廣東省汕頭市金山中學(xué)學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題理 (1)

廣東省汕頭市金山中學(xué)2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題 理（含解析）一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，滿分60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的）1.復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部是（ ）A. -3B. 3C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，化簡得，得到復(fù)數(shù)的虛部，即可得到答案.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的基本概念，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算，化簡復(fù)數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2.若，則，的大小關(guān)系為A. B. C. D. 【答案】B【解析】試題分析：，所以考點(diǎn)：積分的運(yùn)算3.函數(shù)的圖象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)可知函數(shù)單調(diào)遞增，由此可得結(jié)果.【詳解】 單調(diào)遞增均存在單調(diào)遞減區(qū)間，由此可得正確本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題.4.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為1的兩個(gè)等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積為A. B. C. D. 3【答案】A【解析】試題分析：由題意得，該幾何體為四棱錐，且該四棱錐的外接球即為棱長為1的立方體的外接球，其半徑為，故體積為，故選A考點(diǎn)：本題主要考查三視圖與空間幾何體的體積5.如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)依次證明出三個(gè)選項(xiàng)，由此可得錯(cuò)誤.【詳解】連接，可知為中點(diǎn)又為中點(diǎn)，可知選項(xiàng)：平面，平面 又，所以，可知正確；選項(xiàng)：， 平面又，所以平面，可知正確；選項(xiàng)：，平面 平面，可知正確；選項(xiàng)：，可知與不平行，即錯(cuò)誤.本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系問題，屬于基礎(chǔ)題.6.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為A. B. C. 6D. 24【答案】D【解析】分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0求出r，將r的值代入通項(xiàng)求出展開式的常數(shù)項(xiàng)【詳解】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr+1=（1）r24rC4rx42r,令42r=0得r=2.所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為4C42=24.故答案為：D【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)和利用其求特定項(xiàng)，意在考察學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.(2) 二項(xiàng)式通項(xiàng)公式： （）,它表示的是二項(xiàng)式的展開式的第項(xiàng)，而不是第項(xiàng)；其中叫二項(xiàng)式展開式第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而二項(xiàng)式展開式第項(xiàng)的系數(shù)是字母冪前的常數(shù)；注意.7.5位同學(xué)站成一排照相，其中甲與乙必須相鄰，且甲不能站在兩端的排法總數(shù)是()A. 40B. 36C. 32D. 24【答案】B【解析】【分析】先計(jì)算出甲與乙必須相鄰的情況種數(shù)，再計(jì)算出甲站在兩端且與乙相鄰的種數(shù)，問題得解?！驹斀狻坑深}可得：甲與乙必須相鄰的情況種數(shù)為：種，甲分別站在兩端且與乙相鄰的種數(shù)為：種，所以甲與乙必須相鄰，且甲不能站在兩端的排法總數(shù)是種。故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了捆綁法排列計(jì)算及含特殊要求排列計(jì)算，考查分類思想及轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題。8.已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，若的最大值為3，則的值為（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】A【解析】畫出可行域如下圖所示，由圖可知目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，聯(lián)立解得，代入目標(biāo)函數(shù)得. 9.設(shè)，其中x、，1，6，則A. 16B. 32C. 64D. 128【答案】B【解析】【分析】分別令和，求出代數(shù)式的值，然后相減計(jì)算，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，令，則，令，則，兩式相減，得，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中解答中合理利用賦值法求解二項(xiàng)展開式系數(shù)的和是解得關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10.已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一列：，則第222個(gè)“整數(shù)對”是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)整數(shù)對的分布規(guī)律，可知整數(shù)對的總個(gè)數(shù)為個(gè)，由此確定第個(gè)整數(shù)對的位置；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，第個(gè)數(shù)恰為時(shí)的整數(shù)對，則可得所求整數(shù)對.【詳解】將整數(shù)對記為：，由題意可知：的個(gè)數(shù)為個(gè)的個(gè)數(shù)為個(gè)的個(gè)數(shù)為個(gè)以此類推，則可得：；可知第個(gè)整數(shù)對是中的第個(gè)的整數(shù)對共個(gè)，則第個(gè)為：由此可得第個(gè)為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查類比、歸納的思想，關(guān)鍵是通過類似于楊輝三角的規(guī)律，確定所求整數(shù)對的位置，再利用整數(shù)對中數(shù)字的排列規(guī)律求解得到結(jié)果.11.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為P是雙曲線C右支上一點(diǎn)，且PF2=F1F2,若直線PF1與圓相切，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】B【解析】取線段PF1的中點(diǎn)為A，連接AF2，又|PF2|F1F2|，則AF2PF1，直線PF1與圓x2y2a2相切，且,由中位線的性質(zhì)可知|AF2|2a，|PA|PF1|ac，4c2(ac)24a2，化簡得，即，則雙曲線的離心率為.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a，c，代入公式；只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2c2a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)12.已知a為常數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)則（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】求導(dǎo)得: .易得在點(diǎn)P（1，0）處的切線為.當(dāng)時(shí)，直線與曲線交于不同兩點(diǎn)（如下圖），且，. .選D二、填空題(本題共4小題，每小題5分，滿分20分)13.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，那么z的共軛復(fù)數(shù)為_【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以其共軛復(fù)數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14.甲、乙兩人從6門課程中各選修3門則甲、乙所選的課程中至多有1門相同的選法共有_ 種【答案】200【解析】根據(jù)題意，分兩種情況討論：甲、乙所選的課程全不相同，有20種選法；甲、乙所選的課程有1門相同，有 180種選法甲、乙所選的課程中至多有1門相同的選法共有20180200種故答案為：200.點(diǎn)睛：解答排列、組合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”角度入手(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個(gè)互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決15.記等差數(shù)列得前n項(xiàng)和為，利用倒序相加法的求和辦法，可將表示成首項(xiàng)，末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的一個(gè)關(guān)系式，即；類似地，記等比數(shù)列的前n項(xiàng)積為，類比等差數(shù)列的求和方法，可將表示為首項(xiàng)，末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的一個(gè)關(guān)系式，即公式 _ 【答案】【解析】分析：由等差數(shù)列類比等比數(shù)列，在運(yùn)用類比推理時(shí)，通常等差數(shù)列中的求和類比等比數(shù)列中乘積，從而可得結(jié)果，.詳解：在等差數(shù)列得前項(xiàng)和為，因?yàn)榈炔顢?shù)列中的求和類比等比數(shù)列中的乘積，所以各項(xiàng)均為正等比數(shù)列的前項(xiàng)積，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查類比推理，屬于中檔題.類比推理問題，常見的類型有：（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比；（2）平面與空間的類比；（3）橢圓與雙曲線的類比；（4）復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的類比；（5）向量與實(shí)數(shù)的類比.16.已知的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊依次為a，b，c，外接圓半徑為1，且滿足，則面積的最大值為_【答案】【解析】由，利用正弦定理可得：，即，即，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），面積為，則面積的最大值為，故答案為.三、解答題(本大題共5小題，共70分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟)17.設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用可證得數(shù)列為等比數(shù)列，從而可求得通項(xiàng)公式；（2）通過（1）可得，分為為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況分別求出.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，兩式相減得， 所以當(dāng)時(shí)，則所以數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 故（2）由（1）可得所以故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，綜上【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求解、數(shù)列前項(xiàng)和的求解問題，在解決含的數(shù)列求和的問題時(shí)，要注意進(jìn)行為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況的討論.18.已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；過點(diǎn)作的切線，若所有切線的斜率之和為1，求實(shí)數(shù)a的值【答案】(I)；（）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)曲線的解析式求出導(dǎo)函數(shù)，把的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中即可求出切線的斜率根據(jù)點(diǎn)斜式可得切線的方程；（2）設(shè)出曲線過點(diǎn)切線方程的切點(diǎn)坐標(biāo)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入到（1）求出的導(dǎo)函數(shù)中即可表示出斜率，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和表示出的斜率，寫出切線的方程，把的坐標(biāo)代入切線方程即可得到關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，解方程方即可得到切點(diǎn)橫坐標(biāo)的值，分別代入所設(shè)的切線方程即可的結(jié)果.試題解析：（）當(dāng)a1時(shí)，f（x）x21，k切f（2）413，所以切線方程為，整理得9x3y100（）設(shè)曲線的切點(diǎn)為（x0，y0），則，所以切線方程為又因?yàn)榍悬c(diǎn)（x0，y0）既在曲線f（x）上，又在切線上，所以聯(lián)立得可得x00或x03，所以兩切線的斜率之和為a（9a）92a1，a4【方法點(diǎn)晴】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線，屬于中檔題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn) 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.19.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，平面ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)證明：；設(shè)H為線段PD上的動(dòng)點(diǎn)，若線段EH長的最小值為，求二面角的余弦值【答案】（1）見解析；（2）【解析】分析：（1）根據(jù)正三角形性質(zhì)得AEBC，即得AEAD，再根據(jù)PA平面ABCD得AEPA由線面垂直判定定理得EA平面PAD,即得AEPD；（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解得平面AEF一個(gè)法向量，由向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與線面角互余關(guān)系得結(jié)果.詳解：（1）連接AC，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以三角形ABC為正三角形，所以AEBC，又AD/BC，則又PA平面ABCD，所以AEPA,由線面垂直判定定理得EA平面PAD,所以AEPD （2）過A作AHPD于H，連HE，由（1）得AE平面PAD所以EHPD，即EH=，AE=，AH=，PA=2以A為原點(diǎn)，AE，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，A（0,0,0），E（，0,0），D（0,2,0），C（，1,0），P（0,0,2） F（，1），平面AEF的法向量又，所以直線PD與平面AEF所成的角的余弦值為點(diǎn)睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的離心率為，直線l：上的點(diǎn)和橢圓O上的點(diǎn)的距離的最小值為1求橢圓的方程；已知橢圓O的上頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B，C是O上的不同于A的兩點(diǎn)，且點(diǎn)B，C關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線AB，AC分別交直線l于點(diǎn)E，記直線AC與AB的斜率分別為，求證：為定值； 求的面積的最小值【答案】（）（）詳見解析【解析】試題分析：(1)由題意求得 的值，結(jié)合橢圓焦點(diǎn)位于 軸上寫出標(biāo)準(zhǔn)方程即可；(2)中，分別求得 的值，然后求解其乘積即可證得結(jié)論；中，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用面積公式得出三角形面積的解析式，最后利用均值不等式求得面積的最小值即可.試題解析：（）由題知，由，所以故橢圓的方程為 （） 證法一：設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)B，C關(guān)于原點(diǎn)對稱，則，所以證法二：直線AC的方程為， 由得，解得，同理，因?yàn)锽，O，C三點(diǎn)共線，則由，整理得，所以 直線AC的方程為，直線AB的方程為，不妨設(shè)，則，令y2，得，而，所以，CEF的面積 由得，則 ，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，所以CEF的面積的最小值為點(diǎn)睛：對題目涉及的變量巧妙的引進(jìn)參數(shù)(如設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、動(dòng)直線方程等)，利用題目的條件和圓錐曲線方程組成二元二次方程組，再化為一元二次方程，從而利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體代換，達(dá)到“設(shè)而不求，減少計(jì)算”的效果，直接得定值圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值21.已知函數(shù) (k若;若對都有f(x)求k范圍;若且f(證明：;【答案】詳見解析；詳見解析.【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)分類討論時(shí),當(dāng)時(shí)，令解得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)寫出單調(diào)區(qū)間及極值（2）轉(zhuǎn)化為對于恒成立分離參數(shù)對于恒成立,利用導(dǎo)數(shù)求不等式右邊的最大值即可（3）不妨設(shè)則,要證只要證即證因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增,所以又即證構(gòu)造函數(shù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,故而故所以即所以成立試題解析： 時(shí),因?yàn)樗院瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間,無極值；當(dāng)時(shí)，令解得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，在區(qū)間上的極小值為無極大值 由題意，即問題轉(zhuǎn)化為對于恒成立即對于恒成立,令,則令,則所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,故故所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)要使對于恒成立,只要,所以即實(shí)數(shù)的