初中數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)

透過(guò)中考命題看初中數(shù)學(xué)開(kāi)放題的課堂教學(xué) 大慶市祥閣學(xué)校張琳琳 第一章問(wèn)題的提出 我國(guó)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀 我國(guó)數(shù)學(xué)教育存在的問(wèn)題 我國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)與國(guó)際上其他國(guó)家相比 重視基本知識(shí)的教學(xué)和基本技能的訓(xùn)練 學(xué)生的數(shù)學(xué)基本功扎實(shí) 學(xué)習(xí)刻苦勤奮 整體數(shù)學(xué)水平高 但學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)上和創(chuàng)造能力的發(fā)展上卻嚴(yán)重滯后 對(duì)所學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)背景了解也不多 多年來(lái)我們所注重培養(yǎng)的還只是 復(fù)制型 的人才 而只有創(chuàng)新才是一個(gè)民族發(fā)展的靈魂 第二章數(shù)學(xué)開(kāi)放題的界定 分類 及研究意義 一 數(shù)學(xué)開(kāi)放題的界定 條件多余需選擇 條件不足需補(bǔ)充 結(jié)論不唯一的習(xí)題 稱為數(shù)學(xué)開(kāi)放題 二 數(shù)學(xué)開(kāi)放題的特征 從數(shù)學(xué)開(kāi)放題的結(jié)構(gòu)和形式上 它具有以下的特征 1 非完備性2 不確定性3 層次性4 發(fā)散性5 探究性6 發(fā)展性7 創(chuàng)新性 三 數(shù)學(xué)開(kāi)放題的分類 1 按命題的要素來(lái)分類 1 條件開(kāi)放型 例1 如果兩個(gè)三角形有兩條邊分別對(duì)應(yīng)相等 請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件 使這兩個(gè)三角形全等 2 結(jié)論開(kāi)放型 例2 百雞問(wèn)題 已知每只公雞值五元錢(qián) 每只母雞值三元錢(qián) 每只小雞值一元錢(qián) 現(xiàn)在用一百元錢(qián)買(mǎi)一百只小雞 問(wèn) 這一百只雞中 公雞 母雞 小雞各有多少只 3 策略開(kāi)放型 例3 用盡可能多的方法 四等分圓的面積 4 綜合開(kāi)放型 例4 怎樣測(cè)量一個(gè)建筑物的高度 針對(duì)以上情況有幾種不同的結(jié)論 2 從答案的結(jié)構(gòu)上可分為四類 有限窮舉型 如例2 百雞問(wèn)題 它的答案共有四組解 4 18 78 8 11 33 12 4 84 0 25 75 2 有限混沌型 給出四個(gè)數(shù) 用加 減 乘 除算24的游戲 有些問(wèn)題的解答甚至要借助于電腦 3 無(wú)限離散型 這類問(wèn)題的答案是無(wú)窮的 我們常用兩種方式來(lái)處理這類問(wèn)題 一種是將答案作適當(dāng)?shù)姆诸?給出每類答案的典型解法 還有一種是提供一種構(gòu)造答案的方法 例5 規(guī)定等腰三角形與等邊三角形接近的程度為等腰三角形的正度 請(qǐng)你給出一個(gè)合理 合情的計(jì)算等腰三角形正度的公式 等邊三角形的特征是三個(gè)角相等 都是60 邊相等但邊長(zhǎng)未知 那么正度就只能用等腰三角形的底與腰的關(guān)系或者頂角與底角的關(guān)系來(lái)表示 設(shè)等腰三角形的底長(zhǎng)為a 腰長(zhǎng)為b 頂角度數(shù)為 底角度數(shù)為 下面就是一個(gè)計(jì)算正度的公式 a b 它的值越小 等腰三角形就越接近等邊三角形 當(dāng)取值為0時(shí) 就是等邊三角形 例6 某校初一年級(jí)有兩個(gè)班 期末數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀者共有42人 全年級(jí)的優(yōu)秀率為40 其中一班的優(yōu)秀率為36 二班的優(yōu)秀率為42 求一 二班的人數(shù) 請(qǐng)參照此題不改變列二元一次方程組的形式和解法 再編一道類似的應(yīng)用題 4 無(wú)限連續(xù)型 這類問(wèn)題的答案分布在一些實(shí)數(shù)區(qū)間內(nèi) 或者是一些可以連續(xù)變化的幾何圖形 描述這種變化的數(shù)學(xué)手法通常是引進(jìn)參數(shù)表示 例7 兩個(gè)全等的三角板 可以拼出各種不同的圖形 下面各圖已畫(huà)出其中一個(gè)三角形 請(qǐng)你分別補(bǔ)畫(huà)出另一個(gè)與其全等的三角形 使每個(gè)圖形分別成不同的軸對(duì)稱圖形 所畫(huà)的三角形可與原三角形有重疊部分 四 數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)的教育學(xué)和心理學(xué)理論基礎(chǔ) 一 數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)的教育學(xué)理論基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育有三個(gè)領(lǐng)域 課程論 教學(xué)論和學(xué)習(xí)論 1 數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)的課程論理論基礎(chǔ) 學(xué)科中心課程論 兒童中心課程論和學(xué)問(wèn)中心課程論2 數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)的課程論理論基礎(chǔ)教學(xué)的七條基本原則 1 階段漸進(jìn)原則 2 啟發(fā)引導(dǎo)原則 3 過(guò)程教學(xué)原則 4 歸納演繹原則 5 面向全體原則 6 啟動(dòng)學(xué)習(xí)原則 7 動(dòng)機(jī)激發(fā)原則 數(shù)學(xué)開(kāi)放題的教學(xué)開(kāi)放式教學(xué)模式由師生關(guān)系結(jié)構(gòu) 教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu) 教學(xué)過(guò)程結(jié)構(gòu)構(gòu)成了教學(xué)模式的三個(gè) 子結(jié)構(gòu) 數(shù)學(xué)開(kāi)放題的教學(xué)主要分為下面幾步 教師提出問(wèn)題 學(xué)生動(dòng)腦動(dòng)手解答問(wèn)題 討論研究 師生合作交流 師生提出來(lái)變式問(wèn)題 深化研究 教師總結(jié) 或提出更一般化的問(wèn)題 3 數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)的學(xué)習(xí)論基礎(chǔ) 國(guó)外的學(xué)習(xí)理論流派主要有 行為派 認(rèn)知派 社會(huì)文化歷史學(xué)派 人本主義學(xué)派和建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論 二 數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)的心理學(xué)理論基礎(chǔ) 1 教育與學(xué)生心理的發(fā)展的密切關(guān)系 2 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)部與外部動(dòng)力因素 五 數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)的研究意義 1 有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維 創(chuàng)造能力和創(chuàng)新意識(shí) 養(yǎng)成良好的思維品質(zhì) 提高數(shù)學(xué)能力和問(wèn)題解決的能力 例1 盡量用多種方法在紙上畫(huà)出一個(gè)直角 解 按照一定的分類方法 1 疊紙法 2 工具畫(huà)圖 如三角板 量角器 3 尺規(guī)作圖 畫(huà)一條線段的垂線 4 利用三角形的性質(zhì) 如等腰三角形三線合一 5 利用四邊形的性質(zhì) 如菱形的兩對(duì)角線互相垂直 6 利用圓的性質(zhì) 如直徑所對(duì)的角為直角 相交兩圓公共弦垂直平分兩圓連心線等 2 加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)的理解 有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí) 加強(qiáng)數(shù)學(xué)交流 例2 已知 PAD中 APD 120度 B C為AD上的點(diǎn) PBC為等邊三角形 試盡可能多地找出圖形中各幾何量之間的關(guān)系 結(jié)論 線段相等 角相等 角的互補(bǔ)關(guān)系 角的和差倍關(guān)系 三角形相似 線段乘積關(guān)系 三角形面積 例3 北京市出租車現(xiàn)行收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為 3公里以下 含3公里 收起步費(fèi)10元 3公里以上至10公里 含10公里 部分每公里收費(fèi)2元 10公里以上部分每公里收費(fèi)3元 1 如果把張強(qiáng)所乘的公里數(shù)為設(shè)為x公里 那么他所需付出的出租車費(fèi)用是多少 2 如果張強(qiáng)從家到公司有18公里 而他有兩種乘車方案 方案一 從家乘一輛出租車到公司 方案二 先從家上一輛出租車 行駛到10公里處下車 再換乘另一輛出租車到達(dá)公司 分兩次付費(fèi) 請(qǐng)問(wèn) 張強(qiáng)選擇哪一種乘車方案更省錢(qián) 3 張強(qiáng) 陳紅 楊梅三個(gè)人合乘一輛出租車 并并商定車費(fèi)要合理分擔(dān) 如果張強(qiáng)在全程三分之一處下車 陳紅在全程三分之二處下車 楊梅一人坐到終點(diǎn) 全程共計(jì)車費(fèi)48元 你認(rèn)為他們?nèi)绾畏謹(jǐn)傑囐M(fèi)比較合理呢 例4 從北京和上海同時(shí)向大慶運(yùn)計(jì)算機(jī) 不同的運(yùn)法就會(huì)有不同的運(yùn)輸成本 請(qǐng)盡量按自己的想法去計(jì)算 從許多計(jì)算結(jié)果中找出最低的運(yùn)輸成本和分配方案 3 鼓勵(lì)學(xué)生參與 充分發(fā)揮學(xué)生主體意識(shí) 學(xué)生體驗(yàn)自我決定感 有能感和成功感 增強(qiáng)了自信心和對(duì)數(shù)學(xué)的濃厚興趣 例5 一個(gè)圓形花壇種分割成面積相等的四部分 種上四種不同的花 請(qǐng)你試可能多的給出分割方案 4 培養(yǎng)學(xué)生合作意識(shí) 探索精神 訓(xùn)練和養(yǎng)成良好的心理素質(zhì) 例6 用盡可能多的方法對(duì)勾股定理進(jìn)行證明 5 數(shù)學(xué)開(kāi)放題引起學(xué)生學(xué)習(xí)方式和教師教學(xué)方式的改變 例7 從小明家到學(xué)校有兩條路 其中一條比另一條長(zhǎng)63米 已知其中一條道路長(zhǎng)129米 現(xiàn)在小明和小紅同時(shí)從家出發(fā) 經(jīng)過(guò)3小時(shí)后同時(shí)到達(dá)學(xué)校 那么你能求出幾種數(shù)量關(guān)系 例8 由于大慶市正在搞城市建設(shè) 某工地需要一些形狀相同 大小相等的三角形 焊接起來(lái)做支架 現(xiàn)在請(qǐng)你下料 你會(huì)怎么辦 6 數(shù)學(xué)開(kāi)放題的評(píng)價(jià)功能例如 兩圓外切于點(diǎn)T 為PT為其內(nèi)公切線 AB為其外公切線 且T A B為切點(diǎn) PT與AB相交于點(diǎn)P 根據(jù)圖中所給出的條件及線段 請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)正確結(jié)論 并加以證明 第三章 國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)開(kāi)放題發(fā)展現(xiàn)狀 一 數(shù)學(xué)開(kāi)放題在日本的發(fā)展數(shù)學(xué)開(kāi)放題起源于日本在1971年日本文部省島田茂小組首次提出數(shù)學(xué)開(kāi)放題 的概念 他們?cè)O(shè)計(jì)了許多著名的經(jīng)典題型如 水槽問(wèn)題 九九乘法表問(wèn)題 花圃設(shè)計(jì)問(wèn)題 等 日本的數(shù)學(xué)開(kāi)放題研究經(jīng)歷了從 未完結(jié)問(wèn)題 到 課題學(xué)習(xí) 的發(fā)展過(guò)程 日本隊(duì)的新大綱設(shè)置了 課題學(xué)習(xí) 的教學(xué)形式 課題學(xué)習(xí)中教師列舉日常生活中熟悉的事例 形成如 田徑場(chǎng)上的數(shù)學(xué) 交通安全中的數(shù)學(xué) 高層建筑中的數(shù)學(xué) 等問(wèn)題 在課堂上和學(xué)生在討論中學(xué)習(xí) 一是作為綜合的 課題學(xué)習(xí) 例1 探索線段的黃金分割的比 方法一 在一條線段上用尺規(guī)作出黃金分割的作圖法 方法二 從特定的等腰三角形中得到黃金分割的比 方法三 從特定的長(zhǎng)方形的兩邊之間的比得出黃金分割 方法四 從正五邊形中得到黃金分割比 二是作為問(wèn)題解決的 課題學(xué)習(xí) 例2 求2人同生日的概率是多少 20人 30人 40人同生日的概率的結(jié)果又會(huì)怎么樣呢 用計(jì)算器計(jì)算各種情況下的結(jié)果 并調(diào)查其他班級(jí)的實(shí)際情況 檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果 在日本1993年出版的6套初中數(shù)學(xué)教材中 設(shè)置了225個(gè)課題 包括數(shù)與式的課題29個(gè) 圖形的課題107個(gè) 函數(shù)和概率的課題44個(gè) 數(shù)學(xué)史和計(jì)算機(jī)的課題25個(gè) 1998年第一屆東亞國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)認(rèn)為 數(shù)學(xué)開(kāi)放教學(xué)方法 是迄今為止亞洲人提出的唯一讓世界普遍接受并關(guān)注的一個(gè)口號(hào) 觀點(diǎn) 和思想 2 數(shù)學(xué)開(kāi)放題在美國(guó)的發(fā)展美國(guó)在經(jīng)歷了 新數(shù)運(yùn)動(dòng) 的失敗后 總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn) 70年代提出了 回到基礎(chǔ) 80年代提出了 問(wèn)題解決 1989年 美國(guó)國(guó)家研究委員會(huì) NRC 發(fā)表了 休戚與共 關(guān)于數(shù)學(xué)教育失敗向全國(guó)所作的報(bào)告 文件提出了數(shù)學(xué)課程必須作出重大的改革 目前 美國(guó)近六分之一的中小學(xué)都采用的數(shù)學(xué)教材 芝加哥大學(xué)學(xué)校數(shù)學(xué)設(shè)計(jì) 中已經(jīng)編排了一部分?jǐn)?shù)學(xué)開(kāi)放題 在美國(guó)6年級(jí)的數(shù)學(xué)課上 學(xué)生會(huì)在老師的帶領(lǐng)下 觀看奧運(yùn)會(huì)上100米短跑錄像 然后由學(xué)生得出決定一個(gè)運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的主要因素的各種結(jié)論 美國(guó)的中小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中也常常出現(xiàn)數(shù)學(xué)開(kāi)放題 3 數(shù)學(xué)開(kāi)放題在英國(guó)的發(fā)展英國(guó)是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的發(fā)源地 1988年 英國(guó)成立了國(guó)家課程委員會(huì) 對(duì)中小學(xué)校主要科目提出了改革方案 在英國(guó)國(guó)家課程中 數(shù)學(xué)是三大核心課程之一 在英國(guó)的課堂教學(xué)中 大量選用數(shù)學(xué)開(kāi)放題 例1 中學(xué)的數(shù)學(xué)課上 學(xué)生們會(huì)離開(kāi)教室 走上街頭 通過(guò)觀察得出結(jié)論 這個(gè)學(xué)校所在地區(qū)的自行車牌號(hào)的編制規(guī)則是什么 英國(guó)的高中畢業(yè)考試有這樣一個(gè)數(shù)學(xué)測(cè)試內(nèi)容 給學(xué)生指定一個(gè)路段 觀察兩邊的建筑和周圍環(huán)境 自己發(fā)現(xiàn)一個(gè)可用數(shù)學(xué)解決的問(wèn)題 并把它轉(zhuǎn)化成為數(shù)學(xué)模式加以解決 可見(jiàn)問(wèn)題的條件 結(jié)論 以至于解題的策略是全面開(kāi)放的 二 數(shù)學(xué)開(kāi)放題在我國(guó)的發(fā)展 1997年2月 開(kāi)放題 數(shù)學(xué)教學(xué)的新模式 被立為國(guó)家教育科學(xué) 九五 規(guī)劃重點(diǎn)課題 2000年出臺(tái)的 新課程標(biāo)準(zhǔn) 提出編寫(xiě)數(shù)學(xué)開(kāi)放題進(jìn)入教材的建議 2000年教育部發(fā)布的 2000年初中畢業(yè)升學(xué)考試改革指導(dǎo)意見(jiàn) 中明確指出 數(shù)學(xué)考試應(yīng)該設(shè)計(jì)一定數(shù)量的開(kāi)放性問(wèn)題 現(xiàn)在 全國(guó)各地中 高考的選拔考試和競(jìng)賽中已經(jīng)出現(xiàn)了一些格調(diào)清新的開(kāi)放性試題 并且比重越來(lái)越大 三 新課程標(biāo)準(zhǔn) 下數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)1 數(shù)學(xué)開(kāi)放題的教學(xué)案例 要求學(xué)生統(tǒng)計(jì)自己家庭一周內(nèi)丟棄的塑料袋個(gè)數(shù) 并依據(jù)所收集的數(shù)據(jù)展開(kāi)討論 它的程序是 1 把這個(gè)問(wèn)題作為家庭作業(yè) 2 學(xué)生自主進(jìn)行統(tǒng)計(jì)活動(dòng) 3 在課堂上讓幾位同學(xué)發(fā)表統(tǒng)計(jì)結(jié)果 可以列出統(tǒng)計(jì)表 也可以采取其它的形式 4 利用小組討論和班級(jí)討論的方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析 老師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)對(duì)全班一周丟棄塑料袋情況用不同的算法進(jìn)行描述和評(píng)價(jià) 5 結(jié)合問(wèn)題情景深入領(lǐng)會(huì)有關(guān)概念 例如 平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù)等概念的含義 通過(guò)問(wèn)題的層層深入讓學(xué)生進(jìn)一步感受不同統(tǒng)計(jì)量的差異 用不同統(tǒng)計(jì)量來(lái)表示同一問(wèn)題的必要性 6 問(wèn)題自然延伸 計(jì)算這些塑料袋對(duì)土地造成的污染 先估算一個(gè)袋的污染 然后通過(guò)多種方式計(jì)算推及到一周 一年 全班同學(xué)的家庭 全校同學(xué)的家庭 照這樣的速度要多久就會(huì)污染整個(gè)學(xué)校呢 三 新課程標(biāo)準(zhǔn)下的初中數(shù)學(xué)教學(xué) 2 教材在例題的編排上以數(shù)學(xué)開(kāi)放題的形式呈現(xiàn)問(wèn)題七年級(jí)下冊(cè) 數(shù)與代數(shù) 部分 6 3實(shí)踐與探索一節(jié) 共有4道例題 全部是以數(shù)學(xué)開(kāi)放題的形式呈現(xiàn)的試解下列問(wèn)題 與你的同伴討論與交流 問(wèn)題3 用一根長(zhǎng)60厘米的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形 長(zhǎng)方形的寬是長(zhǎng)的 求這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬 長(zhǎng)方形的寬比長(zhǎng)少4厘米 求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積 比較1 2 所得兩個(gè)長(zhǎng)方形面積的大小 你能圍出面積更大的長(zhǎng)方形嗎 討論 每小題中如何設(shè)求知數(shù) 在第2小題中 能不能直接設(shè)面積為x平方厘米 如不能 怎么辦 探索 求題2中的寬比長(zhǎng)少4厘米改為3厘米 2厘米 1厘米 0厘米 即長(zhǎng)寬相等 長(zhǎng)方形的面積有什么變化 讀一讀 本節(jié)問(wèn)題中 通過(guò)探索我們發(fā)現(xiàn) 長(zhǎng)方形在周長(zhǎng)一定的情況下 它的長(zhǎng)和寬越接近 面積就越大 當(dāng)長(zhǎng)和寬相等 既成為正方形時(shí) 面積最大 通過(guò)以后的學(xué)習(xí) 我們就會(huì)知道其中的道理 有趣的是 若把這根鐵絲圍成任何封閉的平面圖形 包括隨意七凹八凸的不規(guī)則圖形 面積最大的是圓 這里的道理需要很深的學(xué)問(wèn) 將來(lái)你有興趣認(rèn)識(shí)它嗎 問(wèn)題4 小明爸爸前年存了年利率為2 43 的二年期定期儲(chǔ)蓄 今年到期后 扣除利息稅 所得利息正好為小明買(mǎi)了一只價(jià)值48 6元的計(jì)算器 問(wèn)小明爸爸前年存了多少元 討論 扣除利息的20 那么實(shí)際得到利息的多少 你能否列出較簡(jiǎn)單的方程 問(wèn)題5 小張和父親預(yù)定搭乘家門(mén)口的公共汽車走趕往火車站 去家鄉(xiāng)看爺爺 在行駛了三分之一路程之后 估計(jì)繼續(xù)乘公共汽車將會(huì)在火車開(kāi)車后半小時(shí)到達(dá)火車站 隨即下車改乘出租車 車速提高了一倍 結(jié)果趕在火車開(kāi)車前15分鐘到達(dá)火車站 已知公共汽車的平均速度是40千米 時(shí) 問(wèn)小張家到火車站有多遠(yuǎn) 吳小紅同學(xué)給出了如下解法 張勇同學(xué)又提出另外一種解法 討論 試比較以上兩種解法 它們各是如何設(shè)未知數(shù)的 哪一種比較方便 是不是還有其他設(shè)未知數(shù)的方法 試試看 問(wèn)題6 課外活動(dòng)時(shí) 李老師來(lái)教室布置作業(yè) 有一道題只寫(xiě)了 學(xué)校校辦廠需制作一塊廣告牌 請(qǐng)來(lái)兩名工人 已知師傅單獨(dú)完成需4天 徒弟單獨(dú)完成需6天 就加校長(zhǎng)叫他聽(tīng)一個(gè)電話而離開(kāi)教室 調(diào)皮的小劉說(shuō) 讓我試一試 上去添了 兩人合作需幾天完成 有同學(xué)反對(duì) 這太簡(jiǎn)單了 但也引起了大學(xué)的興趣 于是各自試了起來(lái) 有添上一人先做幾天再讓另一人做的 有兩人先合作再一人離開(kāi)的 有考慮兩人合作完成后的報(bào)酬問(wèn)題的 李老師加到教室后選了兩位同學(xué)的問(wèn)題 合起來(lái)在黑板上寫(xiě)出 現(xiàn)由徒弟先做1天 再兩人合作 完成后共付給報(bào)酬450無(wú) 若按各人完成的工作量會(huì)給報(bào)酬 該如何分配 試解答這一問(wèn)題 并與同學(xué)們一起交流各自的做法 又如七年級(jí)上冊(cè) 統(tǒng)計(jì)與概率 部分 5 2數(shù)據(jù)的表示一節(jié) 以問(wèn)題的形式編排 其策略 和結(jié)論全部是開(kāi)放的 問(wèn)題1 解放以來(lái) 我國(guó)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值 GDP 一直呈遞增趨勢(shì) 1952年只有679億元 1962年上升到1149 3億元 1970年上升到2252 7億元 1980年上升到45117 8億元 1990年上升到18547 9億元 2000年上升到89404億元 摘自 經(jīng)濟(jì)日?qǐng)?bào) 2001年3月4日第7版 設(shè)計(jì)一張統(tǒng)計(jì)表 簡(jiǎn)明地表示這一段文字信息 再設(shè)計(jì)一張折線統(tǒng)計(jì)圖 直觀地表明這種遞增趨勢(shì) 從上述兩張圖表中 你能得出哪些結(jié)論 說(shuō)說(shuō)你的理由 可設(shè)計(jì)如表5 2 1和圖5 2 1所示的統(tǒng)計(jì)圖表 問(wèn)題2 在2000年第27屆悉尼奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)上 中國(guó)體育代表團(tuán)取得了很好的成績(jī) 中國(guó)體育健兒在該屆奧運(yùn)會(huì)上共奪得多少枚獎(jiǎng)牌 其獲得的金牌數(shù)中占多大的比例 從所獲獎(jiǎng)牌總數(shù)情況看 和最近幾屆奧運(yùn)會(huì)相比 中國(guó)體育健兒在本屆奧運(yùn)會(huì)上的成績(jī)?nèi)绾?3 數(shù)學(xué)開(kāi)放題在新教材的習(xí)題中 所占的數(shù)量不斷增多 七年級(jí)下冊(cè)6 3實(shí)踐與探索一節(jié) 的習(xí)題為例 全節(jié)共有19道習(xí)題 其中數(shù)學(xué)開(kāi)放題占了4道 四個(gè)開(kāi)放題是這樣編排的 1 為慶祝九運(yùn)會(huì)開(kāi)幕 初一班學(xué)生接受了制作小旗的任務(wù) 開(kāi)始時(shí)只有一半同學(xué)參加制作 每天制作40面 完成了三分之一后 全班同學(xué)一起參加 結(jié)果提前一天半完成任務(wù) 假設(shè)每人制作效率相同 問(wèn)共制作小旗多少面 將上題與問(wèn)題5比較 你發(fā)現(xiàn)了什么 2 編一道聯(lián)系實(shí)際的應(yīng)用題 使所列的方程是 并與同學(xué)交流 比較一下 3 試將下題內(nèi)容改為與我們?nèi)粘Ｉ?學(xué)習(xí)有關(guān)的問(wèn)題 使所列的方程相或相似 食堂存煤若干噸 原來(lái)每天燒煤3噸 用去15噸后 改進(jìn)設(shè)備 耗煤量改為原來(lái)的一半 結(jié)果多燒了10天 求原存煤量 4 試對(duì)以下情景提出問(wèn)題 并討論解答 某班組織去風(fēng)景區(qū)春游 大部分同學(xué)先坐公共汽車前往 平均速度為24千米 時(shí) 4名負(fù)責(zé)后勤的同學(xué)晚半小時(shí)坐校車出發(fā) 速度為60千米 時(shí) 同時(shí)到達(dá)山腳下 到達(dá)后發(fā)現(xiàn)乘坐纜車上山費(fèi)用較大 且不能瀏覽沿途風(fēng)景 于是商定 大部隊(duì)步行上山 4名后勤改為先遣隊(duì) 乘纜車上山 做好在山頂舉行活動(dòng)的準(zhǔn)備 纜車速度是步行的3倍 步行同學(xué)中途在一個(gè)景點(diǎn)逗留了10分鐘 到達(dá)山頂時(shí)比先遣隊(duì)晚了半小時(shí) 北師大版課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第四章第七節(jié) 測(cè)量旗桿的高度 開(kāi)放題教學(xué)實(shí)例 大慶市祥閣學(xué)校張琳琳 情境引入 古埃及金字塔到底有多高 新知探究 塔高AB 塔的影子BC 標(biāo)桿CD 標(biāo)桿的影子CE A B E C DCE AC DE ACB DEC DC EB AB EB ABC DCE 90 A B 新知探究 實(shí)驗(yàn)活動(dòng) 怎樣測(cè)量旗桿的高度 方法 利用陽(yáng)光下的影子 D E A B C D E 方法 利用陽(yáng)光下的影子 方法 利用標(biāo)桿 A B C E F D 方法 利用標(biāo)桿 HF DGF 人 標(biāo)桿 旗桿 A B C E F D 方法 利用標(biāo)桿 人 標(biāo)桿 旗桿 方法 利用小鏡子 方法 利用小鏡子 A B C D E BE CDE 1 2 ABE CDE 實(shí)驗(yàn)活動(dòng) 你還有其他的測(cè)量方法嗎 如圖 某同學(xué)想測(cè)量旗桿的高度 他在某時(shí)刻測(cè)得1米長(zhǎng)的標(biāo)桿豎直放置時(shí)影子長(zhǎng)為1 5米 他在同一時(shí)刻測(cè)量旗桿的影子長(zhǎng)時(shí) 因旗桿靠近一棟樓房 影子不全落在地面上 一部分落在墻上 他測(cè)得落在地上的影子BC長(zhǎng)為9m 留在墻上的影子CD高為2m 你能幫他求出旗桿AB的高度嗎 A B C D 變式練習(xí) F G H 2 9 1 1 5 2 9 如圖 某同學(xué)想測(cè)量旗桿的高度 他在某時(shí)刻測(cè)得1米長(zhǎng)的標(biāo)桿豎直放置時(shí)影子長(zhǎng)為1 5米 他在同一時(shí)刻測(cè)量旗桿的影子長(zhǎng)時(shí) 因旗桿靠近一棟樓房 影子不全落在地面上 一部分落在墻上 他測(cè)得落在地上的影子長(zhǎng)為9m 留在墻上的影子高為2m 你能幫他求出旗桿的高度嗎 A B C D 變式練習(xí) F G H 2 9 1 1 5 思維延伸 小明在某一時(shí)刻測(cè)得1m的桿子在陽(yáng)光下的影子長(zhǎng)為2m 他想測(cè)量電線桿AB的高度 但其影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上 量得CD 2m BC 10m CD與地面成45 求電線桿的高度 A B D C E F 這節(jié)課你有什么收獲 1 知識(shí)收獲 2 方法收獲 小結(jié)提升 作業(yè) 以小組為單位測(cè)量操場(chǎng)上的旗桿的高度 可以用多種方法 并填寫(xiě)活動(dòng)報(bào)告 祥閣學(xué)校張琳琳 一元一次不等式 組 在生活中的應(yīng)用 想和我們一起去旅游嗎 假如我們班要去旅游 以小組為單位分別組成4個(gè)旅游團(tuán)利用我們學(xué)過(guò)的知識(shí)分析一下 你們組會(huì)選擇那個(gè)旅游團(tuán) 為什么 壽山一日游180元 人 A每位游客六五折優(yōu)惠 解 設(shè)我們組人數(shù)為x人 選擇A團(tuán)所需費(fèi)用為yA元 選擇B團(tuán)所需費(fèi)用為yB元 則 第一組 第二組 第三組 第四組 人數(shù) 人數(shù) 人數(shù) 人數(shù) 所以當(dāng)有14人時(shí)兩種方式收費(fèi)一樣 故選 故選 故選 故選 A全體六五折 B一人免費(fèi) 其余七折 由180 65 x 180 70 x 1 得x 14 48x x 1 輛 X 2 輛 64 X 2 人 例 1 祥閣學(xué)校組織部分老師和三好學(xué)生去壽山旅游兩天 若租用48座客車若干輛 剛好坐滿 若租用64座客車 則能少租一輛 且有一輛沒(méi)有坐滿 但超過(guò)一半 已知租用48座客車每輛250元 租用64座客車每輛300元 問(wèn)應(yīng)租用哪種客車較合算 32 第 X 2 輛座的人數(shù) 64 32 48X 64 X 2 64 48X 64 X 2 例 1 1 設(shè)租用48座的客車X輛 根據(jù)題意得 X取正整數(shù) X 5 2 當(dāng)X 5時(shí) 5 250 1250元 4 300 1200元 租用4輛64輛客車合算 32 48X 64 X 2 64 原不等式組的解集為4 X 6 所以當(dāng)房間有 間時(shí) 人數(shù)為 人 所以當(dāng)房間有 間時(shí) 人數(shù)為 人 解 設(shè)有四人間有x間 則x應(yīng)滿足的不等式組 解不等式組得 所以當(dāng)房間有 間時(shí) 人數(shù)為 人 0 4X 19 6 X 2 0 59 11 63 12 67 10 x為整數(shù) x 10 11 12 老師們想在農(nóng)家小園住上一晚 農(nóng)家小園有4人間和6人間兩種房間 且數(shù)目相同 若全部住4人間 19人沒(méi)地方住 若全部住6人間 有一間不滿也不空 你來(lái)算一算 四人間有幾間 來(lái)旅游的教師又有多少人 課堂小結(jié) 1 在進(jìn)行某些數(shù)的運(yùn)算時(shí)運(yùn)用平方差公式會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算 2 運(yùn)用平方差公式進(jìn)行式的運(yùn)算時(shí) 要注意運(yùn)算的順序 3 本節(jié)課運(yùn)用了哪些方法 類比法 由特殊到一般 壽山旅游局地產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司計(jì)劃開(kāi)發(fā)A B兩種類型的渡假別墅共80套 該公司所籌資金不少于2090萬(wàn)元 但不超過(guò)2096萬(wàn)元 兩種戶型號(hào)的建房成本和售價(jià)如下表 1 該公司對(duì)這兩種戶型有哪幾種建房方案 2 該公司如何建房獲得利潤(rùn)最大 研究與探討 1 設(shè)A種戶型的別墅建X套 則B種戶型的別墅建 80 X 套 2090 X 28 80 X 209648 X 50 X取非負(fù)整數(shù) X為48 49 50 有三種建房方案 A型48套 B型32套 A型49套 B型31套 A型50套 B型30套 2 設(shè)該公司建房獲得利潤(rùn)W 萬(wàn)元 W 5X 6 80 X 480 X 當(dāng)X 48時(shí) W最大 432 萬(wàn)元 即A型48套 B型32套時(shí)獲得利潤(rùn)最大 作業(yè) 1 動(dòng)手編一道你身邊有關(guān)一元一次不等式 組 的應(yīng)用題 并用你學(xué)過(guò)的知識(shí)解決 2 有學(xué)生44人 住若干間宿舍 如果每間住8人 則有一間宿舍不滿也不空 問(wèn)有多少間宿舍 如圖 平行四邊形ABCD E為CD邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn) 連結(jié)BE交AD于F 找出圖中的基本圖形 找出圖中的基本圖形 B 二 練習(xí) 1 如圖 平行四邊形ABCD E為CD邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn) 連結(jié)BE交AD于F 試猜想比例式是否成立 若成立 請(qǐng)證明 若不成立 請(qǐng)說(shuō)明理由 中間比 B 等量BC B 在證明比例式成立時(shí) 通常的方法是 方法小結(jié) 找基本圖形 找中間比 找等量 D E 1 在下列各圖中 添加適當(dāng)?shù)钠叫芯€ 使結(jié)論成立 三 變式訓(xùn)練 輔助線的添加 2 在下列各圖中 添加適當(dāng)?shù)钠叫芯€ 使結(jié)論成立 G A 2 在下列各圖中 添加適當(dāng)?shù)钠叫芯€ 使結(jié)論成立 G 3 在下列各圖中 添加適當(dāng)?shù)钠叫芯€ 使結(jié)論成立 G A 3 在下列各圖中 添加適當(dāng)?shù)钠叫芯€ 使結(jié)論成立 G 總結(jié) 1 引平行線時(shí) 經(jīng)常過(guò)已知線段的端點(diǎn)引2 盡量使更多的已知線段成比例3 盡量不分割已知線段 已知 如圖 AD為 ABC的中線 F為AB上一點(diǎn) 且AF AB 2 3 CF交AD于E 求EF EC的值 四 學(xué)以致用 拓展思維 第五章透過(guò)中考命題看數(shù)學(xué)開(kāi)放題課堂教學(xué)開(kāi)放探究題是近幾年中考試題中的常見(jiàn)題型 以填空選擇和解答類的客觀試題呈現(xiàn) 如08年哈爾濱的28 3 題 大慶20 28題 09年牡丹江的26題 12年大慶的26題等 條件開(kāi)放 題型一條件開(kāi)放與探究 同類的題還有1 09日照 如圖 在四邊形ABCD中 已知AB與CD不平行 ABD ACD 請(qǐng)你添加一個(gè)條件 使得加上這個(gè)條件后能夠推出AD BC且AB CD 2 07大慶 如圖 請(qǐng)你添加一個(gè)條件 使OC OD 只添加一個(gè)即可 3 09龍巖 如圖2 點(diǎn)B E F C在同一直線上 已知 A D B C 要使三角形ABF與DCE全等 需要補(bǔ)充的一個(gè)條件是 寫(xiě)出一個(gè)即可 4 09懷化 如圖3 已知AB AD BAE DAC 要使三角形ABC與ADE全等 可補(bǔ)充的條件是 寫(xiě)出一個(gè)即可 5 04黑龍江 一組數(shù)據(jù)5 7 7 x的中位數(shù)與平均數(shù)相等 則x的值為 例1 08黑龍江 已知 正方形ABCD中 繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 它的兩邊分別交CB DC 或它們的延長(zhǎng)線 于點(diǎn)M N 當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM DN時(shí) 如圖1 易證BM DN MN 當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2時(shí) 線段BM DN與MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系 寫(xiě)出猜想 并加以證明 當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí) 線段BM DN與MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系 請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想 1 猜想型 題型二 結(jié)論開(kāi)放與探索 例2 09杭州 如圖 在等腰梯形ABCD中 C 60 AD BC 且AD DC E F分別在AD DC的延長(zhǎng)線上 且DE CF AF BE交于點(diǎn)P 求證 AF BE 請(qǐng)你猜測(cè) BPF的度數(shù) 并證明你的結(jié)論 3 09婁底 如圖5 AB AC D是BC的中點(diǎn) 連接AD 在AD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E 連接BE CE 猜測(cè) 當(dāng)AE與AD滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí) 四邊形ABEC是菱形 并說(shuō)明理由 4 09江西 如圖7 已知線段AB 2a a 是AB的中點(diǎn) 直線L1垂直于點(diǎn)A 直線L2垂直于點(diǎn)M 點(diǎn)P是L1左側(cè)一點(diǎn) P到L1的距離為b a b 2a 作出點(diǎn)P關(guān)于L1的對(duì)稱點(diǎn)P1 并在PP1上取一點(diǎn)P2 使點(diǎn)P2 P1關(guān)于L2對(duì)稱 P1P2與AB有何位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系 請(qǐng)說(shuō)明理由 例3 09河南 如圖所示 BAC ABD AC BD 點(diǎn)O是AD BC的交點(diǎn) 點(diǎn)E是AB的中點(diǎn) 試判斷OE和AB的位置關(guān)系 并給出證明 2 09麗水 已知命題 如圖8點(diǎn)A D B E在同一條直線上 AD BE A FDE 則 判斷這個(gè)命題是真命題還是假命題 如果是真命題 請(qǐng)給出證明 如果是假命題 請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)條件使它成為真命題 并加以證明 2 判斷型 3 09河南 如圖9 在Rt三角形ABC中 ACB 90 B 60 BC 2 點(diǎn)O是AC的中點(diǎn) 過(guò)點(diǎn)O的直線L與AC重合的位置開(kāi)始 繞點(diǎn)O作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 交AB邊于點(diǎn)D 過(guò)點(diǎn)C作CE AB交直線于點(diǎn)E 設(shè)直線L的旋轉(zhuǎn)角x 當(dāng)x 度時(shí) 四邊形EDBC是等腰梯形 此時(shí)AD的長(zhǎng)為 當(dāng)x 度時(shí) 四邊形EDBC是直角梯形 此時(shí)AD的長(zhǎng)為 3 當(dāng)x 90時(shí) 判斷四邊形EDBC是否為菱形 并說(shuō)明理由 3 存在型 這類問(wèn)題的特征是在提設(shè)條件下判斷數(shù)學(xué)對(duì)象的存在性 解法步驟是先假設(shè)數(shù)學(xué)對(duì)象成立 以此為前提 進(jìn)行運(yùn)算或推理 若推出矛盾可否定假設(shè) 否則給出肯定的證明 例4 大慶2012 26題 已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3個(gè)單位 若點(diǎn)P由A出發(fā) 以每秒1個(gè)單位的速度在三角形的邊上沿A B C A方向運(yùn)動(dòng) 第一次回到點(diǎn)A處停止運(yùn)動(dòng) 設(shè)AP S 用t表示運(yùn)動(dòng)時(shí)間 1 當(dāng)點(diǎn)P由B到C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中 用t表示S2 當(dāng)t取何值時(shí) S等于 求出所有的t值 根據(jù) 2 中t的取值 直接寫(xiě)出在哪些時(shí)段AP 09荊門(mén) 一開(kāi)口向上的拋物線與X軸交于A m 2 0 B m 2 0 兩點(diǎn) 記拋物線頂點(diǎn)為C 且AC垂直于BC 若m為常數(shù) 求拋物線的解析式 若m為小于0的常數(shù) 那么 1 中的拋物線經(jīng)過(guò)怎么樣的平移可以使頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn) 設(shè)拋物線交y軸正半軸于D點(diǎn) 問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m 使得為等腰三角形 若存在 求出m的值 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 例5 大慶 如圖 四邊形AEFG和ABCD都是正方形 他們的邊長(zhǎng)分別為 2a 且點(diǎn)F在AD上 以下問(wèn)題的結(jié)果均可用a b的代數(shù)式表示 1 求 2 把正方形AEFG繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45得圖 求圖 中3 把正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周 在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中 是否存在最大值 最小值 如果存在 直接寫(xiě)出最大值 最小值 如果不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 題型三策略開(kāi)放與探究 例6 07黑龍江 四邊形 中 繞 點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 它的兩邊分別交 或它們的 延長(zhǎng)線 于 當(dāng) 繞 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 時(shí) 如圖1 易證 當(dāng) 繞 點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 時(shí) 在圖2和圖3這兩種情況下 上述 到 結(jié)論是否成立 圖1 圖2 圖3 A B C D F E M N M A B C D E F N A B C D E F N M 解題策略開(kāi)放 例7 09淄博 請(qǐng)寫(xiě)出符合以下三個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)的解析式 1 過(guò)點(diǎn) 3 1 2 在第一象限內(nèi)y隨x的增大而減小 3 當(dāng)自變量的值為2時(shí) 函數(shù)值小于2 例8 09威海 如圖 在四邊形ABCD中 E是BC邊的中點(diǎn) 連接DE并延長(zhǎng) 交AB的延長(zhǎng)線于F點(diǎn) AB BF 添加一個(gè)條件 使四邊形ABCD是平行四邊形 你認(rèn)為下面四個(gè)條件中可選擇的是A AD BCB CD BFC A CD F CDE 例9 09大慶 先化簡(jiǎn) 再?gòu)牟坏仁浇M 的整數(shù)解中選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)帶入求值 例10 09十堰 如圖 四邊形ABCD是正方形 點(diǎn)G是BC上任意一點(diǎn) DEAG于點(diǎn)E BFAG于點(diǎn)F 1 求證 DE BF EF 2 當(dāng)點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)時(shí) 試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系 并說(shuō)明理由 3 若點(diǎn)G為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn) 其余條件不變 請(qǐng)你在圖 中畫(huà)出圖形 寫(xiě)出此時(shí)DE BF EF之間的數(shù)量關(guān)系 不需要證明 例11 09本溪 在中 AB AC 點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn) 不與B C重合 以AD為一邊在AD的右側(cè)作 使AD AE 連接CE 1 如圖 當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上 如果 則 2 設(shè) 3 如圖 當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng) 則之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系 請(qǐng)說(shuō)明理由 當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng) 則之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系 請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論 12 09咸寧 如圖12 將矩形ABCD沿對(duì)角線AC剪開(kāi) 再把ACD沿CA方向平移到 1 證明 2 若 試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)C在線段AC上的什么位置時(shí) 四邊形ABCD是菱形 并說(shuō)明理由 13 09哈爾濱 已知 的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點(diǎn)F 如圖1若為銳角三角形且 過(guò)點(diǎn)F作FG BC 交直線AB與點(diǎn)G 求證 FG DC AD 如圖2 若 過(guò)點(diǎn)F作FG BC 交直線AB與點(diǎn)G 則FG DC AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系是 在 2 的條件下 若AG 5 DC 3 將一個(gè)45角的頂點(diǎn)與點(diǎn)B重合并繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn) 這個(gè)角的兩邊分別相交于線段FG于M N兩點(diǎn) 如圖3 連接CF 線段CF分別與線段BM 線段BN相交于P Q兩點(diǎn) 若NG 求線段PQ的長(zhǎng) 二 結(jié)合中考挖掘教材價(jià)值 變式一 2006年大連市第23題 如圖13 1 圖13 2分別是兩個(gè)相同正方形 正六邊形 其中一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)在另一個(gè)正多邊形外接圓圓心O處 求圖13 1中 重疊部分面積與陰影部分面積之比 求圖13 2中 重疊部分面積與陰影部分面積之比 直接出答案 根據(jù)前面探索和圖13 3 你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況 n為大于2