初二數(shù)學(xué)第六講多邊形及其內(nèi)角和(教案).doc_第1頁
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個性化教案第06講 多邊形及其內(nèi)角和適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級初中二年級適用區(qū)域蘇教版課時時長(分鐘)120分鐘知識點1. 多邊形2. 多邊形的對角線3. 多邊形的內(nèi)角和與外角和4. 平面鑲嵌(密鋪)教學(xué)目標(biāo)1. 了解多邊形的概念;了解多邊形的內(nèi)角和與外角和公式;2. 了解四邊形的不穩(wěn)定性; 3. 會用多邊形的內(nèi)角和與外角和公式解決計算問題教學(xué)重點1. 多邊形的內(nèi)角和公式的推導(dǎo);2. 利用多邊形的內(nèi)角和公式求多邊形的邊數(shù)、角度數(shù)、外角度數(shù)等;3. 多邊形內(nèi)角和性質(zhì)的應(yīng)用.教學(xué)難點1. 多邊形內(nèi)角和性質(zhì)的應(yīng)用.2. 鑲嵌問題(綜合運用多邊形內(nèi)角和等知識).教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)M.C.埃舍爾(M. C. Escher,18981972),荷蘭科學(xué)思維版畫大師,20世紀(jì)畫壇中獨樹一幟的藝術(shù)家。作品多以平面鑲嵌、循環(huán)等為特點,兼具藝術(shù)性與科學(xué)性。1957年他寫了一篇關(guān)于鑲嵌圖形的文章,其中評論道:在數(shù)學(xué)領(lǐng)域,規(guī)則的平面分割已從理論上研究過了,難道這意味著它只是一個嚴(yán)格的數(shù)學(xué)的問題嗎?按照我的意見, 它不是。數(shù)學(xué)家們打開了通向一個廣闊領(lǐng)域的大門,但是他們自己卻從未進入該領(lǐng)域。從他們的天性來看他們更感興趣的是打開這扇門的方式,而不是門后面的花園。無論這對數(shù)學(xué)家是否公平, 有一點是真實的:他們指出了在所有的常規(guī)的多邊形中,僅僅三角形,正方形,和正六邊形能被用于鑲嵌。但許多其他不規(guī)則多邊形平鋪后也能形成鑲嵌,例如有許多鑲嵌就使用了不規(guī)則的五角星形狀。人們發(fā)現(xiàn),埃舍爾30年前作品中的視覺模擬和今天的虛擬三維視像與數(shù)字方法是如此相像,而他的各種圖像美學(xué)也幾乎是今天電腦圖像視覺的翻版,充滿電子時代和中世紀(jì)智性的混合氣息。因此,有人說,埃舍爾的藝術(shù)是真正超越時代,深入自我理性的現(xiàn)代藝術(shù)。也有人把他稱為三維空間圖畫的鼻祖。在他之前,從未有藝術(shù)家創(chuàng)作出同類的作品,在他之后,迄今為止也沒有藝術(shù)家追隨他發(fā)現(xiàn)的道路。二、知識講解1多邊形(1)多邊形的定義:在平面內(nèi),由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形. 各個角都相等,各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。(2)多邊形的對角線:連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段,叫做多邊形的對角線。從n邊形的一個頂點出發(fā),可以畫條對角線,將多邊形分成 n-2 個三角形. n邊形一共有條對角線。(3)多邊形的內(nèi)角和公式:n邊形的內(nèi)角和為(n2)。(4)多邊形的外角和定理:多邊形的外角和等于360。2平面鑲嵌(1)平面鑲嵌的定義:用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋,叫做多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)。(2)鑲嵌的條件:當(dāng)圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角時,就能拼成一個平面圖形。(3)能否鑲嵌成一個平面的關(guān)鍵是看:拼接在同一個頂點的各個角的和恰好等于360(用于判斷幾種多邊形的拼接問題)。所以說:在僅用一種正多邊形鑲嵌只有正三角形、正四邊形、正六邊形可以鑲嵌,而其他的正多邊形不可以??键c/易錯點1注意:各個角都相等、各個邊都相等是正多邊形的必備條件,二者缺一不可。如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形,四個角都相等的四邊形也不一定是正方形,只有滿足四邊都相等且四個角都相等的四邊形才是正方形.考點/易錯點2內(nèi)角和公式的應(yīng)用:已知多邊形的邊數(shù),求其內(nèi)角和;已知多邊形內(nèi)角和,求其邊數(shù)。外角和定理的應(yīng)用:已知外角度數(shù),求正多邊形邊數(shù);已知正多邊形邊數(shù),求外角或外角度數(shù)??键c/易錯點3平面鑲嵌歸納:拼接在同一點的各個角的和等于360;只用正三、四、六邊形可以鑲嵌.其他正多邊形不能鑲嵌;任意全等的三角形一定可以鑲嵌;任意全等的四邊形一定可以鑲嵌。探究正整數(shù)解,得出不同的組合方式:利用代數(shù)式:x n + y m = 360(其中n、m為正多邊形的內(nèi)角度數(shù),x、y為正整數(shù).)正三角形和正方形(兩種拼法)、正三角形和正六邊形(兩種拼法)、正三角形和正十二邊形、正四邊形和正八邊形。正五邊形和正十邊形內(nèi)角(108+108+144)可以構(gòu)成360,但不能進行平面鑲嵌。三、例題精析【例題1】【題干】以線段a=7,b=8,c=9,d=11為邊作四邊形,可作()A一個B2個C3個D無數(shù)個【答案】D解:四條線段組成的四邊形可有無數(shù)種變化【解析】根據(jù)四邊形具有不穩(wěn)定性,可知四條線段組成的四邊形可有無數(shù)種變化【變式1】若一個多邊形截去一個角后,變成十五邊形,則原多邊形的邊數(shù)可能為()A14或15或16B15或16C14或16D15或16或17【答案】A一個多邊形截去一個角后,多邊形的邊數(shù)可能增加了一條,也可能不變或減少了一條,則多邊形的邊數(shù)是14,15或16【解析】因為一個多邊形截去一個角后,多邊形的邊數(shù)可能增加了一條,也可能不變或減少了一條,根據(jù)多邊形的內(nèi)角和即可解決問題【變式2】如圖,中多邊形(邊數(shù)為12)是由正三角形“擴展”而來的,中多邊形是由正方形“擴展”而來的,依此類推,則由正n邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)為 【答案】正三邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)是12=34,正四邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)是20=45,正五邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)為30=56,正六邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)為42=67,正n邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)為n(n+1)【解析】首先要正確數(shù)出這幾個圖形的邊數(shù),從中找到規(guī)律,進一步推廣正n邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)為n(n+1)【例題2】【題干】如圖所示,我們可以按照如下方法求一個多邊形的對角線條數(shù)圖(1)=0條;圖(2)=2條;圖(3)=5條;圖(4)6=9條若按以上方法求二十邊形的對角線條數(shù),可列式子為 ,求得該多邊形的對角線條數(shù)為 【答案】由題意得二十邊形的對角線條數(shù),可列式子為=170?!窘馕觥渴煊浂噙呅蔚倪厰?shù)與對角線的條數(shù)之間的關(guān)系式是解決此類問題的關(guān)鍵【變式1】2003年世界女排錦標(biāo)賽上,中國女排以11戰(zhàn)全勝獲得冠軍,在這次錦標(biāo)賽上共有12支球隊,采用單循環(huán)制(即每兩個球隊打一場),則主辦單位共安排了 場比賽【答案】12支球隊舉行單循環(huán)比賽,則主辦單位共安排總場數(shù)為:12(121)=66【解析】根據(jù)多邊形對角線的計算方式可得出,m支球隊舉行比賽,若每個球隊與其他隊比賽(m1)場,則兩隊之間比賽兩場,由于是單循環(huán)比賽,則共比賽m(m1)【變式2】將已知六邊形ABCDEF,用對角線將它剖分成互不重疊的4個三角形,那么各種不同的剖分方法種數(shù)是()A6B8C12D14【答案】D六邊形ABCDEF有6個頂點,且用對角線將它剖分成互不重疊的4個三角形,只能通過同一個頂點作三條對角線(如圖1),這種分法有6種,也從一個頂點作兩條對角線(如圖2),這種分法有2種,如圖3,中間是個四邊形,兩端2個三角形,把四邊形加條對角線,這種分法有6種,故各種不同的剖分方法有14種【解析】要用對角線將六邊形ABCDEF剖分成互不重疊的4個三角形,通過同一個頂點作三條對角線,所以有六種作法從一個頂點作兩條對角線;中間是個四邊形,兩端2個三角形,把四邊形加條對角線【例題3】【題干】一個多邊形的內(nèi)角和為1800,截去一個角后,得到的多邊形的內(nèi)角和為()A1620B1800C1980D以上答案都有可能【答案】D1800180=10,原多邊形邊數(shù)=10+2=12,一個多邊形截去一個內(nèi)角后,邊數(shù)可能減1,可能不變,可能加1,即新多邊形的邊數(shù)可能是11,12,13,新多邊形的內(nèi)角和可能是1620,1800,1980【解析】考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和,注意:一個多邊形截去一個內(nèi)角后,邊數(shù)可能減1,可能不變,可能加1根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理求出原多邊形的邊數(shù)是解題的關(guān)鍵【變式1】六邊形ABCDEF紙片剪去一個角BGD后,得到1+2+3+4+5=430,則BGD=()A60B70C80D90【答案】B六邊形ABCDEF內(nèi)角和=180(62)=720,且1+2+3+4+5=430,GBC+C+CDG=720430=290,G=360(GBC+C+CDG)=70【解析】此題考查了多邊形的內(nèi)角和公式此題難度不大,注意掌握整體思想的應(yīng)用【變式2】實踐與探索:過四邊形一邊上點P與另外兩個頂點連線可以把四邊形分成 個三角形;過五邊形一邊上點P與另外三個頂點連線可以把五邊形分成 個三角形;經(jīng)過上面的探究,你可以歸納出過n邊形一邊上點P與另外 個頂點連線可以把n邊形分成 個三角形(用含n的代數(shù)式表示)你能否根據(jù)這樣劃分多邊形的方法來寫出n邊形的內(nèi)角和公式?請說明你的理由【答案】過四邊形一邊上點P與另外兩個頂點連線可以把四邊形分成41=3個三角形;過五邊形一邊上點P與另外三個頂點連線可以把五邊形分成51=4個三角形;經(jīng)過上面的探究,你可以歸納出過n邊形一邊上點P與另外(n2)個頂點連線可以把n邊形分成 (n2)個三角形(用含n的代數(shù)式表示)在n邊形的任意一邊上任取一點P,連接P點與其它各頂點的線段可以把n邊形分成(n1)個三角形,這(n1)個三角形的內(nèi)角和等于(n1)180,以P為公共頂點的(n1)個角的和是180,所以n邊形的內(nèi)角和是(n1)180180=(n2)180【解析】解題關(guān)鍵是將多邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形中解決,在n邊形的任意一邊上任取一點P,連接P點與其它各頂點的線段可以把n邊形分成(n1)個三角形【例題4】【題干】(2012東城二模)若一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍,那么這個多邊形是()A四邊形B六邊形C八邊形D十邊形【答案】C解:設(shè)這個多邊形是n邊形,根據(jù)題意得,(n2)180=3360,解得n=8【解析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理,多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān),任何多邊形的外角和都是360【變式1】如圖,小陳從O點出發(fā),前進5米后向右轉(zhuǎn)20,再前進5米后又向右轉(zhuǎn)20,這樣一直走下去,他第一次回到出發(fā)點O時一共走了()A60米B100米C90米D120米【答案】C小陳從O點出發(fā)當(dāng)他第一次回到出發(fā)點O時正好走了一個正多邊形,多邊形的邊數(shù)為36020=18,他第一次回到出發(fā)點O時一共走了185=90米【解析】主要考查了多邊形的外角和定理任何一個多邊形的外角和都是360【變式2】一個凸n邊形的內(nèi)角中,恰有四個鈍角,則n的最大值是()A4B7C8D9【答案】B凸n邊形的內(nèi)角中,恰有四個鈍角,即外角中有四個銳角,這四個角最小,另外的外角接近直角時n的值最大,36090=4,則:n=4+41=7,n的最大值是7【解析】本題主要理解在哪種情況下n的值最大【例題5】【題干】正三角形、正方形、正五邊形和正六邊形四種圖形中,能夠單獨鋪滿平面的有()A4種B3種C2種D1種【答案】B正三角形的每個內(nèi)角是60,能整除360,能密鋪;正方形的每個內(nèi)角是90,4個能密鋪;正五邊形每個內(nèi)角是1803605=108,不能整除360,不能密鋪;正六邊形的每個內(nèi)角是120,能整除360,能密鋪【解析】本題考查的知識點是:一種正多邊形的鑲嵌應(yīng)符合一個內(nèi)角度數(shù)能整除360【變式1】一幅圖案在某個頂點處由三個邊長相等的正多邊形鑲嵌而成的,其中的兩個分別是正方形和正十二邊形,則第三個正多邊形的邊數(shù)是 【答案】由于正方形和正十二邊形內(nèi)角分別為90、150,360(150+90)=120,又正六邊形內(nèi)角為120,第三個正多邊形的邊數(shù)是6【解析】圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵:繞一點拼在一起的多邊形內(nèi)角加在一起恰組成一個周角【變式2】用正三角形和正方形作覆蓋平面,在拼接點處有m個正三角形和n個正方形,則m= ,n= 【答案】設(shè)用m個正三角形,n個正四邊形能進行平面鑲嵌由題意,有60m+90n=360,解得m=6n,當(dāng)n=2時,m=3故邊長相同的正方形和正三角形共同作平面鑲嵌,在一個頂點周圍,有 3個正三角形和2個正方形【解析】此題主要考查了平面鑲嵌(密鋪)四、課堂運用【基礎(chǔ)】1.從六邊形的一個頂點出發(fā),可以畫出m條對角線,它們將六邊形分成n個三角形則m、n的值分別為()A4,3B3,3C3,4D4,4【答案】C解:對角線的數(shù)量=63=3條;分成的三角形的數(shù)量為n2=4個【解析】考查多邊形的對角線及分割成三角形個數(shù)的問題,解答此類題目可以直接記憶:一個n邊形一個頂點出發(fā),可以連的對角線的條數(shù)是n3,分成的三角形數(shù)是n22.多邊形的每個內(nèi)角都等于150,則從此多邊形的一個頂點出發(fā)可作的對角線共有()A8條B9條C10條D11條【答案】B多邊形的每個內(nèi)角都等于150,多邊形的每個外角都等于180150=30,邊數(shù)n=36030=12,對角線條數(shù)=123=9【解析】本題主要考查了多邊形的外角與對角線的性質(zhì),求出邊數(shù)是解題的關(guān)鍵,另外熟記從多邊形的一個頂點出發(fā)可作的對角線的條數(shù)公式也很重要3.若一個n邊形的所有內(nèi)角與某個外角的和等于1350,則n為()A七B八C九D十【答案】C1350180=7.5,因而設(shè)多邊形的邊數(shù)是n,則n2=7,解得n=9【解析】n邊形內(nèi)角和是(n2)180,則多邊形內(nèi)角和是180的正整數(shù)倍,而多邊形的外角小于180,因而用1350180,所得數(shù)值的整數(shù)部分與內(nèi)角和除以180所得數(shù)值相同4.多邊形的邊數(shù)由7邊增加到8邊,它的內(nèi)角和增加多少度()A90B270C180D360【答案】C(81)180(71)180=180【解析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理,理解定理是關(guān)鍵5從一個七邊形的某個頂點出發(fā),分別連接這個點與其余各頂點,可以把一個七邊形分割成()個三角形A6B5C8D7【答案】B從一個七邊形的某個頂點出發(fā),分別連接這個點與其余各頂點,可以把一個七邊形分割成72=5個三角形【解析】從n邊形的一個頂點出發(fā),可把n邊形分成(n2)個三角形6.從多邊形一條邊上的一點(不是頂點)出發(fā),連接各個頂點得到2003個三角形,則這個多邊形的邊數(shù)為()A2001B2005C2004D2006【答案】C多邊形一條邊上的一點(不是頂點)出發(fā),連接各個頂點得到2003個三角形,則這個多邊形的邊數(shù)為2003+1=2004【解析】多邊形一條邊上的一點(不是頂點)出發(fā),連接各個頂點得到的三角形個數(shù)=多邊形的邊數(shù)17.一個凸多邊形的內(nèi)角中,最多有 個銳角【答案】根據(jù)任意凸多邊形的外角和是360可知它的外角中,最多有3個鈍角,則內(nèi)角中,最多有3個銳角【解析】注意每個內(nèi)角與其相鄰的外角是鄰補角,由于多邊形的外角和是不變的,所以要分析內(nèi)角的情況可以借助外角來分析8.現(xiàn)有8個好友聚會,每兩人握手一次,共握手 次【答案】八邊形的對角線條數(shù)為:8(83)2=20(條),邊數(shù)為:8,八邊形中一共有線段的條數(shù)為:20+8=28(條);【解析】熟記n邊形對角線的總條數(shù)為:(n3,且n為整數(shù))9.若凸n邊形的內(nèi)角和為1260,則從一個頂點出發(fā)引的對角線條數(shù)是 【答案】凸n邊形的內(nèi)角和為1260,(n2)180=1260,得n=9;93=6【解析】考查多邊形的內(nèi)角和定理及多邊形的對角線10.(1)從n邊形任意一個頂點出發(fā),分別連接這個頂點與其余各頂點(相鄰頂點除外),得到 條線段,可把這個n邊形分割成 個三角形;(2)從n邊形的一條邊上任意一個點出發(fā)(頂點除外),分別連接這個點與其余各頂點(左右兩個相鄰頂點除外),得到 條線段,可把這個n邊形分割成 個三角形;(3)從n邊形的內(nèi)部任意一個點出發(fā),分別連接這個點與其余各頂點,得到 條線段,可把這個n邊形分割成 個三角形【答案】(1)從n邊形任意一個頂點出發(fā),分別連接這個頂點與其余各頂點(相鄰頂點除外),得到(n3)條線段,可把這個n邊形分割成(n2)個三角形;(2)從n邊形的一條邊上任意一個點出發(fā)(頂點除外),分別連接這個點與其余各頂點(左右兩個相鄰頂點除外),得到(n2)條線段,可把這個n邊形分割成(n1)個三角形;(3)從n邊形的內(nèi)部任意一個點出發(fā),分別連接這個點與其余各頂點,得到n條線段,可把這個n邊形分割成n個三角形【解析】此題考查了多邊形的性質(zhì)注意掌握歸納思想的應(yīng)用【鞏固】1.如圖,房間地面的圖案是用大小相同的黑、白正方形鑲嵌而成圖中第1個黑色形由3個正方形組成,第2個黑色形由7個正方形組成,那么組成第6個黑色形的正方形個數(shù)是()A22B23C24D25【答案】B第1個黑色形由3個正方形組成,第2個黑色形由3+14=7個正方形組成,第3個黑色形由3+24=11個正方形組成,則第6個黑色形由3+54=23個正方形組成?!窘馕觥孔⒁庖缘谝粋€圖形中的正方形的個數(shù)為基數(shù),得到相應(yīng)的規(guī)律2.一個多邊形截去一個內(nèi)角后,形成另一個多邊形的內(nèi)角和是2340,原多邊形邊數(shù)是()A14B16C14或16D14,15或16【答案】D多邊形的內(nèi)角和可以表示成(n2)180(n3且n是整數(shù)),一個多邊形截去一個角后,多邊形的邊數(shù)可能增加了一條,也可能不變或減少了一條,根據(jù)(n2)180=2340解得:n=15,則多邊形的邊數(shù)是14,15或16【解析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式,注意要分情況進行討論,避免漏解3.將一個長方形剪去一個角后所得的多邊形的內(nèi)角和為()度A540B360C180D540或360或180【答案】D剪掉一個角以后,多邊形的邊數(shù)可能增加了1條,也可能減少了1條,或者不變,當(dāng)截線為經(jīng)過正方形對角2個頂點的直線時,剩余圖形為三角形,內(nèi)角和為180;當(dāng)截線為經(jīng)過正方形一組對邊的直線時,剩余圖形是四邊形,內(nèi)角和360;當(dāng)截線為只經(jīng)過正方形一組鄰邊的一條直線時,剩余圖形是五邊形,內(nèi)角和為540【解析】考查了多邊形的內(nèi)角和,解決本題的關(guān)鍵是理解剪掉多邊形的一個角的含義4.如圖,在五邊形ABCDE中,AEDE,BAE=120,BCD=60,CDEABC=30(1)求D的度數(shù);(2)ABCD嗎?請說明理由【答案】(1)AEDE,AED=90,而A+B+C+D+E=(52)180=540,BAE=120,BCD=60,D+B=5409012060=270,CDEABC=30D=150;(2)ABCD理由如下:BAE=120,BCD=60,B+C=180,ABCD【解析】考查n邊形的內(nèi)角和定理(n邊形的內(nèi)角和為(n2)180)和平行線的判定5.在多邊形邊上或內(nèi)部取一點與多邊形各頂點的連線,將多邊形分割成若干個小三角形,圖1給出了四邊形的具體分割方法,分別將四邊形分割成了2個、3個、4個小三角形(1)請按照上述方法將圖2中的六邊形進行分割,并寫出每種方法得到的小三角形的個數(shù);(2)當(dāng)多邊形為n邊形時,按上述方法進行分割,寫出每種分法得到的小三角形的個數(shù)【答案】(1)如圖所示:可以發(fā)現(xiàn)所分割成的三角形的個數(shù)分別是4個,5個,6個;(2)結(jié)合兩個特殊圖形,可以發(fā)現(xiàn):第一種分割法把n邊形分割成了(n2)個三角形;第二種分割法把n邊形分割成了(n1)個三角形;第三種分割法把n邊形分割成了n個三角形【解析】本題考查了多邊形的對角線,此題要能夠從特殊中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,進而推廣到一般【拔高】1.連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段,叫做多邊形的對角線,如圖1,AC、AD是五邊形ABCDE的對角線思考下列問題:(1)如圖2,n邊形A1A2A3A4An中,過頂點A1可以畫 條對角線;過頂點A2可以畫 條對角線,過頂點A3可以畫 條對角線(2)過頂點A1的對角線與過頂點A2的對角線有相同的嗎?過頂點A1的對角線與過頂點A3的對角線有相同的嗎?(3)在此基礎(chǔ)上,你能發(fā)現(xiàn)n邊形的對角線條數(shù)的規(guī)律嗎?(4)在此基礎(chǔ)上,推導(dǎo)出n邊形的內(nèi)角和【答案】(1)過頂點A1可以畫(n3)條對角線;過頂點A2可以畫(n3)條對角線,過頂點A3可以畫(n3)條對角線;(2)過點A1的和過點A2的沒有重復(fù)的,但和過點A3的有重復(fù)的(A1A3和A3A1重復(fù));(3)n邊形的一個頂點不能與它本身及左右兩個鄰點相連成對角線,故可連出(n3)條,共有n個頂點,應(yīng)為n(n3)條,這樣算出的數(shù),正好多出了一倍,所以再除以2即n邊形的對角線條數(shù)的為:(4)過一點有(n3)條對角線,分成(n2)個三角形,n邊形內(nèi)角和為180(n2)【解析】此題考查了多邊形的對角線及多邊形的內(nèi)角和的知識2.凸多邊形中,除A外,其余各角的和是1000,這個多邊形的邊數(shù)是()A6B7C8D9【答案】C設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是m則(n2)180=1000+A,由于0A180,所以0(n2)1801000180,整理得1000(n2)1801000+180,即n2+1,5n26因為n是正整數(shù),所以n2=6,n=8【解析】n邊形的內(nèi)角和是(n2)180,因而內(nèi)角和一定是180度的倍數(shù),而多邊形的內(nèi)角一定大于0,并且小于180度因而內(nèi)角和去掉一個內(nèi)角的值,這個值除以180度,所得數(shù)值比邊數(shù)n2要大,大的值小于1則用內(nèi)角和于內(nèi)角的和除以180所得值,加上2,比這個數(shù)大的最小的整數(shù)就是多邊形的邊數(shù)3. 如圖,求A+B+C+D+E+F的度數(shù)和【答案】APC是AEP的外角,APC=A+E,BOD是DOF的外角,BOD=D+F,A+B+C+D+E+F=B+C+APC+BOD=180(42)=360【解析】本題考查多邊形的內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)課程小結(jié)1. 多邊形的性質(zhì)2. 多邊形的對角線3. 多邊形內(nèi)角和與外角和4. 平面鑲嵌問題課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1.(2013湛江)已知一個多邊形的內(nèi)角和是540,則這個多邊形是()A四邊形B五邊形C六邊形D七邊形【答案】B根據(jù)多邊形的內(nèi)角和得:(n2)180=540,解得:n=5,則多邊形是五邊形【解析】本題比較容易,主要考查多邊形的內(nèi)角和公式2.(2009烏魯木齊)某多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍,則此多邊形的邊數(shù)是()A5B6C7D8【答案】D解:根據(jù)題意,得:(n2)180=3603,解得n=8【解析】解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式和外角和定理,利用方程法求邊數(shù)3.(2006臨沂)多邊形的內(nèi)角中,銳角的個數(shù)最多有()A1個B2個C3個D4個【答案】C多邊形外角和是360度,外角中最多有三個鈍角,如果超過三個則和一定大于360度,多邊形的內(nèi)角與外角互為鄰補角,則外角中最多三個鈍角,內(nèi)角中就最多3個銳角【解析】本題考查了多邊形的內(nèi)角問題由于內(nèi)角和不是定值,不容易考慮,而外角和是360度不變,因而內(nèi)角的問題可以轉(zhuǎn)化為外角的問題進行考慮4.從n邊形的一個頂點出發(fā)一共可引6條對角線,則這個n邊形的內(nèi)角和等于()A1260B1440C1620D1800【答案】A從n邊形的一個頂點出發(fā)一共可引6條對角線,多邊形是9邊形,內(nèi)角和是(92)180=1260?!窘馕觥空_理解多邊形的邊數(shù)與從一個頂點發(fā)出的對角線的條數(shù)之間的關(guān)系,以及對多邊形內(nèi)角和定理的理解與記憶是解決本題的關(guān)鍵5.多邊形的內(nèi)角和不可能是下列中的()A270B360C540D720【答案】AA、270180=190,不是180的倍數(shù),不是多邊形的內(nèi)角和;B、360180=2,是180的倍數(shù),可能是多邊形的內(nèi)角和;C、540180=3,是180的倍數(shù),可能是多邊形的內(nèi)角和;D、720180=4,是180的倍數(shù),可能是多邊形的內(nèi)角和【解析】考查多邊形的內(nèi)角和公式,還需要懂得挖掘此題隱含著邊數(shù)為正整數(shù)這個條件6.如果一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍,那么從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)是()A3B6C9D18【答案】A設(shè)這個多邊形有n條邊,由題意得:(n2)180=3602,解得:n=6,從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)是63=4?!窘馕觥恐饕疾槎噙呅蔚膬?nèi)角和外角,以及對角線,關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和公式7.(2011豐南區(qū)一模)小亮從A點出發(fā)前進10米,向右轉(zhuǎn)60,又前進10米,又向右轉(zhuǎn)60,這樣一直走下去,當(dāng)他第一次回到出發(fā)點A時,一共走了多少米()A30米B60米C80米D100米【答案】B從開始到第一次回到出發(fā)點,所經(jīng)過的路線正好構(gòu)成一個正六邊形,則一共走了610=60米【解析】小亮從開始到第一次回到出發(fā)點,所經(jīng)過的路線正好構(gòu)成一個正六邊形,已知正六邊形的邊長,即可求得周長,即所走的路程8.某裝飾市場有四種型號的地磚,準(zhǔn)備用同一型號的正多邊形地磚密鋪每種地磚的內(nèi)角度數(shù)分別是90、120、135、150這些地磚中,可以使用的是 【答案】902=180,1203=360,同一型號的正多邊形地磚密鋪地面可以使用的是內(nèi)角度數(shù)分別是90和120的地磚【解析】本題考查了平面密鋪的知識,用同一型號的正多邊形地磚密鋪地面時,對正多邊形的內(nèi)角的度數(shù)的要求是解答本題的關(guān)鍵9. 4支排球隊進行單循環(huán)比賽(參加比賽的每兩支球隊之間都要進行一場比賽),則總的比賽場數(shù)為 場【答案】如圖,作四邊形ABCD,易得,對角線有2條,邊數(shù)有4條,共有6條線段,則比賽場數(shù)有6場 【解析】用數(shù)學(xué)模型將實際問題轉(zhuǎn)化為多邊形的邊數(shù)與對角線的問題10.求出下列圖中x的值【答案】解:(1)根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到:x+70=x+(x+10),解得:x=60(2)根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360得到:(x+10)+x+60+90=360,解得:x=100(3)根據(jù)五邊形的內(nèi)角和是(52)180=540得到:x+(x+20)+(x10)+x+70=540,解得:x=115【解析】結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式與外角和的關(guān)系來尋求等量關(guān)系,構(gòu)建方程即可求解【鞏固】1.若一個多邊形的邊數(shù)恰好是從一個頂點引出的對角線條數(shù)的2倍,求此多邊形的邊數(shù)【答案】設(shè)此多邊形有n條邊,由題意,得n=2(n3),解得n=6【解析】根據(jù)“一個多邊形的邊數(shù)恰好是從一個頂點引出的對角線條數(shù)的2倍”列出方程。2.小明在計算一個多邊形的內(nèi)角和時,由于粗心少計算了一個內(nèi)角,結(jié)果得1345,則未計算的內(nèi)角的大小為()A80B85C95D100【答案】C設(shè)多邊形邊數(shù)是n依題意有(n2)1801345,解得:n,則多邊形的邊數(shù)n=10;多邊形的內(nèi)角和是(102)180=1440度;則未計算的內(nèi)角的大小為14401345=95【解析】主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理,正確確定多邊形的邊數(shù)是解題的關(guān)鍵3.某單位的地板由三種邊長相等的正多邊形鋪成,三種多邊形是按1:1:1來排列,設(shè)這三種正多邊形的邊數(shù)分別為x,y,z,求的值【答案】由題意可知:,【解析】這三種正多邊形一個頂點處三個內(nèi)角的度數(shù)之和正好等于3604.已知:如圖,四邊形ABCD中,D=90,B=C=70,AE平分BAD,交BC于點E,EFAE,交CD于點F(1)求BAE的度數(shù);(2)寫出圖中與AEB相等的角并說明理由【答案】(1)四邊形ABCD中,D=90,B=C=70,BAD=360BCD=130,AE平分BAD,BAE=BAD=130=65;(2)AEB=CEF理由如

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