D8_3 多變量函數的微分和偏導數ppt課件

.,第八章第三節(jié),機動目錄上頁下頁返回結束,二、多變量函數的偏導數,三、高階偏導數,多變量函數的微分和偏導數,第八章,一、多變量函數的微分,.,一、多變量函數的微分,.,是,的線性主部。,定理8.3.1如果f(x,y)在M0(x0,y0)處可微，則f(x,y)在M0(x0,y0)處連續(xù)。,.,定義8.3.1.,在點,存在,的偏導數，記為,的某鄰域內,則稱此極限為函數,極限,設函數,機動目錄上頁下頁返回結束,注意:,二、多變量函數的偏導數,.,同樣可定義對y的偏導數,若函數z=f(x,y)在域D內每一點(x,y)處對x,則該偏導數稱為偏導函數,也簡稱為,偏導數,記為,機動目錄上頁下頁返回結束,或y偏導數存在,.,例1.求,解法1:,解法2:,在點(1,2)處的偏導數.,機動目錄上頁下頁返回結束,.,例2.設,證:,例3.求,的偏導數.,解:,求證,機動目錄上頁下頁返回結束,.,偏導數記號是一個,例4.已知理想氣體的狀態(tài)方程,求證:,證:,說明:,(R為常數),不能看作,分子與分母的商!,此例表明,機動目錄上頁下頁返回結束,整體記號,.,若在(x,y)處可微，則,偏導數也叫偏微商，這種叫法源于其本質上是一個一元函數微商，但對于二元函數而言不具有商的性質，只是一種記號。,.,二元函數偏導數的幾何意義:,是曲線,在點M0處的切線,對x軸的斜率.,在點M0處的切線,斜率.,是曲線,機動目錄上頁下頁返回結束,對y軸的,.,函數在某點各偏導數都存在,顯然,例如,注意：,但在該點不一定連續(xù).,上節(jié)例目錄上頁下頁返回結束,在上節(jié)已證f(x,y)在點(0,0)并不連續(xù)!,.,二元函數可微則偏導數存在。但偏導數存在，函數不一定可微。,定理8.3.2如果z=f(x,y)的兩個偏導數在M0(x0,y0)處都是連續(xù)的，則f(x,y)在M0(x0,y0)處可微。,.,例如,三元函數u=f(x,y,z)在點(x,y,z)處對x的,可微與偏導數的概念可以推廣到二元以上的函數.,機動目錄上頁下頁返回結束,偏導數定義為,(請自己寫出),可微的定義為,.,.,三、高階偏導數,設z=f(x,y)在域D內存在連續(xù)的偏導數,若這兩個偏導數仍存在偏導數，,則稱它們是z=f(x,y),的二階偏導數.,按求導順序不同,有下列四個二階偏導,機動目錄上頁下頁返回結束,數:,.,類似可以定義更高階的偏導數.,例如，z=f(x,y)關于x的三階偏導數為,z=f(x,y)關于x的n1階偏導數,再關于y的一階,機動目錄上頁下頁返回結束,偏導數為,.,例6.求函數,解:,注意:此處,但這一結論并不總成立.,機動目錄上頁下頁返回結束,的二階偏導數及,.,例如,二者不等,機動目錄上頁下頁返回結束,.,例7.證明函數,滿足拉普拉斯,證：,利用對稱性,有,方程,機動目錄上頁下頁返回結束,.,則,證明目錄上頁下頁返回結束,證:令,則,令,定理.8.3.3.,.,同樣,.,在點,連續(xù),得,.,例如,對三元函數u=f(x,y,z),說明:,本定理對n元函數的高階混合導數也成立.,函數在其定義區(qū)域內是連續(xù)的,故求初等函數的高階導,數可以選擇方便的求導順序.,因為初等函數的偏導數仍為初等函數,當三階混合偏導數,在點(x,y,z)連續(xù)時,有,而初等,.,把區(qū)域D中有n階連續(xù)偏導數的函數全體記作,把區(qū)間I中有n階連續(xù)導數的一元函數全體記作,.,作業(yè),第三節(jié)目錄上頁下頁返回結束,P66681（3）,2（9）,9（1）；11；13；17。,.,第四節(jié),一元復合函數,求導法則,微分法則,機動目錄上頁下頁返回結束,復合函數的微分法,第八章,.,本節(jié)內容:,一、復合函數求導的鏈式法則,二*、Jacobi矩陣,三、方向導數和梯度,四、全微分的不變性,五、例題,.,一、復合函數求導的鏈式法則,寫成矩陣形式：,.,一般地，設可微，而,.,例1.設,解:,機動目錄上頁下頁返回結束,.,例2.,解:,機動目錄上頁下頁返回結束,.,例3.證明函數u=1/r滿足方程,其中。,Laplace方程，調和函數,.,若函數,處偏導連續(xù),在點t可導,則復合函數,證:設t取增量t,則相應中間變量,且有鏈式法則,機動目錄上頁下頁返回結束,有增量u,v,.,(全導數公式),(t0時,根式前加“”號),機動目錄上頁下頁返回結束,.,若定理中,說明:,例如:,易知:,但復合函數,偏導數連續(xù)減弱為,偏導數存在,機動目錄上頁下頁返回結束,則定理結論不一定成立.,.,中間變量多于兩個的情形.例如,機動目錄上頁下頁返回結束,.,又如,當它們都具有可微條件時,有,注意:,這里,表示固定y對x求導,表示固定v對x求導,口訣:,分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導,與,不同,機動目錄上頁下頁返回結束,.,例4.設,求全導數,解:,注意：多元抽象復合函數求導在偏微分方程變形與,機