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2013年數(shù)學(xué)全真模擬試卷一試題一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1 已知集合,則 2 若(其中表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)),則復(fù)數(shù)z的模為 3 已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為,則實數(shù)的值是 4 根據(jù)國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫局發(fā)布的車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗(GB195222004)中規(guī)定車輛駕駛?cè)藛T血液酒精含量:“飲酒駕車”的臨界值為20mg/100ml;血液酒精含量(單位:mg/100ml)02020404060608080100人數(shù)18011522“醉酒駕車”的臨界值為80mg/100ml某地區(qū)交通執(zhí)法部門統(tǒng)計了5月份的執(zhí)法記錄數(shù)據(jù):根據(jù)此數(shù)據(jù),可估計該地區(qū)5月份“飲酒駕車” 發(fā)生的頻率等于 5 要得到函數(shù)的函數(shù)圖象,可將函數(shù)的圖象向右至少平移 個單位6在平面直角坐標(biāo)系xOy中,“直線,與曲線相切”的充要條件是“ ”開始結(jié)束(第7題)7 如圖,表示第i個學(xué)生的學(xué)號,表示第i個學(xué)生的成績,已知學(xué)號在110的學(xué)生的成績依次為401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337,則打印出的第5組數(shù)據(jù)是 8 在ABC中,若,則 9 已知是上的奇函數(shù),且時,則不等 式的解集為 10設(shè)正四棱錐的側(cè)棱長為1,則其體積的最大值為 11已知平面向量,滿足,的夾角等于,且,則的取值范圍是 12在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過點(diǎn)、分別作x軸的垂線與拋物線分別交于點(diǎn),直線與 x軸交于點(diǎn),這樣就稱確定了同樣,可由確定,若,則 13定義:x,y為實數(shù)x,y中較小的數(shù)已知,其中a,b 均為正實數(shù),則h的最大值是 14在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直角三角形ABC的三個頂點(diǎn)都在橢圓上,其中為直角頂點(diǎn)若該三角形的面積的最大值為,則實數(shù)的值為 二、解答題:本大題共6小題,共90分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應(yīng)寫出文字說明、證 明過程或演算步驟15(本題滿分14分)已知函數(shù) (1)求的最小正周期和值域;(2)若為的一個零點(diǎn),求的值 16(本題滿分14分) 如圖,在邊長為1的菱形ABCD中,將正三角形BCD沿BD向上折起,折起后的點(diǎn)C記為,且(第16題)DABC()(1)若,求二面角CBD的大??;(2)當(dāng)變化時,線段上是否總存在一點(diǎn)E,使得A/平面BED?請說明理由 17(本題滿分15分) 在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)A、B是雙曲線上的兩點(diǎn),是線段AB的中點(diǎn),線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點(diǎn)(1)求直線AB與CD的方程;(2)判斷A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓?若共圓,請求出圓的方程;若不共圓,請說明理由18(本題滿分15分) 某省高考數(shù)學(xué)閱卷點(diǎn)共有400名閱卷老師,為了高效地完成文、理科數(shù)學(xué)卷的閱卷任務(wù),需將400名閱卷老師分成兩組同時展開閱卷工作,一組完成269捆文科卷,另一組完成475捆理科卷根據(jù)歷年閱卷經(jīng)驗,文科每捆卷需要一位閱卷老師工作3天完成,理科每捆卷需要一位閱卷老師工作4天完成(假定每位閱卷老師工作一天的閱卷量相同,每捆卷的份數(shù)也相同)(1)如何安排文、理科閱卷老師的人數(shù),使得全省數(shù)學(xué)閱卷時間最?。浚?)由于今年理科閱卷任務(wù)較重,理科實際每捆卷需要一位閱卷老師工作4.5天完成,在按(1)分配的人數(shù)閱卷4天后,閱卷領(lǐng)導(dǎo)小組決定從文科組抽調(diào)20名閱卷老師去閱理科卷,試問完成全省數(shù)學(xué)閱卷任務(wù)至少需要多少天?(天數(shù)精確到小數(shù)點(diǎn)后第3位) (參考數(shù)據(jù):,) 19(本題滿分16分) 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù),且的兩根為若的極大值與極小值 之和為0, (1)求函數(shù)的解析式; (2)若函數(shù)在開區(qū)間上存在最大值與最小值,求實數(shù)的取值范圍(3)設(shè)函數(shù),正實數(shù)a,b,c滿足,證明:20(本題滿分16分) 設(shè)首項為1的正項數(shù)列的前n項和為,數(shù)列的前n項和為,且,其中為常數(shù). (1)求的值;(2)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;(3)證明:“數(shù)列,成等差數(shù)列,其中x、y均為整數(shù)”的充要條件是“, 且” 試題(附加題)21【選做題】本題包括A、B、C、D四小題,請選定其中兩題,并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答若 多做,則按作答的前兩題評分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟DABCEO(第21A題)A(幾何證明選講)如圖,AB是半圓的直徑,C是AB延長線上一點(diǎn),CD切半圓于點(diǎn)D,CD=2,DEAB,垂足為E,且E是OB的中點(diǎn),求BC的長 B(矩陣與變換)已知矩陣的屬于特征值的一個特征向量為,求實數(shù)、的值 C(極坐標(biāo)與參數(shù)方程)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)在曲線(為參數(shù),為正常數(shù)),求的值 D(不等式選講) 設(shè)均為正數(shù),且,求證: 【必做題】第22、23題,每小題10分,共計20分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應(yīng)寫出文 字說明、證明過程或演算步驟22已知函數(shù),求的最大值. 23(1)已知,且,求證:;(2)設(shè)數(shù)列,滿足,(i1,2,3,)證明:對任意的正整數(shù)n,是關(guān)于的一次式南通市教研室2012年數(shù)學(xué)全真模擬試卷一參考答案1. ; 2. 3; 3. 2; 4. 0.09; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ;9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. 3答案解析1易得,則;2. ;3. 易得,則,即;4. “飲酒駕車” 發(fā)生的頻率等于;5. 將向右至少平移個單位得;6. 易得,且,即;7. 打印出的第5組數(shù)據(jù)是學(xué)號為8號,且成績?yōu)?61,故結(jié)果是;8. 設(shè),則,且,利用可 求得,所以;9. 易得,故所求解集為;10. 法1 設(shè)正四棱錐的底面邊長為,則體積,記, ,利用導(dǎo)數(shù)可求得當(dāng)時,此時;法2 設(shè)正四棱錐的側(cè)棱與底面所成角為,則, (第11題圖) ,記,利用導(dǎo)數(shù)可求得當(dāng)時,此時;11. 如圖,設(shè)ABC中,由余弦定理得,由知,點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓,且,故;12. 設(shè)、,則割線的方程為:, 令得,即,不難得到;13. 易得,所以(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號);14. 設(shè)AB的方程為:,則AC的方程為:,由得 ,解得用“”替換“”得 故 所以, 令,則(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立),由得解得或(舍去),所以15命題立意:本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、兩角和與差的正、余弦公式,考查運(yùn)算求解 能力(1)易得 ,(5分) 所以周期,值域為;(7分)(2)由得,(9分) 又由得 所以故,(11分) 此時, (14分)16命題立意:本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系,考查空間想象、推理論證能力(第16題圖)DABCOE解:(1)連結(jié),交于點(diǎn),連結(jié), 菱形ABCD中, 因三角形BCD沿BD折起,所以, 故為二面角CBD的平面角,(5分) 易得,而, 所以,二面角CBD的大小為;(7分) (2)當(dāng)變化時,線段的中點(diǎn)E總滿足A/平面BED,下證之:(9分) 因為E,O分別為線段,AC的中點(diǎn), 所以,(11分) 又平面BED,平面BED, 所以A/平面BED. (14分)17命題立意:本題主要考查求雙曲線、直線、圓等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解與探究能力解:(1)設(shè)A,則, 代入雙曲線得 解得或 即的坐標(biāo)為、, 所以:,:;(7分) (2)A、B、C、D四點(diǎn)共圓,下證之:(9分) 證明:由與聯(lián)立方程組可得 的坐標(biāo)為、,(11分) 由三點(diǎn)A、B、C可先確定一個圓,(13分) 經(jīng)檢驗適合式,所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓(15分) (注:本題亦可以利用圓的幾何性質(zhì)判斷四點(diǎn)共圓)18命題立意:本題主要考查數(shù)學(xué)建模和解決實際問題的能力,考查運(yùn)算求解能力 解:(1)設(shè)文科閱卷人數(shù)為,且, 則閱卷時間為(5分) 而故, 答:當(dāng)文、理科閱卷人數(shù)分別是119,281時,全省閱卷時間最??;(8分) (2)文科閱卷時間為:,(11分) 理科閱卷時間為:,(14分) 答:全省閱卷時間最短為天(15分)19命題立意:本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查靈活運(yùn)用數(shù)形 結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行運(yùn)算求解、推理論證的綜合能力(第19題圖) 解:(1)設(shè), 則可設(shè),其中為常數(shù). 因為的極大值與極小值之和為0, 所以,即, 由得, 所以;(5分) (2)由(1)得,且0+0極小值極大值 列表: 由題意得,三次函數(shù)在開區(qū)間上存在的最大值與最小值必為極值(如圖),(7分) 又,故, 所以,且, 解得;(10分) (3)題設(shè)等價與,且a,b,c0, 所以a,b,c均小于 假設(shè)在a,b,c中有兩個不等,不妨設(shè)ab,則ab或ab 若ab,則由得即, 又由得ca 于是abca,出現(xiàn)矛盾 同理,若ab,也必出現(xiàn)出矛盾 故假設(shè)不成立,所以(16分)20命題立意:本題主要考查等差、等比數(shù)列的定義與通項公式、求和公式等基礎(chǔ)知識,考查靈活 運(yùn)用基本量進(jìn)行探索求解、推理分析能力解:(1)n = 1時,由得p = 0或2,(2分) 若p = 0時, 當(dāng)時,解得或, 而,所以p = 0不符合題意,故p = 2;(5分) (2)當(dāng)p = 2時, ,則, 并化簡得 ,則 , 得(),又易得, 所以數(shù)列an是等比數(shù)列,且;(10分) (3)充分性:若x = 1,y = 2,由知,依次為, 滿足,即an,2xan+1,2yan+2成等差數(shù)列;(12分) 必要性:假設(shè),成等差數(shù)列,其中x、y均為整數(shù),又, 所以, 化簡得 顯然,設(shè), 因為x、y均為整數(shù),所以當(dāng)時,或,故當(dāng),且當(dāng),且時上式成立,即證 (16分) 21A命題立意:本題主要考查三角形、圓的有關(guān)知識,考查推理論證、運(yùn)算求解能力解:連接OD,則ODDC,在RtOED中,OBOD,所以O(shè)DE30,(5分)在RtODC中,DCO30,由DC2得ODDCtan30,所以BC(10分) B命題立意:本題主要考查二階矩陣的特征值與特征向量,考查運(yùn)算求解能力解:由二階矩陣的特征值與特征向量的概念知=,(5分) 所以解得.(10分)C命題立意:本題主要考查參數(shù)方程,考查運(yùn)算求解能力解:由(為參數(shù),為正常數(shù)),消去參數(shù)得,(8分) 將點(diǎn)代入得.(10分)D命題立意:本題主要考查證明不等式的基本方法,考查推理論證能力證明:因為a1,a2,a3均為正數(shù),且,所以,(8分) 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立, 所以.(10分)22命題立意:本題主要考查復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)等知識,考
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