高三數(shù)學(xué)3月質(zhì)量檢測(cè)試題 理.doc

廈門市2017屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)（理科）試題 本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分滿分150分,考試時(shí)間120分鐘第卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. 已知集合，則等于 A. B. C. D. 2.已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)等于 A. B. C. D. 3. 的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，若，則等于A. B. C. 或 D. 或 4. 若實(shí)數(shù)滿足條件，則的最小值為A. B. C. D. 5.已知平面平面，直線，直線，且，有以下四個(gè)結(jié)論： 若，則 若，則 和同時(shí)成立 和中至少有一個(gè)成立其中正確的是A B C D 6已知，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，則等于 A. B. C. D.7.拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，且不在直線上，則周長(zhǎng)的最小值為A. B. C. D.8.某校高三年級(jí)有男生220人，學(xué)籍編號(hào)1，2，220；女生380人，學(xué)籍編號(hào)221，222，600.為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的心理狀態(tài)，按學(xué)籍編號(hào)采用系統(tǒng)抽樣的方法從這600名學(xué)生中抽取10人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查（第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，抽到的號(hào)碼為10），然后再?gòu)倪@10位學(xué)生中隨機(jī)抽取3人座談，則3人中既有男生又有女生的概率是A B. C. D.9.二分法是求方程近似解的一種方法，其原理是“一分為二，無(wú)限逼近”.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值為A.2 B.3 C.4 D. 510.已知定義在上連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)滿足，且，則A. 是增函數(shù) B.是減函數(shù) C. 有最大值1 D. 有最小值111.已知雙曲線，過(guò)軸上點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)（在第一象限），直線交雙曲線左支于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），連接.若，則該雙曲線的離心率為A. B. C. D. 12已知，為動(dòng)直線與和在區(qū)間上的左，右兩個(gè)交點(diǎn)，在軸上的投影分別為，.當(dāng)矩形面積取得最大值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則A B. C. D. 第卷(非選擇題 共90分)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)14化簡(jiǎn)：_15某三棱錐的三視圖如圖所示，則其外接球的表面積為_(kāi)16若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則的最小值是_三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17（本小題滿分12分）已知數(shù)列，滿足，.（）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（）設(shè)，求.18（本小題滿分12分）為了響應(yīng)廈門市政府“低碳生活，綠色出行”的號(hào)召，思明區(qū)委文明辦率先全市發(fā)起“少開(kāi)一天車，呵護(hù)廈門藍(lán)”綠色出行活動(dòng)，“從今天開(kāi)始，從我做起，力爭(zhēng)每周至少一天不開(kāi)車，上下班或公務(wù)活動(dòng)帶頭選擇步行、騎車或乘坐公交車，鼓勵(lì)拼車”鏗鏘有力的話語(yǔ)，傳遞了低碳生活、綠色出行的理念。某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了本市500名成年市民某月的騎車次數(shù)，統(tǒng)計(jì)如下：人數(shù) 次數(shù)年齡 0,10)10,20)20,30)30,40)40,50)50,6018歲至30歲6142032404831歲至44歲462028404245歲至59歲22183337191160歲及以上1513101255聯(lián)合國(guó)世界衛(wèi)生組織于2013年確定新的年齡分段：44歲及以下為青年人，45歲至59歲為中年人，60歲及以上為老年人記本市一個(gè)年滿18歲的青年人月騎車的平均次數(shù)為.以樣本估計(jì)總體.（）估計(jì)的值；（）在本市老年人或中年人中隨機(jī)訪問(wèn)3位，其中月騎車次數(shù)超過(guò)的人數(shù)記為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.19（本小題滿分12分）在如圖所示的六面體中，面是邊長(zhǎng)為的正方形，面是直角梯形，.（）求證：/平面；（）若二面角為，求直線和平面所成角的正弦值.20.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（）當(dāng)時(shí)，求證：恒成立.21（本小題滿分12分）已知橢圓，動(dòng)圓：（圓心為橢圓上異于左右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)），過(guò)原點(diǎn)作兩條射線與圓相切，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，且切線長(zhǎng)的最小值為.（）求橢圓的方程；（）求證：的面積為定值.22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線： （為參數(shù)）以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為（）求曲線的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程；（）若直線與，在第一象限分別交于，兩點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)，若的解集是.（）求的值；（）若關(guān)于的不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.廈門市2017屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)（理科）試題答案一選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1-6 BCDBBD 7-12 CDCDAA12.解析：由題意知，與關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)，則，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)，即為.令得：，即.由不等式得：，解得：，故選A.命題意圖：考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、零點(diǎn)、不等式等，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13. 14. 15. 16. 15.解析：由三視圖可得三棱錐的直觀圖如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，設(shè)為的外心，為三棱錐的外接球的半徑，則在線段上，因?yàn)椋?，解得：，所以?6.解析：（法一）由得：在坐標(biāo)系中考察函數(shù)與的圖象，所以，的最小值等價(jià)于直線與函數(shù)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間距離的最小值.設(shè)直線與相切于點(diǎn)，則，解得：，所以，故.（法二）由得：，則，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，所以，三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17本題以遞推數(shù)列為背景考查等差數(shù)列的判定以及利用基本量的求和運(yùn)算，（）重點(diǎn)考查利用數(shù)列遞推形式構(gòu)造等差或等比數(shù)列以及等差數(shù)列的判定方法；（）主要考查數(shù)列求和應(yīng)首先探尋通項(xiàng)公式，通過(guò)分析通項(xiàng)公式的特征發(fā)現(xiàn)求和的方法. 滿分12分（）證明：法一：由，得3分?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列5分法二：由得3分4分?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列5分（）解：設(shè)7分由（）得，數(shù)列為公差為的等差數(shù)列即8分，且是首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列10分12分18.本小題主要考查對(duì)頻數(shù)分布表的理解與應(yīng)用，古典概型、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識(shí)，考查必然與或然思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想滿分12分解：（）由已知可得下表人數(shù) 次數(shù)年齡0,10)10,20)20,30)30,40)40,50)50,60合計(jì)青年人102040608090300中年人221833371911140老年人151310125560本市一個(gè)青年人月騎車的平均次數(shù)：.5分（）本市老年人或中年人中月騎車時(shí)間超過(guò)40次的概率為.7分，故.9分 所以的分布列如下：012311分.12分19本題考查立體幾何中的線面關(guān)系，空間角，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、空間想象能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化、或然與必然等數(shù)學(xué)思想滿分12分證明：（1）法一：連接相交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)為,連接.是正方形，是的中點(diǎn)，,又因?yàn)?所以且，所以四邊形是平行四邊形，3分，又因?yàn)槠矫?平面平面5分法二：延長(zhǎng)相交于點(diǎn),連接.因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形是平行四邊形， 3分，又因?yàn)槠矫?平面平面5分（2）是正方形，是直角梯形，,平面,同理可得平面.又平面，所以平面平面, 又因?yàn)槎娼菫?，所?由余弦定理得,所以,又因?yàn)槠矫妫?所以平面，7分法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則,8分所以,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，則，所以11分設(shè)直線和平面所成角為，則12分法二：取的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為，連接.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則8分以,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，則，所以11分設(shè)直線和平面所成角為，則12分20.本題考查函數(shù)單調(diào)性、極值、零點(diǎn)的基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)算求解與推理論證的能力，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具解決函數(shù)與方程、不等式綜合問(wèn)題的能力?？疾閿?shù)形結(jié)合，分類與整合，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想。解：（1）法1：由已知1分令，2分單調(diào)遞增，單調(diào)遞減3分綜上：或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有0個(gè)零點(diǎn)5分法2：， ， 1分時(shí)，單調(diào)遞增，所以，有1個(gè)零點(diǎn)2分時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，時(shí)，0個(gè)零點(diǎn)時(shí)，1個(gè)零點(diǎn)4分時(shí)，所以，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)綜上：或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有0個(gè)零點(diǎn)5分（2）證明：法1：要證即證令，7分9分單調(diào)遞減11分單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，綜上：12分法2要證即證令，7分令，令令9分單調(diào)遞增，單調(diào)遞減單調(diào)遞減，單調(diào)遞減11分單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，綜上：12分21本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與圓、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查推理運(yùn)算和方程求解能力.運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化手段. 將切線長(zhǎng)最短問(wèn)題轉(zhuǎn)化為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離最短問(wèn)題；考查圓錐曲線中的有關(guān)定值問(wèn)題，從變化中尋找不變量，并通過(guò)必要的推理和運(yùn)算化簡(jiǎn)求值.考查轉(zhuǎn)化化歸思想、分類整合思想.（）解：如圖1，因?yàn)椋?，POMNyx圖1由得：故點(diǎn)在圓外， 不妨設(shè)與圓相切于T，則有：切線長(zhǎng) 1分代入得3分由已知得：，解得：，所以橢圓的方程為： 4分POMNyx圖2（）解：1當(dāng)切線OM或ON斜率不存在即圓P與y軸相切時(shí)，易得，代入橢圓方程得：，說(shuō)明圓P同時(shí)也與x軸相切（圖2），此時(shí)M、N分別為長(zhǎng)、短軸一個(gè)端點(diǎn)，則的面積為.5分2當(dāng)切線OM、ON斜率都存在時(shí)，設(shè)切線方程為：，由得：，整理得：（*），6分由1知：，即，此時(shí)，方程（*）必有兩個(gè)非零根，記為,則分別對(duì)應(yīng)直線的斜率，由韋達(dá)定理得：，將代入得： 7分解法一：（求交點(diǎn)坐標(biāo)）由上知：，設(shè)點(diǎn)N位于第一、三象限，點(diǎn)M位于第二、四象限，若點(diǎn)N位于第一象限，點(diǎn)M位于第二象限，ABOMNyxM1N1圖3設(shè)OM：與橢圓方程聯(lián)立可得： 設(shè)ON：與橢圓方程聯(lián)立可得： 9分10分代入坐標(biāo)有： 同理，當(dāng)點(diǎn)M、N位于其它象限時(shí)，結(jié)論也成立綜上，的面積為定值.12分解法二：（探尋直線MN方程特征）（接上）設(shè)OMNyx圖4由于點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的方程為：，將與橢圓方程聯(lián)立可得：，由得， 8分代入有：整理得：； 9分又而原點(diǎn)O到直線的距離為11分.所以的面積為定值.12分22本題考查學(xué)生對(duì)直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程之間的相互轉(zhuǎn)化，利用極坐標(biāo)方程求解弦長(zhǎng)問(wèn)題，三角形最值問(wèn)題，通過(guò)直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程之間的互化考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想. 解：（）依題意得，曲線的普通方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，3分 直線的直角坐標(biāo)方程為5分（）曲線的直角坐標(biāo)方程為，由題意設(shè)， 則，即，得或（舍）， ，則，7分 到的距離為 以為底邊的的高的最大值為 則的面積的最大值為10分23.本題考查學(xué)生對(duì)絕對(duì)值不等式的理解與運(yùn)用，考查學(xué)生對(duì)絕對(duì)值函數(shù)的