韋達定理的應用[教學參考]

1、韋達定理x型韋達定理24【2018河北廊坊八中高三模擬】設圓的圓心為，直線過點且與軸不重合， 交圓于兩點，過作的平行線交于點.（1）證明為定值，并寫出點的軌跡方程；（2）設，過點作直線，交點的軌跡于兩點 (異于),直線的斜率分別為，證明 為定值.【答案】(1) (2)見解析. 解析 （1）如圖，因為， ，故，所以，故，又圓的標準方程為，從而，所以,有題設可知， 由橢圓的定義可得點的軌跡方程為. （2）設，當的斜率不存在時，此時此時容易解出的坐標，此時.綜上可知.點睛 （1）動點的軌跡問題，先考慮動點是否有幾何性質，然后利用曲線的定義寫出曲線方程.（2）解析幾何中的定點定值問題，通常把目標轉化為

2、（或）的整體，再用韋達定理轉化即可.25【2018湖南株洲高三質檢一】已知橢圓與直線都經過點.直線與平行，且與橢圓交于兩點，直線與軸分別交于兩點.（1）求橢圓的方程；（2）證明 為等腰三角形.【答案】(1) ；(2)證明見解析.【解析】試題分析 （1）將點M分別代入直線方程及橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）設直線m的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式求得 MA+ MB=0，即可求得MEF為等腰三角形試題解析 （1）由直線都經過點，則a=2b，將代入橢圓方程 ，所以為等腰三角形.點睛 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，直線的斜率公式，考查

3、計算能力，證明三角形為等腰三角形轉化為證明斜率之和為0是關鍵. 30【2018遼寧沈陽高三質監(jiān)三】已知定直線，定點，以坐標軸為對稱軸的橢圓過點且與相切. 學（ ）（）求橢圓的標準方程；（）橢圓的弦的中點分別為，若平行于，則斜率之和是否為定值？ 若是定值，請求出該定值；若不是定值請說明理由.【答案】（1）（2）斜率之和為定值【解析】試題分析 （）設橢圓的標準方程為，由題意構建關于的方程組，即可得橢圓方程（）設點P（x1，y1），Q（x2，y2），可知PQMN，所以 PQ= MN=1，設直線PQ的方程為y=x+t，代入橢圓方程并化簡得 3x2+4tx+2t26=0，利用韋達定理可計算試題解析 （）

4、設橢圓的標準方程為橢圓過點，所以， 將代入橢圓方程化簡得 ，因為直線與橢圓相切，所以， 解可得， ，所以橢圓方程為； （）設點，則有，由題意可知，所以，設直線的方程為，代入橢圓方程并化簡得 由題意可知 點睛 定點、定值問題通常是通過設參數或取特殊值 確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數，運用推理，到最后必定參數統(tǒng)消，定點、定值顯現.含點代入橢圓的應用32【2018河南洛陽高三第一次統(tǒng)考】已知短軸長為2的橢圓，直線的橫、縱截距分別為，且原點到直線的

5、距離為（1）求橢圓的方程；（2）直線經過橢圓的右焦點且與橢圓交于兩點，若橢圓上存在一點滿足，求直線的方程【答案】（1）.（2）或.解析 （1）因為橢圓的短軸長為2，故.依題意設直線的方程為 ，由.解得，故橢圓的方程為.（2）設 當直線的斜率為0時，顯示不符合題意.當直線的斜率不為0時， ，設其方程為，由，得，所以.點睛 一般地，當解析幾何中問題出現向量等式時，我們先尋找向量隱含的幾何意義，如果沒有幾何意義，可以轉化點的坐標討論.解決直線與圓錐曲線位置關系式，我們常把給定的關系式轉化為含有（或）的關系式，最后利用韋達定理轉化為所求參數的方程.韋達定理求最值28【2018河南鄭州高三質檢一】已知橢

6、圓的左、右焦點分別為，以為直徑的圓與直線相切.（1）求橢圓的離心率；（2）如圖，過作直線與橢圓分別交于兩點，若的周長為，求的最大值.【答案】(1) ；(2) .【解析】試題分析 （1）有直線和圓相切得到關于的關系式，整理可得，從而可得（2）根據三角形的周長可得，故，可得橢圓的方程分直線斜率存在和不存在兩種情況分別求得的值，可得最大值是試題解析 （1）由題意，即，（2）因為三角形的周長為，所以，故. 若直線斜率存在，設直線的方程為，由消去整理得，設，則 點睛 圓錐曲線中求最值或范圍問題的方法若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可先建立目標函數，再求這個函數的最值常從以下幾個方面考慮 利

7、用判別式 構造不等關系，從而確定參數的取值范圍；利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解這類問題的關鍵是在兩個參數之間建立等量關系；利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍；利用基本不等式求出參數的取值范圍；利用函數的值域的求法，確定參數的取值范圍29【2018陜西西安長安區(qū)一中高三上學期八模】平面直角坐標系中，經過橢圓 的一個焦點的直線與相交于兩點， 為的中點，且斜率是.()求橢圓的方程；()直線分別與橢圓和圓 相切于點，求的最大值.【答案】() ；()1.【解析】試題分析 ()設出點M,N的坐標，利用點差法計算可得，結合焦點坐標有，據此計算可得橢圓的方程是；()設分別為直線

8、與橢圓和圓的切點， ，聯(lián)立直線與橢圓的方程有，利用判別式，可得， ，直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，據此可得， ，則，結合絕對不等式的結論有當時， 的最大值是1.試題解析 ()設分別為直線與橢圓和圓的切點， ， ，因為，當時取等號，所以，因此當時， 的最大值是16.【2016高考新課標1卷】設圓的圓心為A,直線l過點B（1,0）且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E.（I）證明為定值,并寫出點E的軌跡方程；（II）設點E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍.【答案】（）（）（

9、II）【解析】（）因為,故,所以,故.又圓的標準方程為,從而,所以.由題設得,由橢圓定義可得點的軌跡方程為：（）.（）當與軸不垂直時,設的方程為,.由得.則,.所以.過點且與垂直的直線：,到的距離為,所以.故四邊形的面積.可得當與軸不垂直時,四邊形面積的取值范圍為.當與軸垂直時,其方程為,四邊形的面積為12.綜上,四邊形面積的取值范圍為.6.如圖，為圓上的動點，定點，線段的垂直平分線交線段于點（1）求動點的軌跡方程；（2）記動點的軌跡為曲線 ，設圓的切線交曲線于兩點，求的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，來源:Zxxk.Com所以動點的軌跡為橢圓，2分，動點的軌跡方程為；5分（2

10、）當切線垂直坐標軸時，；6分當切線不垂直坐標軸時，設切線的方程：，點，由直線和圓相切，得 由得， ，10分又，來源:Z_xx_k.Com令，則，當且僅當時，等號成立，綜上，的最大值為12分Y型韋達定理27【2018廣西南寧高三摸底】已知拋物線C y2=ax（a0）上一點P（t， ）到焦點F的距離為2t（l）求拋物線C的方程；（2）拋物線上一點A的縱坐標為1，過點Q（3，1）的直線與拋物線C交于M，N兩個不同的點（均與點A不重合），設直線AM，AN的斜率分別為K 1，K 2，求證為定值【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】試題分析 （1）由拋物線的定義可知，可求拋物線的標準方程；（2）設過點的直線的方程為，即，代入利用韋達定理，結合