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奇妙的裴波那契數(shù)列和黃金分割“斐波那契數(shù)列”的發(fā)明者，是意大利數(shù)學(xué)家列昂納多 斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。籍貫大概是比薩）。他被人稱作“比薩的列昂納多”。1202年，他撰寫了珠算原理(Liber Abaci)一書。他是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業(yè)團(tuán)體聘任為外交領(lǐng)事，派駐地點(diǎn)相當(dāng)于今日的阿爾及利亞地區(qū)，列昂納多因此得以在一個(gè)阿拉伯老師的指導(dǎo)下研究數(shù)學(xué)。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數(shù)學(xué)。斐波那契數(shù)列指的是這樣一個(gè)數(shù)列：0，1，1，2，3，5，8，13，21這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。它的通項(xiàng)公式為：(1/ 5)*(1+ 5)/2n - (1- 5)/2n（又叫“比內(nèi)公式”，是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個(gè)范例。）【 5表示根號(hào)5】很有趣的是：這樣一個(gè)完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項(xiàng)公式居然是用無理數(shù)來表達(dá)的。【該數(shù)列有很多奇妙的屬性】比如：隨著數(shù)列項(xiàng)數(shù)的增加，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)之比越逼近黃金分割0.6180339887還有一項(xiàng)性質(zhì)，從第二項(xiàng)開始，每個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積少（請(qǐng)自己驗(yàn)證后自己確定）1，每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積多（請(qǐng)自己驗(yàn)證后自己確定）1。如果你看到有這樣一個(gè)題目：某人把一個(gè)8*8的方格切成四塊，拼成一個(gè)5*13的長(zhǎng)方形，故作驚訝地問你：為什么6465？其實(shí)就是利用了斐波那契數(shù)列的這個(gè)性質(zhì)：5、8、13正是數(shù)列中相鄰的三項(xiàng)，事實(shí)上前后兩塊的面積確實(shí)差1，只不過后面那個(gè)圖中有一條細(xì)長(zhǎng)的狹縫，一般人不容易注意到。如果任意挑兩個(gè)數(shù)為起始，比如5、-2.4，然后兩項(xiàng)兩項(xiàng)地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6 等，你將發(fā)現(xiàn)隨著數(shù)列的發(fā)展，前后兩項(xiàng)之比也越來越逼近黃金分割，且某一項(xiàng)的平方與前后兩項(xiàng)之積的差值也交替相差某個(gè)值。如果所有的數(shù)都要求是自然數(shù)，能找出被任意正整數(shù)整除的項(xiàng)的此類數(shù)列，必然是斐波那契數(shù)列的某項(xiàng)開始每一項(xiàng)的倍數(shù)，如4,6,10,16,26 （從2開始每個(gè)數(shù)的兩倍）。斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)同時(shí)也代表了集合1,2,.,n中所有不包含相鄰正整數(shù)的子集個(gè)數(shù)。斐波那契數(shù)列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2 ）的其他性質(zhì)：1.f(0)+f(1)+f(2)+ +f(n)=f(n+2)-12.f(1)+f(3)+f(5)+ +f(2n-1)=f(2n)-13.f(0)+f(2)+f(4)+ +f(2n)=f(2n+1)-14.f(0)2+f(1)2+ +f(n)2=f(n) f(n+1)5.f(0)-f(1)+f(2)- +(-1)n f(n)=(-1)n f(n+1)-f(n)+16.f(m+n)=f(m-1) f(n-1)+f(m) f(n)7.f(n)2=(-1)(n-1)+f(n-1) f(n+1)8.f(2n-1)=f(n)2-f(n-2)2（1）細(xì)察下列各種花，它們的花瓣的數(shù)目具有斐波那契數(shù)：延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花。（2）細(xì)察以下花的類似花瓣部分，它們也具有斐波那契數(shù)：紫宛、大波斯菊、雛菊。斐波那契數(shù)經(jīng)常與花瓣的數(shù)目相結(jié)合：3 百合和蝴蝶花5 藍(lán)花耬斗菜、金鳳花、飛燕草8 翠雀花13 金盞草21 紫宛34，55，84 雛菊（3）斐波那契數(shù)還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發(fā)現(xiàn)。例如，在樹木的枝干上選一片葉子，記其為數(shù)0，然后依序點(diǎn)數(shù)葉子（假定沒有折損），直到到達(dá)與那息葉子正對(duì)的位置，則其間的葉子數(shù)多半是斐波那契數(shù)。葉子從一個(gè)位置到達(dá)下一個(gè)正對(duì)的位置稱為一個(gè)循回。葉子在一個(gè)循回中旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)也是斐波那契數(shù)。在一個(gè)循回中葉子數(shù)與葉子旋轉(zhuǎn)圈數(shù)的比稱為葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數(shù)的葉序比呈現(xiàn)為斐波那契數(shù)的比。（4）斐波那契數(shù)列與黃金比值相繼的斐波那契數(shù)的比的數(shù)列：它們交錯(cuò)地或大于或小于黃金比的值。該數(shù)列的極限為。這種聯(lián)系暗示了無論（尤其在自然現(xiàn)象中）在哪里出現(xiàn)黃金比、黃金矩形或等角螺線，那里也就會(huì)出現(xiàn)斐波那契數(shù)，反之亦然?！九c之相關(guān)的數(shù)學(xué)問題】1.排列組合.有一段樓梯有10級(jí)臺(tái)階,規(guī)定每一步只能跨一級(jí)或兩級(jí),要登上第10級(jí)臺(tái)階有幾種不同的走法?這就是一個(gè)斐波那契數(shù)列：登上第一級(jí)臺(tái)階有一種登法；登上兩級(jí)臺(tái)階，有兩種登法；登上三級(jí)臺(tái)階，有三種登法；登上四級(jí)臺(tái)階，有五種登法1，2，3，5，8，13 所以，登上十級(jí)，有89種2.數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的前項(xiàng)比后項(xiàng)的極限.就是問，當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，F(xiàn)(n)/F(n+1)的極限是多少？這個(gè)可由它的通項(xiàng)公式直接得到，極限是(-1+ 5)/2，這個(gè)就是所謂的黃金分割點(diǎn)，也是代表大自然的和諧的一個(gè)數(shù)字。3.求遞推數(shù)列a(1)=1,a(n+1)=1+1/a(n).的通項(xiàng)公式.由數(shù)學(xué)歸納法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n).將菲波那契數(shù)列的通項(xiàng)式代入，化簡(jiǎn)就得結(jié)果。【斐波那契數(shù)列別名】斐波那契數(shù)列又因數(shù)學(xué)家列昂納多 斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”。斐波那契數(shù)列一般而言，兔子在出生兩個(gè)月后，就有繁殖能力，一對(duì)兔子每個(gè)月能生出一對(duì)小兔子來。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少對(duì)兔子？我們不妨拿新出生的一對(duì)小兔子分析一下：第一個(gè)月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對(duì);兩個(gè)月后，生下一對(duì)小兔民數(shù)共有兩對(duì);三個(gè)月以后，老兔子又生下一對(duì)，因?yàn)樾⊥米舆€沒有繁殖能力，所以一共是三對(duì);依次類推可以列出下表：經(jīng)過月數(shù)：-0-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12兔子對(duì)數(shù)：-1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89-144-233表中數(shù)字1，1，2，3，5，8構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列。這個(gè)數(shù)列有關(guān)十分明顯的特點(diǎn)，那是：前面相鄰兩項(xiàng)之和，構(gòu)成了后一項(xiàng)。這個(gè)特點(diǎn)的證明：每月的大兔子數(shù)為上月的兔子數(shù)，每月的小兔子數(shù)為上月的大兔子數(shù)，即上上月的兔子數(shù)，相加。這個(gè)數(shù)列是意大利中世紀(jì)數(shù)學(xué)家斐波那契在算盤全書中提出的，這個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性質(zhì)外，還可以證明通項(xiàng)公式為：an=1/ （1 5/2) n-(1- 5/2) n(n=1,2,3.）【數(shù)列值的另一種求法】F(n) = ( sqrt ( 5 ) + 1 ) / 2) n 其中 x 表示取距離 x 最近的整數(shù)。斐波那契數(shù)列的應(yīng)用】一位魔術(shù)師拿著一塊邊長(zhǎng)為8英尺的正方形地毯，對(duì)他的地毯匠朋友說：“請(qǐng)您把這塊地毯分成四小塊，再把它們縫成一塊長(zhǎng)13英尺，寬5英尺的長(zhǎng)方形地毯。”這位匠師對(duì)魔術(shù)師算術(shù)之差深感驚異，因?yàn)樯陶咧g面積相差達(dá)一平方英尺呢！可是魔術(shù)師竟讓匠師用圖2和圖3的辦法達(dá)到了他的目的！這真是不可思議的事！親愛的讀者，你猜得到那神奇的一 平方英尺究竟跑到哪兒去呢？斐波那契數(shù)列在自然科學(xué)的其他分支，也有許多應(yīng)用。例如，樹木的生長(zhǎng)，由于新生的枝條，往往需要一段“休息”時(shí)間，供自身生長(zhǎng)，而后才能萌發(fā)新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以后長(zhǎng)出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)；此后，老枝與“休息”過一年的枝同時(shí)萌發(fā)，當(dāng)年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個(gè)年份的枝椏數(shù)，便構(gòu)成斐波那契數(shù)列。這個(gè)規(guī)律，就是生物學(xué)上著名的“魯?shù)戮S格定律”。另外，觀察延齡草,野玫瑰,南美血根草,大波斯菊,金鳳花,耬斗菜,百合花,蝴蝶花的花瓣.可以發(fā)現(xiàn)它們花瓣數(shù)目具有斐波那契數(shù):3,5,8,13,21斐波那契螺旋具有13條順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和21條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋的薊的頭部具有13條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)和21條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋的薊的頭部這些植物懂得斐波那契數(shù)列嗎？應(yīng)該并非如此，它們只是按照自然的規(guī)律才進(jìn)化成這樣。這似乎是植物排列種子的“優(yōu)化方式”，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當(dāng)，不至于在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。葉子的生長(zhǎng)方式也是如此，對(duì)于許多植物來說，每片葉子從中軸附近生長(zhǎng)出來，為了在生長(zhǎng)的過程中一直都能最佳地利用空間（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長(zhǎng)出來，而不是一下子同時(shí)出現(xiàn)的），每片葉子和前一片葉子之間的角度應(yīng)該是222.5度，這個(gè)角度稱為“黃金角度”，因?yàn)樗驼麄€(gè)圓周360度之比是黃金分割數(shù)1.618033989 的倒數(shù)，而這種生長(zhǎng)方式就決定了斐波那契螺旋的產(chǎn)生。向日葵的種子排列形成的斐波那契螺旋有時(shí)能達(dá)到89，甚至144條。介紹把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長(zhǎng)之比等于另一部分與這部分之比。其比值是5(1/2)-1/2，取其前三位數(shù)字的近似值是0.618。由于按此比例設(shè)計(jì)的造型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。這是一個(gè)十分有趣的數(shù)字，我們以0.618來近似，通過簡(jiǎn)單的計(jì)算就可以發(fā)現(xiàn)：1/0.618=1.618(1-0.618)/0.618=0.618這個(gè)數(shù)值的作用不僅僅體現(xiàn)在諸如繪畫、雕塑、音樂、建筑等藝術(shù)領(lǐng)域，而且在管理、工程設(shè)計(jì)等方面也有著不可忽視的作用。讓我們首先從一個(gè)數(shù)列開始，它的前面幾個(gè)數(shù)是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144 .這個(gè)數(shù)列的名字叫做“斐波那契數(shù)列”，這些數(shù)被稱為“斐波那契數(shù)”。特點(diǎn)是即除前兩個(gè)數(shù)（數(shù)值為1）之外，每個(gè)數(shù)都是它前面兩個(gè)數(shù)之和。斐波那契數(shù)列與黃金分割有什么關(guān)系呢？經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，相鄰兩個(gè)菲波那契數(shù)的比值是隨序號(hào)的增加而逐漸趨于黃金分割比的。即f(n)/f(n-1)- 0.618 。由于斐波那契數(shù)都是整數(shù)，兩個(gè)整數(shù)相除之商是有理數(shù)，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個(gè)無理數(shù)。但是當(dāng)我們繼續(xù)計(jì)算出后面更大的斐波那契數(shù)時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)相鄰兩數(shù)之比確實(shí)是非常接近黃金分割比的。不僅這個(gè)由1,1,2,3,5.開始的“斐波那契數(shù)”是這樣，隨便選兩個(gè)整數(shù)，然后按照斐波那契數(shù)的規(guī)律排下去，兩數(shù)間比也是會(huì)逐漸逼近黃金比的。一個(gè)很能說明問題的例子是五角星/正五邊形。五角星是非常美麗的，我國(guó)的國(guó)旗上就有五顆，還有不少國(guó)家的國(guó)旗也用五角星，這是為什么？因?yàn)樵谖褰切侵锌梢哉业降乃芯€段之間的長(zhǎng)度關(guān)系都是符合黃金分割比的。正五邊形對(duì)角線連滿后出現(xiàn)的所有三角形，都是黃金分割三角形。黃金分割三角形還有一個(gè)特殊性，所有的三角形都可以用四個(gè)與其本身全等的三角形來生成與其本身相似的三角形，但黃金分割三角形是唯一一種可以用5個(gè)而不是4個(gè)與其本身全等的三角形來生成與其本身相似的三角形的三角形。由于五角星的頂角是36度，這樣也可以得出黃金分割的數(shù)值為2Sin18 。黃金分割點(diǎn)約等于0618：1是指分一線段為兩部分，使得原來線段的長(zhǎng)跟較長(zhǎng)的那部分的比為黃金分割的點(diǎn)。線段上有兩個(gè)這樣的點(diǎn)。利用線段上的兩黃金分割點(diǎn)，可作出正五角星，正五邊形。2000多年前,古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割。所謂黃金分割，指的是把長(zhǎng)為L(zhǎng)的線段分為兩部分，使其中一部分對(duì)于全部之比，等于另一部分對(duì)于該部分之比。而計(jì)算黃金分割最簡(jiǎn)單的方法，是計(jì)算斐波契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，.后二數(shù)之比2/3，3/5，5/8，8/13，13/21，.近似值的。黃金分割在文藝復(fù)興前后，經(jīng)過阿拉伯人傳入歐洲，受到了歐洲人的歡迎，他們稱之為“金法”，17世紀(jì)歐洲的一位數(shù)學(xué)家，甚至稱它為“各種算法中最可寶貴的算法”。這種算法在印度稱之為“三率法”或“三數(shù)法則”，也就是我們現(xiàn)在常說的比例方法。其實(shí)有關(guān)“黃金分割”，我國(guó)也有記載。雖然沒有古希臘的早，但它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家獨(dú)立創(chuàng)造的，后來傳入了印度。經(jīng)考證。歐洲的比例算法是源于我國(guó)而經(jīng)過印度由阿拉伯傳入歐洲的，而不是直接從古希臘傳入的。因?yàn)樗谠煨退囆g(shù)中具有美學(xué)價(jià)值，在工藝美術(shù)和日用品的長(zhǎng)寬設(shè)計(jì)中，采用這一比值能夠引起人們的美感，在實(shí)際生活中的應(yīng)用也非常廣泛，建筑物中某些線段的比就科學(xué)采用了黃金分割，舞臺(tái)上的報(bào)幕員并不是站在舞臺(tái)的正中央，而是偏在臺(tái)上一側(cè)，以站在舞臺(tái)長(zhǎng)度的黃金分割點(diǎn)的位置最美觀，聲音傳播的最好。就連植物界也有采用黃金分割的地方，如果從一棵嫩枝的頂端向下看，就會(huì)看到葉子是按照黃金分割的規(guī)律排列著的。在很多科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，選取方案常用一種0.618法，即優(yōu)選法，它可以使我們合理地安排較少的試驗(yàn)次數(shù)找到合理的西方和合適的工藝條件。正因?yàn)樗诮ㄖ⑽乃?、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中有著廣泛而重要的應(yīng)用，所以人們才珍貴地稱它為“黃金分割”。黃金分割Golden Section是一種數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系。黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值。應(yīng)用時(shí)一般取0.618 ，就像圓周率在應(yīng)用時(shí)取3.14一樣。黃金矩形(Golden Rectangle)的長(zhǎng)寬之比為黃金分割率，換言之，矩形的長(zhǎng)邊為短邊 1.618倍。黃金分割率和黃金矩形能夠給畫面帶來美感，令人愉悅。在很多藝術(shù)品以及大自然中都能找到它。希臘雅典的巴特農(nóng)神廟就是一個(gè)很好的例子，達(dá) 芬奇的維特魯威人符合黃金矩形。蒙娜麗莎的臉也符合黃金矩形，最后的晚餐同樣也應(yīng)用了該比例布局。發(fā)現(xiàn)歷史由于公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現(xiàn)代數(shù)學(xué)家們推斷當(dāng)時(shí)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)觸及甚至掌握了黃金分割。公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯第一個(gè)系統(tǒng)研究了這一問題，并建立起比例理論。公元前300年前后歐幾里得撰寫帕喬利時(shí)吸收了歐多克索斯的研究成果，進(jìn)一步系統(tǒng)論述了黃金分割，成為最早的有關(guān)黃金分割的論著。中世紀(jì)后，黃金分割被披上神秘的外衣，意大利數(shù)家帕喬利稱中末比為神圣比例，并專門為此著書立說。德國(guó)天文學(xué)家開普勒稱黃金分割為神圣分割。到19世紀(jì)黃金分割這一名稱才逐漸通行。黃金分割數(shù)有許多有趣的性質(zhì)，人類對(duì)它的實(shí)際應(yīng)用也很廣泛。最著名的例子是優(yōu)選學(xué)中的黃金分割法或0.618法，是由美國(guó)數(shù)學(xué)家基弗于1953年首先提出的，70年代在中國(guó)推廣。_|a ba:b=(a+b):a通常用希臘字母 表示這個(gè)值。黃金分割奇妙之處，在于其比例與其倒數(shù)是一樣的。例如：1.618的倒數(shù)是0.618，而1.618:1與1:0.618是一樣的。確切值為( 5-1)/2生活應(yīng)用有趣的是，這個(gè)數(shù)字在自然界和人們生活中到處可見：人們的肚臍是人體總長(zhǎng)的黃金分割點(diǎn)，人的膝蓋是肚臍到腳跟的黃金分割點(diǎn)。大多數(shù)門窗的寬長(zhǎng)之比也是0.618 ；有些植莖上，兩張相鄰葉柄的夾角是137度28，這恰好是把圓周分成1:0.618 的兩條半徑的夾角。據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，這種角度對(duì)植物通風(fēng)和采光效果最佳。建筑師們對(duì)數(shù)學(xué)0.618 特別偏愛，無論是古埃及的金字塔，還是巴黎的圣母院，或者是近世紀(jì)的法國(guó)埃菲爾鐵塔，都有與0.618 有關(guān)的數(shù)據(jù)。人們還發(fā)現(xiàn)，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫面的0.618 處。藝術(shù)家們認(rèn)為弦樂器的琴馬放在琴弦的0.618 處，能使琴聲更加柔和甜美。數(shù)字0.618 更為數(shù)學(xué)家所關(guān)注，它的出現(xiàn)，不僅解決了許多數(shù)學(xué)難題(如：十等分、五等分圓周；求18度、36度角的正弦、余弦值等)，而且還使優(yōu)選法成為可能。優(yōu)選法是一種求最優(yōu)化問題的方法。如在煉鋼時(shí)需要加入某種化學(xué)元素來增加鋼材的強(qiáng)度，假設(shè)已知在每噸鋼中需加某化學(xué)元素的量在1000 2000克之間，為了求得最恰當(dāng)?shù)募尤肓?，需要?000克與2000克這個(gè)區(qū)間中進(jìn)行試驗(yàn)。通常是取區(qū)間的中點(diǎn)(即1500克)作試驗(yàn)。然后將試驗(yàn)結(jié)果分別與1000克和2000克時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果作比較，從中選取強(qiáng)度較高的兩點(diǎn)作為新的區(qū)間，再取新區(qū)間的中點(diǎn)做試驗(yàn)，再比較端點(diǎn)，依次下去，直到取得最理想的結(jié)果。這種實(shí)驗(yàn)法稱為對(duì)分法。但這種方法并不是最快的實(shí)驗(yàn)方法，如果將實(shí)驗(yàn)點(diǎn)取在區(qū)間的0.618處，那么實(shí)驗(yàn)的次數(shù)將大大減少。這種取區(qū)間的0.618處作為試驗(yàn)點(diǎn)的方法就是一維的優(yōu)選法，也稱0.618法。實(shí)踐證明，對(duì)于一個(gè)因素的問題，用“0.618法”做16次試驗(yàn)就可以完成“對(duì)分法”做2500次試驗(yàn)所達(dá)到的效果。因此大畫家達(dá) 芬奇把0.618 稱為黃金數(shù)。0.618與戰(zhàn)爭(zhēng)0.618與戰(zhàn)略戰(zhàn)役0.618，一個(gè)極為迷人而神秘的數(shù)字，而且它還有著一個(gè)很動(dòng)聽的名字 黃金分割律，它是古希臘著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于2500多年前發(fā)現(xiàn)的。古往今來，這個(gè)數(shù)字一直被后人奉為科學(xué)和美學(xué)的金科玉律。在藝術(shù)史上，幾乎所有的杰出作品都不謀而合地驗(yàn)證了這一著名的黃金分割律，無論是古希臘帕特農(nóng)神廟，還是中國(guó)古代的兵馬俑，它們的垂直線與水平線之間竟然完全符合1比0.618的比例。也許，0.618在科學(xué)藝術(shù)上的表現(xiàn)我們已了解了很多，但是，你有沒有聽說過，0.618還與炮火連天、硝煙彌漫、血肉橫飛的慘烈、殘酷的戰(zhàn)場(chǎng)也有著不解之緣，在軍事上也顯示出它巨大而神秘的力量？0.618與武器裝備在冷兵器時(shí)代，雖然人們還根本不知道黃金分割率這個(gè)概念，但人們?cè)谥圃鞂殑?、大刀、長(zhǎng)矛等武器時(shí)，黃金分割率的法則也早已處處體現(xiàn)了出來，因?yàn)榘催@樣的比例制造出來的兵器，用起來會(huì)更加得心應(yīng)手。當(dāng)發(fā)射子彈的步槍剛剛制造出來的時(shí)候，它的槍把和槍身的長(zhǎng)度比例很不科學(xué)合理，很不方便于抓握和瞄準(zhǔn)。到了1918年，一個(gè)名叫阿爾文 約克的美遠(yuǎn)征軍下士，對(duì)這種步槍進(jìn)行了改造，改進(jìn)后的槍型槍身和槍把的比例恰恰符合0.618的比例。實(shí)際上，從鋒利的馬刀刃口的弧度，到子彈、炮彈、彈道導(dǎo)彈沿彈道飛行的頂點(diǎn)；從飛機(jī)進(jìn)入俯沖轟炸狀態(tài)的最佳投彈高度和角度，到坦克外殼設(shè)計(jì)時(shí)的最佳避彈坡度，我們也都能很容易地發(fā)現(xiàn)黃金分割率無處不在。在大炮射擊中，如果某種間瞄火炮的最大射程為12公里，最小射程為4公里，則其最佳射擊距離在9公里左右，為最大射程的2/3，與0.618十分接近。在進(jìn)行戰(zhàn)斗部署時(shí)，如果是進(jìn)攻戰(zhàn)斗，大炮陣地的配置位置一般距離己方前沿為1/3倍最大射程處，如果是防御戰(zhàn)斗，則大炮陣地應(yīng)配置距己方前沿2/3倍最大射程處。0.618與戰(zhàn)術(shù)布陣在我國(guó)歷史上很早發(fā)生的一些戰(zhàn)爭(zhēng)中，就無不遵循著0.618的規(guī)律。春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，晉厲公率軍伐鄭，與援鄭之楚軍決戰(zhàn)于鄢陵。厲公聽從楚叛臣苗賁皇的建議，把楚之右軍作為主攻點(diǎn)，因此以中軍之一部進(jìn)攻楚軍之左軍；以另一部進(jìn)攻楚軍之中軍，集上軍、下軍、新軍及公族之卒，攻擊楚之右軍。其主要攻擊點(diǎn)的選擇，恰在黃金分割點(diǎn)上。把黃金分割律在戰(zhàn)爭(zhēng)中體現(xiàn)得最為出色的軍事行動(dòng)，還應(yīng)首推成吉思汗所指揮的一系列戰(zhàn)事。數(shù)百年來，人們對(duì)成吉思汗的蒙古騎兵，為什么能像颶風(fēng)掃落葉般地席卷歐亞大陸頗感費(fèi)解，因?yàn)閮H用游牧民族的彪悍勇猛、殘忍詭譎、善于騎射以及騎兵的機(jī)動(dòng)性這些理由，都還不足以對(duì)此做出令人完全信服的解釋。或許還有別的更為重要的原因？仔細(xì)研究之下，果然又從中發(fā)現(xiàn)了黃金分割律的偉大作用。蒙古騎兵的戰(zhàn)斗隊(duì)形與西方傳統(tǒng)的方陣大不相同，在它的5排制陣形中，人盔馬甲的重騎兵和快捷靈動(dòng)輕騎兵的比例為2:3，這又是一個(gè)黃金分割！你不能不佩服那位馬背軍事家的天才妙悟，被這樣的天才統(tǒng)帥統(tǒng)領(lǐng)的大軍，不縱橫四海、所向披靡，那才怪呢。馬其頓與波斯的阿貝拉之戰(zhàn)，是歐洲人將0.618用于戰(zhàn)爭(zhēng)中的一個(gè)比較成功的范例。在這次戰(zhàn)役中，馬其頓的亞歷山大大帝把他的軍隊(duì)的攻擊點(diǎn)，選在了波斯大流士國(guó)王的軍隊(duì)的左翼和中央結(jié)合部。巧的是，這個(gè)部位正好也是整個(gè)戰(zhàn)線的“黃金點(diǎn)”，所以盡管波斯大軍多于亞歷山大的兵馬數(shù)十倍，但憑借自己的戰(zhàn)略智慧，亞歷山大把波斯大軍打得潰不成軍。這一戰(zhàn)爭(zhēng)的深刻影響直到今天仍清晰可見，在海灣戰(zhàn)爭(zhēng)中，多國(guó)部隊(duì)就是采用了類似的布陣法打敗了伊拉克軍隊(duì)。兩支部隊(duì)交戰(zhàn)，如果其中之一的兵力、兵器損失了1/3以上，就難以再同對(duì)方交戰(zhàn)下去。正因?yàn)槿绱耍诂F(xiàn)代高技術(shù)戰(zhàn)爭(zhēng)中，有高技術(shù)武器裝備的軍事大國(guó)都采取長(zhǎng)時(shí)間空中打擊的辦法，先徹底摧毀對(duì)方1/3以上的兵力、武器，爾后再展開地面進(jìn)攻。讓我們以海灣戰(zhàn)爭(zhēng)為例。戰(zhàn)前，據(jù)軍事專家估計(jì)，如果共和國(guó)衛(wèi)隊(duì)的裝備和人員，經(jīng)空中轟炸損失達(dá)到或超過30%，就將基本喪失戰(zhàn)斗力。為了使伊軍的損耗達(dá)到這個(gè)臨界點(diǎn)，美英聯(lián)軍一再延長(zhǎng)轟炸時(shí)間，持續(xù)38天，直到摧毀了伊拉克在戰(zhàn)區(qū)內(nèi)428輛坦克中的38%、2280輛裝甲車中的32%、3100門火炮中的47%，這時(shí)伊軍實(shí)力下降至60%左右，這正是軍隊(duì)喪失戰(zhàn)斗力的臨界點(diǎn)。也就是將伊拉克軍事力量削弱到黃金分割點(diǎn)上后，美英聯(lián)軍才抽出“沙漠軍刀”砍向薩達(dá)姆，在地面作戰(zhàn)只用了100個(gè)小時(shí)就達(dá)到了戰(zhàn)爭(zhēng)目的。在這場(chǎng)被譽(yù)為“沙漠風(fēng)暴”的戰(zhàn)爭(zhēng)中，創(chuàng)造了一場(chǎng)大戰(zhàn)僅陣亡百余人奇跡的施瓦茨科普夫?qū)④?，算不上是大師?jí)人物，但他的運(yùn)氣卻幾乎和所有的軍事藝術(shù)大師一樣好。其實(shí)真正重要的并不是運(yùn)氣，而是這位率領(lǐng)一支現(xiàn)代大軍的統(tǒng)帥，在進(jìn)行戰(zhàn)爭(zhēng)的運(yùn)籌帷幄中，有意無意地涉及了0.618，也就是說，他多多少少托了黃金分割律的福。此外，在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中，許多國(guó)家的軍隊(duì)在實(shí)施具體的進(jìn)攻任務(wù)時(shí)，往往是分梯隊(duì)進(jìn)行的，第一梯隊(duì)的兵力約占總兵力的2/3，第二梯隊(duì)約占1/3。在第一梯隊(duì)中，主攻方向所投入的兵力通常為第一梯隊(duì)總兵力的2/3，助攻方向則為1/3。防御戰(zhàn)斗中，第一道防線的兵力通常為總數(shù)的2/3，第二道防線的兵力兵器通常為總數(shù)的1/3。拿破侖大帝敗于黃金分割線？0.618不僅在武器和一時(shí)一地的戰(zhàn)場(chǎng)布陣上體現(xiàn)出來，而且在區(qū)域廣闊、時(shí)間跨度長(zhǎng)的宏觀的戰(zhàn)爭(zhēng)中，也無不得到充分地展現(xiàn)。一代梟雄的的拿破侖大帝可能怎么也不會(huì)想到，他的命運(yùn)會(huì)與0.618緊緊地聯(lián)系在一起。1812年6月，正是莫斯科一年中氣候最為涼爽宜人的夏季，在未能消滅俄軍有生力量的博羅金諾戰(zhàn)役后，拿破侖于此時(shí)率領(lǐng)著他的大軍進(jìn)入了莫斯科。這時(shí)的他可是躊躇滿志、不可一世。他并未意識(shí)到，天才和運(yùn)氣此時(shí)也正從他身上一點(diǎn)點(diǎn)地消失，他一生事業(yè)的頂峰和轉(zhuǎn)折點(diǎn)正在同時(shí)到來。后來，法軍便在大雪紛揚(yáng)、寒風(fēng)呼嘯中灰溜溜地撤離了莫斯科。三個(gè)月的勝利進(jìn)軍加上兩個(gè)月的盛極而衰，從時(shí)間軸上看，法蘭西皇帝透過熊熊烈焰俯瞰莫斯科城時(shí)，腳下正好就踩著黃金分割線。1941年6月22日，納粹德國(guó)啟動(dòng)了針對(duì)蘇聯(lián)的“巴巴羅薩”計(jì)劃，實(shí)行閃電戰(zhàn)，在極短的時(shí)間里，就迅速占領(lǐng)了的蘇聯(lián)廣袤的領(lǐng)土，并繼續(xù)向該國(guó)的縱深推進(jìn)。在長(zhǎng)達(dá)兩年多的時(shí)間里，德軍一直保持著進(jìn)攻的勢(shì)頭，直到1943年8月，“巴巴羅薩”行動(dòng)結(jié)束，德軍從此轉(zhuǎn)入守勢(shì)，再也沒能力對(duì)蘇軍發(fā)起一次可以稱之為戰(zhàn)役行動(dòng)的進(jìn)攻。被所有戰(zhàn)爭(zhēng)史學(xué)家公認(rèn)為蘇聯(lián)衛(wèi)國(guó)戰(zhàn)爭(zhēng)轉(zhuǎn)折點(diǎn)的斯大林格勒戰(zhàn)役，就發(fā)生在戰(zhàn)爭(zhēng)爆發(fā)后的第17個(gè)月，正是德軍由盛而衰的26個(gè)月時(shí)間軸線的黃金分割點(diǎn)。證明方法設(shè)一條線段AB的長(zhǎng)度為a，C點(diǎn)在靠近B點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)上且AC為bAC/AB=BC/ACb2=a*(a-b)b2=a2-aba2-ab+(1/4)b2=(5/4)*b2(a-b/2)2=(5/4)b2a-b/2=（ 5/2）*ba-b/2=( 5)b/2a=b/2+( 5)b/2a=b( 5+1）/2b/a=( 5-1）/2線段的黃金分割(尺規(guī)作圖)1.設(shè)已知線段為AB，過點(diǎn)B作BC AB，且BC=AB/2；2.連結(jié)AC；3.以C為圓心，CB為半徑作弧，交AC于D；4.以A為圓心，AD為半徑作弧，交AB于P，則點(diǎn)P就是AB的黃金分割點(diǎn)。古希臘巴特農(nóng)神廟是舉世聞名的完美建筑，它的高和寬的比是0.618。建筑師們發(fā)現(xiàn)，按這樣的比例來設(shè)計(jì)殿堂，殿堂更加雄偉、美麗；去設(shè)計(jì)別墅，別墅將更加舒適、漂亮連一扇門窗若設(shè)計(jì)為黃金矩形都會(huì)顯得更加協(xié)調(diào)和令人賞心悅目事實(shí)上，在一個(gè)黃金矩形中，以一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，矩形的較短邊為半徑作一個(gè)四分之一圓，交較長(zhǎng)邊與一點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)，作一條直線垂直于較長(zhǎng)邊，這時(shí)，生成的新矩形（不是那個(gè)正方形）仍然是一個(gè)黃金矩形，這個(gè)操作可以無限重復(fù)，產(chǎn)生無數(shù)個(gè)黃金矩形。令人驚訝的是，人體自身也和0.618密切相關(guān)，對(duì)人體解剖很有研究的意大利畫家達(dá) 芬奇發(fā)現(xiàn)，人的肚臍位于身長(zhǎng)的0.618處；咽喉位于肚臍與頭頂長(zhǎng)度的0.618處；肘關(guān)節(jié)位于肩關(guān)節(jié)與指頭長(zhǎng)度的0.618處，人體存在著肚臍、咽喉、膝蓋、肘關(guān)節(jié)四個(gè)黃金分割點(diǎn)，它們也是人賴以生存的四處要害。黃金分割與人的關(guān)系黃金分割與人的關(guān)系相當(dāng)密切。地球表面的緯度范圍是0 90 ，對(duì)其進(jìn)行黃金分割，則34.38 55.62 正是地球的黃金地帶。無論從平均氣溫、年日照時(shí)數(shù)、年降水量、相對(duì)濕度等方面都是具備適于人類生活的最佳地區(qū)。說來也巧，這一地區(qū)幾乎囊括了世界上所有的發(fā)達(dá)國(guó)家。人體美學(xué)中的黃金分割人體美學(xué)觀察受到種族、社會(huì)、個(gè)人各方面因素的影響，牽涉到形體與精神、局部與整體的辯證統(tǒng)一，只有整體的和諧、比例協(xié)調(diào)，才能稱得上一種完整的美。本文主要討論美學(xué)觀察的一些定律。（一）黃金分割律這是公元前六世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯所發(fā)現(xiàn)，后來古希臘美學(xué)家柏拉圖將此稱為黃金分割。這其實(shí)是一個(gè)數(shù)字的比例關(guān)系，即把一條線分為兩部分，此時(shí)長(zhǎng)段與短段之比恰恰等于整條線與長(zhǎng)段之比，其數(shù)值比為1.618 : 1或1 : 0.618，也就是說長(zhǎng)段的平方等于全長(zhǎng)與短段的乘積。0.618，以嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值。為什么人們對(duì)這樣的比例，會(huì)本能地感到美的存在？其實(shí)這與人類的演化和人體正常發(fā)育密切相關(guān)。據(jù)研究，從猿到人的進(jìn)化過程中，人體結(jié)構(gòu)中有許多比例關(guān)系接近0.618，從而使人體美在幾十萬年的歷史積淀中固定下來。人類最熟悉自己，勢(shì)必將人體美作為最高的審美標(biāo)準(zhǔn)，凡是與人體相似的物體就喜歡它，就覺得美。于是黃金分割律作為一種重要形式美法則，成為世代相傳的審美經(jīng)典規(guī)律，至今不衰！近年來，在研究黃金分割與人體關(guān)系時(shí)，發(fā)現(xiàn)了人體結(jié)構(gòu)中有14個(gè)“黃金點(diǎn)”（物體短段與長(zhǎng)段之比值為 0.618），12個(gè)“黃金矩形”（寬與長(zhǎng)比值為 0.618的長(zhǎng)方形）和2個(gè)“黃金指數(shù)”（兩物體間的比例關(guān)系為 0.618）。黃金點(diǎn)：(1)肚臍：頭頂足底之分割點(diǎn)；(2)咽喉：頭頂肚臍之分割點(diǎn)；(3)、(4)膝關(guān)節(jié)：肚臍足底之分割點(diǎn)；(5)、(6)肘關(guān)節(jié)：肩關(guān)節(jié)中指尖之分割點(diǎn)；(7)、(8)乳頭：軀干乳頭縱軸上這分割點(diǎn)；(9)眉間點(diǎn)：發(fā)際頦底間距上1/3與中下2/3之分割點(diǎn)；(10)鼻下點(diǎn)：發(fā)際頦底間距下1/3與上中2/3之分割點(diǎn)；(11)唇珠點(diǎn)：鼻底頦底間距上1/3與中下2/3之分割點(diǎn)；(12)頦唇溝正路點(diǎn)：鼻底頦底間距下1/3與上中2/3之分割點(diǎn)；(13)左口角點(diǎn)：口裂水平線左1/3與右2/3之分割點(diǎn)；(14) 右口角點(diǎn)：口裂水平線右1/3與左2/3之分割點(diǎn)。 面部黃金分割律 面部三庭五眼黃金矩形：(1)軀體輪廓：肩寬與臀寬的平均數(shù)為寬，肩峰至臀底的高度為長(zhǎng)；(2)面部輪廓：眼水平線的面寬為寬，發(fā)際至頦底間距為長(zhǎng)；(3)鼻部輪廓：鼻翼為寬，鼻根至鼻底間距為長(zhǎng)；(4)唇部輪廓：靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)上下唇峰間距為寬，口角間距為長(zhǎng)；(5)、(6)手部輪廓：手的橫徑為寬，五指并攏時(shí)取平均數(shù)為長(zhǎng)；(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上頜切牙、側(cè)切牙、尖牙（左右各三個(gè)）輪廓：最大的近遠(yuǎn)中徑為寬，齒齦徑為長(zhǎng)。黃金指數(shù)：(1)反映鼻口關(guān)系的鼻唇指數(shù)：鼻翼寬與口角間距之比近似黃金數(shù)；(2)反映眼口關(guān)系的目唇指數(shù)：口角間距與兩眼外眥間距之比近似黃金數(shù)。 0.618，作為一個(gè)人體健美的標(biāo)準(zhǔn)尺度之一，是無可非議的，但不能忽視其存在著“模糊特性”，它同其它美學(xué)參數(shù)一樣，都有一個(gè)允許變化的幅度，受種族、地域、個(gè)體差異的制約。（二）比例關(guān)系是用數(shù)字來表示人體美，并根據(jù)一定的基準(zhǔn)進(jìn)行比較。用同一人體的某一部位作為基準(zhǔn)，來判定它與人體的比例關(guān)系的方法被稱為同身方法。分為三組：系數(shù)法，常指頭高身長(zhǎng)指數(shù)，如畫人體有坐五、立七，即身高在坐位時(shí)為頭高的五倍、立位時(shí)為7或7.5倍；百分?jǐn)?shù)法，將身長(zhǎng)視為100%，身體各部位在其中的比例；兩分法：即把人體分成大小兩部分，大的部分從腳到臍，小的部分為臍到頭頂。標(biāo)準(zhǔn)的面型，其長(zhǎng)寬比例協(xié)調(diào)，符合三停五眼。三停是指臉型的長(zhǎng)度，從頭部發(fā)際到下頦的距離分為三等分，即從發(fā)際到眉、眉到鼻尖、鼻尖到下頦各分為一等分，各稱一停共三停；五眼是指臉型的寬度，雙耳間正面投影的長(zhǎng)度為五只眼裂的長(zhǎng)度，除眼裂外、內(nèi)此間距為一眼裂長(zhǎng)度、兩側(cè)外眥角到耳部各有一眼裂長(zhǎng)度.醫(yī)學(xué)與0.618有著千絲萬縷的聯(lián)系，它可解釋人為什么在環(huán)境22至24攝攝氏度時(shí)感覺最舒適。因?yàn)槿说捏w溫為37 C與0.618的乘積為22.8 C，而且這一溫度中肌體的新陳代謝、生理節(jié)奏和生理功能均處于最佳狀態(tài)?？茖W(xué)家們還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)外界環(huán)境溫度為人體溫度的0.618倍時(shí)，人會(huì)感到最舒服現(xiàn)代醫(yī)學(xué)研究還表明，0.618與養(yǎng)生之道息息相關(guān)，動(dòng)與靜是一個(gè)0.618的比例關(guān)系，大致四分動(dòng)六分靜，才是最佳的養(yǎng)生之道。醫(yī)