《信號與系統(tǒng)》-第五章-拉普拉斯變換

第五章拉普拉斯變換51定義、存在性（信號與系統(tǒng)第二版（鄭君里）42）問題的提出信號的傅里葉變換存在要求，但有些信號不絕FT1L,FT對可積，例如。當時的處理方法是乘以雙邊指數(shù)函數(shù)，把符號函1SGNL數(shù)“拉”下來，使相乘以后的信號絕對可積。|0LIMSGN0TTEFF，因此，便考慮將納入積分核，使非絕對可積信號可以做頻譜分析。T為使問題簡化，僅考慮T0的情形，即因果信號、單邊變換。對因果信號，F(xiàn)UJJ00DDTTTTEFEFTEFSTL（51）定義信號的（單邊）拉普拉斯變換為FT0DJSTFSFTFE，L（52）JJ012TTTFEE令，為常數(shù)，JSDJSJJ12TFTFEJ1D2STFTSFEL（53）（42）式和（43）式是一對拉普拉斯變換式，稱為原函數(shù)，F(xiàn)T稱為像函數(shù)。FS定義（指數(shù)階函數(shù)）指分段連續(xù)（存在有限個第一類間斷點），F(xiàn)T且，使，對。0MT，0TMETT注。0OTFTE存在。FSS命題指數(shù)階信號的拉氏變換存在。證明，對0TFTME0TT00DDDSTSTSTTSFFEFETSTSTTFE0TTFE0000DTMAMEA注1）為非指數(shù)階信號。23,TET2）為指數(shù)階信號，其中為多項式。TPPT3）為收斂坐標，過垂直于軸的垂線為收斂軸，為收斂000域（已知收斂域）。4）指數(shù)階函數(shù)是衡量信號拉氏變換存在的標準，并指定了收斂軸。在收斂軸右邊拉氏變換收斂，并不意味著其左邊一定不收斂。圖51例1FTU即收斂001TEMT，01D|STSTETL（54）例2負指數(shù)信號001D|STTTSEES（55）例3冪次信號10DNNSTNTETLL（56）N0，UTN1，2S（57）NN，1NNTL（58）積分下限當在處是第一類間斷點時，亦有FT00DSTFSFTFE0STSTFE（59）但是，此時，。因此，在用拉氏變換方0|TF0|TT法解微分方程時，積分下限宜取零負，以便于處理初值問題，豁免從零負求零正之苦難。后續(xù)討論拉氏變換微分性質(zhì)，即可進一步理解此良苦用心52性質(zhì)（信號與系統(tǒng)第二版（鄭君里）43）代數(shù)性質(zhì)線性11NNIIIFTFTLL（510）卷積1212FTFS（511）圖52像卷積（S域卷積）1212JDFTFSZSZL（512）乘2FT1FT12FT圖53拓撲性質(zhì)（微/積分性質(zhì)）微分此處容易混淆，各版本書敘述不一樣，務必提高警惕00TTFSFFL（513）證明DFT00D0|STSTSTFEFEFFEF注1由（59）式易知，上式蘭色項相等；因此，只需式中紅色的零負與零正分別對應即可，而不管信號在零點是否有跳變注2對于因果信號，有，則。三FPFTSLPJS者在三個域中的作用等價，即PJFTSF（514）推廣2PFTFTLL0SF2SFF（515）特別地，當時，有10,0NFPNFTSF（516）積分T11D0PFFTFSFLL（517）01FF證明（法一）00DPTFTFFLL10TFUTF0DTS第二項0DTSTFE0011DTSSTFFES1FS1PFTFFSL證明（法二）T0T0DDFFFUTT1D0TSFFFSLL（）證畢1由卷積拉氏變換性質(zhì)有，且，則像微分（S域微分）PDTFS（518）像積分S1FTFZL（519）證明SS0DDZTFZEFZTSFT011DTFEFTL其他性質(zhì)平移（延時）000STFTUTEFTLL（520）圖54像平移（調(diào)制）TFEFSL（521）例已知，則有1UTS00JJ01CO2TTTTUTELL200012JJSS（522）相似（尺度變換）1,SFATFAL（523）初值定理若存在，存在，則FTFTL0LIMLITSF（524）證明110DSTTSFFFFEL0LIMLIDLIM0STSTSSETMSFF注1，半徑無窮大的圓上所有點RS平面無窮遠，點極黎曼球面的北極。N，四點除外。2AE,所以，兩點除外。0,STSEA當時，N北極J圖55注2若在T0處有跳變，可有F0FF0000DDSTSTSTTTSTSFFEEFEFEL取極限有0LIMLIMDSTSSFFE即0FF注3若在T0有沖激，則1FTKTF，1FSKS10LISF終值定理若存在，存在，在除FTFSLFTLS原點外的（右半閉平面）解析（相當與實變函數(shù)的光滑），則R0LIMLITSF（525）證明10DSTSFFFE0LILISTSS0DFFTF注1）應用圖56希望輸出能夠再現(xiàn)輸入，即LIM0TYVTE為穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)誤差。00LIMLI1SSVEEWS2）（慢變信號）J0，必然3）圖57定理的條件在除原點外的解析。SFR，虛軸上有共軛極點，不滿足定理條件。020COSUTT，虛軸上有共軛極點，不滿足定理條件。002SINTTS，右半平面有一極點，不滿足定理條件。1TEU，53拉普拉斯逆變換（信號與系統(tǒng)第二版（鄭君里）44）極點、零點NSFSFTDL的極點；當與互素時，即的零點。IIPFDIPS的零點；當與互素時，即的零點。FS0IIZNIZN已知，求FT，（最右邊極J1D2STFTSFEL0MAXREIP點）圖58J1DDD2RRSTSTSTCCFTFEEFEJSTSTR1D2JSTCFEESISTPIUT（526）注1），左半平面；RC，2）充要條件1D02JRSTCFE（527）3），若，則（527）式成立；NSFDDEGD4）是全純（解析）函數(shù)；STE5）當不是有理函數(shù)時，需考察。1D02JSTCRFE感興趣者可自行研究。6）當為的一階極點，IPFS0INSSPDREIIPTSTIFEUT（528）7）當為的R階極點，IPFS0RINSPS1DREIIRRPTSTIPFEUTS（529）8），NSFDEGDQ，0SCS0S00DEGND00QIIND00RESIQISTIIPFTCTUT（530）例（書例412），求。321SFFT解01RESRESTSTFT23102D1STSTE2TTTEU部分分式展開，NSFDDEGD11RRNSSPP階，一階1RN11IIIIRCFSSPP，REIIIISSPF1,RN1111RRSPS，I1,2,R111DRIRISPCI111IRNPTTIIIRCFTEUCEU（531）54系統(tǒng)函數(shù)（信號與系統(tǒng)第二版（鄭君里）46，47）問題的提出輸入，求VT,IOTYT輸入，求I圖59輸入/輸出圖510為系統(tǒng)的沖擊響應HT系統(tǒng)函數(shù)HSHTL（532）圖511YSHXS零狀態(tài)響應11YTL（533）系統(tǒng)的幾種描述形式圖512PYTHXTSHLYXS，收斂域P|SHS形式DT注若寫為，則表示微分算子；YTXT但不能寫作。YS系統(tǒng)的多種輸入輸出描述沖擊響應系統(tǒng)算子系統(tǒng)函數(shù)微分方程描述HTPHS零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應非零狀態(tài)響應零、極點與的波形特征HST，與互素，NDDEGND11RRNSSPP11RNIIIIRCSPSP11IRNTTIIIRHTHSEUL（534）注1）線性無關，與極點有關，稱為模態(tài)。11,NRPTPTTPTTREE2）決定于的零極點分布。11,RNCCS3）是的實系數(shù)有理函數(shù)，對于中的共軛對HSIP，10210JJPAPA、1212CC系數(shù)與也是共軛的，不失一般性，0SINATKEUT與共同產(chǎn)生的輸出具有的形式。4）對，若，模態(tài)漸近于0，HSILPREIPITP是一階極點，模態(tài)單調(diào)漸近于0IIT是重極點，模態(tài)當時單調(diào)漸近于011PTMET5）若，即極點在虛軸上，有兩種情況RE0IP圖513虛軸上的共軛極點對應單邊正弦1002SINTUSL原點處的單重極點對應單位階躍1T一階，模態(tài)等幅；JIP0SINTU二階，模態(tài)線性增幅I高階，模態(tài)非線性增幅。JI6）若，模態(tài)發(fā)散。IRPRE0IP圖514重要結(jié)論虛軸附近的極點所決定的模態(tài)是慢變的，起支配作用。零極分布與響應YSHVS圖515RESRESIJSTSTZSHPVPIJYTYY極點極點自由響應強迫響應零輸入響應自由響應，與極點有關，與零點無關；SHS瞬態(tài)響應在上極點貢獻漸近于0，YSLT穩(wěn)態(tài)響應在上極點貢獻R快變響應遠離虛軸極點貢獻慢變響應虛軸附近極點貢獻55線性定常系統(tǒng)頻率響應（信號與系統(tǒng)第二版（鄭君里）48）正弦穩(wěn)態(tài)響應、特征函數(shù)圖51600J00RESRES1ISTSTZSPHPISTJYTYYJHJ極點因此，稱為正弦穩(wěn)態(tài)響應。JTSYTE00J0JJ|SJTSYTHE00JJTSTYTTEEH（535）注1）對矩陣，為特征向量，為屬于ANR，的特征根。對應（535）式有為特征函數(shù)，為系統(tǒng)針對輸入特0JTE0JH征函數(shù)的特征根譜。2）0COSVTAT00JSYTH（536）0SINVTT00JSYTA（537）頻率響應特性系統(tǒng)輸出穩(wěn)態(tài)響應隨輸入信號頻率變化的特性。當跑遍時，即系統(tǒng)的頻率響應（譜）。0,JHBIBO穩(wěn)定0，JJHE其中，為系統(tǒng)的幅頻特性（響應），幅度譜；為系統(tǒng)的相頻特性（響應），相位譜。BIBO穩(wěn)定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等價性系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定DLHTHS極點（538）此時，JJ|STHF反例（積分器）TFDFUTH積分器的單位沖激響應為1HSTD圖517J1|JSH而，因此兩者不等。1JFHT確定頻率特性的幾何方法1MJJNIIKSZNSHDPBIBO穩(wěn)定在平面，沿軸從SJJJH圖518IJ11JJJKMMKKKNNIIIKZNEHPM1I1JJJ1MKNKNIIKNEHE1JMKNIIKNMI1MNJJ（539）注差矢量是與正實軸的夾角逆時針為正，順時針為負。例考慮圖518的情況，IJJKNEHKMJJHK；J02J02例一階RC低通、高通與帶通系統(tǒng)（參見鄭老師教材）。56BIBO穩(wěn)定性（信號與系統(tǒng)第二版（鄭君里）411）系統(tǒng)穩(wěn)定性零狀態(tài)穩(wěn)定性輸入輸出，外部穩(wěn)定性，BIBO穩(wěn)定；零輸入穩(wěn)定性內(nèi)部穩(wěn)定性，李亞譜諾夫穩(wěn)定性。BIBO穩(wěn)定性定義零狀態(tài)系統(tǒng)T是BIBO穩(wěn)定的對任一有界輸入，其輸出均有界。即對，恒有，L,VTABTL,YTVTAB即，。SUPTSUPTY圖519注1）此定義是普適的（不要求系統(tǒng)是線性的）2）系統(tǒng)在零狀態(tài)BIBO穩(wěn)定；系統(tǒng)在非零狀態(tài)未必BIBO穩(wěn)定。例圖520零狀態(tài)BIBO穩(wěn)定，負電容指數(shù)增長放電（數(shù)學上），1CF非零狀態(tài)非BIBO穩(wěn)定。定理零狀態(tài)線性系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定,DHTT，（540）證明充分性設,SUP,D,TMHTMT對任意輸入，VTVN有SUPS,TTYTYH,DTVSSUPTTNM必要性已知零狀態(tài)線性系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定，反設，取,DHTSGN,1VTHTVT但SUP,DTYHTT于是反設不成立，必要性成立。定理線性定常時不變BIBO穩(wěn)定，即DHT1L,HT的極點，且HSLIPLDEGNDD，（541）注1）若，即有微分算子，則系統(tǒng)非BIBO穩(wěn)定。DEG2）穩(wěn)定信號。1L,FTFT3）臨界穩(wěn)定不是BIBO穩(wěn)定的。臨界穩(wěn)定的概念以后再講。定理若，12,HTVT，則LYT（542）圖521證明依定理條件，令，DHTN2DVTMYTV12T（CS不等式）12DDHHVT1122NVTDDYTHTT2VHNMN57全通系統(tǒng)/最小相移系統(tǒng)（信號與系統(tǒng)第二版（鄭君里）410）全通系統(tǒng)定義為全通系統(tǒng)（函數(shù)）HS1BIOJHK）系統(tǒng)穩(wěn)定2）（543）注）零點與極點（關于虛軸）鏡像對稱JK極點，零點，ILPIRZIIP1NIISZHJS平面JPIZIO圖5222）全通系統(tǒng)的是的單調(diào)減函數(shù)0零點IZ3/2/2極點IP，0，0，4N個零、極點2N0的零極點分布有三種情況HS（1）是實系數(shù)有理分式，則零點、極點均成對出現(xiàn)，構(gòu)成共軛對（2）實軸上的單個零極點（3）非實系數(shù)有理分式，單個零極點最小相移系統(tǒng)定義為最小相移系統(tǒng)（函數(shù)）HS1）的任意極點ILP2）的任意零點SILZ若任意零點，則為嚴格最小相移系統(tǒng)。ILZ對幅度相同的系統(tǒng)，最小相移系統(tǒng)相移最小。圖523定理任意BIBO穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)都可由一個全通系統(tǒng)與一個最小相移系統(tǒng)級聯(lián)構(gòu)成。證明設BIBO穩(wěn)定，共有個右半開平面零點，HSM1,MRZ1MIISSZ11MIMIISSZ（544）其中，為最小相移系統(tǒng)，為BIBO穩(wěn)定1MIIH1IISZ的全通系統(tǒng)。相位延遲與群延遲相位延遲單頻率（正弦）信號通過系統(tǒng)時產(chǎn)生的延時。信號通過系統(tǒng)，若輸出為，0COSXTT000COSCOSYTTT即產(chǎn)生了相移，則相位延遲為，即由于相位差而產(chǎn)生的延遲。0T一般地，信號通過系統(tǒng)，輸出穩(wěn)態(tài)響應為CSXTJHSE，相位延遲為。當時，若JCOSYTHTDT0，則信號通過系統(tǒng)產(chǎn)生延遲，若，則信號通過系統(tǒng)產(chǎn)生超前。00在處，系統(tǒng)的附加相移所產(chǎn)生的延遲為，是在處的線性11T1斜率；在處，系統(tǒng)的附加相移所產(chǎn)生的延遲為，是