土木工程制圖第三章點,直線和平面的投影

.,第3章點、直線和平面的投影,教學提示：任何形體，不論其復雜程度如何，都可以看成由空間幾何元素點、線、面所組成。本章主要研究點、各種位置直線、各種位置平面的投影規(guī)律和圖示方法，為正確繪制和閱讀形體的投影圖打基礎(chǔ)。學習要求：掌握點、直線和平面的投影規(guī)律和方法，在學習的過程中要注意將所學內(nèi)容與實際工程結(jié)合起來，以加強空間想象能力。,.,3.1點的投影,如右圖所示，一個形體由多個側(cè)面圍成，各側(cè)面相交于多條側(cè)棱，各側(cè)棱相交于多個頂點A、B、CJ等。如果畫出各點的投影，再把各點的投影一一連接，就可以作出一個形體的投影。點是形體的最基本的元素。點的投影規(guī)律是點、線、面投影的基礎(chǔ)。,.,一、點的單面投影,1）過空間點A的投射線與投影面P的交點即為點A在P面上的投影。2）點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位置。,.,二.點的兩面投影,點的兩面投影規(guī)律：1)點的水平投影和正面投影之間的連系線垂直于OX軸。aaOX。2)點的水平投影到OX軸的距離等于空間點A到V面的距離aaX=Aa。3)點的正面投影到OX軸的距離等于空間點A到H面的距離aaX=Aa。,.,空間點用大寫字母表示，點的投影用小寫字母表示。,三.點在三面投影體系中的投影,.,點的三面投影規(guī)律：(1)投影之間連系線垂直于投影軸，aaOX，aaOZ。(2)點的H面投影a到OX的距離等于點的W面投影a到OZ軸的距離，aaX=aaZ。,(a)空間狀況(b)展開圖(c)投影圖,.,例1：已知點的兩個投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通過作45線使aaz=aax,解法二:,用圓規(guī)直接量取aaz=aax,.,例2：已知點的兩面投影，求第三投影，如下圖所示。,(a)已知(b)作圖,分析：因為根據(jù)點的任意兩面投影可以求出第三投影。,.,四、特殊位置的點,注意：A點的側(cè)面投影a應在OYW軸上，C點的水平投影應在OYH軸上。,.,五、點的坐標,已知點的3個坐標，可作出該點的三面投影，已知點的三面投影，可以量出該點的3個坐標。,.,例3：已知點A(18，15，20)，作點A的三面投影圖和立體圖，如下圖所示。,分析：由于已知點的3個坐標，可作出該點的三面投影圖，并且點的空間位置可用坐標來確定。,方法一方法二立體圖,.,六、空間兩點的相對位置,1.相對位置的判斷兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。,X坐標值大的點在左，小的在右。Y坐標值大的點在前，小的在后。Z坐標值大的點在上，小的在下。,。,A在B的左、前、下方,.,作圖步驟：,1）在a左方12mm，上方8mm處確定b；2）作bbOX軸，且在a前10mm處確定b；3）按投影關(guān)系求得b。,ay,ay,Z,a,a,ax,az,X,YH,YW,O,a,例4：如圖，已知點A的三投影，另一點B在點A上方8mm，左方12mm，前方10mm處，求點B的三個投影。,.,空間兩點在某一投影面上的投影重合為一點時，則稱此兩點為該投影面的重影點。,A、C為H面的重影點,a,a,c,被擋住的投影加(),(),ac,2.重影點,.,H面重影點V面重影點W面重影點,重影點,.,例5：已知形體的立體圖及投影圖，試在投影圖上標記形體上的重影點的投影，如下圖所示。,.,一般情況下，直線的投影仍為直線。兩點確定一條直線，將直線上兩點的同名投影用直線連接起來，就得到直線的三個投影。,一、直線的投影,X,Z,YH,YW,o,直線的投影規(guī)定用粗實線繪制。,1.直線投影的形成,3.2直線的投影,直線垂直于投影面投影重合為一點積聚性,直線平行于投影面投影反映線段實長ab=AB,直線傾斜于投影面投影比空間線段短ab=ABcos,直線與投影面的相對位置,投影面平行線,投影面垂直線,正平線（平行于面）,側(cè)平線（平行于面）,水平線（平行于面）,正垂線（垂直于面）,側(cè)垂線（垂直于面）,鉛垂線（垂直于面）,一般位置直線,統(tǒng)稱特殊位置直線,一、各種位置直線投影,.,1.投影面平行線,(1)投影面平行線是指在空間與一個投影面平行同時與另外兩個投影面傾斜的直線。(2)投影面平行線分為水平線、正平線、側(cè)平線。水平線與H面平行同時與V面、W面傾斜。正平線與V面平行同時與H面、W面傾斜。側(cè)平線與W面平行同時與H面、V面傾斜。(3)投影面平行線的投影特點為：在它所平行的投影面上的投影反應其實長并且反映與另外兩個投影面的傾角。,.,投影面平行線,(a)水平線(b)正平線(c)側(cè)平線,.,Z,YW,水平線,YH,1）在其平行的那個投影面上的投影反映實長，并反映直線與另兩投影面的真實傾角。2）另兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸。,側(cè)平線,正平線,投影特性,與H面的夾角:與V面的夾角:與W面的夾角:,投影面平行線投影特性,.,水平線正平線側(cè)平線,投影面平行線在形體投影圖和立體圖中的位置,.,2.投影面垂直線,(1)投影面垂直線是指在空間與一個投影面垂直，同時與另外兩個投影面平行的直線。(2)投影面垂直線分為鉛垂線、正垂線、側(cè)垂線。鉛垂線與H面垂直同時與V面、W面平行。正垂線與V面垂直同時與H面、W面平行。側(cè)垂線與W面垂直同時與H面、V面平行。(3)投影面垂直線的投影特點為：在它所垂直的投影面上的投影積聚為一點，另外兩個投影垂直于相應的投影軸，如圖3.15所示。,.,投影面垂直線,(a)水平線(b)正平線(c)側(cè)平線,.,（1）在其垂直的投影面上，投影有積聚性。（2）另外兩個投影,反映線段實長，且垂直于相應的投影軸。,投影特性,投影面垂直線投影特性,.,鉛垂線正垂線側(cè)垂線,投影面垂直線在形體投影圖和立體圖中的位置,投影特性：,三個投影都不反映空間線段的實長及與三個投影面夾角的真實大小，且與各投影軸都傾斜。,返回,x,yH,yw,z,3.一般位置直線,.,x,z,y,A,B,b,b,a,a,=ab,B0,Za,BB。=Bb-bB。,實長,=Zb-Za=Z,Za,直角三角形法求一般位置直線的實長和傾角,.,在直角三角形中,O,X,a,b,a,b,B。,Z,Z,實長,O,X,a,b,Za,Zb,Z,求直線段AB的實長和傾角,.,1）H面投影長、Z坐標差、實長。2）V面投影長、Y坐標差、實長。3）W面投影長、X坐標差、實長。,1、直角三角形法的四要素：投影長、坐標差、實長和傾角,2、應用總結(jié)：不同條件的四要素,總結(jié),.,直線對投影面的傾角、,直角三角形法求直線段的實長及傾角,.,已知作圖,例1：用直角三角形法求、,.,o,a,b,a,x,例2：已知直線AB的投影ab和a及AB=35mm，B點在A點的前方，求b。,分析：由點的投影規(guī)律可知，b必定位于b正下方的H投影面上，只要作出A、B兩點的Y坐標差，即可以確定b。,.,o,a,b,a,x,作圖過程及結(jié)果,.,二、直線上的點,點在直線上，則點的投影必在直線的同名投影上且符合點的投影規(guī)律。直線上兩線段長度之比等于它們的同名投影長度之比，即AC：CB=ac：cb=ac：cb=ac：cb。,.,點C不在直線AB上,點C在直線AB上,返回,x,x,o,o,例3：判斷點C是否在線段AB上。,.,Z,a,b,因c不在ab上，故點C不在AB上。,應用等比定理,a,b,c,a,b,c,另一判斷法?,X,o,YH,YW,例4：判斷點C是否在線段AB上。,.,例3.8：判斷點K是否在線段AB上,.,三、兩直線的相對位置關(guān)系,平行相交交叉垂直,空間兩直線的相對位置,廠房形體,分為,.,1.平行兩直線,投影特性：,空間兩直線平行則其各同面投影必相互平行；各同名投影的長度之比相等；各同名投影的指向相同。,ABCD，則abcd、abcd、abcdABCD=abcd=abcd=abcd,.,若兩直線的三組同面投影都平行：則兩直線在空間平行。若兩一般位置直線：任意兩組同面投影平行，則可判斷兩直線在空間平行。若兩直線同時平行于某一投影面：則需通過兩直線在該投影面上的投影來判斷；或者通過定比性和指向來判斷。,判斷方法：,.,對于一般位置直線，只要有兩個同面投影互相平行，空間兩直線就平行。,AB/CD,例5：判斷圖中兩條直線是否平行,.,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,對于特殊位置直線，只有兩個同面投影互相平行，空間直線不一定平行。,求出W面投影后可知：AB與CD不平行。,X,o,YH,YW,例6：判斷圖中兩條直線是否平行。,.,投影特點：,若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。,交點是兩直線的共有點,2.相交兩直線,.,判斷方法：,若兩直線的三組同面投影都相交，且交點符合點的投影規(guī)律，則兩直線在空間相交；兩一般位置直線，任意兩組同面投影相交，且交點符合點的投影規(guī)律，則可判斷兩直線在空間相交；兩直線中其中之一平行于某一投影面，則需作出兩直線在該投影面上的投影來判斷；或者通過定比性來判斷。,.,例7：過C點作水平線CD與AB相交。,先作正面投影,o,x,思考：如果給出CD的長度，解題過程有何變化？提示：H面投影反映實長。,.,分析：因兩直線中CD平行于W投影面，則需作出兩直線在W投影面上的投影來判斷；或者通過定比性來判斷。,例3.10：判斷兩直線AB與CD是否相交。,.,1(2),3(4),兩直線交叉,投影特性：,、是面的重影點，、是H面的重影點。,交叉兩直線既不平行又不相交。其投影既不符合平行兩直線的投影特性，也不符合相交兩直線的投影特性。,.,答案：交叉,判斷下列兩直線的位置關(guān)系：,.,直線在H面上投影互相垂直,兩垂直相交直線之一平行于某投影面，另一邊不平行也不垂直于該投影面時，則在該投影面上的投影是直角。,4.垂直兩直線,.,反之，相交兩直線之一是某投影面的平行線，且兩直線在該投影面上的同名投影互相垂直，則兩直線在空間互相垂直。,.,當空間交叉垂直兩直線之一平行于某投影面，另一直線不平行也不垂直于該投影面時，則這兩直線在該投影面上的投影也垂直。,直線在H面上投影互相垂直,.,反之，交叉兩直線之一是某投影面平行線，且兩直線在該投影面上的同名投影互相垂直，則在空間兩直線互相交叉垂直。,.,c,a,b,d,a,c,b,d,分析：1、點到直線的距離即點到垂足的距離的實長2、直線AB是水平線,例3.11：求點C到直線AB的距離,.,例3.12補全矩形ABCD的兩面投影。,c,a,c,d,.,一、平面的表示法,不在同一直線上的三個點,直線及線外一點,兩平行直線,兩相交直線,平面圖形,x,x,x,x,x,o,o,o,o,o,3.4平面的投影,.,實形性,類似性,積聚性,平面對一個投影面的投影特性,二、各種位置平面的投影,.,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,平面對于三投影面的位置可分為三類：,各種位置平面,.,（1)投影面平行面是指在空間與一個投影面平行同時與另外兩個投影面垂直的平面。（2)投影面平行面分為水平面、正平面、側(cè)平面。水平面與H面平行同時與V面、W面垂直。正平面與V面平行同時與H面、W面垂直。側(cè)平面與W面平行同時與H面、V面垂直。（3）投影面平行面的投影特點為：在它所平行的投影面上的投影反應其實形，另外兩個投影積聚成直線并平行于相應的投影軸。,1投影面的平行面,.,1、投影面的平行面,水平面正平面?zhèn)绕矫?.,投影面平行面在形體投影圖和立體圖中的位置,.,2.投影面的垂直面,（1)投影面垂直面是指在空間與一個投影面垂直同時與另外兩個投影面傾斜的平面。（2)投影面垂直面分為鉛垂面、正垂面、側(cè)垂面。鉛垂面與H面垂直同時與V面、W面傾斜。正垂面與V面垂直同時與H面、W面傾斜。側(cè)垂面與W面垂直同時與H面、V面傾斜。（3)投影面垂直面的投影特點為：在它所垂直的投影面上的投影積聚為直線且反映平面與另外兩個投影面的傾角。,.,鉛垂面正垂面?zhèn)却姑?2.投影面的垂直面,.,投影面垂直面在形體投影圖和立體圖中的位置,.,3.一般位置平面,一般位置平面在空間與三個投影面都傾斜，它的三面投影都沒有積聚性，也不反映平面的實形及與各投影面的傾角的大小。,.,三、平面上的點和直線,1平面上的點一個點如果在一個平面上，它一定在這個平面的一根直線上。如右圖所示的E點，由于它在平面SBC的一根直線DC上，所以它必然在平面SBC上。,.,2.平面上的直線,一直線如果通過平面上兩個點或者通過平面上一個點且平行于平面上的一條直線，則該直線在該平面上。如右圖所示的直線DC通過平面SBC上的點D、C，則DC在平面SBC上；直線DF通過平面上點D且平行于平面上的一條直線BC，則DF在平面SBC上。,.,利用平面的積聚性求解,通過在面內(nèi)作輔助線求解,x,x,例8：已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。,平面上的點,.,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例9：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。,解法一,解法二,有無數(shù)解。,x,x,o,o,平面上直線,.,例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。,n,m,n,m,唯一解！,o,x,.,3平面上的投影面平行線,平面上的投影面平行線有以下3種。平面上平行于H面的直線稱為平面上的水平線。平面上平行于V面的直線稱為平面上的正平線。平面上平行于W面的直線稱為平面上的側(cè)平線常用的是平面上的水平線和平面上的正平線。平面上的投影面平行線既符合直線在平面上的幾何條件，又具有投影面平行線的投影特點，因此它的投影特性具有二重性。,.,(a)已知(b)在平面上作水平線(c)在平面上作正平線圖3.43在平面上作水平線和正平線,.,【例3.16】過平面ABC上點C作平面ABC內(nèi)的水平線，如圖3.44所示。,分析：平面上的投影面平行線既符合直線在平面上的幾何條件，又具有投影面平行線的投影特點。,.,4平面上的最大斜度線,平面