高考數(shù)學4應用題的解法50.doc

高考數(shù)學應用題的解法2007年全國數(shù)學考試大綱（課標版）中，能力要求中指出，能力是指思維能力、運算能力、空間想象能力以及實踐能力和創(chuàng)新意識，其中對實踐能力的界定是：能綜合應用所學數(shù)學知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關(guān)學科、生產(chǎn)、生活中簡單的數(shù)學問題；能理解對問題陳述的材料，并對所提供的信息資料進行歸納、整理和分類，將實際問題抽象為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型；應用相關(guān)的數(shù)學方法解決問題并加以驗證，并能用數(shù)學語言正確地表達和說明.實踐能力是將客觀事物數(shù)學化的能力.主要過程是依據(jù)現(xiàn)實的生活背景，提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造數(shù)學模型，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，并加以解決.2007年山東數(shù)學考試說明對實踐能力的界定是：能夠綜合運用所學知識對問題所提供的信息資料進行歸納、整理和分類，將實際問題抽象為數(shù)學問題；能應用相關(guān)的數(shù)學方法解決問題，并能用數(shù)學語言正確地表述、說明對實踐能力的考查主要采用解決應用問題的形式.命題時要堅持“貼近生活，背景公平，控制難度”的原則，試題設計要切合中學數(shù)學教學的實際，考慮學生的年齡特點和實踐經(jīng)驗，使數(shù)學應用問題的難度符合考生的水平.數(shù)學應用性問題是歷年高考命題的主要題型之一, 高考中一般命制一道解答題和兩道選擇填空題. 由于這類題目文字敘述長，數(shù)學背景陌生，涉及面又廣，對相當一部分學生來講，連題目都不“敢”去看了，心理失衡，導致在閱讀和理解方面存在著一定困難.解答這類問題的要害是消除心理和語言障礙，深刻理解題意,做好文字語言向數(shù)學的符號語言的翻譯轉(zhuǎn)化, 自信，冷靜地去讀完題目，保持冷靜，認真對待，不能隨意放棄.讀題是翻譯的基礎，讀題時要抓住題目中的關(guān)鍵字、詞、句，弄清題中的已知事項，初步了解題目中講的是什么事情，要求的結(jié)果是什么。在讀題的基礎上，要能復述題目中的要點，深思題意，很多情況下，可將應用題翻譯成圖表形式，形象鮮明地表現(xiàn)出題中各數(shù)量之間的關(guān)系，將文字語言、符號語言、圖表語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言，這個過程其實就是建模。函數(shù),數(shù)列,不等式，排列組合、概率是較為常見的模型,而三角,立幾,解幾等模型也時有出現(xiàn).一般來說，可采用下列策略建立數(shù)學模型：（1）雙向推理列式，利用已知條件順向推理，運用所求結(jié)果進行逆向搜索；（2）借助常用模型直接列式，平均增長率的問題可建立指、對數(shù)或方程模型，行程、工程、濃度問題可以建立方程（組）或不等式模型，拱橋、炮彈發(fā)射、衛(wèi)星制造問題可建立二次模型，測量問題可建立解三角形模型；計數(shù)問題可建立排列組合問題；機會大小問題可建立概率模型，優(yōu)化問題可建立線性規(guī)劃模型一、 建構(gòu)函數(shù)模型的應用性問題 解答函數(shù)型應用題，一般先從建立函數(shù)的解析表達式入手，通過研究函數(shù)的性質(zhì)獲得解答因此，這類問題的難點一般有兩個：一是解析式的建立，二是數(shù)學知識的靈活應用1某公司為幫助尚有26.8萬元無息貸款沒有償還的殘疾人商店，借出20萬元將該商店改建成經(jīng)營狀況良好的某種消費品專賣店，并約定用該店經(jīng)營的利潤逐步償還債務(所有債務均不計利息)已知該種消費品的進價為每件40元；該店每月銷售量q（百件）與銷售價p（元件）之間的關(guān)系用右圖中的一條折線（實線）表示；職工每人每月工資為600元，該店應交付的其它費用為每月13200元（）若當銷售價p為52元件時，該店正好收支平衡，求該店的職工人數(shù)；（）若該店只安排40名職工，則該店最早可在幾年后還清所有債務，此時每件消費品的價格定為多少元？講解 本題題目的篇幅較長，所給條件零散雜亂，為此，不僅需要劃分段落層次，弄清每一層次獨立的含義和相互間的關(guān)系，更需要抓住矛盾的主要方面由題目的問題找到關(guān)鍵詞“收支平衡”、“還清所有債務”，不難想到，均與“利潤”相關(guān)從閱讀和以上分析，可以達成我們對題目的整體理解，明確這是一道函數(shù)型應用題為此，首先應該建立利潤與職工人數(shù)、月銷售量q、單位商品的銷售價p之間的關(guān)系，然后，通過研究解析式，來對問題作出解答由于銷售量和各種支出均以月為單位計量，所以，先考慮月利潤（）設該店的月利潤為S元，有職工m名則又由圖可知：所以， 由已知，當時，即解得即此時該店有50名職工（）若該店只安排40名職工，則月利潤當時，求得時，S取最大值7800元當時，求得時，S取最大值6900元綜上，當時，S有最大值7800元設該店最早可在n年后還清債務，依題意，有解得所以，該店最早可在5年后還清債務，此時消費品的單價定為55元點評求解數(shù)學應用題必須突破三關(guān)：（1）閱讀理解關(guān)：一般數(shù)學應用題的文字閱讀量都比較大，要通過閱讀審題，找出關(guān)鍵詞、句，理解其意義（2）建模關(guān)：即建立實際問題的數(shù)學模型，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題（3）數(shù)理關(guān)：運用恰當?shù)臄?shù)學方法去解決已建立的數(shù)學模型2某廠生產(chǎn)一種儀器，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會產(chǎn)生一些次品根據(jù)經(jīng)驗知道，該廠生產(chǎn)這種儀器，次品率P與日產(chǎn)量x（件）之間大體滿足關(guān)系：注：次品率，如表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，約有1件為次品其余為合格品已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可以盈利A元，但每生產(chǎn)一件次品將虧損元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量（）試將生產(chǎn)這種儀器每天的盈利額T（元）表示為日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；（）當日產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？講解：（）當時，所以，每天的盈利額當時，所以，每日生產(chǎn)的合格儀器約有件，次品約有件故，每天的盈利額綜上，日盈利額（元）與日產(chǎn)量（件）的函數(shù)關(guān)系為：（）由（）知，當時，每天的盈利額為0當時，為表達方便，令，則故（等號當且僅當，即時成立）所以，（1）當時，（等號當且僅當時成立）（2） 當時，由得，易證函數(shù)在上單調(diào)遞增（證明過程略）所以，所以，即（等號當且僅當時取得）綜上，若，則當日產(chǎn)量為88件時，可獲得最大利潤；若，則當日產(chǎn)量為時，可獲得最大利潤點評基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性是求解函數(shù)最值問題的兩大重要手段3.某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗得到下面有關(guān)銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺），其總成本為G（x）萬元，其中固定成本為2萬元，并且每生產(chǎn)100臺的生產(chǎn)成本為1萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本），銷售收入R(x)滿足R(x)=.假定該產(chǎn)品銷售平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律.（1）要使工廠有盈利，產(chǎn)品x應控制在什么范圍？（2）工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時贏利最大？并求此時每臺產(chǎn)品的售價為多少？解：依題意，G（x)=x+2,設利潤函數(shù)為f(x),則(1)要使工廠有贏利，則有f(x)0.當0x5時，有0.4x2+3.2x2.80,得1x7,15時，有8.2x0,得x8.2,5x8.2.綜上，要使工廠贏利，應滿足1x5時f(x)b,各字母均為正值，所以y1y20，即y20,由cb及每字母都是正值，得cb+.所以，當cb+時y2y3,由y2y1即y2最小，當bacb+時，y3y21時，才可對沖浪者開放.1, 0.2k,即有12k3t13k+3.由0t24,故可令k=0,1,2,得0t3或9t15或210,2n2+40n720，解得2n18.由nN知從第三年開始獲利.（2）年平均利潤=402(n+)16.當且僅當n=6時取等號.故此方案先獲利616+48=144（萬美元），此時n=6,f(n)=2(n10)2+128.當n=10時，f(n)|max=128.故第種方案共獲利128+16=144（萬美元）.故比較兩種方案，獲利都是144萬美元，但第種方案只需6年，而第種方案需10年，故選擇第種方案.8.某廠使用兩種零件A、B裝配兩種產(chǎn)品P、Q，該廠的生產(chǎn)能力是月產(chǎn)P產(chǎn)品最多有2500件，月產(chǎn)Q產(chǎn)品最多有1200件；而且組裝一件P產(chǎn)品要4個A、2個B，組裝一件Q產(chǎn)品要6個A、8個B，該廠在某個月能用的A零件最多14000個；B零件最多12000個.已知P產(chǎn)品每件利潤1000元，Q產(chǎn)品每件2000元，欲使月利潤最大，需要組裝P、Q產(chǎn)品各多少件？最大利潤多少萬元.解：設分別生產(chǎn)P、Q產(chǎn)品x件、y件，則有設利潤S=1000x+2000y=1000(x+2y)要使利潤S最大，只需求x+2y的最大值.x+2y=m(2x+3y)+n(x+4y)=x(2m+n)+y(3m+4n) 有x+2y=(2x+3y)+(x+4y)7000+6000.當且僅當解得時取等號，此時最大利潤Smax=1000(x+2y)=4000000=400(萬元).另外此題可運用“線性規(guī)劃模型”解決.9. 隨著機構(gòu)改革工作的深入進行，各單位要減員增效，有一家公司現(xiàn)有職員人（140420，且為偶數(shù)），每人每年可創(chuàng)利萬元.據(jù)評估，在經(jīng)營條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)利萬元，但公司需付下崗職員每人每年萬元的生活費，并且該公司正常運轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員的，為獲得最大的經(jīng)濟效益，該公司應裁員多少人？ 解 設裁員人，可獲得的經(jīng)濟效益為萬元,則 =依題意 0.又140420, 70210.(1)當0,即70,即140210時， , 取到最大值;OABvt2(1k)t4kt15 綜上所述，當70140時，應裁員人；當140210時，應裁員人.在多字母的數(shù)學問題當中，分類求解時需要搞清：為什么分類？對誰分類？如何分類？10.醫(yī)學上為研究傳染病傳播中病毒細胞的發(fā)展規(guī)律及其預防，將病毒細胞注入一只小白鼠體內(nèi)進行實驗，經(jīng)檢測，病毒細胞的增長數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記錄如下表. 已知該種病毒細胞在小白鼠體內(nèi)的個數(shù)超過108的時候小白鼠將死亡但注射某種藥物，將可殺死其體內(nèi)該病毒細胞的98%（1）為了使小白鼠在實驗過程中不死亡，第一次最遲應在何時注射該種藥物？（精確到天）（2）第二次最遲應在何時注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天）天數(shù)t病毒細胞總數(shù)N12345671248163264 已知：lg2=0.3010天數(shù)t病毒細胞總數(shù)N12345671248163264講解 （1）由題意病毒細胞關(guān)于時間n的函數(shù)為, 則由兩邊取對數(shù)得 n27.5, 即第一次最遲應在第27天注射該種藥物.（2）由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細胞為,再經(jīng)過x天后小白鼠體內(nèi)病毒細胞為,由題意108，兩邊取對數(shù)得， 故再經(jīng)過6天必須注射藥物，即第二次應在第33天注射藥物本題反映的解題技巧是“兩邊取對數(shù)”，這對實施指數(shù)運算是很有效的.11.在一很大的湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開，小船被風刮跑，其方向與湖岸成15角，速度為2.5km/h，同時岸邊有一人,從同一地點開始追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4km/h，在水中游的速度為2km/h.,問此人能否追上小船.若小船速度改變，則小船能被人追上的最大速度是多少？講解: 不妨畫一個圖形,將文字語言翻譯為圖形語言, 進而想法建立數(shù)學模型.設船速為v，顯然時人是不可能追上小船，當km/h時，人不必在岸上跑，而只要立即從同一地點直接下水就可以追上小船，因此只要考慮的情況，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追趕，當人沿岸跑的軌跡和人游水的軌跡以及船在水中漂流的軌跡組成一個封閉的三角形時，人才能追上小船。設船速為v，人追上船所用時間為t，人在岸上跑的時間為，則人在水中游的時間為，人要追上小船，則人船運動的路線滿足如圖所示的三角形.由余弦是理得即整理得.要使上式在（0，1）范圍內(nèi)有實數(shù)解，則有且解得. 故當船速在內(nèi)時，人船運動路線可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度為，由此可見當船速為2.5km/h時, 人可以追上小船.涉及解答三角形的實際應用題是近年高考命題的一個冷點, 復課時值得關(guān)注.有一個受到污染的湖泊，其湖水的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現(xiàn)假設下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合，用g(t)表示某一時刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱為在時刻t時的湖水污染質(zhì)量分數(shù)，已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量分數(shù)滿足關(guān)系式g(t)= +g(0)- e(p0),其中，g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分數(shù).（1）當湖水污染質(zhì)量分數(shù)為常數(shù)時，求湖水污染的初始質(zhì)量分數(shù)； （2）求證：當g(0) 時，湖泊的污染程度將越來越嚴重； （3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%？ 講解（1）g(t)為常數(shù), 有g(shù)(0)-=0, g(0)= .(2) 我們易證得0t1t2, 則g(t1)-g(t2)=g(0)- e-g(0)- e=g(0)- e-e=g(0)- ,g(0)0,t1e,g(t1)80% ？（）求使得60%成立的最小的自然數(shù).為了解決這些問題，我們可以根據(jù)題意，列出數(shù)列的相鄰項之間的函數(shù)關(guān)系，然后由此遞推公式出發(fā)，設法求出這個數(shù)列的通項公式由題可知：，所以，當時，兩式作差得：又，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列所以， 由上式可知：對于任意，均有即全縣綠地面積不可能超過總面積的80%（）令，得，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：隨的增大而單調(diào)遞減，因此，我們只需從開始驗證，直到找到第一個使得的自然數(shù)即為所求驗證可知：當時，均有，而當時，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：當時，均有所以，從2000年底開始，5年后，即2005年底，全縣綠地面積才開始超過總面積的60%點評：（）中，也可通過估值的方法來確定的值2. 某鐵路指揮部接到預報，24小時后將有一場超歷史記錄的大暴雨，為確保萬無一失，指揮部決定在24小時內(nèi)筑一道歸時堤壩以防山洪淹沒正在緊張施工的遂道工程。經(jīng)測算，其工程量除現(xiàn)有施工人員連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需要20輛翻斗車同時作業(yè)24小時。但是，除了有一輛車可以立即投入施工外，其余車輛需要從各處緊急抽調(diào)，每隔20分鐘有一輛車到達并投入施工，而指揮部最多可組織25輛車。問24小時內(nèi)能否完成防洪堤壩工程？并說明理由.講解: 引入字母, 構(gòu)建等差數(shù)列和不等式模型.由20輛車同時工作24小時可完成全部工程可知，每輛車，每小時的工作效率為，設從第一輛車投入施工算起，各車的工作時間為a1，a2，, a25小時，依題意它們組成公差（小時）的等差數(shù)列，且，化簡可得. 解得.可見a1的工作時間可以滿足要求，即工程可以在24小時內(nèi)完成.3. 某學校為了教職工的住房問題，計劃征用一塊土地蓋一幢總建筑面積為A(m2)的宿舍樓.已知土地的征用費為2388元/m2，且每層的建筑面積相同，土地的征用面積為第一層的2.5倍.經(jīng)工程技術(shù)人員核算，第一、二層的建筑費用相同都為445元/m2，以后每增高一層，其建筑費用就增加30元/m2.試設計這幢宿舍樓的樓高層數(shù)，使總費用最少，并求出其最少費用.（總費用為建筑費用和征地費用之和）.講解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎樣建構(gòu)數(shù)學模型?設樓高為n層，總費用為y元，則征地面積為，征地費用為元，樓層建筑費用為445+445+（445+30）+（445+302）+445+30（n2） 元，從而（元）當且僅當 , n=20（層）時，總費用y最少.故當這幢宿舍樓的樓高層數(shù)為20層時, 最少總費用為1000A元.5某人計劃年初向銀行貸款10萬元用于買房他選擇10年期貸款，償還貸款的方式為：分10次等額歸還，每年一次，并從借后次年年初開始歸還，若10年期貸款的年利率為4，且每年利息均按復利計算（即本年的利息計入次年的本金生息），問每年應還多少元（精確到1元）？講解：作為解決這個問題的第一步，我們首先需要明確的是：如果不考慮其它因素，同等款額的錢在不同時期的價值是不同的比如說：現(xiàn)在的10元錢，其價值應該大于1年后的10元錢原因在于：現(xiàn)在的10元錢，在1年的時間內(nèi)要產(chǎn)生利息在此基礎上，這個問題，有兩種思考的方法：法1如果注意到按照貸款的規(guī)定，在貸款全部還清時，10萬元貸款的價值，與這個人還款的價值總額應該相等則我們可以考慮把所有的款項都轉(zhuǎn)化到同一時間（即貸款全部付清時）去計算10萬元，在10年后（即貸款全部付清時）的價值為元設每年還款x元則第1次償還的x元，在貸款全部付清時的價值為；第2次償還的x元，在貸款全部付清時的價值為；第10次償還的x元，在貸款全部付清時的價值為元于是：105(1+4)10= x(1+4)9+x(14)8x(14)7+x由等比數(shù)列求和公式可得：其中所以，法2從另一個角度思考，我們可以分步計算考慮這個人在每年還款后還欠銀行多少錢仍然設每年還款x元則第一年還款后，欠銀行的余額為：元；如果設第k年還款后，欠銀行的余額為元，則不難得出：105(1+4)10x(1+4)9x(14)8x(14)7x另一方面，按道理，第10次還款后，這個人已經(jīng)把貸款全部還清了，故有由此布列方程，得到同樣的結(jié)果點評：存、貸款問題為典型的數(shù)列應用題，解決問題的關(guān)鍵在于：1分清單利、復利（即等差與等比）；2尋找好的切入點（如本題的兩種不同的思考方法），恰當轉(zhuǎn)化3.一般來說，數(shù)列型應用題的特點是：與n有關(guān)6. 某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應超過多少輛?講解 設2001年末汽車保有量為萬輛，以后各年末汽車保有量依次為萬輛，萬輛，每年新增汽車萬輛，則 ，所以，當時，兩式相減得：（1）顯然，若，則，即，此時（2）若，則數(shù)列為以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，.（i）若，則對于任意正整數(shù)，均有，所以，此時，（ii）當時，則對于任意正整數(shù)，均有，所以，由，得，要使對于任意正整數(shù)，均有恒成立，即 對于任意正整數(shù)恒成立，解這個關(guān)于x的一元一次不等式 , 得,上式恒成立的條件為：，由于關(guān)于的函數(shù)單調(diào)遞減，所以，. 本題是2002年全國高考題，上面的解法不同于參考答案，其關(guān)鍵是化歸為含參數(shù)的不等式恒成立問題，其分離變量后又轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.7現(xiàn)有流量均為300的兩條河流A、B會合于某處后，不斷混合，它們的含沙量分別為2和0.2假設從匯合處開始，沿岸設有若干個觀測點，兩股水流在流經(jīng)相鄰兩個觀測點的過程中，其混合效果相當于兩股水流在1秒鐘內(nèi)交換100的水量，即從A股流入B股100水，經(jīng)混合后，又從B股流入A股100水并混合問：從第幾個觀測點開始，兩股河水的含沙量之差小于0.01（不考慮泥沙沉淀）？講解：本題的不等關(guān)系為“兩股河水的含沙量之差小于0.01”但直接建構(gòu)這樣的不等關(guān)系較為困難為表達方便，我們分別用來表示河水在流經(jīng)第n個觀測點時，A水流和B水流的含沙量則2，0.2，且（）由于題目中的問題是針對兩股河水的含沙量之差，所以，我們不妨直接考慮數(shù)列由（）可得：所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列所以，由題，令0）.將點（4，5）代入求得p=.x2=y.將點（2，y1）代入方程求得y1=.+|y1|=+=2（m）.答案：211.下圖是一種加熱水和食物的太陽灶，上面裝有可旋