河南八重點(diǎn)高中聯(lián)盟高三數(shù)學(xué)第五次測(cè)評(píng)理

河南省八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟2019屆高三數(shù)學(xué)第五次測(cè)評(píng)試題 理一、單選題1設(shè)集合，則（ ）ABCD【答案】C【解析】化簡(jiǎn)集合A，B根據(jù)補(bǔ)集和交集的定義即可求出【詳解】集合Ay|y2x1（1，+），Bx|x11，+），則RB（，1）則A（RB）（1，1），故選：C【點(diǎn)睛】本題考查集合的交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，是基礎(chǔ)題解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答2已知復(fù)數(shù)，則（ ）ABCD【答案】A【解析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式即可得出【詳解】由題 故 故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題3在等比數(shù)列中，則（ ）ABC2D4【答案】B【解析】將 轉(zhuǎn)化為關(guān)于 和q的算式，計(jì)算出q即可求出a1【詳解】因?yàn)閝4，所以q8+q420，所以q44或q45（舍），所以q22，1，所以故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，要求熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)4如圖，在正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)恰好取自陰影部分內(nèi)的概率為（ ）ABCD【答案】B【解析】由定積分的運(yùn)算得：S陰（1）dx（x），由幾何概型中的面積型得：P（A），得解【詳解】由圖可知曲線與正方形在第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），由定積分的定義可得：S陰（1）dx（x），設(shè)“點(diǎn)M恰好取自陰影部分內(nèi)”為事件A，由幾何概型中的面積型可得：P（A），故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的運(yùn)算及幾何概型中的面積型，考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬基礎(chǔ)題5已知，則（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意利用兩角差的正余弦公式展開(kāi)求得tan的值，再利用二倍角公式求得的值【詳解】由題 ，則 故 故選：A【點(diǎn)睛】本題主要兩角差的正余弦公式，二倍角公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題6如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的各個(gè)面中是直角三角形的個(gè)數(shù)為（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】畫出幾何體的直觀圖，判斷出各面的形狀，可得答案【詳解】三視圖還原為如圖所示三棱錐A-BCD：由正方體的性質(zhì)得 為直角三角形， 為正三角形故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔7已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，若兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率為（ ）ABCD【答案】D【解析】由題意畫出圖形，可得，兩邊平方后結(jié)合隱含條件得答案【詳解】如圖， 由題意可得，則2b2c2，即2（a2c2）c2，則2a23c2，即e故選：D【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題8已知函數(shù)，若，則（ ）ABCD【答案】B【解析】由題推導(dǎo)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)（2,1）對(duì)稱即可求解【詳解】因?yàn)?故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)（2,1）對(duì)稱，則 故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查推理計(jì)算能力，是中檔題9已知將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，若和的圖象都關(guān)于對(duì)稱，則（ ）ABCD【答案】A【解析】由函數(shù)yAsin（x+）的圖象變換即可得的圖象，利用函數(shù)的對(duì)稱性求解即可【詳解】由題 又和的圖象都關(guān)于對(duì)稱，則 ，得 ，即，又，故， ，則故選：A【點(diǎn)睛】本題考查，函數(shù)yAsin（x+）的圖象變換確定其解析式，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題10已知實(shí)數(shù)，滿足，若的最大值是3，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【解析】畫出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，將目標(biāo)函數(shù)變形，數(shù)形結(jié)合判斷出z最大時(shí)，a的取值范圍【詳解】令當(dāng)時(shí)，不等式組的可行域如圖陰影所示： 將目標(biāo)函數(shù)變形得y2x+z，由題知z無(wú)最大值，舍去當(dāng)時(shí)，不等式組的可行域如圖陰影所示：將目標(biāo)函數(shù)變形得y2x+z，由題知z最大時(shí)，直線的縱截距最大，在（0,3）取得最大3，符合題意；當(dāng)時(shí)，不等式組的可行域如圖陰影所示將目標(biāo)函數(shù)變形得y2x+z，由題知z最大時(shí)，直線的縱截距最大，在（0,3）取得最大3，符合題意；綜上： 故選：A【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃，考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，準(zhǔn)確作圖計(jì)算是關(guān)鍵是中檔題11已知函數(shù)，若方程有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】由方程的解與函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題得：方程f（x）f（x）有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于yf（x）的圖象與yg（x）的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，作圖可知，只需yax與曲線ylnx在第一象限由兩個(gè)交點(diǎn)即可，利用導(dǎo)數(shù)求切線方程得：設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與ylnx切于點(diǎn)P（x0，y0），得lnx01，即f（e），即過(guò)原點(diǎn)的直線與ylnx相切的直線方程為yx，即所求a的取值范圍為0，得解【詳解】設(shè)g（x）f（x），則yg（x）的圖象與yf（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，方程f（x）f（x）有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)yf（x）的圖象與yg（x）的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，只需yax與曲線ylnx在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)即可，設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與ylnx切于點(diǎn)P（x0，y0），由f（x），則ylnx的切線為ylnx0（xx0），又此直線過(guò)點(diǎn)（0，0），所以lnx01，所以x0e，即f（e），即過(guò)原點(diǎn)的直線與ylnx相切的直線方程為yx，即所求a的取值范圍為0，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題及利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，屬中檔題12在一個(gè)圓錐內(nèi)有一個(gè)半徑為的半球，其底面與圓錐的底面重合，且與圓錐的側(cè)面相切，若該圓錐體積的最小值為，則（ ）A1BC2D【答案】B【解析】畫出三視圖及正視圖，設(shè)圓錐的底面半徑為，高為 ,得，進(jìn)一步得圓錐體積，求導(dǎo)求最值即可求解【詳解】幾何體如圖一所示：其正視圖如圖二所示設(shè)圓錐的底面圓心為O, 半徑為，高為,則OA=, 又圓錐體積 令 ，則 當(dāng)，故在 單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在取得最小值，此時(shí) 故選：B【點(diǎn)睛】本題考查球的組合體問(wèn)題，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查空間想象和轉(zhuǎn)化化歸能力，是難題二、填空題13已知向量，滿足，向量在向量方向上的投影為1，則_.【答案】2【解析】由投影求得，再由模長(zhǎng)公式求解即可【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄糠较蛏系耐队盀?則| 2故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積及幾何意義，考查模長(zhǎng)公式，注意平面向量的數(shù)量積公式的靈活運(yùn)用14從4名男生和3名女生中選出4名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，要求男生中的甲和乙不能同時(shí)參加，女生中的丙和丁至少有一名參加，則不同的選法種數(shù)為_(kāi).（用數(shù)字作答）【答案】23【解析】由排列組合及分類討論思想分別討論：設(shè)甲參加，乙不參加，設(shè)乙參加，甲不參加，設(shè)甲，乙都不參加，可得不同的選法種數(shù)為9+9+523，得解【詳解】設(shè)甲參加，乙不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為9，設(shè)乙參加，甲不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為9，設(shè)甲，乙都不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為5，綜合得：不同的選法種數(shù)為9+9+523，故答案為：23【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合及分類討論思想，準(zhǔn)確分類及計(jì)算是關(guān)鍵，屬中檔題15在數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則_.【答案】1010【解析】討論n的奇偶性得的周期性，再求和即可【詳解】當(dāng)n為偶數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)，即故 即為周期為4的數(shù)列，又故 故，則1010故答案為1010【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，考查數(shù)列的周期性及求和，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是中檔題16已知雙曲線：的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在曲線上，若中，則雙曲線的漸近線方程為_(kāi).【答案】【解析】利用已知條件求出P的坐標(biāo)（x，y）滿足的條件，然后求解a，b的關(guān)系即可，【詳解】如圖，過(guò)B作BMx軸，PBAPAB，則PABPBM，PAB+PBx即kPAkPB1設(shè)P（x，y），又A（a，0），B（a，0），x2y2a2，ab，則雙曲線C的漸近線方程為yx，故答案為：yx【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力屬于中檔題三、解答題17如圖中，為的中點(diǎn)，.（1）求邊的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)在邊上，若是的角平分線，求的面積.【答案】（1）10；（2）.【解析】（1）由題意可得cosADBcosADC，由已知利用余弦定理可得：9+BD252+9+BD2160，進(jìn)而解得BC的值（2）由（1）可知ADC為直角三角形，可求SADC6，SABC2SADC12，利用角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)SABCSBCE+SACE可求SBCE的值【詳解】（1）因?yàn)樵谶吷?，所以，在和中由余弦定理，得，因?yàn)?，所以，所以?所以邊的長(zhǎng)為10.（2）由（1）知為直角三角形，所以，.因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，所以.所以，所以.即的面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理，三角形的面積公式，角平分線的性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題18如圖，三棱柱中，平面平面，.（1）求證：平面平面；（2）若與平面所成的線面角為，求二面角的余弦值.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由平面ACC1A1平面ABC，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得BCA1C，再由B1C1BC，得A1C平面AB1C1；（2）取AC中點(diǎn)M，連接A1M，由已知可得A1MAC，且，令A(yù)A1AC2CB2，則以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB所在直線為x，y軸，過(guò)C且平行于A1M 的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系分別求出平面ACB1 與平面A1B1C的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角C1AB1C的余弦值【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，所?因?yàn)槭瞧叫兴倪呅?，且，所以是菱形?因?yàn)椋云矫?又平面，所以平面平面.（2）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭橇庑?，所以是正三角形，所以，?令，則.所以以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)且平行于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，得，令，則，所以.由（1）知平面，所以是平面的一個(gè)法向量，所以.所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角，是中檔題19已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線：交于，兩點(diǎn)，且 （1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，記，的面積分別為，證明：為定值.【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)直線l的方程為xmy+1，與拋物線C的方程聯(lián)立消去x得關(guān)于y的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示，從而求得p的值；（2）由題意求出弦長(zhǎng)|AB|以及原點(diǎn)到直線l的距離，計(jì)算OAB的面積S1，同理求出OPQ的面積S2，再求的值【詳解】（1）設(shè)直線：，與聯(lián)立消得，.設(shè)，則，.因?yàn)?，所以，解?所以拋物線的方程為.（2）由（1）知是拋物線的焦點(diǎn)，所以.原點(diǎn)到直線的距離，所以.因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)且，所以.所以.即為定值.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了直線與拋物線方程的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題202019年1月4日，據(jù)“央視財(cái)經(jīng)”微信公眾號(hào)消息，點(diǎn)外賣已成為眾多消費(fèi)者一大常規(guī)的就餐形式，外賣員也成為了一種職業(yè).為調(diào)查某外賣平臺(tái)外賣員的送餐收入，現(xiàn)從該平臺(tái)隨機(jī)抽取100名點(diǎn)外賣的用戶進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按送餐距離分類統(tǒng)計(jì)得如下頻率分布直方圖：將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.（1）求的值，并估計(jì)利用該外賣平臺(tái)點(diǎn)外賣用戶的平均送餐距離；（2）若該外賣平臺(tái)給外賣員的送餐費(fèi)用與送餐距離有關(guān)，規(guī)定2千米內(nèi)為短距離，每份3元，2千米到4千米為中距離，每份5元，超過(guò)4千米為遠(yuǎn)距離，每份9元.（i）記為外賣員送一份外賣的牧入（單位：元），求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）若外賣員一天的收入不低于150元，試?yán)蒙鲜鰯?shù)據(jù)估計(jì)該外賣員一天的送餐距離至少為多少千米？【答案】（1），2.7千米；（2）（i）詳見(jiàn)解析；（ii）81千米.【解析】（1）由頻數(shù)分布表及頻率之和為1可求a；（2）結(jié)合頻率分布表、直方圖計(jì)算（i）外賣員送一份外賣的收入（單位：元）X的所有可能取值為3，5，9；計(jì)算期望，（ii）若外賣員一天的收入不低于150元，可進(jìn)行估算，因?yàn)?50530，則估計(jì)外賣員一天至少要送30份外賣可計(jì)算【詳解】（1）因?yàn)?，解?點(diǎn)外賣用戶的平均送餐距離為千米.（2）（i）由題意知的所有可能取值為3，5，9.；.所有的分布列為3590.300.550.15的數(shù)學(xué)期望為（元）.（ii）因?yàn)?，則估計(jì)外賣員一天至少要送30份外賣，所以該外賣員一天的送餐距離至少為千米.【點(diǎn)睛】本題考查由頻率分布表、直方圖進(jìn)行計(jì)算，估算，考查頻數(shù)、頻率，考查頻率公式，期望公式的應(yīng)用，屬于中檔題21已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：時(shí)，.【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間（2）詳見(jiàn)解析.【解析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x1時(shí)的導(dǎo)數(shù)，再求得f（1），然后利用直線方程的點(diǎn)斜式得答案；（2）構(gòu)造新函數(shù)h（x）exx2（e2）x1，證明ex（e2）x1x2；令新函數(shù)（x）lnxx，證明x（lnx+1）x2，從而證明結(jié)論成立【詳解】（1）由，得.因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與直線垂直，所以，所以，即，.令，則.所以時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增.所以，所以，單調(diào)遞增.即的單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間（2）由（1）知，所以在處的切線為，即.令，則，且，時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以存在，使時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增.又，所以時(shí)，即，所以.令，則.所以時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減，所以，即，因?yàn)?，所以，所以時(shí)，即時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查構(gòu)造新函數(shù)求最值證明不等式，是難題22選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲