4)十六進(jìn)制 基數(shù)r為16的進(jìn)位計(jì)數(shù)制稱為十六進(jìn)制 （hexadecimal），十六進(jìn)制有0、1、2、3、4、5、6、 7、8、9、a(10)、b(11)、c(12)、d(13)、e(14)、f(15) 共16個(gè)有效數(shù)碼，低位向相鄰高位“逢十六進(jìn)一，借 一為十六”。十六進(jìn)制數(shù)一般用下標(biāo)16或h表示，如 a116，1fh等。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 2.不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換 一個(gè)數(shù)可以

5、表示為不同進(jìn)制的形式。在日常生活 中，人們習(xí)慣使用十進(jìn)制數(shù)，而在計(jì)算機(jī)等設(shè)備中則 使用二進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)，因此經(jīng)常需要在不同數(shù) 制間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。 1)二十轉(zhuǎn)換 求二進(jìn)制數(shù)的等值十進(jìn)制數(shù)時(shí)，將所有值為1的數(shù) 位的位權(quán)相加即可。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 【例1.1】 將二進(jìn)制數(shù)11001101.11b轉(zhuǎn)換為等值的 十進(jìn)制數(shù)。 解:二進(jìn)制數(shù)11001101.11b各位對應(yīng)的位權(quán)如下: 位權(quán):27 26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 二進(jìn)制數(shù):1 1 0 0 1 0 1. 1 1 等值十進(jìn)制數(shù)為: 27+26+23+22+20+2-1+2-2 =128+64+8+4

6、+1+0.5+ 0.25=205.75d 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 2)十二轉(zhuǎn)換 將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)時(shí)，要分別對整數(shù)和 小數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。進(jìn)行整數(shù)部分轉(zhuǎn)換時(shí)，先將十進(jìn)制整 數(shù)除以2，再對每次得到的商除以2，直至商等于0為止。 然后將各次余數(shù)按倒序?qū)懗鰜?，即第一次的余?shù)為二 進(jìn)制整數(shù)的最低有效位(lsb)，最后一次的余數(shù)為二進(jìn) 制整數(shù)的最高有效位(msb)，所得數(shù)值即為等值二進(jìn) 制整數(shù)。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 【例1.2】 將13d轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。 解 轉(zhuǎn)換過程如下: msb 1 1 0 1 lsb 余數(shù) 13 6 2 6 3 2 3 1 2 1 0 2 1 0 1

7、 1 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 因此，對應(yīng)的二進(jìn)制整數(shù)為1101b。 進(jìn)行小數(shù)部分轉(zhuǎn)換時(shí)，先將十進(jìn)制小數(shù)乘以2，積 的整數(shù)作為相應(yīng)的二進(jìn)制小數(shù)，再對積的小數(shù)部分乘 以2。如此類推，直至小數(shù)部分為0，或按精度要求確 定小數(shù)位數(shù)。第一次積的整數(shù)為二進(jìn)制小數(shù)的最高有 效位，最后一次積的整數(shù)為二進(jìn)制小數(shù)的最低有效位。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 【例1.3】 將0.125d轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制小數(shù)。 解：轉(zhuǎn)換過程如下: 0.1252=0.25 0.252=0.50 0.502=1.001 積的 msb lsb 整數(shù) 0.0 0 1 0 0 1 因此，對應(yīng)的二進(jìn)制小數(shù)為0.001b。 第第

8、1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 3)八十轉(zhuǎn)換 求八進(jìn)制數(shù)的等值十進(jìn)制數(shù)時(shí)，將各數(shù)位的值和 相應(yīng)的位權(quán)相乘，然后相加即可。 【例1.4】 將八進(jìn)制數(shù)71.5o轉(zhuǎn)換為等值的十進(jìn)制數(shù)。 解：八進(jìn)制數(shù)71.5o各位對應(yīng)的位權(quán)如下: 位權(quán): 81 80 8-1 八進(jìn)制數(shù):7 1. 5 等值十進(jìn)制數(shù)為 781+180+58-1=78+11+50.125=57.625d 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 4) 十八轉(zhuǎn)換 將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)時(shí)，要分別對整數(shù)和 小數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。進(jìn)行整數(shù)部分轉(zhuǎn)換時(shí)，先將十進(jìn)制整 數(shù)除以8，再對每次得到的商除以8，直至商等于0為止。 然后將各次余數(shù)按倒序?qū)懗鰜恚吹谝淮蔚?/p>

9、余數(shù)為八 進(jìn)制整數(shù)的最低有效位，最后一次的余數(shù)為八進(jìn)制整 數(shù)的最高有效位,所得數(shù)值即為等值八進(jìn)制整數(shù)。 【例1.5】 將1735d轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)。 解：轉(zhuǎn)換過程如下: 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 1735 216 8 216 27 8 27 3 8 3 0 8 7 0 3 3 余數(shù) msb3 3 0 7 lsb 因此，對應(yīng)的八進(jìn)制整數(shù)為3307o。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 進(jìn)行小數(shù)部分轉(zhuǎn)換時(shí)，先將十進(jìn)制小數(shù)乘以8，積 的整數(shù)作為相應(yīng)的八進(jìn)制小數(shù)，再對積的小數(shù)部分乘 以8。如此類推，直至小數(shù)部分為0，或按精度要求確 定小數(shù)位數(shù)。第一次積的整數(shù)為八進(jìn)制小數(shù)的最高有 效位，最

10、后一次積的整數(shù)為八進(jìn)制小數(shù)的最低有效位。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 【例1.6】 將0.1875d轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制小數(shù)。 解：轉(zhuǎn)換過程如下: 0.18758=1.50 0.508=4.004 1 4 msb lsb 0.1 4 因此，對應(yīng)的八進(jìn)制小數(shù)為0.14o。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 5)十六十轉(zhuǎn)換 求十六進(jìn)制數(shù)的等值十進(jìn)制數(shù)時(shí)，將各數(shù)位的值 和相應(yīng)的位權(quán)相乘，然后相加即可。 【例1.7】 將十六進(jìn)制數(shù)1a.ch轉(zhuǎn)換為等值的十進(jìn)制數(shù)。 解：十六進(jìn)制數(shù)1a.ch各位對應(yīng)的位權(quán)如下: 位權(quán): 161 160 16-1 十六進(jìn)制數(shù): 1 a. c 等值十進(jìn)制數(shù)為 1161+

11、10160+1216-1 =116+101+120.0625=26.75d 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 6)十十六轉(zhuǎn)換 將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)時(shí)，要分別對整數(shù) 和小數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。進(jìn)行整數(shù)部分轉(zhuǎn)換時(shí)，先將十進(jìn)制 整數(shù)除以16，再對每次得到的商除以16，直至商等于0 為止。然后將各次余數(shù)按倒序?qū)懗鰜?，即第一次的?數(shù)為十六進(jìn)制整數(shù)的最低有效位，最后一次的余數(shù)為 十六進(jìn)制整數(shù)的最高有效位，所得數(shù)值即為等值十六 進(jìn)制整數(shù)。 【例1.8】 將287d轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)。 解：轉(zhuǎn)換過程如下: 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 287 17 16 17 1 16 1 0 16 f 1 1 余數(shù)

12、 msb 1 1 f lsb 因此，對應(yīng)的十六進(jìn)制整數(shù)為11fh。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 進(jìn)行小數(shù)部分轉(zhuǎn)換時(shí)，先將十進(jìn)制小數(shù)乘以16， 積的整數(shù)作為相應(yīng)的十六進(jìn)制小數(shù)，再對積的小數(shù)部 分乘以16。如此類推，直至小數(shù)部分為0，或按精度要 求確定小數(shù)位數(shù)。第一次積的整數(shù)為十六進(jìn)制小數(shù)的 最高有效位，最后一次積的整數(shù)為十六進(jìn)制小數(shù)的最 低有效位。 【例1.9】 將0.62890625d轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)。 解：轉(zhuǎn)換過程如下: 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 0.62890625 6=10.0625 0.062516=1.00 1 msb lsb 0.a 1 a 1 積的整數(shù) 因此

13、，對應(yīng)的十六進(jìn)制小數(shù)為0.a1h。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 7)二八轉(zhuǎn)換 將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)時(shí)，整數(shù)部分自右往 左三位一組，最后剩余不足三位時(shí)在左面補(bǔ)0；小數(shù)部 分自左往右三位一組，最后剩余不足三位時(shí)在右面補(bǔ)0； 然后將每一組用一位八進(jìn)制數(shù)代替。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 【例1.10】 將二進(jìn)制數(shù)10111011.1011b轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)。 解：轉(zhuǎn)換過程如下: 二進(jìn)制數(shù)： 八進(jìn)制數(shù)： 010 111 011 .101 100 2 7 3. 5 4 因此，對應(yīng)的八進(jìn)制數(shù)為273.54o。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 8)八二轉(zhuǎn)換 將八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制

14、數(shù)時(shí)，將每位八進(jìn)制數(shù) 展開成三位二進(jìn)制數(shù)即可。 【例1.11】 將八進(jìn)制數(shù)361.72o轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。 解:轉(zhuǎn)換過程如下: 八進(jìn)制數(shù)： 二進(jìn)制數(shù)： 011 110 001 .111 010 3 6 1. 7 2 因此，對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)為11110001.11101b。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 9)二十六轉(zhuǎn)換 將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)時(shí)，整數(shù)部分自右 往左四位一組，最后剩余不足四位時(shí)在左面補(bǔ)0；小數(shù) 部分自左往右四位一組，最后剩余不足四位時(shí)在右面 補(bǔ)0；然后將每一組用一位十六進(jìn)制數(shù)代替。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 【例1.12】 將二進(jìn)制數(shù)111010111101.1

15、01b轉(zhuǎn)換為 十六進(jìn)制數(shù)。 解：轉(zhuǎn)換過程如下: 二進(jìn)制數(shù)： 十六進(jìn)制數(shù)： 1110 1011 1101 .1010 e b d. a 因此，對應(yīng)的十六進(jìn)制數(shù)為ebd.ah。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 10)十六二轉(zhuǎn)換 將十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)時(shí)，將每位十六進(jìn) 制數(shù)展開成四位二進(jìn)制數(shù)即可。 【例1.13】 將十六進(jìn)制數(shù)1c9.2fh轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。 解：轉(zhuǎn)換過程如下: 十六進(jìn)制數(shù)： 1 c 9. 2 f 二進(jìn)制數(shù)： 因此，對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)為111001001.00101111b。 0001 1100 1001 .0010 1111 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 11)八十六轉(zhuǎn)

16、換 將八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)時(shí)，先將八進(jìn)制數(shù) 轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，再將所得的二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn) 制數(shù)。 【例1.14】 將八進(jìn)制數(shù)361.72o轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)。 解：轉(zhuǎn)換過程如下: 361.72011110001.111010001. 8 oh fe f 1 3 2 補(bǔ)足四位 因此，對應(yīng)的十六進(jìn)制數(shù)為f1.e8h。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 12) 十六八轉(zhuǎn)換 將十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)時(shí)，先將十六進(jìn)制 數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，再將所得的二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn) 制數(shù)。 【例1.15】 將十六進(jìn)制數(shù)a2b.3fh轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)。 解：轉(zhuǎn)換過程如下: 32 2 .3101000101011.0

17、011111105053.176 abf ho a b f 補(bǔ)足三位 5 0 5 3 1 6 因此，對應(yīng)的八進(jìn)制數(shù)為5053.176o。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 3.代碼 在數(shù)字系統(tǒng)中，常用0和1的組合來表示不同的數(shù) 字、符號、動(dòng)作或事物，這一過程叫做編碼，這些組 合稱為代碼（code)。代碼可以分為數(shù)字型的和字符型 的，有權(quán)的和無權(quán)的。數(shù)字型代碼用來表示數(shù)字的大 小，字符型代碼用來表示不同的符號、動(dòng)作或事物。 有權(quán)代碼的每一數(shù)位都定義了相應(yīng)的位權(quán)，無權(quán)代碼 的數(shù)位沒有定義相應(yīng)的位權(quán)。下面介紹三種常用的代 碼:8421bcd碼，格雷(gray)碼，ascii碼。 第第1章章 邏輯

18、代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 1)8421bcd碼 bcd（binary coded decimal）碼，即二十進(jìn)制代 碼，用四位二進(jìn)制代碼表示一位十進(jìn)制數(shù)碼。 8421bcd碼是一種最常用的bcd碼，它是一種有權(quán)碼， 四位的權(quán)值自左至右依次為8、4、2、1。8421bcd碼 如表11所示。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 表11 8421bcd碼 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 2)格雷(gray)碼 格雷碼是一種無權(quán)循環(huán)碼，它的特點(diǎn)是:相鄰的兩 個(gè)碼之間只有一位不同。表1-2列出了十進(jìn)制數(shù)015 的四位格雷碼。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 表12 四位格雷碼 第第1章章 邏輯

19、代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 3)ascii碼 ascii碼，即美國信息交換標(biāo)準(zhǔn)碼(american standard code for information interchange)，是目前國 際上廣泛采用的一種字符碼。ascii碼用七位二進(jìn)制代 碼來表示128個(gè)不同的字符和符號，如表13所示。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 表13 美國信息交換標(biāo)準(zhǔn)碼（ascii碼）碼表 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 1.2 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算和門電路邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算和門電路 邏輯代數(shù)（logic algebra）是由英國數(shù)學(xué)家喬 治布爾(george boole)于1849年首先提出的，因此也

20、 稱為布爾代數(shù)（boolean algebra）。邏輯代數(shù)研究邏 輯變量間的相互關(guān)系，是分析和設(shè)計(jì)邏輯電路不可缺 少的數(shù)學(xué)工具。所謂邏輯變量，是指只有兩種取值的 變量:真或假、高或低、1或0。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 1.2.1 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算 邏輯變量之間的關(guān)系多種多樣，有簡單的也有復(fù) 雜的，最基本的邏輯關(guān)系有:邏輯與、邏輯或和邏輯非 三種。 1.邏輯與 只有當(dāng)決定某事件的全部條件同時(shí)具備時(shí)，該事件 才發(fā)生，這樣的邏輯關(guān)系稱為邏輯與，或稱邏輯相乘。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 在圖11電路中，只有當(dāng)開關(guān)s1和s2同時(shí)接通時(shí)， 電燈f才會亮。若以s1、s2表示兩個(gè)開

21、關(guān)的狀態(tài)，以f 表示電燈的狀態(tài)，用1表示開關(guān)接通和電燈亮，用0表 示開關(guān)斷開和電燈滅，則只有當(dāng)s1和s2同時(shí)為1時(shí)，f 才為1，f與s1和s2之間是一種與的邏輯關(guān)系。邏輯與 運(yùn)算的運(yùn)算符為“”，寫成f=s12或f=s1s2。 邏輯變量之間取值的對應(yīng)關(guān)系可用一張表來表示， 這種表叫做邏輯真值表,簡稱真值表。與邏輯關(guān)系的真 值表如表14所示。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 圖11 與邏輯電路 s1s2 f 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 表14 與邏輯的真值表 s1 s2f 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 2.邏輯或 在決定某事件

22、的諸多條件中，當(dāng)有一個(gè)或一個(gè)以 上具備時(shí)，該事件都會發(fā)生，這樣的邏輯關(guān)系稱為邏 輯或，或稱邏輯相加。 在圖12電路中，當(dāng)開關(guān)s1和s2中有一個(gè)接通 （s1=1或s2=1）或一個(gè)以上接通（s1=1且s2=1）時(shí)， 電燈f都會亮（f=1），因此f與s1和s2之間是一種或的 邏輯關(guān)系。邏輯或運(yùn)算的運(yùn)算符為“+”，寫成f=s1+s2。 或邏輯關(guān)系的真值表如表15所示。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 圖12 或邏輯電路 f s1 s2 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 表15 或邏輯的真值表 s1 s2f 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

23、3.邏輯非 在只有一個(gè)條件決定某事件的情況下，如果當(dāng)條 件具備時(shí)，該事件不發(fā)生；而當(dāng)條件不具備時(shí)，該事 件反而發(fā)生，這樣的邏輯關(guān)系稱為邏輯非，也稱為邏 輯反。 在圖13電路中，當(dāng)開關(guān)s接通（s=1）時(shí)，電燈f 不亮（f=0），而當(dāng)開關(guān)s斷開（s=0）時(shí)，電燈f亮 （f=1）。因此，f與之間是邏輯反的關(guān)系，寫成 f= 。非邏輯關(guān)系的真值表如表16所示。 s 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 圖13 非邏輯電路 sf 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 表16 非邏輯的真值表 sf 0 1 1 0 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 4.其他常見邏輯運(yùn)算 除了與、或、非三種最基本的邏輯運(yùn)算

24、外，常見 的復(fù)合邏輯運(yùn)算有:與非、或非、異或、同或、與非與 非、或非或非等，這些運(yùn)算的表達(dá)式如下: 與非表達(dá)式: 或非表達(dá)式: 異或表達(dá)式: 同或表達(dá)式: 與非與非表達(dá)式: 或非或非表達(dá)式: fab fab fababab fababab fabcd fabcd 以上這些復(fù)合邏輯運(yùn)算的真值表分別如表17112 所示。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 表17 與非邏輯的真值表 a bf 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 表18 或非邏輯的真值表 a bf 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

25、 a bf 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 表19 異或邏輯的真值表 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) a bf 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 表110 同或邏輯的真值表 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 表111 與非與非邏輯的真值表 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 表112 或非或非邏輯的真值表 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 1.2.2 門電路 輸出和輸入之間具有一定邏輯關(guān)系的電路稱為邏 輯門電路，簡稱門電路。常用的門電路有與門、或門、 非門、與非門、或非門、與或非門、異或門、同或門 等，它們的邏輯符號如圖14所示。 第第1章章 邏輯

26、代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 圖14 常用門電路的邏輯符號 式 (10)、(10)稱為結(jié)合律，式(11)、(11)稱為分配律;式 (12)、(12)稱為德摩根(demorgan)定律；式(13)稱為 還原律。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 1.3.2 常用公式 下面列出一些常用的邏輯代數(shù)公式，利用前面介 紹的基本公式可以對它們加以證明。 （1）a+ab=a 證明:a+ab=a1+ab =a(1+b) =a1 =a 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 公式的含義是:在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果一個(gè)與 項(xiàng)是另一個(gè)與項(xiàng)的一個(gè)因子，則另一個(gè)與項(xiàng)可以不要。 這一公式稱為吸收律。例如: (ab)(ab) c

27、 dab （2） aa bab aa b(aa) (ab) 1 (ab) ab 證明: 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 公式的含義是:在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果一個(gè)與 項(xiàng)的反是另一個(gè)與項(xiàng)的一個(gè)因子，則這個(gè)因子可以不 要。例如: a+b+(a b) c=a+b+a+b c=a+b+c 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) （3） 證明: a b+a c=a b+a c+b c a b+a c+b c=a b+a c+b c (a+a) =a b+a c+a b c+a b c =(a b+a b c)+(a c+a c b) =a b+a c 公式的含義是:在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果一個(gè)與 項(xiàng)

28、中的一個(gè)因子的反是另一個(gè)與項(xiàng)的一個(gè)因子，則由 這兩個(gè)與項(xiàng)其余的因子組成的與項(xiàng)是可要可不要的。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) a b c+(a+b) d+c d =(a b) c+(a b) d+c d =(a b) c+(a b) d =a b c+(a+b) d 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) （4） 證明: a b+a c=a b+a c+b c d a b+a c+b c d=(a b+a c)+b c d =a b+a c+b c+b c d =a b+a c+(b c+b c d) =a b+a c+b c =a b+a c 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 公式的

29、含義是:在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果一個(gè)與 項(xiàng)中的一個(gè)因子的反是另一個(gè)與項(xiàng)的一個(gè)因子，則包 含這兩個(gè)與項(xiàng)其余因子作為因子的與項(xiàng)是可要可不要 的。例如: a b c+(a+b) d+c d e+f g=a b c+(a+b) d 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 1.3.3 三個(gè)規(guī)則 1.代入規(guī)則 在一個(gè)邏輯等式兩邊出現(xiàn)某個(gè)變量（或表示式） 的所有位置都代入另一個(gè)變量（或表達(dá)式），則等式 仍然成立。 例如:已知 ，在等式兩邊出現(xiàn)b的所有 位置都代入bc，則等式仍然成立，即 a b =a+b a (bc)=a+(bc)=a+b+c 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 2.反演規(guī)則 對一個(gè)邏輯函數(shù)

30、f進(jìn)行如下變換:將所有的“”換成 “”，“”換成“”，“0”換成“1”，“1”換成 “0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到 函數(shù)f的反函數(shù) 。 使用反演規(guī)則時(shí)，要注意以下兩點(diǎn):保持原函數(shù)中 邏輯運(yùn)算的優(yōu)先順序；不是單個(gè)變量上的反號保持不變。 f 例如: 則 za ba cd z(ab) ac d 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 3.對偶規(guī)則 對一個(gè)邏輯函數(shù)f進(jìn)行如下變換:將所有的“”換 成“”，“”換成“”，“0”換成“1”，“1”換 成“0”，則得到函數(shù)f的對偶函數(shù)f。例如: f1=a(b+c)， f1=a+bc f2=ab+ac， f2=(a+b)(a+c) 如果兩個(gè)函數(shù)

31、相等，則它們的對偶函數(shù)亦相等。 這就是對偶規(guī)則。例如:已知 a(b+c)=ab+ac 則 a+bc=(a+b)(a+c) 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 1.4 邏輯函數(shù)常用的描述方法及邏輯函數(shù)常用的描述方法及 相互間的轉(zhuǎn)換相互間的轉(zhuǎn)換 1.4.1 邏輯函數(shù)常用的描述方法 邏輯函數(shù)常用的描述方法有表達(dá)式、真值表、卡 諾圖和邏輯圖等。 1.表達(dá)式 由邏輯變量和邏輯運(yùn)算符號組成，用于表示變量 之間邏輯關(guān)系的式子，稱為邏輯表達(dá)式。常用的邏輯 表達(dá)式有與或表達(dá)式、標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式、或與表達(dá)式、 標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式、與非與非表達(dá)式、或非或非表達(dá)式、 與或非表達(dá)式等。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

32、 與或表達(dá)式: 標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式: 或與表達(dá)式: 標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式: 與非與非表達(dá)式: 或非或非表達(dá)式: 與或非表達(dá)式: fabacd fabcdabcdabcd f(ab)(acd) f(ab cd)(ab cd)(ab cd) fabcd fab cd fab cd 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 2.真值表 用來反映變量所有取值組合及對應(yīng)函數(shù)值的表格， 稱為真值表。例如，在一個(gè)判奇電路中，當(dāng)a、b、c 三個(gè)變量中有奇數(shù)個(gè)1時(shí)，輸出f為1；否則，輸出f為0。 可列出表113所示的真值表。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 表113 判奇電路的真值表 a b cf 0 0 0 0 0

33、1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 3.卡諾圖 將邏輯變量分成兩組，分別在橫豎兩個(gè)方向用循 環(huán)碼形式排列出各組變量的所有取值組合，構(gòu)成一個(gè) 有2n個(gè)方格的圖形，其中，每一個(gè)方格對應(yīng)變量的一 個(gè)取值組合，這種圖形叫做卡諾圖?？ㄖZ圖分變量卡 諾圖和函數(shù)卡諾圖兩種。在變量卡諾圖的所有方格中， 沒有相應(yīng)的函數(shù)值，而在函數(shù)的卡諾圖中，每個(gè)方格 上都有相應(yīng)的函數(shù)值。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 圖15為二五個(gè)變量的卡諾圖，方格中的數(shù)字 為該方格對應(yīng)變量取值組合的十進(jìn)制數(shù)，亦稱該方格 的編

34、號。圖16為一個(gè)四變量函數(shù)的卡諾圖，方格中 的0和1表示在對應(yīng)變量取值組合下該函數(shù)的取值。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 圖15 變量卡諾圖 (a)兩變量;(b)三變量;(c)四變量;(d)五變量 01 23 a b 01 0 1 (a) 0123 a bc 0001 0 1 (b) 4576 1110 0123 ab cd 0001 00 01 (c) 4576 1110 1112131514 10891110 0123 ab cde000 001 00 01 (d) 4576 011 010 11 12131514 10 891110 2425262728293130 202123

35、2216171918 110 111 101100 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 圖16 一個(gè)四變量函數(shù)的卡諾圖 0110 ab cd 0001 00 011110 1110 110001 100110 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 4.邏輯圖 由邏輯門電路符號構(gòu)成的，用來表示邏輯變量之 間關(guān)系的圖形稱為邏輯電路圖，簡稱邏輯圖。圖17 為函數(shù) faba(bc)(cd) 的邏輯圖。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 圖17 函數(shù)f的邏輯圖 1& f & 1 1 1 1 d c a b 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 1.4.2 不同描述方法之間的轉(zhuǎn)換 1.表達(dá)式真值表

36、由表達(dá)式列函數(shù)的真值表時(shí)，一般首先按自然二 進(jìn)制碼的順序列出函數(shù)所含邏輯變量的所有不同取值 組合，再確定出相應(yīng)的函數(shù)值。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 表114 邏輯函數(shù) 的真值表z=ab+bc+ca a b c f 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 【例1.16】 求邏輯函數(shù)z=ab+bc+ca的真值表。 解:逐個(gè)將變量a、b、c的各個(gè)取值組合代入邏輯 函數(shù)中，求出相應(yīng)的函數(shù)值。abc取000時(shí)，z為0； abc取001時(shí)，z為1；abc取010時(shí)，z為

37、1；abc取 011時(shí)，z為1；abc取100時(shí)，z為1；abc取101時(shí)，z 為1；abc取110時(shí)，z為1；abc取111時(shí)，z為0。按自 然二進(jìn)制碼的順序列出變量a、b、c的所有不同取值 組合，再根據(jù)以上的分析結(jié)果，可以得到如表114所 示的真值表。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 【例1.17】 求邏輯函數(shù) 的真值表。 解:可以先將邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化為與或表達(dá)式，再找出 使每個(gè)與項(xiàng)等于1的取值組合，這些組合對應(yīng)的函數(shù)值 為1。與或表達(dá)式為 f=ac+ba+d+abcd f=ac+ba+d+abcd=ac+abd+abcd 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第一個(gè)與項(xiàng)為ac，a、c同

38、時(shí)為1時(shí)，其值為1，包 括1010、1011、1110、1111四個(gè)組合；第二個(gè)與項(xiàng) 為 ，a、b、d同時(shí)為0時(shí)，其值為1，包括0000、 0010兩個(gè)組合；第三個(gè)與項(xiàng)為abcd，只有當(dāng)abcd為 1101時(shí)，其值才為1。因此，可得如表115所示的真 值表。 abd 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 表115 邏輯函數(shù) f=ac+ba+d+abcd abcdf 00010 00110 00001 00101 01000 01010 01110 10000 10010 10101 10111 11000 11011 11101 11111 01100 ac1 1 d b a 1 dcab 第

39、第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 【例1.18】 求邏輯函數(shù) 的真值表。 解:根據(jù)變量的取值逐級對邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡，再 根據(jù)所得到的簡化表達(dá)式求函數(shù)值。 f=a(b+cd)+a+bc+d 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 當(dāng)a0時(shí)， 當(dāng)a0，b=0時(shí)， 。d為0時(shí)，函數(shù)f為 1；d為1時(shí)，函數(shù)f為0。 當(dāng)a0，b=1時(shí)， 。只有當(dāng)cd為 10時(shí)，函數(shù)f才為1；否則，函數(shù)f為0。 當(dāng)a1時(shí)， 。當(dāng)b為1 或cd同時(shí)1為時(shí)，函數(shù)f為1。 f=0(b+cd)+0+bc+d =bc+d =(b+c) d f=(0+c)d=d f=(1 +c)d=cd f=1(b+cd)+1+bc+d =b+cd

40、 根據(jù)以上分析，可得如表116所示的真值表。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 表116 例1.18函數(shù)的真值表 abcdf 00010 00110 00001 00101 01000 01010 01110 10000 10010 10101 10111 11001 11011 11101 11111 01100 d )c b( f fbcd d f dc f 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 2.真值表表達(dá)式 由真值表寫函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，有兩種標(biāo)準(zhǔn)的形式: 標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式和標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式。 1)標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式 標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式是一種特殊的與或表達(dá)式，其中 的每個(gè)與項(xiàng)都包含了所有相關(guān)的邏

41、輯變量，每個(gè)變量 以原變量或反變量出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次，這樣的與 項(xiàng)稱為標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)，又稱最小項(xiàng)。最小項(xiàng)的主要性質(zhì): 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) (1)每個(gè)最小項(xiàng)都與變量的惟一的一個(gè)取值組合相 對應(yīng)，只有該組合使這個(gè)最小項(xiàng)取值為1，其余任何組 合均使該最小項(xiàng)為0。 (2)所有不同的最小項(xiàng)相或，結(jié)果一定為1。 (3)任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)相與，結(jié)果一定為0。 最小項(xiàng)的編號:最小項(xiàng)對應(yīng)變量取值組合的大小， 稱為該最小項(xiàng)的編號。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 求最小項(xiàng)對應(yīng)的變量取值組合時(shí)，如果變量為原 變量，則對應(yīng)組合中變量取值為1；如果變量為反變量， 則對應(yīng)組合中變量取值為0。例如，a

42、、b、c的最小項(xiàng) abc對應(yīng)的變量取值組合為101，其大小為5，所 以,abc的編號為5，記為m5。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 【例1.19】 寫出函數(shù) 的標(biāo)準(zhǔn)與 或表達(dá)式。 解: f=a+bc+abc f=a+bc+abc =a(b+b)(c+c)+(a+a)bc+abc =abc+abc+abc+abc+abc+abc+abc =abc+abc+abc+abc+abc+abc 也可以寫成 124567 (a,b,c)=m +m +m +m +m +m f(a,b,c)=m(1,2,4,5,6,7) f(a,b,c)=(1,2,4,5,6,7) 或 或 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏

43、輯代數(shù)基礎(chǔ) 從上面例子可以看出，一個(gè)與項(xiàng)如果缺少一個(gè)變 量，則生成兩個(gè)最小項(xiàng)；一個(gè)與項(xiàng)如果缺少兩個(gè)變量， 則生成四個(gè)最小項(xiàng)；如此類推，一個(gè)與項(xiàng)如果缺少n個(gè) 變量，則生成2n個(gè)最小項(xiàng)。 由真值表求函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式時(shí)，找出真值 表中函數(shù)值為1的對應(yīng)組合，將這些組合對應(yīng)的最小項(xiàng) 相或即可。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 表117 例1.20函數(shù)的真值表 a b cf 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 【例1.20】 已知邏輯函數(shù)的真值表如表117所示， 寫出

44、 函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。 解:從表中可以看出，當(dāng)變量a、b、c取001、010、 100、111這四種組合時(shí)，函數(shù)f的值為1。這四種組合 對應(yīng)的最小項(xiàng)分別為 ，因此，函 數(shù)f的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式為 abc abcabcabc、 1247 f(a,b,c)=abc+abc+abc+abc =m +m +m +m =m(1,2,4,7) =(1,2,4,7) 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 2)標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式 標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式是一種特殊的或與表達(dá)式，其中 的每個(gè)或項(xiàng)都包含了所有相關(guān)的邏輯變量，每個(gè)變量 以原變量或反變量出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次。這樣的或 項(xiàng)稱為標(biāo)準(zhǔn)或項(xiàng)，又稱最大項(xiàng)。 最大項(xiàng)的主要性質(zhì):

45、 (1)每個(gè)最大項(xiàng)都與變量的惟一的一個(gè)取值組合相 對應(yīng)，只有該組合使這個(gè)最大項(xiàng)取值為0，其余任何組 合均使該最大項(xiàng)為1。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) (2)所有不同的最大項(xiàng)相與，結(jié)果一定為0。 (3)任意兩個(gè)不同的最大項(xiàng)相或，結(jié)果一定為1。 最大項(xiàng)的編號:最大項(xiàng)對應(yīng)變量取值組合的大小，稱 為該最大項(xiàng)的編號。求最大項(xiàng)對應(yīng)的變量取值組合時(shí)， 如果變量為原變量，則對應(yīng)組合中變量取值為0；如果變 量為反變量，則對應(yīng)組合中變量取值為1。例如，a、b、 c的最大項(xiàng)（a+b+c)對應(yīng)的變量取值組合為010，其大 小為2，因而， 的編號為2，記為m2。 (a+b+c) 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代

46、數(shù)基礎(chǔ) 【例1.21】 寫出函數(shù) 的標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式。 解: f=a(b+c) f=a(b+c) =(a+bb+cc)(aa+b+c) =(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c) =(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c) 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 也可以寫成 01236 f(a,b,c)=m +m +m +m +m f(a,b,c)=m(0,1,2,3,6) f(a,b,c)=(0,1,2,3,6) 或 或 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 從上面例子可以看出，一個(gè)或項(xiàng)如果缺少一個(gè)變 量，則生成兩個(gè)最大項(xiàng)

47、；一個(gè)或項(xiàng)如果缺少兩個(gè)變量， 則生成四個(gè)最大項(xiàng)；如此類推，一個(gè)或項(xiàng)如果缺少n個(gè) 變量，則生成2n個(gè)最大項(xiàng)。 由真值表求函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式時(shí)，找出真值 表中函數(shù)值為0的對應(yīng)組合，將這些組合對應(yīng)的最大項(xiàng) 相與即可。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 【例1.22】 已知邏輯函數(shù)的真值表如表118所示， 寫出函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式。 解: 從表中可以看出，當(dāng)變量a、b、c取001、010、 100、111這四種組合時(shí)，函數(shù)f的值為0。這四種組合 對應(yīng)的最大項(xiàng)分別為 ，因此，函數(shù)f的標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式為 a+b+ca+b+c a+b+c a+b+c、 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 1247 f

48、(a,b,c)=(a+b+c)(a+b+c) (a+b+c)(a+b+c) =m +m +m +m =m(1,2,4,7) =(1,2,4,7) 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 表118 例1.22函數(shù)的真值表 a b cf 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 3) 標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式和標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換 同一函數(shù),其標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式中最小項(xiàng)的編號和其 標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式中最大項(xiàng)的編號是互補(bǔ)的，即在標(biāo)準(zhǔn) 與或表達(dá)式中出現(xiàn)的最小項(xiàng)編號不會在其標(biāo)準(zhǔn)或與表 達(dá)式的最大項(xiàng)

49、編號中出現(xiàn)，而不在標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式中 出現(xiàn)的最小項(xiàng)編號一定在其標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式的最大項(xiàng) 編號中出現(xiàn)。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 【例1.23】 已知 ， 寫出其標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式。 f(a,b,c)=abc+abc+abc+abc f(a,b,c)=abc+abc+abc+abc =(1,2,4,7) =(0,3,5,6) =(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c) 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 【例1.24】 已知 ，寫出其標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。 解: f(a,b,c)=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c) f(a,b,c)=(a+b+c)(a+b+

50、c)(a+b+c)(a+b+c) =(1,3,5,7) =(0,2,4,6) =abc+abc+abc+abc 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 3.真值表卡諾圖 已知邏輯函數(shù)的真值表，要畫出函數(shù)的卡諾圖， 只需找出真值表中函數(shù)值為1的變量組合，確定其大小 編號，并在卡諾圖中具有相應(yīng)編號的方格中標(biāo)上1，即 得到該函數(shù)的卡諾圖。 例如，對表119所示的邏輯函數(shù)f的真值表，它 的卡諾圖如圖18所示。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 圖18 邏輯函數(shù)f的卡諾圖 011120 ab cd 0001 00 011415170 1110 11000114 100191110 第第1章章 邏輯代數(shù)

51、基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 表119 邏輯函數(shù)f的真值表 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 4.卡諾圖真值表 已知邏輯函數(shù)的卡諾圖，要列出函數(shù)的真值表， 只需找出卡諾圖中函數(shù)值為1的方格所對應(yīng)的變量組合， 并在真值表中讓相應(yīng)組合的函數(shù)值為1，即得到函數(shù)真 值表。 圖19為邏輯函數(shù)f的卡諾圖。從圖19可以看出， 當(dāng)abc為001、011、100和110時(shí)，邏輯函數(shù)f的值為1。 邏輯函數(shù)f的真值表如表120所示。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 圖19 邏輯函數(shù)f的卡諾圖 11 a bc 0001 0 111 1110 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 表120 函數(shù)f的真值表 a b cf

52、0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 5.表達(dá)式卡諾圖 已知邏輯函數(shù)的表達(dá)式，要畫出函數(shù)的卡諾圖時(shí)， 可以先將邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化為一般的與或表達(dá)式，再找出 使每個(gè)與項(xiàng)等于1的取值組合，最后將卡諾圖中對應(yīng)這 些組合的方格標(biāo)為1即可。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 【例1.25】 畫出邏輯函數(shù) 的卡諾圖。 解: 當(dāng)a、c同時(shí)為1時(shí)，第一個(gè)與項(xiàng)ac為1。a=1對應(yīng) 卡諾圖的第三和第四行，c=1對應(yīng)卡諾圖的第三和第四 列，因此，將第三、四行和第三、四列公共的四個(gè)方 格標(biāo)為1

53、。 f=ac+ba+d+abcd f=ac+ba+d+abcd=ac+abd+abcd 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 圖110 函數(shù)f的卡諾圖 1010 ab cd 0001 00 010000 1110 110111 100011 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 當(dāng)a、b、d同時(shí)為0時(shí)，第二個(gè)與項(xiàng) 等于1。 a、b同時(shí)為0對應(yīng)卡諾圖的第一行，d為0對應(yīng)卡諾圖 的第一列和第四列，因此，將第一行和第一、四列公 共的兩個(gè)方格標(biāo)為1。 當(dāng)abcd為1101時(shí)，第三個(gè)與項(xiàng) 的值為1。 ab為11對應(yīng)卡諾圖的第三行，cd為01對應(yīng)卡諾圖的第 二列，因此將第三行和第二列公共的一個(gè)方格標(biāo)為1。

54、 abd abcd 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 結(jié)果得到圖110所示的卡諾圖。 從上面例子可以看出，一個(gè)與項(xiàng)如果缺少一個(gè)變 量，對應(yīng)卡諾圖中兩個(gè)方格；一個(gè)與項(xiàng)如果缺少兩個(gè) 變量，對應(yīng)卡諾圖中四個(gè)方格；如此類推，一個(gè)與項(xiàng) 如果缺少n個(gè)變量，則對應(yīng)卡諾圖中2n個(gè)方格。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 6.卡諾圖標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式 已知函數(shù)的卡諾圖時(shí)，也可以寫出函數(shù)的兩種標(biāo) 準(zhǔn)表達(dá)式:標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式和標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式。 1)由卡諾圖求函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式 已知函數(shù)的卡諾圖，要寫出函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá) 式時(shí)，將卡諾圖中所有函數(shù)值為1的方格對應(yīng)的最小項(xiàng) 相或即可。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基

55、礎(chǔ) 圖111 函數(shù)f的卡諾圖 100120 ab cd 0001 00 0100170 1110 11011300 101800110 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 【例1.26】 已知函數(shù)f的卡諾圖如圖111所示， 寫出函 數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。 解:從卡諾圖中看到，在編號為0、2、7、8、10、 13的方格中，函數(shù)f的值為1，這些方格對應(yīng)的最小項(xiàng) 分別為 。因此，函數(shù)f的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式為 abcd abcd abcdabcdabcdabcd、 fabcdabcdabcd abcdabcdabcd 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 2)由卡諾圖求函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式 已知函數(shù)的卡諾

56、圖，要寫出函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá) 式時(shí)，將卡諾圖中所有函數(shù)值為0的方格對應(yīng)的最大項(xiàng) 相與即可。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 圖112 函數(shù)f的卡諾圖 10111 ab cd 0001 00 0110511 1110 11110151 1010911 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 【例1.27】 已知函數(shù)f的卡諾圖如圖112所示， 寫出函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式。 解:從卡諾圖中看到，在編號為1、5、9、15的方 格中，函數(shù)f的值為0，這些方格對應(yīng)的最大項(xiàng)分別 為 。 因此，可以寫出如下的標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式: a+b+c+da+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d、 f=(a+b+c+

57、d)(a+b+c+d) (a+b+c+d)(a+b+c+d) 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 1.5 邏輯函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)的化簡 我們知道，同一個(gè)邏輯函數(shù)可以寫成不同的表達(dá) 式。用基本邏輯門電路去實(shí)現(xiàn)某函數(shù)時(shí)，表達(dá)式越簡 單，需用門電路的個(gè)數(shù)就越少，因而也就越經(jīng)濟(jì)可靠。 因此，實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)之前，往往要對它進(jìn)行化簡，先 求出其最簡表達(dá)式，再根據(jù)最簡表達(dá)式去實(shí)現(xiàn)邏輯函 數(shù)。最簡表達(dá)式有很多種，最常用的有最簡與或表達(dá) 式和最簡或與表達(dá)式。不同類型的邏輯函數(shù)表達(dá)式， 最簡的定義也不同。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 函數(shù)的最簡與或表達(dá)式必須滿足的條件有: (1)與項(xiàng)個(gè)數(shù)最少。 (2)與

58、項(xiàng)中變量的個(gè)數(shù)最少。 函數(shù)的最簡或與表達(dá)式必須滿足的條件有: (1)或項(xiàng)個(gè)數(shù)最少。 (2)或項(xiàng)中變量的個(gè)數(shù)最少。 常見的化簡方法有公式法和卡諾圖法兩種。 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 1.5.1 公式法化簡 公式法化簡邏輯函數(shù)，就是通過利用邏輯代數(shù)的 基本公式，對函數(shù)進(jìn)行消項(xiàng)、消因子等，以求得函數(shù) 的最簡表達(dá)式。常用方法有以下四種。 1.并項(xiàng)法 利用公式 ，將兩個(gè)與項(xiàng)合并為一個(gè)， 消去其中的一個(gè)變量。 ab+ab=b 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 【例1.28】 求函數(shù) 的最簡 與或表達(dá)式。 解: f=ab+ab+ab+ab f=ab+ab+ab+ab =(ab+ab)+(ab

59、+ab) =a+a=1 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 2.吸收法 利用公式 ，吸收多余的與項(xiàng)。 【例1.29】 求函數(shù) 的最簡與 或表達(dá)式。 解: f=(a+ab+abc)(a+b+c) =a(a+b+c) =aa+ab+ac =a+ab+ac =a a+ab=a f=(a+ab+abc)(a+b+c) 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 3.消去法 利用公式 ，消去與項(xiàng)多余的因子。 【例1.30】 求函數(shù) 的最簡 與 或表達(dá)式。 解: a+ab=a+b f=ab+ac+bc+cd+d f=ab+ac+bc+cd+d =ab+ac+bc+c+d =ab+a+b+c+d =b+a+b+

60、c+d =1 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 4.配項(xiàng)消項(xiàng)法 利用公式 ，進(jìn) 行配項(xiàng)，以消去更多的與項(xiàng)。 【例1.31】 求函數(shù) 的最簡與或 表達(dá)式。 解: ab+ac=ab+ac+bc f=ab+bd+da+dce f=ab+bd+da+dce =ab+bd+ad+da+dce =ab+bd+d+dce =ab+d 第第1章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 【例1.32】 求函數(shù) 的最簡 與或表達(dá)式。 解: f=ab+bc+bc+ab f=ab+bc+bc+ab =ab+bc+(bc+ab) =ab+bc+bc+ab+ac =ab+bc+(bc+ac+ab) =ab+bc+bc+ac =(