中考數(shù)學重難點專題講座7.doc

中考數(shù)學重難點專題講座第七講 坐標系中的幾何問題【前言】前面六講我們研究了幾何綜合題及代數(shù)綜合題的各種方面，相信很多同學都已經(jīng)掌握了。但是中考中，最難的問題往往都是幾何和代數(shù)混雜在一起的，一方面涉及函數(shù)，坐標系，計算量很大，另一方面也有各種幾何圖形的性質(zhì)體現(xiàn)。所以往往這類問題都會在最后兩道題出現(xiàn)，而且基本都是以多個小問構(gòu)成。此類問題也是失分最高的，往往起到拉開分數(shù)檔次的關(guān)鍵作用。作為想在中考數(shù)學當中拿高分甚至滿分的同學，這類問題一定要重視。此后的兩講我們分別從坐標系中的幾何以及動態(tài)幾何中的函數(shù)兩個角度出發(fā)，去徹底攻克此類問題。第一部分 真題精講【例1】2010，石景山，一模已知：如圖1，等邊的邊長為，一邊在軸上且， 交軸于點，過點作交于點（1）直接寫出點的坐標； （2）若直線將四邊形的面積兩等分，求的值； （3）如圖2，過點的拋物線與軸交于點，為線段上的一個動點，過軸上一點作的垂線，垂足為，直線交軸于點，當點在線段上運動時，現(xiàn)給出兩個結(jié)論： ，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，請你判斷哪個結(jié)論正確，并證明【思路分析】 很多同學一看到這種題干又長條件又多又復雜的代幾綜合壓軸題就覺得頭皮發(fā)麻，稍微看看不太會做就失去了攻克它的信心。在這種時候要慢慢將題目拆解，條分縷析提出每一個條件，然后一步一步來。第一問不難，C點縱坐標直接用tg60來算，七分中的兩分就到手了。第二問看似較難，但是實際上考生需要知道“過四邊形對角線交點的任意直線都將四邊形面積平分”這一定理就輕松解決了，這個定理的證明不難，有興趣同學可以自己證一下加深印象。由于EFAB還是一個等腰梯形，所以對角線交點非常好算，四分到手。最后三分收起來有點麻煩，不過稍微認真點畫圖，不難猜出式成立。拋物線倒是好求，因為要證的是角度相等，所以大家應(yīng)該想到全等或者相似三角形，過D做一條垂線就發(fā)現(xiàn)圖中有多個全等關(guān)系，下面就忘記拋物線吧，單獨將三角形拆出來當成一個純粹的幾何題去證明就很簡單了。至此，一道看起來很難的壓軸大題的7分就成功落入囊中了。【解析】解：（1）； （2）過點作于，交于點，取的中點是等邊三角形， 在中，交于， （就是四邊形對角線的中點，橫坐標自然和C一樣，縱坐標就是E的縱坐標的一半）直線將四邊形的面積兩等分直線必過點， （3）正確結(jié)論：證明：可求得過的拋物線解析式為 由題意又，過點作于由題意可知即： （這一問點多圖雜，不行就直接另起一個沒有拋物線干擾的圖）【例2】2010，懷柔，一模如圖,在平面直角坐標系xoy中,拋物線與正半軸交于點A,與軸交于點B,過點B作x軸的平行線BC,交拋物線于點C,連結(jié)AC現(xiàn)有兩動點P、Q分別從O、C兩點同時出發(fā),點P以每秒4個單位的速度沿OA向終點A移動,點Q以每秒1個單位的速度沿CB向點B移動,點P停止運動時,點Q也同時停止運動,線段OC,PQ相交于點D,過點D作DEOA,交CA于點E,射線QE交x軸于點F設(shè)動點P,Q移動的時間為t(單位:秒)(1)求A,B,C三點的坐標;(2)當t為何值時,四邊形PQCA為平行四邊形?請寫出計算過程;(3)當0t時,PQF的面積是否總為定值?若是,求出此定值,若不是,請說明理由;(4)當t _時,PQF為等腰三角形?【思路分析】近年來這種問動點運動到何處時圖像變成特殊圖形的題目非常流行，所以大家需要對各種特殊圖形的判定性質(zhì)非常熟悉。本題一樣一步步拆開來做，第一問送分，給出的拋物線表達式很好因式分解。注意平行于X軸的直線交拋物線的兩個點一定是關(guān)于對稱軸對稱的。第二問就在于當四邊形PQCA為平行四邊形的時候題中已知條件有何關(guān)系。在運動中，QC和PA始終是平行的，根據(jù)平行四邊形的判定性質(zhì)，只要QC=PA時候即可。第三問求PQF是否為定值，因為三角形的一條高就是Q到X軸的距離，而運動中這個距離是固定的，所以只需看PF是否為定值即可。根據(jù)相似三角形建立比例關(guān)系發(fā)現(xiàn)OP=AF，得解。第四問因為已經(jīng)知道PF為一個定值，所以只需PQ=PF=18即可，P點（4t,0）Q (8-t,-10),F(18+4t,0)兩點間距離公式分類討論即可.本道題是09年黃岡原題,第四問原本是作為解答題來出的本來是3分,但是本題作為1分的填空,考生只要大概猜出應(yīng)該是FP=FQ就可以。實際考試中如果碰到這么麻煩的,如果沒時間的話筆者個人建議放棄這一分去檢查其他的.畢竟得到這一分的時間都可以把選擇填空仔細過一遍了.【解析】解：(1) ，令得，或； 在中，令得即； 由于BCOA，故點C的縱坐標為10，由得或即 于是，（2）若四邊形PQCA為平行四邊形，由于QCPA.故只要QC=PA即可 得 （3）設(shè)點P運動秒，則，說明P在線段OA上，且不與點O、A重合，由于QCOP知QDCPDO，故 又點Q到直線PF的距離PQF的面積總為90 （4）由上知，。構(gòu)造直角三角形后易得，若FP=PQ，即，故， 若QP=QF，即，無的滿足條件；12若PQ=PF，即，得，或都不滿足，故無的滿足方程； 綜上所述：當時，PQR是等腰三角形。 【例3】2010,延慶,一模如圖，已知拋物線：的頂點為，與軸相交于、兩點（點在點的左邊），點的橫坐標是（1）求點坐標及的值；（2）如圖（1），拋物線與拋物線關(guān)于軸對稱，將拋物線向右平移，平移后的拋物線記為，的頂點為，當點、關(guān)于點成中心對稱時，求的解析式；（3）如圖（2），點是軸正半軸上一點，將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)后得到拋物線拋物線的頂點為，與軸相交于、兩點（點在點的左邊），當以點、為頂點的三角形是直角三角形時，求點的坐標yxAOBPM圖1C1C2C3 yxAOBPN圖2C1C4QEF【思路分析】出題人比較仁慈，上來就直接給出拋物線頂點式，再將B（1,0）代入，第一問輕松拿分。第二問直接求出M坐標，然后設(shè)頂點式，繼續(xù)代入點B即可。第三問則需要設(shè)出N，然后分別將NP，PF,NF三個線段的距離表示出來，然后切記分情況討論直角的可能性。計算量比較大，務(wù)必細心?！窘馕觥拷猓河蓲佄锞€：得頂點的為 點在拋物線上 解得， 連接，作軸于，作軸于點、關(guān)于點成中心對稱過點，且,頂點的坐標為 （標準答案如此，其實沒這么麻煩，點M到B的橫縱坐標之差都等于B到P的，直接可以得出（4,5）拋物線由關(guān)于軸對稱得到，拋物線由平移得到拋物線的表達式為拋物線由繞點軸上的點旋轉(zhuǎn)得到頂點、關(guān)于點成中心對稱由得點的縱坐標為設(shè)點坐標為 作軸于，作軸于作于旋轉(zhuǎn)中心在軸上yxAOBPN圖(2)C1C4QEFHGK，點坐標為坐標為，坐標為，根據(jù)勾股定理得 當時，解得，點坐標為 當時，解得，點坐標為，綜上所得，當點坐標為或時，以點、為頂點的三角形是直角三角形 【例4】2010，房山，一模如圖，在平面直角坐標系中，直線l1：交軸、軸于、兩點，點是線段上一動點，點是線段的三等分點（1）求點的坐標；（2）連接，將繞點旋轉(zhuǎn)，得到當時，連結(jié)、，若過原點的直線將四邊形分成面積相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；過點作軸于，當點的坐標為何值時，由點、構(gòu)成的四邊形為梯形？ 【思路分析】本題計算方面不是很繁瑣，但是對圖形的構(gòu)造能力提出了要求，也是一道比較典型的動點移動導致特殊圖形出現(xiàn)的題目。第一問自不必說，第二問第一小問和前面例題是一樣的，也是要把握過四邊形對角線交點的直線一定平分該四邊形面積這一定理。求出交點就意味著知道了直線.第二小問較為麻煩,因為C點有兩種可能,H在C點的左右又是兩種可能,所以需要分類討論去求解.只要利用好梯形兩底平行這一性質(zhì)就可以了.【解析】（1）根據(jù)題意：， 是線段的三等分點或-2分（2）如圖，過點作軸于點， 則點在直線上- 是由繞點旋轉(zhuǎn)得到的無論是、點，四邊形是平行四邊形且為對稱中心所求的直線必過點直線的解析式為: 當時，第一種情況：在點左側(cè)若四邊形是梯形與不平行此時 第二種情況：在點右側(cè)若四邊形是梯形與不平行是線段的中點是線段的中點由，點的橫坐標為 當時，同理可得第一種情況：在點左側(cè)時，- 第二種情況：在點右側(cè)時，- 綜上所述，所求M點的坐標為：，或【例5】通州，2010，一模在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，（點A在點B左側(cè)）.與y軸交于點C，頂點為D，直線CD與x軸交于點E.（1）請你畫出此拋物線，并求A、B、C、D四點的坐標.（2）將直線CD向左平移兩個單位，與拋物線交于點F（不與A、B兩點重合），請你求出F點坐標.（3）在點B、點F之間的拋物線上有一點P，使PBF的面積最大，求此時P點坐標及PBF的最大面積.（4）若平行于x軸的直線與拋物線交于G、H兩點，以GH為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑.【思路分析】本題看似錯綜復雜，尤其最后第四問的圖像畫出來又亂又擠，稍微沒畫好就會讓人頭大無比。但是不用慌，一步步來慢慢做。拋物線表達式很好分解，第一問輕松寫出四個點。第二問向左平移，C到對稱軸的距離剛好是1，所以移動兩個距離以后就到了關(guān)于對稱軸對稱的點上，所以F直接寫出為（-2,-3）第三問看似棘手，但是只要將PBF拆解成以Y軸上的線段為公共邊的兩個小三角形就會很輕松了。將P點設(shè)出來然后列方程求解即可。最后一問要分GH在X軸上方和下方兩種情況，分類討論。不過做到最后一步相信同學們的圖已經(jīng)畫的亂七八糟了，因為和前面的問題沒有太大關(guān)系，所以建議大家畫兩個圖分開來看。【解析】解：（1）. （2） （3）過點作軸的平行線與交于點，與軸交于點易得，直線解析式為設(shè)，則， 的最大值是. 當取最大值時的面積最大 的面積的最大值為 . （4）如圖，當直線在軸上方時，設(shè)圓的半徑為，則，代入拋物線的表達式，解得. 當直線在軸下方時，設(shè)圓的半徑為，則，代入拋物線的表達式，解得 圓的半徑為或 .【總結(jié)】 通過以上五道一模真題，我們發(fā)現(xiàn)這類問題雖然看起來十分復雜，但是只要一問一問研究慢慢分析，總能拿到不錯的分數(shù)。將幾何圖形添進坐標系大多情況下是和拋物線有關(guān)，所以首先需要同學們對拋物線的各種性質(zhì)熟練掌握，尤其是借助拋物線的對稱性，有的時候解題會十分方便。無論題目中的圖形是三角形，梯形以及平行四邊形或者圓，只要認清各種圖形的一般性質(zhì)如何在題中體現(xiàn)就可以了。例如等腰/邊三角形大多和相似以及線段長度有關(guān)，梯形要抓住平行，平行四邊形要看平行且相等，圓形就要看半徑和題目中的條件有何關(guān)系。還需要掌握平分三角形/四邊形/圓形面積的直線分別都一定過哪些點?？傊?，再難的問題都是由一個個小問題組成的，就算最后一兩問沒有時間思考拿不了全分，至少要將前面容易的分數(shù)拿到手，這部分分數(shù)其實還不少。像例2最后一問那種情況，該放棄時候果斷放棄，不要為1分的題失去了大量檢查的時間。第二部分 發(fā)散思考【思考1】2009，北京. 如圖，在平面直角坐標系中，三個頂點的坐標分別為，延長AC到點D,使CD=,過點D作DEAB交BC的延長線于點E.（1）求D點的坐標；（2）作C點關(guān)于直線DE的對稱點F,分別連結(jié)DF、EF，若過B點的直線將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；（3）設(shè)G為y軸上一點，點P從直線與y軸的交點出發(fā)，先沿y軸到達G點，再沿GA到達A點，若P點在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定G點的位置，使P點按照上述要求到達A點所用的時間最短。（要求：簡述確定G點位置的方法，但不要求證明）【思路分析】在一模真題部分我們談到的是直線分四邊形面積相等，但是這道去年中考原題則是分周長相等。周長是由很多個線段組成的，所以分周長相等只需要研究哪些線段之和相等就可以了。所以自然想到去證明全等三角形。第三問雖然不要求證明，但是只需設(shè)出速度,利用相似三角形去建立關(guān)系,還是不難證明的,有余力的同學可以試試.【思考2】2009，西城，一模已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線與x軸、y軸的交點分別為A、B，將OBA對折，使點O的對應(yīng)點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C.（1）直接寫出點C的坐標，并求過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）若拋物線的頂點為D，在直線BC上是否存在點P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；（3）設(shè)拋物線的對稱軸與直線BC的交點為T，Q為線段BT上一點，直接寫出的取值范圍.【思路分析】第二問有兩個思路，第一個是看已知四邊形的線段是否平行且相等，角是否符合平行四邊形的條件。另一個是看假如有平行四邊形，那么構(gòu)成平行四邊形的點P是否在BC上。從這兩個思路出發(fā)，列出方程等式即可求解。第三問根據(jù)拋物線的對稱性來看三點共線，繼而看出最大值和最小值分別是多少?！舅伎?】2009，朝陽，一模拋物線與x軸交于A（1，0）、B兩點，與y軸交于點C（0，3），拋物線頂點為M，連接AC并延長AC交拋物線對稱軸于點Q，且點Q到x軸的距離為6.（1）求此拋物線的解析式；（2）在拋物線上找一點D，使得DC與AC垂直，求出點D的坐標；（3）拋物線對稱軸上是否存在一點P，使得SPAM=3SACM，若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由.【思路分析】第一問要算的比較多，設(shè)直線以后求解析式，看出拋物線對稱軸為x=1,然后設(shè)頂點式解個二元方程組即可.第二問利用三角形相似求出點N坐標,然后聯(lián)立拋物線與直線CN即可求出點D.第三問考驗對圖形的理解,如果能巧妙的將ACM的面積看成是四邊形ACEM減去AME,那么就會發(fā)現(xiàn)四邊形ACEM剛好也是AOC和梯形OCEM之和,于是可以求出PM的距離,然后分類討論PM的位置即可求解.【思考4】2009，崇文，一模如圖，拋物線，與軸交于點，且（I）求拋物線的解析式；（II）探究坐標軸上是否存在點，使得以點為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由； （III）直線交軸于點，為拋物線頂點若，的值【思路分析】本題雖然沒有明確給出坐標，但是表達式中暗含了X=0時Y=-3，于是C點得出，然后利用給定的等式關(guān)系寫出A,B去求解析式。第二問中，因為AC是固定的，所以構(gòu)成的直角三角形根據(jù)P的不同有三種類型。注意分類討論。第三問則是少見的計算角度問題，但是實際上也是用線段去看角度的相等。最方便就是利用正切值構(gòu)建比例關(guān)系，發(fā)現(xiàn)CBE=DBO，于是所求角度差就變成了求OBC。第三部分 思考題解析【思考1解析】解：（1），設(shè)與軸交于點由可得又，同理可得點的坐標為（2）由（1）可得點的坐標為yDECBOAx11HSMTGF由，可得軸所在直線是線段的垂直平分線點關(guān)于直線的對稱點在軸上與互相垂直平分四邊形為菱形，且點為其對稱中心作直線設(shè)與分別交于點、點可證，直線將四邊形分成周長相等的兩個四邊形由點，點在直線上，可得直線的解析式為（3）確定點位置的方法：過點作于點則與軸的交點為所求的點由，可得，在中，點的坐標為（或點的位置為線段的中點）【思考2解析】解：（1）點C的坐標為. 點A、B的坐標分別為， 可設(shè)過A、B、C三點的拋物線的解析式為. 將代入拋物線的解析式，得. 圖8 過A、B、C三點的拋物線的解析式為. （2）可得拋物線的對稱軸為，頂點D的坐標為 ，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為G.直線BC的解析式為.- 設(shè)點P的坐標為.解法一：如圖8，作OPAD交直線BC于點P，連結(jié)AP，作PMx軸于點M. OPAD， POM=GAD，tanPOM=tanGAD. ，即. 解得. 經(jīng)檢驗是原方程的解. 此時點P的坐標為. 但此時，OMGA.