高二數(shù)學(xué)圓的方程人教文知識(shí)精講

用心 愛(ài)心 專心 高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué)圓的方程圓的方程人教版（文）人教版（文） 【本講教育信息本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 圓的方程 二. 本周教學(xué)重難點(diǎn)： 1. 重點(diǎn)： 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般方程，參數(shù)方程 2. 難點(diǎn)： 求圓的方程，直線和圓的相交弦，圓系問(wèn)題 【典型例題典型例題】 例 1 求圓心在軸上，且過(guò)點(diǎn) A（1，4） ，B（2，）的圓的方程。x3 解：方法一：解：方法一：設(shè) 222 )(ryax 22 22 9)2( 16)1 ( ra ra 5 2 r a 25)2( 22 yx 方法二：方法二： 設(shè)0 22 FEyDxyx 0 2 E 0E0 22 FDxyx 0294 0161 FD FD 21 4 F D 0214 22 xyx 方法三：方法三：設(shè) 222 )(ryax 9)2(16) 1( 22 aa2a5| CAr 25)2( 22 yx 方法四：方法四： ， 7 AB kCMAB 7 1 CM k 又 CM：) 2 1 , 2 3 (M) 2 3 ( 7 1 2 1 xy 設(shè) C（，0）在 CM 上 a) 2 3 ( 7 1 2 1 0a2a 5|CA25)2( 22 yx 用心 愛(ài)心 專心 例 2 求過(guò)直線與已知圓的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸073 yx0322 22 yxyx 上的四個(gè)截距之和為 8 的圓的方程。 解：解：設(shè)0)73(322 22 yxyxyx 令073)23()2( 22 yxyx 令， 0y073)2( 2 xx 同理：2 21 xx32 21 yy 8)32()2(2 0118 22 yyx 例 3 已知圓滿足： 截軸所得弦長(zhǎng)為； 被軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比y2yx 為； 圓心到直線 ：的距離為的圓的方程。1:3l02yx 5 5 解：解：設(shè) 222 )()(rbyax 當(dāng)時(shí)， 0x02 2222 rbabyy2| 21 yy4)( 2 21 yy 44)( 21 2 21 yyyy4)(44 2222 rbab 1 22 ar 當(dāng)時(shí)， 0y02 2222 rbaaxx| 2 | 21 b xx 22222 4)(44brbaa 22 2br 由、得： 又 到 的12 22 ab),(bal 5 5 d 用心 愛(ài)心 專心 或 5 5 5 |2| ba 1)2( 2 ba12 ba12 ba 或 或 12 12 22 ab ba 12 12 22 ab ba 1 1 b a 1 1 b a 2r 或4) 1() 1( 22 yx4) 1() 1( 22 yx 例 4（1）已知：，求過(guò)點(diǎn)（1，）的切線方程4 22 yx3 （2）已知：，求過(guò)點(diǎn) P（3，1）圓的切線方程。4)2() 1( 22 yx 解：解： （1）43yx （2） 當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè) ：l)3(1xky 031kykx2 1 |312| 2 k kk 22 44)32(kk 12 5 k 斜率不存在時(shí)， 即3x)3( 12 5 1xy03125yx 注：注： （1）C：，P（，），則過(guò)點(diǎn) P 圓的切線方程為： 222 ryx 0 x 0 yC 2 00 ryyxx （2）C：過(guò)圓上一點(diǎn) P（，）與圓相切的直線方程為： 222 )()(rbyax 0 x 0 y 2 00 )()(rbybyaxax 用心 愛(ài)心 專心 （3）C：（） ，P（，）0 22 FEyDxyx04 22 FED 0 x 0 yC 過(guò) P 圓的切線方程：0 22 00 00 F yy E xx Dyyxx 例 5 已知 P（5，0）和圓，過(guò) P 作直線 與圓相交于 A、B，求弦 AB 中點(diǎn)16 22 yxl 的軌跡方程。 解：方法一：解：方法一：設(shè) AB 中點(diǎn) M（） ，則 A（） ，B（）yx, 11, y x 22, y x ： l)5( xky 16 )5( 22 yx xky 0162510)1 ( 2222 kxkxk 0)1625)(1 (4100 224 kkk 3 4 3 4 k ， 2 2 21 1 10 k k xx 2 2121 1 10 )10( k k xxkyy M：， 2 2 2 1 5 1 5 k k y k k x ) 3 4 , 3 4 (kk y x 代入中， （） y x k 2 2 1 5 k k x 05 22 xyx 5 16 0 x 方法二：方法二：設(shè) A（，）B（，） 且 1 x 1 y 2 x 2 y16 2 1 2 1 yx16 2 2 2 2 yx 0)()( 21212121 yyyyxxxx 0)()( 21 21 2121 xx yy yyxx0 5 0 22 x y yx （在已知圓內(nèi)部分）05 22 xyx 方法三：方法三：點(diǎn) M 在以 OP 為直徑的圓上 0)0()5(yyxx 05 22 xyx 注：注：以 A（）B（）為直徑的圓的方程是： 11, y x 22, y x 0)()( 2121 yyyyxxxx 用心 愛(ài)心 專心 例 6 設(shè) P（）是圓外的一點(diǎn)，過(guò) P 作圓的切線，試求過(guò)兩切點(diǎn)的切 00, y x 222 ryx 點(diǎn)弦所在的直線方程。 解：解：以 OP 為直徑的圓：0)()( 00 yyyxxx 又 0 00 22 yyxxyx 222 ryx ：為所求直線方程 2 00 ryyxx 例 7 求與軸相切并與圓相外切的動(dòng)圓的圓心的軌跡方程。y04 22 xyx 解：解： 設(shè)圓心為（） 4)2( 22 yxba, 222 )()(abyax 2)2( 22 aba4444 222 aabaa 當(dāng)時(shí)， )0(8 2 aab0a0y )0(0 )0(8 xy xxy 例 8 已知中，A（） ，B（0，2） ，C（） （是變量） ，求ABC0 , 2sin1,cos 面積的最大值。ABC 解：解：設(shè) C 點(diǎn)的坐標(biāo)為（）則即yx, sin1 cos y x 1) 1( 22 yx 是以為圓心，以 1 為半徑的圓 A，B（）) 1, 0( )0 , 2(2 , 0 且 AB 的方程為即2244|AB1 22 yx 02 yx 則圓心（）到直線 AB 的距離為1, 0 2 2 3 ) 1(1 |2) 1(| 22 C 到 AB 的最大距離為 2 2 3 1 的最大值是 ABC S23)2 2 3 1 (22 2 1 【模擬試題模擬試題】（答題時(shí)間：60 分鐘） 一. 選擇： 1. 點(diǎn) P（）在圓的內(nèi)部，則的取值范圍是（ ）aa12, 15 1) 1( 22 yxa 用心 愛(ài)心 專心 A. B. C. D. 1|a 13 1 a 5 1 |a 13 1 |a 2. 點(diǎn) M（）是圓（）內(nèi)不為圓心的一點(diǎn)，則直線 00, y x 222 ayx0a 與該圓的位置關(guān)系是（ ） 2 00 ayyxx A. 相切 B. 相交 C. 相離 D. 相切或相交 3. 點(diǎn) P（）與圓的位置關(guān)系是（ ）5 , 2 m24 22 yx A. 在圓外 B. 在圓內(nèi) C. 在圓上 D. 不確定 4. 直線（）截圓所得弦長(zhǎng)等于 4，則以、0cbyax0abc5 22 yx| a 、為邊長(zhǎng)的三角形一定是（ ）|b| c A. 直角三角形 B. 銳角三角形 C. 鈍角三角形 D. 不存在 5. 圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有（ ）0342 22 yyxx01 yx2 A. 1 個(gè) B. 2 個(gè) C. 3 個(gè) D. 4 個(gè) 6. 圓過(guò)點(diǎn)（）的最大弦長(zhǎng)為，最小弦長(zhǎng)為，則01264 22 yxyx0 , 1mn 等于（ ）nm A. B. C. D. 7210753310 2 23 5 7. 已知點(diǎn) P（）在圓上，則、的取值范圍是（ ） 00, y x sin82 cos83 y x 0 x 0 y A. 22, 33 00 yx B. 82, 83 00 yx C. 610,115 00 yx D. 以上都不對(duì) 8. 兩圓與的位置關(guān)系是（ ） sin24 cos23 y x sin3 cos3 y x A. 內(nèi)切 B. 外切 C. 相離 D. 內(nèi)含 二. 填空： 1. 圓關(guān)于直線對(duì)稱的方程是 。1)4()3( 22 yx0 yx 2. 圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值是 。4 22 yx3 yx 3. 已知點(diǎn) P 是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) A 是軸上的定點(diǎn)，坐標(biāo)為（12，0） ，16 22 yxx 用心 愛(ài)心 專心 當(dāng) P 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段 PA 的中點(diǎn) M 的軌跡方程是 。 4. 已知 A（1，1） ，C：一束光線從 A 出發(fā)經(jīng)軸反射到 C 上的最短距 sin27 cos25 y x y 離是 。 三. 解答題： 1. 求與軸切于點(diǎn)（5，0）并在軸上截取弦長(zhǎng)為 10 的圓的方程。xy 2. 已知圓 C 與圓 C1：相外切，并且與直線 ：相切于點(diǎn)02 22 xyxl03yx P（3，） ，求此圓 C 的方程。3 3. 已知一曲線是與兩個(gè)定點(diǎn) O（0，0） 、A（，0） （）距離之比為的點(diǎn)a0a) 1(kk 的軌跡，求此曲線的方程，并判斷曲線的形狀。 4. 已知對(duì)于圓上任意一點(diǎn) P（） ，不等式恒成立，求1) 1( 22 yxyx,0myx 實(shí)數(shù)的取值范圍。m 用心 愛(ài)心 專心 試題答案試題答案 一. 1. D 2. C 3. A 4. A 5. C 6. A 7. C 8. B 二. 1. 2. 3. 4. 1)3()4( 22 yx2 2 3 24)6( 22 yx226 三. 1. 解法一：設(shè)所求圓的方程為，并且與軸交于 A、B 兩點(diǎn)， 222 )()5(bbyxy 由方程組 ，得 0 )()5( 222 x bbyx by 25 2 b 10| AB yy10|2525| 22 bbbb 25b 所求圓的方程為50)25()5( 22 yx 解法二：設(shè)所求圓的方程為)0()()( 222 rrbyax 圓與軸相切于點(diǎn)（5，0） x|br 5a 圓在軸上截得的弦長(zhǎng)為 10， y 222 ) 2 10 (ra 由、得，5a25r 所求圓的方程為50)25()5( 22 yx 2. 解：設(shè)所求圓的圓心為 C（） ，半徑為ba,r C（）在過(guò)點(diǎn) P 與 垂直的直線上ba,l 又 圓 C 與 相切于點(diǎn) P 3 3 3 a b l 2 |3|ba r 圓 C 與圓 C1相外切 1 2 |3| ) 1( 22 ba ba 由得0343ba 用心 愛(ài)心 專心 由得 解得或1|62|49264 2 aaa 0 4 b a 34 0 b a 此時(shí)或 或2r6r4)4( 22 yx36)34( 22 yx 3. 解：設(shè) M（）是曲線上任意一點(diǎn)，則yx,k yax yx 22 22 )( 化簡(jiǎn)得02) 1() 1( 2222222 akaxkykxk 又 且 0k1k01 2 k0 11 2 2 22 2 2