江蘇高考數(shù)學(xué)試卷縱向分類(lèi)匯總（2008—2011）（含答案）.doc

江蘇高考數(shù)學(xué)試卷縱向分類(lèi)匯總（20082011）江蘇高考數(shù)學(xué)試卷縱向分類(lèi)匯總（20082011）一、集合與簡(jiǎn)易邏輯（一）填空題1、（2008江蘇卷4）A=，則A Z 的元素的個(gè)數(shù) 【解析】本小題考查集合的運(yùn)算和解一元二次不等式由得,0，集合A 為 ，因此A Z 的元素不存在2、（2009江蘇卷11）已知集合，若則實(shí)數(shù)的取值范圍是，其中= . 【解析】 考查集合的子集的概念及利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)解不等式。 a4，c=43、（2010江蘇卷1）設(shè)集合A=-1,1,3，B=a+2,a2+4,AB=3，則實(shí)數(shù)a=_.【解析】考查集合的運(yùn)算推理。3B, a+2=3, a=1.4、（2011蘇卷1）已知集合 則【解析】 考查集合的交集運(yùn)算，答案：5、（2011蘇卷14）設(shè)集合, , 若 則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【解析】當(dāng)時(shí)，集合A是以（2，0）為圓心，以為半徑的圓，集合B是在兩條平行線之間，（2，0）在直線的上方 ，又因?yàn)榇藭r(shí)無(wú)解；當(dāng)時(shí)，集合A是以（2，0）為圓心，以和為半徑的圓環(huán)，集合B是在兩條平行線之間，必有當(dāng)時(shí),只要,.當(dāng)時(shí), 只要,當(dāng)時(shí),一定符合又因?yàn)?.本題主要考查集合概念,子集及其集合運(yùn)算、線性規(guī)劃,直線的斜率,兩直線平行關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離,圓的方程,直線與圓的位置關(guān)系、含參分類(lèi)討論、解不等式，及其綜合能力.本題屬難題. 二、函數(shù)（一）填空題1、（2008江蘇卷8）直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)b 【解析】本小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法 ，令得，故切點(diǎn)（2，ln2），代入直線方程，得，所以bln212、（2008江蘇卷14）對(duì)于總有0 成立，則= 【解析】本小題考查函數(shù)單調(diào)性的綜合運(yùn)用若x0，則不論取何值，0顯然成立；當(dāng)x0 即時(shí)，0可化為，設(shè)，則， 所以 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，從而4；當(dāng)x0 即時(shí)，0可化為， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此，從而4，綜上43、（2009江蘇卷3）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 . 【解析】 考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。，由得單調(diào)減區(qū)間為。亦可填寫(xiě)閉區(qū)間或半開(kāi)半閉區(qū)間。4、（2009江蘇卷9）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在曲線上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 . 【解析】 考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和計(jì)算能力。 ，又點(diǎn)P在第二象限內(nèi)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，15）5、（2009江蘇卷10）已知，函數(shù)，若實(shí)數(shù)、滿足，則、的大小關(guān)系為 . 【解析】考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。 ，函數(shù)在R上遞減。由得：m0,得：討論得：當(dāng)時(shí)，解集為;當(dāng)時(shí)，解集為;當(dāng)時(shí)，解集為.4、（2010江蘇卷20）（本小題滿分16分）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為。如果存在實(shí)數(shù)和函數(shù)，其中對(duì)任意的都有0，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì)。(1)設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)。(i)求證：函數(shù)具有性質(zhì)； (ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(2)已知函數(shù)具有性質(zhì)。給定設(shè)為實(shí)數(shù)，且，若|0，所以對(duì)任意的都有，在上遞增。又。當(dāng)時(shí)，且， 綜合以上討論，得：所求的取值范圍是（0，1）。（方法二）由題設(shè)知，的導(dǎo)函數(shù)，其中函數(shù)對(duì)于任意的都成立。所以，當(dāng)時(shí)，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增。當(dāng)時(shí)，有，得，同理可得，所以由的單調(diào)性知、，從而有|0，故進(jìn)而上恒成立，所以因此的取值范圍是 （2）令若又因?yàn)?，所以函?shù)在上不是單調(diào)性一致的，因此現(xiàn)設(shè)；當(dāng)時(shí)，因此，當(dāng)時(shí)，故由題設(shè)得從而因此時(shí)等號(hào)成立，又當(dāng)，從而當(dāng)故當(dāng)函數(shù)上單調(diào)性一致，因此的最大值為三、三角函數(shù)（一）填空題1、（2008江蘇卷1）的最小正周期為，其中，則= 【解析】本小題考查三角函數(shù)的周期公式.2、（2009江蘇卷4）函數(shù)（為常數(shù)，）在閉區(qū)間上的圖象如圖所示，則= . 【解析】 考查三角函數(shù)的周期知識(shí)。 ，所以3、（2010江蘇卷10）定義在區(qū)間上的函數(shù)y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點(diǎn)為P，過(guò)點(diǎn)P作PP1x軸于點(diǎn)P1，直線PP1與y=sinx的圖像交于點(diǎn)P2,則線段P1P2的長(zhǎng)為_(kāi)?！窘馕觥靠疾槿呛瘮?shù)的圖象、數(shù)形結(jié)合思想。線段P1P2的長(zhǎng)即為sinx的值，且其中的x滿足6cosx=5tanx，解得sinx=。線段P1P2的長(zhǎng)為4、（2010江蘇卷13）在銳角三角形ABC，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，則=_。【解析】考查三角形中的正、余弦定理三角函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。一題多解。（方法一）考慮已知條件和所求結(jié)論對(duì)于角A、B和邊a、b具有輪換性。當(dāng)A=B或a=b時(shí)滿足題意，此時(shí)有：，= 4。（方法二），5、（2011江蘇卷7）已知 則的值為_(kāi).【解析】.本題主要考查三角函數(shù)的概念，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，正弦余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦余弦正切，二倍角的正弦余弦正切及其運(yùn)用，中檔題.6、（2011江蘇卷9）函數(shù)是常數(shù)，的部分圖象如圖所示，則【解析】由圖可知： 由圖知：本題主要考查正弦余弦正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)，的圖像與性質(zhì)以及誘導(dǎo)公式，數(shù)形結(jié)合思想,中檔題.（二）解答題1、（2008江蘇卷15）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊做兩個(gè)銳角,，它們的終邊分別與單位圓相交于A,B 兩點(diǎn)，已知A,B 的橫坐標(biāo)分別為（）求tan()的值；（）求的值【解析】本小題考查三角函數(shù)的定義、兩角和的正切、二倍角的正切公式由條件的，因?yàn)?為銳角，所以=因此（）tan()= （） ，所以為銳角，=2、（2009江蘇卷15）（本小題滿分14分） 設(shè)向量 （1）若與垂直，求的值； （2）求的最大值; （3）若，求證：. 【解析】 本小題主要考查向量的基本概念，同時(shí)考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角的正弦、兩角和的正弦與余弦公式，考查運(yùn)算和證明得基本能力。滿分14分。3、（2010江蘇卷17）（本小題滿分14分）某興趣小組測(cè)量電視塔AE的高度H(單位：m），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角ABE=，ADE=。(1) 該小組已經(jīng)測(cè)得一組、的值，tan=1.24，tan=1.20，請(qǐng)據(jù)此算出H的值；(2) 該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測(cè)量精確度。若電視塔的實(shí)際高度為125m，試問(wèn)d為多少時(shí)，-最大？【解析】本題主要考查解三角形的知識(shí)、兩角差的正切及不等式的應(yīng)用。（1），同理：，。 ADAB=DB，故得，解得：。因此，算出的電視塔的高度H是124m。（2）由題設(shè)知，得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）故當(dāng)時(shí)，最大。因?yàn)?，則，所以當(dāng)時(shí)，-最大。故所求的是m。4、（2010江蘇卷23）（本小題滿分10分）已知ABC的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)。（1） 求證cosA是有理數(shù)；（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)?！窘馕觥勘绢}主要考查余弦定理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證的能力與分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。滿分10分。（方法一）（1）證明：設(shè)三邊長(zhǎng)分別為，是有理數(shù)，是有理數(shù)，分母為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對(duì)于除法的具有封閉性，必為有理數(shù)，cosA是有理數(shù)。（2）當(dāng)時(shí)，顯然cosA是有理數(shù)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)閏osA是有理數(shù)， 也是有理數(shù)；假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即coskA、均是有理數(shù)。當(dāng)時(shí)，解得：cosA，均是有理數(shù)，是有理數(shù)，是有理數(shù)。即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。綜上所述，對(duì)于任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。（方法二）證明：（1）由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知是有理數(shù)。（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明cosnA和都是有理數(shù)。當(dāng)時(shí)，由（1）知是有理數(shù)，從而有也是有理數(shù)。假設(shè)當(dāng)時(shí)，和都是有理數(shù)。當(dāng)時(shí)，由，及和歸納假設(shè)，知和都是有理數(shù)。即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。綜合、可知，對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。5、（2011江蘇卷15）在ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊為（1）若 求A的值；（2）若，求的值.【解析】本題主要考查三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和的正弦公式、解三角形，考查運(yùn)算求解能力。滿分14分.解：（1）由題設(shè)知，（2）由故ABC是直角三角形，且.四、平面向量（一）填空題1、（2008江蘇卷5），的夾角為， 則 【解析】本小題考查向量的線性運(yùn)算=，72、（2008江蘇卷13）若AB=2, AC=BC ，則的最大值 【解析】本小題考查三角形面積公式、余弦定理以及函數(shù)思想設(shè)BC，則AC ，根據(jù)面積公式得=，根據(jù)余弦定理得，代入上式得=由三角形三邊關(guān)系有解得，故當(dāng)時(shí)取得最大值3、（2009江蘇卷2）已知向量和向量的夾角為，則向量和向量的數(shù)量積= 。【解析】 考查數(shù)量積的運(yùn)算。 4、（2011江蘇卷10）已知是夾角為的兩個(gè)單位向量， 若，則k的值為 .【解析】 因?yàn)榍?，所?k20，即k.（二）解答題1、（2010江蘇卷15）（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(1,2)、B(2,3)、C(2,1)。(1) 求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；(2) 設(shè)實(shí)數(shù)t滿足()=0，求t的值。解析本小題考查平面向量的幾何意義、線性運(yùn)算、數(shù)量積，考查運(yùn)算求解能力。滿分14分。（1）（方法一）由題設(shè)知，則所以故所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為、。（方法二）設(shè)該平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為D，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為E，則:E為B、C的中點(diǎn)，E（0，1）又E（0，1）為A、D的中點(diǎn)，所以D（1，4） 故所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為BC=、AD=；（2）由題設(shè)知：=(2,1)，。由()=0，得：，從而所以?；蛘撸?，五、數(shù)列（一）填空題1、（2008江蘇卷10）將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：12 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的規(guī)律，第n 行（n 3）從左向右的第3 個(gè)數(shù)為 【解析】本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式前n1 行共有正整數(shù)12（n1）個(gè)，即個(gè)，因此第n 行第3 個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第3個(gè)，即為2、（2009江蘇卷14）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，令，若數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，則= . 【解析】 考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分析問(wèn)題的能力。等比數(shù)列的通項(xiàng)。 有連續(xù)四項(xiàng)在集合，四項(xiàng)成等比數(shù)列，公比為，= -93、（2010江蘇卷8）函數(shù)y=x2(x0)的圖像在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1,k為正整數(shù)，a1=16，則a1+a3+a5=_解析考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項(xiàng)。在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線方程為：當(dāng)時(shí)，解得，所以。4、（2011江蘇卷13）設(shè)，其中成公比為q的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是_.【解析】由題意：，而的最小值分別為1，2，3；.本題主要考查綜合運(yùn)用等差、等比的概念及通項(xiàng)公式，不等式的性質(zhì)解決問(wèn)題的能力,考查抽象概括能力和推理能力，本題屬難題.（二）解答題1、（2008江蘇卷19）.（）設(shè)是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列（），且公差，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列（按原來(lái)的順序）是等比數(shù)列：當(dāng)n =4時(shí)，求的數(shù)值；求的所有可能值；（）求證：對(duì)于一個(gè)給定的正整數(shù)n(n4)，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差都不為零的等差數(shù)列，其中任意三項(xiàng)（按原來(lái)順序）都不能組成等比數(shù)列【解析】：本小題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用。（1）當(dāng)n=4時(shí), 中不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則推出d=0。 若刪去，則，即化簡(jiǎn)得，得若刪去，則，即化簡(jiǎn)得，得綜上，得或。當(dāng)n=5時(shí), 中同樣不可能刪去，否則出現(xiàn)連續(xù)三項(xiàng)。若刪去，則，即化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋圆荒軇h去；當(dāng)n6時(shí)，不存在這樣的等差數(shù)列。事實(shí)上，在數(shù)列中，由于不能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，若刪去，則必有，這與矛盾；同樣若刪去也有，這與矛盾；若刪去中任意一個(gè)，則必有，這與矛盾。(或者說(shuō)：當(dāng)n6時(shí)，無(wú)論刪去哪一項(xiàng)，剩余的項(xiàng)中必有連續(xù)的三項(xiàng))綜上所述，。（2）假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)n，存在一個(gè)公差為d的n項(xiàng)等差數(shù)列，其中（）為任意三項(xiàng)成等比數(shù)列，則，即，化簡(jiǎn)得 （*）由知，與同時(shí)為0或同時(shí)不為0當(dāng)與同時(shí)為0時(shí)，有與題設(shè)矛盾。故與同時(shí)不為0，所以由（*）得因?yàn)?，且x、y、z為整數(shù)，所以上式右邊為有理數(shù)，從而為有理數(shù)。于是，對(duì)于任意的正整數(shù)，只要為無(wú)理數(shù)，相應(yīng)的數(shù)列就是滿足題意要求的數(shù)列。例如n項(xiàng)數(shù)列1，滿足要求。2、（2009江蘇卷17）（本小題滿分14分） 設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和； （2）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng)。 【解析】 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和的有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算和求解的能力。滿分14分。（1）設(shè)公差為，則，由性質(zhì)得，因?yàn)椋?，即，又由得，解得?(2) （方法一）=,設(shè)， 則=, 所以為8的約數(shù)（方法二）因?yàn)闉閿?shù)列中的項(xiàng)，故為整數(shù)，又由（1）知：為奇數(shù)，所以經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意的正整數(shù)只有。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3、（2009江蘇卷23）（本題滿分10分）對(duì)于正整數(shù)2，用表示關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的有序數(shù)組的組數(shù)，其中（和可以相等）；對(duì)于隨機(jī)選取的（和可以相等），記為關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的概率。（1）求和；（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)2，有.【解析】 必做題本小題主要考查概率的基本知識(shí)和記數(shù)原理，考查探究能力。滿分10分。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4、（2010江蘇卷19）（本小題滿分16分）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用表示）；（2）設(shè)為實(shí)數(shù)，對(duì)滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為?！窘馕觥勘拘☆}主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和以及基本不等式等有關(guān)知識(shí)，考查探索、分析及論證的能力。滿分16分。（1）由題意知：， ，化簡(jiǎn)，得：，當(dāng)時(shí)，適合情形。故所求（2）（方法一）， 恒成立。 又，故，即的最大值為。（方法二）由及，得，。于是，對(duì)滿足題設(shè)的，有。所以的最大值。另一方面，任取實(shí)數(shù)。設(shè)為偶數(shù)，令，則符合條件，且。于是，只要，即當(dāng)時(shí)，。所以滿足條件的，從而。因此的最大值為。5、（2011江蘇卷20）設(shè)部分為正整數(shù)組成的集合，數(shù)列，前n項(xiàng)和為，已知對(duì)任意整數(shù)kM，當(dāng)整數(shù)都成立 （1）設(shè)的值； （2）設(shè)的通項(xiàng)公式【解析】本小題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系、等差數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考生分析探究及邏輯推理的能力，滿分16分。解：（1）由題設(shè)知，當(dāng)，即，從而所以的值為8。 （2）由題設(shè)知，當(dāng)，兩式相減得所以當(dāng)成等差數(shù)列，且也成等差數(shù)列從而當(dāng)時(shí)，（*）且，即成等差數(shù)列，從而，故由（*）式知當(dāng)時(shí)，設(shè)當(dāng)，從而由（*）式知故從而，于是因此，對(duì)任意都成立，又由可知，解得因此，數(shù)列為等差數(shù)列，由所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為六、不等式（一）填空題1、（2008江蘇卷11）已知，則的最小值 【解析】本小題考查二元基本不等式的運(yùn)用由得，代入得，當(dāng)且僅當(dāng)3 時(shí)取“”2、（2010江蘇卷12）設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足38，49，則的最大值是 ?！窘馕觥靠疾椴坏仁降幕拘再|(zhì)，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。，的最大值是27。（二）解答題1、（2009江蘇卷19）(本小題滿分16分) 按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為元，如果他賣(mài)出該產(chǎn)品的單價(jià)為元，則他的滿意度為；如果他買(mǎi)進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為元，則他的滿意度為.如果一個(gè)人對(duì)兩種交易(賣(mài)出或買(mǎi)進(jìn))的滿意度分別為和，則他對(duì)這兩種交易的綜合滿意度為. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元，設(shè)產(chǎn)品A、B的單價(jià)分別為元和元，甲買(mǎi)進(jìn)A與賣(mài)出B的綜合滿意度為，乙賣(mài)出A與買(mǎi)進(jìn)B的綜合滿意度為(1)求和關(guān)于、的表達(dá)式；當(dāng)時(shí)，求證：=； (2)設(shè)，當(dāng)、分別為多少時(shí)，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？ (3)記(2)中最大的綜合滿意度為，試問(wèn)能否適當(dāng)選取、的值，使得和同時(shí)成立，但等號(hào)不同時(shí)成立？試說(shuō)明理由。 【解析】 本小題主要考查函數(shù)的概念、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)學(xué)建模能力、抽象概括能力以及數(shù)學(xué)閱讀能力。滿分16分。(1) 當(dāng)時(shí)，, = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）當(dāng)時(shí)，由，故當(dāng)即時(shí)，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 甲乙兩人同時(shí)取到最大的綜合滿意度為。（3）（方法一）由（2）知：=由得：，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 令則，即：。同理，由得：另一方面，當(dāng)且僅當(dāng)，即=時(shí)，取等號(hào)。所以不能否適當(dāng)選取、的值，使得和同時(shí)成立，但等號(hào)不同時(shí)成立。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 七、立體幾何（一）填空題1、（2009江蘇卷8）在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類(lèi)似地，在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1：2，則它們的體積比為 . 【解析】 考查類(lèi)比的方法。體積比為1：8 2、（2009江蘇卷12）設(shè)和為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題： （1）若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則平行于；（2）若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則和平行；（3）設(shè)和相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則和垂直；（4）直線與垂直的充分必要條件是與內(nèi)的兩條直線垂直。上面命題中，真命題的序號(hào) （寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）. 【解析】 考查立體幾何中的直線、平面的垂直與平行判定的相關(guān)定理。真命題的序號(hào)是(1)(2)（二）解答題1、(2008江蘇卷16)在四面體ABCD 中，CB= CD, ADBD，且E ,F分別是AB,BD 的中點(diǎn)，求證：（）直線EF 面ACD ；（）面EFC面BCD 【解析】本小題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定（） E,F 分別是AB,BD 的中點(diǎn)，EF 是ABD 的中位線，EFAD，EF面ACD ，AD 面ACD ，直線EF面ACD （） ADBD ，EFAD， EFBD.CB=CD, F 是BD的中點(diǎn)，CFBD.又EFCF=F，BD面EFCBD面BCD，面EFC面BCD 江西卷解 ：（1）證明：依題設(shè)，是的中位線，所以，則平面，所以。又是的中點(diǎn)，所以，則。因?yàn)?，所以面，則，因此面。（2）作于，連。因?yàn)槠矫妫鶕?jù)三垂線定理知，就是二面角的平面角。作于，則，則是的中點(diǎn)，則。設(shè)，由得，解得，在中，則，。所以，故二面角為。解法二：（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則所以所以所以平面由得，故：平面(2)由已知設(shè)則由與共線得:存在有得 同理:設(shè)是平面的一個(gè)法向量,則令得 又是平面的一個(gè)法量所以二面角的大小為（3）由（2）知，平面的一個(gè)法向量為。則。則點(diǎn)到平面的距離為2、（2008江蘇卷22）記動(dòng)點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體的對(duì)角線上一點(diǎn)，記當(dāng)為鈍角時(shí)，求的取值范圍5.（2009江蘇卷16）（本小題滿分14分） 如圖，在直三棱柱中，、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，。 求證：（1）EF平面ABC； （2）平面平面.【解析】 本小題主要考查直線與平面、平面與平面得位置關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力。滿分14分。3、（2010江蘇卷16）（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。(1) 求證：PCBC；(2) 求點(diǎn)A到平面PBC的距離。【解析】本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查幾何體的體積，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力。滿分14分。（1）證明：因?yàn)镻D平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC。由BCD=900，得CDBC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC平面PCD。因?yàn)镻C平面PCD，故PCBC。（2）（方法一）分別取AB、PC的中點(diǎn)E、F，連DE、DF，則：易證DECB，DE平面PBC，點(diǎn)D、E到平面PBC的距離相等。又點(diǎn)A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，因?yàn)镻D=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F。易知DF=，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于。（方法二）體積法：連結(jié)AC。設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h。因?yàn)锳BDC，BCD=900，所以ABC=900。從而AB=2，BC=1，得的面積。由PD平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積。因?yàn)镻D平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC。又PD=DC=1，所以。由PCBC，BC=1，得的面積。由，得，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于。4、（2011江蘇卷16）如圖，在四棱錐中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)求證：（1）直線EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD【解析】本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考察空間想象能力和推理論證能力。滿分14分。證明：（1）在PAD中，因?yàn)镋、F分別為AP，AD的中點(diǎn)，所以EF/PD.又因?yàn)镋F平面PCD，PD平面PCD，所以直線EF/平面PCD.（2）連結(jié)DB，因?yàn)锳B=AD，BAD=60，所以ABD為正三角形，因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，所以BFAD.因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以BF平面PAD。又因?yàn)锽F平面BEF，所以平面BEF平面PAD.5、（2011江蘇卷22）如圖，在正四棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，設(shè)二面角的大小為。（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)。解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以設(shè)平面DMN的法向量為即，則是平面DMN的一個(gè)法向量。從而 （1）因?yàn)?，所以，解得所?（2）因?yàn)樗砸驗(yàn)?，解得根?jù)圖形和（1）的結(jié)論可知，從而CM的長(zhǎng)為八、直線與圓（一）填空題1、（2008江蘇卷9）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形ABC 的頂點(diǎn)分別為A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，點(diǎn)P（0，p）在線段AO 上（異于端點(diǎn)），設(shè)a,b,c, p 均為非零實(shí)數(shù)，直線BP,CP 分別交AC , AB 于點(diǎn)E ,F ，一同學(xué)已正確算的OE的方程：，請(qǐng)你求OF的方程： 【解析】本小題考查直線方程的求法畫(huà)草圖，由對(duì)稱性可猜想填事實(shí)上，由截距式可得直線AB：，直線CP： ，兩式相減得，顯然直線AB與CP 的交點(diǎn)F 滿足此方程，又原點(diǎn)O 也滿足此方程，故為所求直線OF 的方程2、（2010江蘇卷9）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是_ 解析考查圓與直線的位置關(guān)系。 圓半徑為2，圓心（0，0）到直線12x-5y+c=0的距離小于1，的取值范圍是（-13，13）。（二）解答題1.（2008江蘇卷18）設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C求：（）求實(shí)數(shù)b 的取值范圍；（）求圓C 的方程；（）問(wèn)圓C 是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與b 無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論【解析】本小題主要考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、圓的方程的求法（）令0，得拋物線與軸交點(diǎn)是（0，b）；令，由題意b0 且0，解得b1 且b0（）設(shè)所求圓的一般方程為令0 得這與0 是同一個(gè)方程，故D2，F(xiàn)令0 得0，此方程有一個(gè)根為b，代入得出Eb1所以圓C 的方程為.（）圓C 必過(guò)定點(diǎn)（0，1）和（2，1）證明如下：將（0，1）代入圓C 的方程，得左邊0120（b1）b0，右邊0，所以圓C 必過(guò)定點(diǎn)（0，1）同理可證圓C 必過(guò)定點(diǎn)（2，1）2、（2009江蘇卷18）（本小題滿分16分） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓.（1）若直線過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；（2）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)?！窘馕觥?本小題主要考查直線與圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力、綜合分析問(wèn)題的能力。滿分16分。(1)設(shè)直線的方程為：，即由垂徑定理，得：圓心到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，得： 化簡(jiǎn)得：求直線的方程為：或，即或(2) 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，直線、的方程分別為：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，即：因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，兩圓半徑相等。由垂徑定理，得：圓心到直線與直線的距離相等。 故有：，化簡(jiǎn)得：關(guān)于的方程有無(wú)窮多解，有： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解之得：點(diǎn)P坐標(biāo)為或。九、圓錐曲線（一）填空題1、（2008江蘇卷12）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓1( 0)的焦距為2，以O(shè)為圓心，為半徑的圓，過(guò)點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率= 【解析】設(shè)切線PA、PB 互相垂直，又半徑OA 垂直于PA，所以O(shè)AP 是等腰直角三角形，故，解得2、（2009江蘇卷13）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)T，線段與橢圓的交點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為 . 【解析】 考查橢圓的基本性質(zhì)，如頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率的計(jì)算等。以及直線的方程。直線的方程為：；直線的方程為：。二者聯(lián)立解得：， 則在橢圓上， 解得：3.（2010江蘇卷6）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線上一點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，則M到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是_解析考查雙曲線的定義。，為點(diǎn)M到右準(zhǔn)線的距離，=2，MF=4。（二）解答題1、（2009江蘇卷22）（本題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，2），其焦點(diǎn)F在軸上。（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過(guò)點(diǎn)F，且與直線OA垂直的直線的方程；（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線C于D、E兩點(diǎn)，ME=2DM，記D和E兩點(diǎn)間的距離為，求關(guān)于的表達(dá)式?！窘馕觥?必做題本小題主要考查直線、拋物線及兩點(diǎn)間的距離公式等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力。滿分10分。 2、（2010江蘇卷18）（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F。設(shè)過(guò)點(diǎn)T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m0,。（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；（2）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（3）設(shè),求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）。【解析】本小題主要考查求簡(jiǎn)單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)?？疾檫\(yùn)算求解能力和探究問(wèn)題的能力。滿分16分。（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化簡(jiǎn)得。故所求點(diǎn)P的軌跡為直線。（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。聯(lián)立方程組，解得：，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為。（3）點(diǎn)T的坐標(biāo)為直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到，解得：、。（方法一）當(dāng)時(shí)，直線MN方程為： 令，解得：。此時(shí)必過(guò)點(diǎn)D（1，0）；當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）。所以直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)D（1，0）。（方法二）若，則由及，得，此時(shí)直線MN的方程為，過(guò)點(diǎn)D（1，0）。若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過(guò)D點(diǎn)。因此，直線MN必過(guò)軸上的點(diǎn)（1，0）。3、（2011江蘇卷18）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M、N分別是橢圓的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k（1）當(dāng)直線PA平分線段MN，求k的值；（2）當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；（3）對(duì)任意k0，求證：PAPB【解析】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、直線方程、直線的垂直關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力，滿分16分.解：（1）由題設(shè)知，所以線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于直線PA平分線段MN，故直線PA過(guò)線段MN的中點(diǎn)，又直線PA過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以 （2）直線PA的方程解得于是直線AC的斜率為（3）解法一：將直線PA的方程代入則故直線AB的斜率為其方程為解得.于是直線PB的斜率因此解法二：設(shè).設(shè)直線PB，AB的斜率分別為因?yàn)镃在直線AB上，所以從而因此十、概率與統(tǒng)計(jì)（一）填空題1、（2008江蘇卷2）一個(gè)骰子連續(xù)投2 次，點(diǎn)數(shù)和為4 的概率 【解析】本小題考查古典概型基本事件共66 個(gè)，點(diǎn)數(shù)和為4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 個(gè)，故2、（2008江蘇卷6）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均不大于2 的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域， E是到原點(diǎn)的距離不大于1 的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向D 中隨機(jī)投一點(diǎn)，則落入E 中的概率 【解析】本小題考查古典概型如圖：區(qū)域D 表示邊長(zhǎng)為4 的正方形的內(nèi)部（含邊界），區(qū)域E 表示單位圓及其內(nèi)部，因此3、（2009江蘇卷5）現(xiàn)有5根竹竿，它們的長(zhǎng)度（單位：m）分別為2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若從中一次隨機(jī)抽取2根竹竿，則它們的長(zhǎng)度恰好相差0.3m的概率為 . 【解析】 考查等可能事件的概率知識(shí)。 從5根竹竿中一次隨機(jī)抽取2根的可能的事件總數(shù)為10，它們的長(zhǎng)度恰好相差0.3m的事件數(shù)為2，分別是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率為0.2。4、（2009江蘇卷6）某校甲、乙兩個(gè)班級(jí)各有5名編號(hào)為1，2，3，4，5的學(xué)生進(jìn)行投籃練習(xí)，每人投10次，投中的次數(shù)如下表： 學(xué)生1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)5號(hào)甲班67787乙班67679則以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個(gè)為= . 【解析】 考查統(tǒng)計(jì)中的平均值與方差的運(yùn)算。甲班的方差較小，數(shù)據(jù)的平均值為7，故方差 5、（2010江蘇卷3）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若從中隨機(jī)地摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率是_ _.解析考查古典概型知識(shí)。6、（2010江蘇卷4）某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽取了100根棉花纖維的長(zhǎng)度（棉花纖維的長(zhǎng)度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間5,40中，其頻率分布直方圖如圖所示，則其抽樣的100根中，有_根在棉花纖維的長(zhǎng)度小于20mm。解析考查頻率分布直方圖的知識(shí)。100（0.001+0.001+0.004）5=307、（2011江蘇卷5）從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的兩倍的概率是_【解析】從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6種. 其中符合條件的有2種,所以概率為.也可以由得到.本題主要考查隨機(jī)事件與概率,古典概型的概率計(jì)算，互斥事件及其發(fā)生的概率.容易題.8、（2011江蘇卷6）某老師從星期一到星期五收到信件數(shù)分別是10，6，8，5，6，則該組數(shù)據(jù)的方差.【解析】五個(gè)數(shù)的平均數(shù)是7,方差為還可以先把這組數(shù)都減去6再求方差，.本題主要考查總體分布的估計(jì),總體特征數(shù)的估計(jì),平均數(shù)方差的計(jì)算，考查數(shù)據(jù)處理能力,容易題.（二）解答題1、（2010江蘇卷22）本小題滿分10分）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產(chǎn)品的一等品率為90%，二等品率為10%。生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤(rùn)4萬(wàn)元，若是二等品則虧損1萬(wàn)元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一