黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析） (3)

哈爾濱市第六中學(xué)20182019學(xué)年度上學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)試題考試時間：120分鐘 滿分：150分一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。請把答案一律用2B鉛筆涂在答題卡上。）1.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分別求出和中的不等式的解集，然后取交集即可?！驹斀狻坑深}意，則，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的簡單運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。2.已知圓上的一段弧長等于該圓內(nèi)接正方形的邊長，則這段弧所對圓心角的弧度數(shù)為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓的半徑為，可知其內(nèi)接正方形的邊長，然后利用弧長公式可以求得圓心角的弧度數(shù)?！驹斀狻吭O(shè)圓的半徑為，則該圓的內(nèi)接正方形的邊長為，即這段圓弧長為，則該圓弧所對的圓心角的弧度數(shù).故選C.【點(diǎn)睛】本題是一道關(guān)于求圓心角的弧度數(shù)的題目，弧長公式(是圓心角的弧度數(shù))是解答本題的關(guān)鍵。3.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用冪函數(shù)圖象過點(diǎn)可以求出函數(shù)解析式，然后求出即可。【詳解】設(shè)冪函數(shù)的表達(dá)式為，則，解得，所以，則.故答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)，以及對數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。4.若，則所在象限是（ ）A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第一、四象限 D. 第二、四象限【答案】A【解析】【分析】先由題中不等式得出在第二象限，然后求出的范圍，即可判斷其所在象限?！驹斀狻恳驗?，所以，故在第二象限，即，故，當(dāng)為偶數(shù)時，在第一象限，當(dāng)為奇數(shù)時，在第三象限，即所在象限是第一、三象限。故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的象限角，屬于基礎(chǔ)題。5.在中，下列關(guān)系恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合三角形的內(nèi)角和為，逐個去分析即可選出答案。【詳解】由題意知，在三角形ABC中，對A選項，故A選項錯誤；對B選項，故B選項錯誤；對C選項，故C選項錯誤；對D選項，故D選項正確。故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題。6.已知表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，是方程的根，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出函數(shù)的零點(diǎn)的范圍，進(jìn)而判斷的范圍，即可求出.【詳解】由題意可知是的零點(diǎn)，易知函數(shù)是（0，）上的單調(diào)遞增函數(shù)，而，即所以，結(jié)合的性質(zhì)，可知.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，屬于基礎(chǔ)題。7.函數(shù)的圖象的相鄰兩支截直線所得的線段長為，則的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由正切函數(shù)的性質(zhì)，可以得到函數(shù)的周期，進(jìn)而可以求出解析式，然后求出即可?！驹斀狻坑深}意知函數(shù)的周期為，則，所以，則.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了正切函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。8.已知函數(shù)，若，則，的大小關(guān)系為A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式先判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，然后根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡即可【詳解】f（x）=x3，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且函數(shù)為增函數(shù)，a=f（log3）=f（log310）=f（log310），則2log39.1log310，20.92，即20.9log39.1log310，則f（20.9）f（log39.1）f（log310），即cba，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的大小的比較，根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是解決本題的關(guān)鍵9.已知函數(shù)的定義域為，若是奇函數(shù)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由為奇函數(shù)，可得，求得，代入計算可得所求值【詳解】是奇函數(shù)，可得，且時，可得，則，可得，則，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和運(yùn)用，考查定義法和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題10.若在是減函數(shù)，則的最大值是A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先確定三角函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，再根據(jù)集合包含關(guān)系確定的最大值詳解：因為，所以由得因此，從而的最大值為，選A.點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)： (1). (2)周期 (3)由 求對稱軸， (4)由求增區(qū)間; 由求減區(qū)間.11.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由輔助角公式可得，由函數(shù)關(guān)于直線對稱，可得，可取從而可得，由此結(jié)合，可得一個最大值一個最小值，從而可得結(jié)果.【詳解】，函數(shù)關(guān)于直線對稱，即，故可取故，即可得：，故可令，即，其中，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式的應(yīng)用、三角函數(shù)的最值、三角函數(shù)的對稱性，轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用，屬于難題. 由函數(shù)可求得函數(shù)的周期為；由可得對稱軸方程；由可得對稱中心橫坐標(biāo).12.已知是奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，則在內(nèi)是（ ）A. 單調(diào)增函數(shù)，且 B. 單調(diào)減函數(shù)，且C. 單調(diào)增函數(shù)，且 D. 單調(diào)減函數(shù)，且【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)f（x+1）=f（x1）求出函數(shù)的周期，然后根據(jù)函數(shù)在x（0，1）時上的單調(diào)性和函數(shù)值的符號推出在x（1，0）時的單調(diào)性和函數(shù)值符號，最后根據(jù)周期性可求出所求【詳解】f（x+1）=f（x1），f（x+2）=f（x）即f（x）是周期為2的周期函數(shù)當(dāng)x（0，1）時，0，且函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，y=f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x（1，0）時，f（x）0，且函數(shù)在（1，0）上單調(diào)遞增根據(jù)函數(shù)的周期性可知y=f（x）在（1，2）內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，且f（x）0故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的周期性和函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了分析問題，解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題二、填空題（本大題共4題，每題5分，共20分。請把答案填在答題卡上指定位置處。）13.在中，則_【答案】【解析】【分析】先由正弦定理得到，再由余弦定理求得的值?！驹斀狻坑桑Y(jié)合正弦定理可得，故設(shè)，()，由余弦定理可得，故.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。14._【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)行計算即可?！驹斀狻?【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，需要注意，屬于基礎(chǔ)題。15.將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為_【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，即可得到的解析式?！驹斀狻亢瘮?shù)的圖象向右平移個單位，可得到，再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，可得到.故.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖象的平移變換，屬于基礎(chǔ)題。16.函數(shù)的最大值為_【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式將化為，利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式將化為，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可。【詳解】因為，所以當(dāng)時，取到最大值.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)化簡與求最值問題，屬于中檔題。三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17.在中，角所對的邊分別為，滿足.（1）求角的大??；（2）若，且，求的面積【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理可以得到，即可求出角的大??；（2）利用余弦定理并結(jié)合（1）中的結(jié)論，可以求出，代入三角形面積公式即可?！驹斀狻浚?）由于，結(jié)合正弦定理可得，由于，可得，即，因為，故.（2）由，且，代入余弦定理，即，解得，則的面積.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題。18.某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：（1）請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整；函數(shù)的解析式為 （直接寫出結(jié)果即可）；（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)作出一個周期的圖象；（3）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值 【答案】（1）見解析；（2）詳見解析；（3）當(dāng)時，；當(dāng)時，【解析】【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)可以得到的值與函數(shù)周期，從而求出，進(jìn)而求出，即可得到函數(shù)的解析式，利用函數(shù)解析式可將表中數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整；（2）結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)與表格中的數(shù)據(jù)可以作出一個周期的圖象；（3）結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性，可以求出函數(shù)的最值?！驹斀狻浚?）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得，數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：函數(shù)表達(dá)式為.（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)作出一個周期的圖象見下圖：（3）令，則，則，可轉(zhuǎn)化為，因為正弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間（上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間（上單調(diào)遞增，故的最小值為，最大值為，由于時，；時，故當(dāng)時，；當(dāng)時，.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題。19.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的對稱軸和對稱中心；（3）若，求的值【答案】（1）；（2），；（3）【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)的恒等變換，對函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行化簡，進(jìn)而可以求出周期；（2）利用正弦函數(shù)對稱軸與對稱中心的性質(zhì)，可以求出函數(shù)的對稱軸和對稱中心；（3）利用題中給的關(guān)系式可以求出和，然后將展開求值即可?！驹斀狻浚?）.所以函數(shù)的最小正周期.（2）由于，令，得，故函數(shù)的對稱軸為.令，得，故函數(shù)的對稱中心為.（3）因為，所以,即，因為，所以，則，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的周期、對稱軸、對稱中心，及利用函數(shù)的關(guān)系式求值，屬于中檔題。20.已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時，方程恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后所得函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，求的最小值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由余弦函數(shù)的單調(diào)性，解不等式，即可求出；（2）利用函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合在時的單調(diào)性與最值，可得實數(shù)的取值范圍；（3）先求出的解析式，然后利用圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，是奇函數(shù)，可求出的最小值。【詳解】（1）由余弦函數(shù)的單調(diào)性，解不等式，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個公共點(diǎn)，即當(dāng)時,方程恰有兩個不同的實數(shù)根時。（3）函數(shù)的圖象向右平移個單位,得到,則是奇函數(shù)，則，即，則因為，所以當(dāng)時，.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，及圖象的平移變換，屬于中檔題。21.已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1）求的值并求函數(shù)的值域；（2）若關(guān)于的方程有實根，求實數(shù)的取值范圍；（3）若為偶函數(shù)，求實數(shù)的值【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）函數(shù)圖象過，代入計算可求出的值，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)的值域；（2）構(gòu)造函數(shù)，求出它在上的值域，即可求出的取值范圍；（3）利用偶函數(shù)的性質(zhì)，即可求出?！驹斀狻浚?）因為函數(shù)圖象過點(diǎn)，所以，解得.則，因為，所以，所以函數(shù)的值域為.（2）方程有實根，即，有實根，構(gòu)造函數(shù)，則，因為函數(shù)在R上單調(diào)遞減，而在（0，）上單調(diào)遞增，所以復(fù)合函數(shù)是R上單調(diào)遞減函數(shù)。所以在上，最小值為，最大值為，即，所以當(dāng)時，方程有實根。（3），是R上的偶函數(shù)，則滿足，即恒成立，則恒成立，則恒成立，即恒成立，故，則恒成立，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題。22.已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求該函數(shù)的值域；（2）求不等式的解集；（3）若對于恒成立，求的取值范圍【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）利用換元法并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)值域；（2）利用換元法并結(jié)合一元二次不等式的性質(zhì)，即可求出不等式的解集；（3）將分離于不等式的一端，對另一端求它的最值，進(jìn)而可以求出的取值范圍?！驹斀狻浚?）令，則，函數(shù)轉(zhuǎn)化為，