江蘇省高郵市界首中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第7課時 數(shù)列的綜合應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案（無答案）

第7課時 數(shù)列的綜合應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握數(shù)列的函數(shù)性及與方程、不等式、解析幾何相結(jié)合的數(shù)列綜合題2.掌握運用數(shù)列知識解決數(shù)列綜合題及實際應(yīng)用題的能力【預(yù)習(xí)內(nèi)容】 1等比數(shù)列與等差數(shù)列比較表不同點相同點等差數(shù)列(1)強調(diào)從第二項起每一項與前項的差；(2)a1和d可以為零；(3)等差中項唯一(1)都強調(diào)從第二項起每一項與前項的關(guān)系；(2)結(jié)果都必須是同一個常數(shù)；(3)數(shù)列都可由a1，d或a1，q確定等比數(shù)列(1)強調(diào)從第二項起每一項與前項的比；(2)a1與q均不為零；(3)等比中項有兩個值2.解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟(1)審題仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意(2)建模將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，弄清該數(shù)列的特征、要求是什么(3)求解求出該問題的數(shù)學(xué)解(4)還原將所求結(jié)果還原到原實際問題中3數(shù)列應(yīng)用題常見題型銀行儲蓄單利公式設(shè)本金為，每期利率為，存期為，則本利和 銀行儲蓄復(fù)利公式設(shè)本金為，每期利率為，存期為，則本利和 產(chǎn)值模型設(shè)第一年產(chǎn)值為，年增長率為，則年內(nèi)的總產(chǎn)值 分期付款問題設(shè)某商品價格為，以等額分期付款的形式分次付清，若每期利率為，則每期應(yīng)付款【課前練習(xí)】1.已知等差數(shù)列an的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2的值為 解析由題意知：aa1a4.則(a22)2(a22)(a24)，解得：a26.2. 等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若a11，且4a1,2a2，a3成等差數(shù)列，則S4 解析設(shè)數(shù)列an的公比為q，則4a24a1a3，4a1q4a1a1q2，即q24q40，q2.S415.3.已知數(shù)列an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列bn是等差數(shù)列，且a6b7，則有 a3a9b4b10；a3a9b4b10a3a9b4b10；a3a9與b4b10的大小關(guān)系不確定解析記等比數(shù)列an的公比為q(q0)，由數(shù)列bn為等差數(shù)列可知b4b102b7，又?jǐn)?shù)列an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a3a9a3(1q6)a6b7，又q32(當(dāng)且僅當(dāng)q1時，等號成立)，a3a92b7，即a3a9b4b10.4.設(shè)數(shù)列an的前n項和為，點均在函數(shù)y=3x-2的圖象上則數(shù)列an的通項公式為5.銀行里的年存款利率為，某人于年初存入萬元，若按單利計算利息，則年后，連本帶息，該人有萬元；若復(fù)利計算，則年后，連本帶息，該人有萬元（不扣除利息稅）?！镜湫褪纠款}型一 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用【例1】在等差數(shù)列an中，a1030，a2050.(1)求數(shù)列an的通項an；(2)令bn2an10，證明：數(shù)列bn為等比數(shù)列審題視點 第(1)問列首項a1與公差d的方程組求an；第(2)問利用定義證明(1)解由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程組解得an12(n1)22n10.(2)證明由(1)，得bn2an1022n101022n4n，4.bn是首項是4，公比q4的等比數(shù)列 對等差、等比數(shù)列的綜合問題的分析，應(yīng)重點分析等差、等比數(shù)列的通項及前n項和；分析等差、等比數(shù)列項之間的關(guān)系往往用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法變式：設(shè)1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6 成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是_解析因為a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，又a11，所以a3q，a5q2，a7q3.因為a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，所以a4a21，a6a22.法一：因為1a1a2a7，所以即法二：a6a223，即a6的最小值為3.又a6a7，所以a7的最小值為3即q33，解得a .故q的最小值為.答案題型二數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用【例2】(2020南昌模擬)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知對任意的nN*，點(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b0且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上(1)求r的值；(2)當(dāng)b2時，記bn(nN*)，求數(shù)列bn的前n項和Tn.審題視點 第(1)問將點(n，Sn)代入函數(shù)解析式，利用anSnSn1(n2)，得到an，再利用a1S1可求r.第(2)問錯位相減求和解(1)由題意，Snbnr，當(dāng)n2時，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0且b1，所以n2時，an是以b為公比的等比數(shù)列，又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)由(1)知，nN*，an(b1)bn12n1，所以bn.Tn，Tn ，兩式相減得Tn，Tn. 此類問題常常以函數(shù)的解析式為載體，轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，常用的數(shù)學(xué)思想方法有“函數(shù)與方程”“等價轉(zhuǎn)化”等變式：是上的函數(shù)，對于任意和實數(shù)，都有，且。 （1）求的值； （2）令，求證：為等差數(shù)列； （3）求的通項公式。解：（1）令；再令 （2） 令代入已知得： （3）。題型三數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用【例3】(2020惠州模擬)在等比數(shù)列an中，an0(nN*)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3與a5的等比中項為2.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bnlog2an，求數(shù)列bn的前n項和Sn；(3)是否存在kN*，使得k對任意nN*恒成立，若存在，求出k的最小值，若不存在，請說明理由審題視點 第(1)問由等比數(shù)列的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為a3a5與a3a5的關(guān)系求a3與a5；進(jìn)而求an；第(2)問先判斷數(shù)列bn，再由求和公式求Sn；第(3)問由確定正負(fù)項，進(jìn)而求的最大值，從而確定k的最小值解(1)a1a52a3a5a2a825，a2a3a5a25，(a3a5)225，又an0，a3a55，又a3與a5的等比中項為2，a3a54，而q(0,1)，a3a5，a34，a51，q，a116，an16n125n.(2)bnlog2an5n，bn1bn1，b1log2a1log216log2244，bn是以b14為首項，1為公差的等差數(shù)列，Sn.(3)由(2)知Sn，.當(dāng)n8時，0；當(dāng)n9時，0；當(dāng)n9時，0.當(dāng)n8或9時，18最大故存在kN*，使得k對任意nN*恒成立，k的最小值為19. 解決此類問題要抓住一個中心函數(shù)，兩個密切聯(lián)系：一是數(shù)列和函數(shù)之間的密切聯(lián)系，數(shù)列的通項公式是數(shù)列問題的核心，函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問題的基礎(chǔ)；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，利用它們之間的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行靈活的處理變式：已知函數(shù)f(x)(x1)2，g(x)10(x1)，數(shù)列an滿足a12，(an1an)g(an)f(an)0，bn(n2)(an1)(1)求證：數(shù)列an1是等比數(shù)列；(2)當(dāng)n取何值時，bn取最大值？并求出最大值；(3)若對任意mN*恒成立，求實數(shù)t的取值范圍解：(1)證明：因為(an1an)g(an)f(an)0，f(an)(an1)2，g(an)10(an1)，所以10(an1an)(an1)(an1)20，整理得(an1)10(an1an)an10，所以an1或10(an1an)an10.由得數(shù)列an是各項為1的常數(shù)列，而a12，不合題意由整理得10(an11)9(an1)，又a111，所以an1是首項為1，公比為的等比數(shù)列(2)由(1)可知an1()n1，nN*，所以bn(n2)(an1)(n2)()n0，所以(1)當(dāng)n7時，1，即b7b8；當(dāng)n7時，1，即bn1bn；當(dāng)n7時，1，即bn1bn.所以當(dāng)n7或8時，bn取得最大值，最大值為b8b7.(3)由得tm0.(*)由題意知，(*)式對任意mN*恒成立當(dāng)t0時，(*)式顯然不成立，因此t0不合題意；當(dāng)t0時，由0可知tm0(mN*)，而當(dāng)m為偶數(shù)時，tm0, 因此t0不合題意；當(dāng)t0時，由tm0(mN*)知，0，所以t(mN*)令h(m)(mN*)因為h(m1)h(m)0，所以h(1)h(2)h(3)h(m1)h(m)，所以h(m)的最大值為h(1).所以實數(shù)t的取值范圍是(，)題型四數(shù)列應(yīng)用題例4、假設(shè)某市2020年新建住房面積400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房。預(yù)計在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%。另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米。那么，到哪一年底，（1）該市歷年所建中低價層的累計面積（以2020年為累計的第一年）將首次不少于4750萬平方米？（2）當(dāng)年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？解：（1）設(shè)中低價房面積形成數(shù)列，由題意可知是等差數(shù)列，其中，則令 即，而是正整數(shù)，。到年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于萬平方米。（2）設(shè)新建住房面積形成數(shù)列，由題意可知是等比數(shù)列，其中，則，由題意可知有。故滿足上述不等式的最小正整數(shù)，到2020年底，當(dāng)年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?！具x題意圖】1、一般地，若增加（或減少）的量是一個固定的具體量時，該模型是等差模型，若增加（或減少）的量是一個固定的百分?jǐn)?shù)時，該模型是等比模型；2、本題要求不等式的整數(shù)解，原則上應(yīng)使用計算器解得，也可以運用代入數(shù)值驗證來解得。變式：某企業(yè)年的純利潤為萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降。若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測從今年起每年比上一年純利潤減少萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金萬元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第年（今年為第一年）的利潤為萬元（為正整數(shù)）。（1）設(shè)從今年起的前年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤為萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤為萬元（須扣除技術(shù)改造資金），求的表達(dá)式；（2）依上述預(yù)測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤？解：（1）依題設(shè)，；（2）因為函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，。僅當(dāng)時，。答：至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤。 【課堂練習(xí)】1(2020無錫期末)已知等差數(shù)列的公差為2，且a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a20_.解析：設(shè)的首項為a，則a，a4，a6成等比數(shù)列，則(a4)2a(a6)，解得a8.又公差d2，所以a20a19d819(2)30.答案：302(2020泰州期末)通項公式為anan2n的數(shù)列，若滿足a1a2a3a4a5，且anan1對n8恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：因為a1a2a3a4a5，即a14a29a316a425a5，所以a.因為anan1對n8恒成立，即an2na(n1)2(n1)，所以a.因為2n117，所以.要使得a對n8恒成立，則a.綜上，a.答案：(，)3在等差數(shù)列an中，a12，a36，若將a1，a4，a5都加上同一個數(shù)，所得的三個數(shù)依次成等比數(shù)列，則所加的這個數(shù)為_解析：由題意知等差數(shù)列an的公差d2，則a48，a510，設(shè)所加的數(shù)為x，依題意有(8x)2(2x)(10x)，解得x11.答案：114(2020江西高考)某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(nN*)等于_解析：設(shè)每天植樹的棵數(shù)組成的數(shù)列為an，由題意可知它是等比數(shù)列，且首項為2，公比為2，所以由題意可得100，即2n51，而2532,2664，nN*，所以n6.答案：65已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Snn2，數(shù)列bn為等比數(shù)列，且首項b11，b48.(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)若數(shù)列cn滿足cnabn，求數(shù)列cn的前n項和Tn；解：(1)數(shù)列an的前n項和為Sn，且Snn2，當(dāng)n2時，anSnSn1n2(n1)22n1.當(dāng)n1時，a1S11亦滿足上式，故an2n1(nN*)又?jǐn)?shù)列bn為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，b11，b4b1q38，q2.bn2n1(nN*)(2)cnabn2bn12n1.Tnc1c2c3cn(211)(221)(2n1)(21222n)nn.所以Tn2n12n.【課堂小結(jié)】1熟練把握等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運