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2018年上期衡陽(yáng)市八中高二年度過(guò)關(guān)考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求.）1. 設(shè)集合，則=( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先求出，再求，即可得出選項(xiàng).詳解：因?yàn)?，所以，故選C.點(diǎn)睛：本題考查集合并集的運(yùn)算和交集的運(yùn)算，對(duì)于集合要注意它的左端點(diǎn)可以取得，右端點(diǎn)不能取得.屬于基礎(chǔ)題.2. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(1+i)z=2i，則z=（ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】復(fù)數(shù)滿(mǎn)足=故選3. 設(shè)，則“”是“”的（ ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】分析：先求的解集，再求的解集，最后利用充要條件的判斷方法得出正確選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查冪函數(shù)的單調(diào)性，考查了充分必要條件的判斷方法.屬于中檔題.4. 下列函數(shù)中，與函數(shù)的奇偶性相同，且在上單調(diào)性也相同的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：，逐一判斷選項(xiàng)中函數(shù)奇偶性、單調(diào)性，從而可得結(jié)果.詳解：函數(shù)為偶函數(shù),且在上為增函數(shù)，對(duì)于選項(xiàng),函數(shù)為偶函數(shù)，在上為増函數(shù)，符合要求；對(duì)于選項(xiàng),函數(shù)是偶函數(shù)，在上為減函數(shù)，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng),函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng),函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合要求；只有選項(xiàng)符合要求，故選A. 5. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式是（ ）A. （） B. （）C. （） D. （）【答案】A【解析】設(shè)，由的圖像可知，函數(shù)的周期為，所以，將代入得，所以，向右平移后得到.6. 設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）A. B. C. 或 D. 【答案】B【解析】分析：根據(jù)分段函數(shù)分成兩個(gè)方程組求解，最后求兩者并集.詳解：因?yàn)椋运赃xB.點(diǎn)睛：求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿(mǎn)足相應(yīng)段自變量的取值范圍.7. 已知，則（ ）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】分析：根據(jù)角的范圍利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cos（）的值，再根據(jù)sin=sin（）+，利用兩角差的正弦公式計(jì)算求得結(jié)果詳解：，（，），cos（）=，或（舍）sin=sin（）+=sin（）cos+cos（）sin=-=，故選：B點(diǎn)睛：本題主要考查兩角和差的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，解題關(guān)鍵根據(jù)角的取值范圍對(duì)cos（）的值進(jìn)行取舍，屬于中檔題8. 九章算術(shù)是中國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著，成于公元一世紀(jì)左右，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就.其中方田一章中記載了計(jì)算弧田（弧田就是由圓弧和其所對(duì)弦所圍成弓形）的面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式：弧田面積=（弦矢矢矢），公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為，弦長(zhǎng)為的弧田.其實(shí)際面積與按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出弧田的面積之間的誤差為（ ）平方米.（其中）A. 15 B. 16 C. 17 D. 18【答案】B【解析】分析：先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出弧田的面積，再利用扇形面積減去三角形面積得實(shí)際面積，最后求兩者之差.詳解：因?yàn)閳A心角為，弦長(zhǎng)為，所以圓心到弦的距離為半徑為40，因此根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出弧田的面積為，實(shí)際面積等于扇形面積減去三角形面積，為，因此兩者之差為，選B.點(diǎn)睛：扇形面積公式，扇形中弦長(zhǎng)公式，扇形弧長(zhǎng)公式9. 在中， ，則的形狀為（ ）A. 正三角形 B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，有.整理得，故,的形狀為直角三角形.故選B.點(diǎn)睛：余弦的二倍角公式有三個(gè)，要根據(jù)不同的化簡(jiǎn)需要進(jìn)行選取.在判斷三角形形狀的方法中，一般有，利用正余弦定理邊化角，角化邊，尋找關(guān)系即可.10. 外接圓的半徑等于1，其圓心O滿(mǎn)足，則向量在方向上的投影等于（ ）A. B. C. D. 3【答案】C【解析】分析：先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由已知條件可知三角形為直角三角形，且，再根據(jù)直角三角形射影定理可求得所求投影的值.詳解：根據(jù)題意畫(huà)出圖像如下圖所示，因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，所以是圓的直徑，所以.由于，所以三角形為等邊三角形，所以，根據(jù)直角三角形射影定理得，即.故選C.點(diǎn)睛：本小題主要考查圓的幾何性質(zhì)，考查向量加法的幾何意義，考查直角三角形射影定理等知識(shí).屬于中檔題.11. 已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿(mǎn)足，若，則（ ）A. -50 B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】分析：首先根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)得到，再由得到函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，故函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且，根據(jù)周期性可求得結(jié)果. 詳解：因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，故且.因?yàn)?，所以函?shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù).因?yàn)?，所以，根?jù)函數(shù)的周期為可得所求式子的值.故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的周期性，考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的中檔題.12. 定義在上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)， ，則函數(shù)（）的所有零點(diǎn)之和等于（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】D【解析】分析：首先根據(jù)得到函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性畫(huà)出函數(shù)在區(qū)間上的圖像，再根據(jù)函數(shù)與函數(shù)圖像的交點(diǎn)來(lái)求得函數(shù)的零點(diǎn)的和.詳解：因?yàn)楣屎瘮?shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，令，即，畫(huà)出函數(shù)與函數(shù)圖像如下圖所示，由于可知，兩個(gè)函數(shù)圖像都關(guān)于對(duì)稱(chēng)， 兩個(gè)函數(shù)圖像一共有個(gè)交點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和為，故函數(shù)的個(gè)零點(diǎn)的和為.故選D.點(diǎn)睛：本小題主要考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)的轉(zhuǎn)化方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.解決函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題有兩個(gè)方法，一個(gè)是利用零點(diǎn)的存在性定理，即二分法來(lái)解決，這種方法用在判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間很方便.二個(gè)是令函數(shù)等于零，變?yōu)閮蓚€(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)來(lái)得到函數(shù)的零點(diǎn).二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.）13. 設(shè)向量=（1,0），=（1,m）,若，則m=_.【答案】【解析】分析：先求得，在利用兩個(gè)向量垂直，數(shù)量積為零，列方程求得的值.詳解：，兩個(gè)向量垂直，則它們的數(shù)量積為零，即，.點(diǎn)睛：本小題主要考查向量加法的運(yùn)算，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查兩個(gè)向量垂直則其數(shù)量積為零.14. 設(shè)函數(shù)f（x）=，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則的最小值為_(kāi)【答案】【解析】分析：根據(jù)恒成立可知函數(shù)在處取得最大值，利用余弦函數(shù)的最大值可求得的值，并求出其最小值.詳解：由于恒成立可知函數(shù)在處取得最大值，故，解得，當(dāng)時(shí)，取得最小值為.點(diǎn)睛：本小題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查三角函數(shù)的最大值，考查恒成立問(wèn)題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.解題的突破口在于理解恒成立，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)在時(shí)取得最大值來(lái)求解.求解過(guò)程中要注意.15. 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則的面積為_(kāi)【答案】【解析】分析：利用正弦定理化已知條件中的邊為角，然后計(jì)算出角，再結(jié)合余弦定理求得，從而可得面積詳解：，又，即，故答案為點(diǎn)睛：解三角形問(wèn)題，通常需要進(jìn)行邊角關(guān)系互化，在等式兩邊是關(guān)于邊的齊次式或關(guān)于角的正弦的齊次式時(shí)可用正弦定理相互轉(zhuǎn)化，如果題中是余弦或三邊（平方）的關(guān)系可能要用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形解題時(shí)選取恰當(dāng)?shù)墓绞顷P(guān)鍵16. 設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是_【答案】【解析】分析：由為偶函數(shù)， 在上連續(xù)，且為減函數(shù)，可得，等價(jià)于，即有，由一次函數(shù)的單調(diào)性，解不等式即可得結(jié)果.詳解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以可得時(shí)，遞減，；當(dāng)時(shí)，遞減，且，在上連續(xù)，且為減函數(shù)，對(duì)任意的，不等式恒成立，等價(jià)于，可得，兩邊平方、移項(xiàng)分解因式可得，由一次函數(shù)的單調(diào)性，可得，且，即為且，即有，則的最大值為，故答案為.點(diǎn)睛： 函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會(huì)單獨(dú)命題，而是常將它們綜合在一起考查，其中單調(diào)性與奇偶性結(jié)合、周期性與抽象函數(shù)相結(jié)合，并結(jié)合奇偶性求函數(shù)值，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，且主要有以下幾種命題角度：（1）函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合，注意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性；（2）周期性與奇偶性相結(jié)合，此類(lèi)問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解；（3）周期性、奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合，解決此類(lèi)問(wèn)題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.三、解答題（本大題共6小題，共52分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明或推理、驗(yàn)算過(guò)程.）17. 在極坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為.以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為（m為參數(shù)）.（1）求直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)C的普通方程；（2）已知點(diǎn)，直線(xiàn)l和曲線(xiàn)C相交于，兩點(diǎn)，求.【答案】（1）， ；（2）44【解析】分析：（1）首先將直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程展開(kāi)后，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式，可求得直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程.利用代入消元法消去可求得曲線(xiàn)的普通方程.（2）利用直線(xiàn)參數(shù)的幾何意義，借助根與系數(shù)關(guān)系，可求得的值.詳解：（1）由得，即，的直角坐標(biāo)方程，由，得，代入得，即，所以的普通方程：；（2）在上，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將的參數(shù)方程代入得：，即，.點(diǎn)睛：本小題主要考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程和普通方程互劃，考查利用直線(xiàn)參數(shù)的幾何意義解題.屬于基礎(chǔ)題.18. 已知函數(shù).(1)若不等式f(x)f(xm)1恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)g(x)f(x)|2x1|有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）1；（2）【解析】分析：（1）先求得的表達(dá)式，利用絕對(duì)值不等式化簡(jiǎn)，由此求得的最大值.（2）寫(xiě)出的表達(dá)式，并寫(xiě)成分段函數(shù)的形式.根據(jù)有零點(diǎn)，可求得的取值范圍.詳解：(1)f(x)|xa|，f(xm)|xma|，f(x)f(xm)|xa|xma|m|，|m|1，即1m1，實(shí)數(shù)m的最大值為1.(2)當(dāng)a時(shí)，g(x)f(x)|2x1|xa|2x1|g(x)minga0，或a0，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.點(diǎn)睛：本小題主要考查絕對(duì)值不等式的應(yīng)用，考查處理含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)的處理方式.屬于中檔題.19. 已知ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，bsin 2AasinB .(1)求角A的大??；(2)若a=sin A，求bc的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）利用正弦定理，將已知條件中的邊轉(zhuǎn)化為角的形式，化簡(jiǎn)后可求得的值，進(jìn)而求得的值.（2）由（1）可求得的值.利用正弦定理將轉(zhuǎn)化為，利用三角函數(shù)恒等變換可求出其取值范圍.詳解： (1)bsin2A=asin B 2bsinAcosAasin B，2sin BsinAcosAsinAsin B，cosA= A.(2)a=sin A= bcsinB+sin C=sinB+sin (+B)= 點(diǎn)睛：本題主要考查利用正弦定理解三角形，考查邊角互化，考查了三角形內(nèi)角和定理，考查三角恒等變換，考查形式三角函數(shù)求值域的方法.20. 已知向量，函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，三內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，成等差數(shù)列，且，求a的值【答案】（1），（2）【解析】分析：（）利用向量的數(shù)量積和二倍角公式化簡(jiǎn)得，故可求其周期與單調(diào)性；（）根據(jù)圖像過(guò)得到，故可求得的大小，再根據(jù)數(shù)量積得到的乘積，最后結(jié)合余弦定理和構(gòu)建關(guān)于的方程即可解：（），最小正周期：，由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；（）由可得：，所以又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以而，點(diǎn)睛：（1）形如的性質(zhì)的討論，可以用倍角公式和輔助角公式將其變形為的形式（2）三角形共有7個(gè)幾何量，往往知道其中3個(gè)（除三個(gè)角外），就可以求其余的4個(gè)量21. 已知定義在上的偶函數(shù)滿(mǎn)足：當(dāng)時(shí)， .（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，從而，再根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)可得在上的解析式，進(jìn)而可得在上的解析式。（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為處理。由于為偶函數(shù)，故只可求出當(dāng)時(shí)的最小值即可，可得。又，由，得，即為所求。試題解析：（1）設(shè)，則，定義在偶函數(shù)， 。（2）由題意得“對(duì)任意，都有成立”等價(jià)于“”。又因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù).所以在區(qū)間和區(qū)間上的值域相同.當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則 令，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以。又由，解得，因此實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)睛：（1）利用偶函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的解析式，對(duì)于偶函數(shù)的值域根據(jù)其對(duì)稱(chēng)性只需求在y軸一側(cè)的值域即可，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用。（2）本題中，將“對(duì)任意，都有成立”轉(zhuǎn)化為“”來(lái)處理，是數(shù)學(xué)中常用的解題方法，這一點(diǎn)要好好體會(huì)和運(yùn)用。（3）形如的函數(shù)的值域問(wèn)題，可根據(jù)換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問(wèn)題求解。22. 定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，存在非零常數(shù)，都有成立.（1）當(dāng)時(shí)，若， ，求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域；（2）設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?，證明：函數(shù)為周期函數(shù).【答案】(1) (2) 見(jiàn)解析【解析】分析：（1）利用，分別求得函數(shù)在區(qū)間上的表達(dá)式，并求得其值域.（2）首先判斷出值域相同.當(dāng)時(shí)，利用求得的值，并利用周期性的定義證明得函數(shù)是周期為的周期函數(shù).同理可證明當(dāng)，函數(shù)也為周期函數(shù).詳解：（1）當(dāng)時(shí)， ， 當(dāng)時(shí)，即，由得，則， 當(dāng)時(shí)，即，由得，則， 當(dāng)時(shí)，即，由得， 綜上得函數(shù)在閉區(qū)間上的值域?yàn)? （2）（證法一）由函數(shù)的值域?yàn)?