高考數(shù)學圓錐曲線經(jīng)典例題及總結(jié)教案.doc

高考數(shù)學圓錐曲線經(jīng)典例題及總結(jié)教案 圓錐曲線1.圓錐曲線的兩定義：第一定義中要重視“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點F ，F(xiàn) 的距離的和等于常數(shù) ，且此常數(shù) 一定要大于 ，當常數(shù)等于 時，軌跡是線段F F ，當常數(shù)小于 時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點F ，F(xiàn) 的距離的差的絕對值等于常數(shù) ，且此常數(shù) 一定要小于|F F |，定義中的“絕對值”與 |F F |不可忽視。若 |F F |，則軌跡是以F ，F(xiàn) 為端點的兩條射線，若 |F F |，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。2.圓錐曲線的標準方程（標準方程是指中心（頂點）在原點，坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程）：（1）橢圓：焦點在 軸上時 （ ），焦點在 軸上時 1（ ）。方程 表示橢圓的充要條件是什么？（ABC0，且A，B，C同號，AB）。（2）雙曲線：焦點在 軸上： =1，焦點在 軸上： 1（ ）。方程 表示雙曲線的充要條件是什么？（ABC0，且A，B異號）。（3）拋物線：開口向右時 ，開口向左時 ，開口向上時 ，開口向下時 。3.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然后再判斷）：（1）橢圓：由 , 分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。（2）雙曲線：由 , 項系數(shù)的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐標軸上；（3）拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。提醒：在橢圓中， 最大， ，在雙曲線中， 最大， 。4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：（1）橢圓（以 （ ）為例）：范圍： ；焦點：兩個焦點 ；對稱性：兩條對稱軸 ，一個對稱中心（0,0），四個頂點 ，其中長軸長為2 ，短軸長為2 ；準線：兩條準線 ； 離心率： ，橢圓 ， 越小，橢圓越圓； 越大，橢圓越扁。（2）雙曲線（以 （ ）為例）：范圍： 或 ；焦點：兩個焦點 ；對稱性：兩條對稱軸 ，一個對稱中心（0,0），兩個頂點 ，其中實軸長為2 ，虛軸長為2 ，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設為 ；準線：兩條準線 ； 離心率： ，雙曲線 ，等軸雙曲線 ， 越小，開口越小， 越大，開口越大；兩條漸近線： 。（3）拋物線（以 為例）：范圍： ；焦點：一個焦點 ，其中 的幾何意義是：焦點到準線的距離；對稱性：一條對稱軸 ，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）；準線：一條準線 ； 離心率： ，拋物線 。5、點 和橢圓 （ ）的關系：（1）點 在橢圓外 ；（2）點 在橢圓上 1；（3）點 在橢圓內(nèi) 6直線與圓錐曲線的位置關系：（1）相交： 直線與橢圓相交； 直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有 ，當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故 是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件； 直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有 ，當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故 也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。（2）相切： 直線與橢圓相切； 直線與雙曲線相切； 直線與拋物線相切；（3）相離： 直線與橢圓相離； 直線與雙曲線相離； 直線與拋物線相離。提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點；（2）過雙曲線 1外一點 的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；P為原點時不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。7、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形）問題： ，當 即 為短軸端點時， 的最大值為bc；對于雙曲線 。 如 （1）短軸長為 ，8、拋物線中與焦點弦有關的一些幾何圖形的性質(zhì)：（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準線相切；（2）設AB為焦點弦， M為準線與x軸的交點，則AMFBMF；（3）設AB為焦點弦，A、B在準線上的射影分別為A ，B ，若P為A B 的中點，則PAPB；（4）若AO的延長線交準線于C，則BC平行于x軸，反之，若過B點平行于x軸的直線交準線于C點，則A，O，C三點共線。 9、弦長公式：若直線 與圓錐曲線相交于兩點A、B，且 分別為A、B的橫坐標，則 ，若 分別為A、B的縱坐標，則 ，若弦AB所在直線方程設為 ，則 。特別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。拋物線： 在雙曲線 中，以 為中點的弦所在直線的斜率k= ；在拋物線 中，以 為中點的弦所在直線的斜率k= 。提醒：因為 是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關弦長、對稱問題時，務必別忘了檢驗 ！ 11了解下列結(jié)論（1）雙曲線 的漸近線方程為 ；（2）以 為漸近線（即與雙曲線 共漸近線）的雙曲線方程為 為參數(shù)， 0）。（3）中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設為 ；（4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）為 ，焦準距（焦點到相應準線的距離）為 ，拋物線的通徑為 ，焦準距為 ； （5）通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦；（6）若拋物線 的焦點弦為AB， ，則 ； （7）若OA、OB是過拋物線 頂點O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過定點 12、解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容：（1） 給出直線的方向向量 或 ；（2）給出 與 相交,等于已知 過 的中點;（3）給出 ,等于已知 是 的中點;（4）給出 ,等于已知 與 的中點三點共線;（5） 給出以下情形之一： ；存在實數(shù) ；若存在實數(shù) ,等于已知 三點共線.（6） 給出 ,等于已知 ,即 是直角,給出 ,等于已知 是鈍角, 給出 ,等于已知 是銳角,（8）給出 ,等于已知 是 的平分線/（9）在平行四邊形 中，給出 ，等于已知 是菱形;（10） 在平行四邊形 中，給出 ，等于已知 是矩形;（11）在 中，給出 ，等于已知 是 的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）；（12） 在 中，給出 ，等于已知 是 的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）；（13）在 中，給出 ，等于已知 是 的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；（14）在 中，給出 等于已知 通過 的內(nèi)心；（15）在 中，給出 等于已知 是 的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點）； （16） 在 中，給出 ,等于已知 是 中 邊的中線; （3）已知A,B為拋物線x2=2py(p 0)上異于原點的兩點， ，點C坐標為（0，2p）（1）求證：A,B,C三點共線； （2）若 （ ）且 試求點M的軌跡方程。（1）證明：設 ，由 得，又 ， ，即A,B,C三點共線。（2）由（1）知直線AB過定點C，又由 及 （ ）知OM AB，垂足為M，所以點M的軌跡為以OC為直徑的圓，除去坐標原點。即點M的軌跡方程為x2+(y-p)2=p2(x 0，y 0)。13.圓錐曲線中線段的最值問題：例1、(1)拋物線C:y2 =4x上一點P到點A(3,4 )與到準線的距離和最小,則點 P的坐標為_(2)拋物線C: y2 =4x上一點Q到點B(4,1)與到焦點F的距離和最小,則點Q的坐標為 。分析：（1）A在拋物線外，如圖，連PF，則 ，因而易發(fā)現(xiàn)，當A、P、F三點共線時，距離和最小。（2）B在拋物線內(nèi)，如圖，作QRl交于R，則當B、Q、R三點共線時，距離和最小。 解：（1）（2， ）（2）（ ）1、已知橢圓C1的方程為 ，雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點。 (1) 求雙曲線C2的方程； (2) 若直線l： 與橢圓C1及雙曲線C2恒有兩個不同的交點，且l與C2的兩個交點A和B滿足 (其中O為原點)，求k的取值范圍。解：（）設雙曲線C2的方程為 ，則 故C2的方程為 （II）將 由直線l與橢圓C1恒有兩個不同的交點得即 .由直線l與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A，B得 解此不等式得 由、得 故k的取值范圍為 在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,-1)，B點在直線y = -3上，M點滿足MB/OA， MA AB = MB BA，M點的軌跡為曲線C。（）求C的方程；（）P為C上的動點，l為C在P點處得切線，求O點到l距離的最小值。()設M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以 =（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).再由愿意得知（ + ） =0,即（-x,-4-2y） (x,-2)=0.所以曲線C的方程式為y= x -2. ()設P(x ,y )為曲線C：y= x -2上一點，因為y = x,所以 的斜率為 x 因此直線 的方程為 ，即 。則O點到 的距離 .又 ，所以 當 =0時取等號，所以O點到 距離的最小值為2.設雙曲線 （a0,b0）的漸近線與拋物線y=x2 +1相切，則該雙曲線的離心率等于( )設雙曲線 的一條漸近線，則雙曲線的離心率為( ). 過橢圓 ( )的左焦點 作 軸的垂線交橢圓于點 ， 為右焦點，若 ，則橢圓的離心率為已知雙曲線 的左、右焦點分別是 、 ，其一條漸近線方程為 ，點 在雙曲線上.則 ( )0已知直線 與拋物線 相交于 兩點， 為 的焦點，若 ，則 ( )已知直線 和直線 ，拋物線 上一動點 到直線 和直線 的距離之和的最小值是（ ）設已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點為F(1，0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點。若AB的中點為（2，2），則直線l的方程為_.橢圓 的焦點為 ，點P在橢圓上，若 ，則 ； 的大小為 .過拋物線 的焦點F作傾斜角為 的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的長為8，則 _ 【解析】設切點 ，則切線的斜率為 .由題意有 又 解得: 雙曲線 的一條漸近線為 ,由方程組 ,消去y,得 有唯一解,所以= ,所以 , 由漸近線方程為 知雙曲線是等軸雙曲線，雙曲線方程是 ，于是兩焦點坐標分別是（2，0）和（2，0），且 或 .不妨去 ，則 ， . 【解析】設拋物線 的準線為 直線 恒過定點P .如圖過 分 別作 于 , 于 , 由 ,則 ,點B為AP的中點.連結(jié) ,則 , 點 的橫坐標為 , 故點 的坐標為, 故選D 1.點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的外角.2.PT平分PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3.以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離.4.以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.5.若 在橢圓 上，則過 的橢圓的切線方程是 .6.若 在橢圓 外 ，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是 .7.橢圓 (ab0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為橢圓上任意一點 ，則橢圓的焦點角形的面積為 .8.橢圓 （ab0）的焦半徑公式：, ( , ).9.設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)AP 和AQ分別交相應于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，則MFNF.10.過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MFNF.11.AB是橢圓 的不平行于對稱軸的弦，M 為AB的中點，則 ，即 。12.若 在橢圓 內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是 .13.若 在橢圓 內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是 .二、雙曲線1.點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的內(nèi)角.2.PT平分PF1F2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3.以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交.4.以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）5.若 在雙曲線 （a0,b0）上，則過 的雙曲線的切線方程是 .6.若 在雙曲線 （a0,b0）外 ，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是 .7.雙曲線 （a0,bo）的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為雙曲線上任意一點 ，則雙曲線的焦點角形的面積為 .8.雙曲線 （a0,bo）的焦半徑公式：( , 當 在右支上時， , .當 在左支上時， , 9.設過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)AP 和AQ分別交相應于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，則MFNF.10.過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q, A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MFNF.11.AB是雙曲線 （a0,b0）的不平行于對稱軸的弦，M 為AB的中點，則 ，即 。12.若 在雙曲線 （a0,b0）內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是 .13.若 在雙曲線 （a0,b0）內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是 .橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)-（會推導的經(jīng)典結(jié)論）橢 圓1.橢圓 （abo）的兩個頂點為 , ，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是 .2.過橢圓 (a0, b0)上任一點 任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且 （常數(shù)）.3.若P為橢圓 （ab0）上異于長軸端點的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則 .4.設橢圓 （ab0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在PF1F2中，記 , , ，則有 .5.若橢圓 （ab0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當0e 時，可在橢圓上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項.6.P為橢圓 （ab0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內(nèi)一定點，則 ,當且僅當 三點共線時，等號成立.7.橢圓 與直線 有公共點的充要條件是 .8.已知橢圓 （ab0），O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且 .（1） ;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為 ;（3） 的最小值是 .9.過橢圓 （ab0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則 .10.已知橢圓 （ ab0）,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點 , 則 .11.設P點是橢圓 （ ab0）上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記 ，則(1) .(2) .12.設A、B是橢圓 （ ab0）的長軸兩端點，P是橢圓上的一點， , , ，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1) .(2) .(3) .13.已知橢圓 （ ab0）的右準線 與x軸相交于點 ，過橢圓右焦點 的直線與橢圓相交于A、B兩點,點 在右準線 上，且 軸，則直線AC經(jīng)過線段EF 的中點.14.過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.15.過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16.橢圓焦三角形中,內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). （注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點.）17.橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e.18.橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項.雙曲線1.雙曲線 （a0,b0）的兩個頂點為 , ，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是 .2.過雙曲線 （a0,bo）上任一點 任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且 （常數(shù)）.3.若P為雙曲線 （a0,b0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則 （或 ）.4.設雙曲線 （a0,b0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在PF1F2中，記 , , ，則有 .5.若雙曲線 （a0,b0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當1e 時，可在雙曲線上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項.6.P為雙曲線 （a0,b0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線內(nèi)一定點，則 ,當且僅當 三點共線且 和 在y軸同側(cè)時，等號成立.7.雙曲線 （a0,b0）與直線 有公共點的充要條件是 .8.已知雙曲線 （ba 0），O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且 .（1） ;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為 ;（3） 的最小值是 .9.過雙曲線 （a0,b0）的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則 .10.已知雙曲線 （a0,b0）,A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點 , 則 或 .11.設P點是雙曲線 （a0,b0）上異于實軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記 ，則(1) .(2) .12.設A、B是雙曲線 （a0,b0）的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點， , , ，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1) .(2) .(3) .13.已知雙曲線 （a0,b0）的右準線 與x軸相交于點 ，過雙曲線右焦點 的直線與雙曲線相交于A、B兩點,點 在右準線 上，且 軸，則直線AC經(jīng)過線段EF 的中點.14.過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.15.過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16.雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點).17.雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e.18.雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到雙曲線中心的比例中項.其他常用公式：1、連結(jié)圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數(shù)關系來計算弦長，常用的弦長公式： 2、直線的一般式方程：任何直線均可寫成 (A,B不同時為0)的形式。3、知直線橫截距 ，常設其方程為 (它不適用于斜率為0的直線)與直線 垂直的直線可表示為 。4、兩平行線 間的距離為 。5、若直線 與直線 平行則 （斜率）且 （在 軸上截距） （充要條件）6、圓的一般方程： ，特別提醒：只有當 時，方程 才表示圓心為 ，半徑為 的圓。二元二次方程 表示圓的充要條件是 且 且 。7、圓的參數(shù)方程： （ 為參數(shù)），其中圓心為 ，半徑為 。圓的參數(shù)方程的主要應用是三角換元： ； 8、 為直徑端點的圓方程 切線長：過圓 （ ）外一點 所引圓的切線的長為 （ ）9、弦長問題：圓的弦長的計算：常用弦心距 ，弦長一半 及圓的半徑 所構(gòu)成的直角三角形來解： ；過兩圓 、 交點的圓(公共弦)系為 ，當 時，方程 為兩圓公共弦所在直線方程.。攻克圓錐曲線解答題的策略摘要:為幫助高三學生學好圓錐曲線解答題，提高成績，戰(zhàn)勝高考，可從四個方面著手：知識儲備、方法儲備、思維訓練、強化訓練。關鍵詞：知識儲備 方法儲備 思維訓練 強化訓練第一、知識儲備：1. 直線方程的形式（1）直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式。（2）與直線相關的重要內(nèi)容傾斜角與斜率 點到直線的距離 夾角公式： （3）弦長公式直線 上兩點 間的距離： 或 （4）兩條直線的位置關系 =-1 2、圓錐曲線方程及性質(zhì)(1)、橢圓的方程的形式有幾種？（三種形式） 標準方程： 距離式方程： 參數(shù)方程： (2)、雙曲線的方程的形式有兩種 標準方程： 距離式方程： (3)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？ (4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？如：已知 是橢圓 的兩個焦點，平面內(nèi)一個動點M滿足 則動點M的軌跡是（ ）A、雙曲線；B、雙曲線的一支；C、兩條射線；D、一條射線(5)、焦點三角形面積公式： （其中 ）(6)、記住焦半徑公式：（1） ，可簡記為“左加右減，上加下減”。 （2） （3） (6)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？ 第二、方法儲備1、點差法（中點弦問題）設 、 ， 為橢圓 的弦 中點則有， ；兩式相減得 = 2、聯(lián)立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關系一類的問題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個參數(shù)怎么辦？ 設直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個二次方程，使用判別式 ，以及根與系數(shù)的關系，代入弦長公式，設曲線上的兩點 ，將這兩點代入曲線方程得到12兩個式子，然后1-2，整體消元 ，若有兩個字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個，比如直線過焦點，則可以利用三點A、B、F共線解決之。若有向量的關系，則尋找坐標之間的關系，根與系數(shù)的關系結(jié)合消元處理。一旦設直線為 ，就意味著k存在。例1、已知三角形ABC的三個頂點均在橢圓 上，且點A是橢圓短軸的一個端點（點A在y軸正半軸上）.（1）若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點，試求直線BC的方程;（2）若角A為 ，AD垂直BC于D，試求點D的軌跡方程.分析：第一問抓住“重心”，利用點差法及重心坐標公式可求出中點弦BC的斜率，從而寫出直線BC的方程。第二問抓住角A為 可得出ABAC，從而得 ，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點D的軌跡方程；解：（1）設B（ , ）,C( , ),BC中點為( ),F(2,0)則有 兩式作差有 (1)F(2,0)為三角形重心，所以由 ，得 ，由 得 ，代入（1）得 直線BC的方程為 2)由ABAC得 （2）設直線BC方程為 ，得 ， 代入（2）式得，解得 或 直線過定點（0， ，設D（x,y），則 ，即 所以所求點D的軌跡方程是 。4、設而不求法例2、如圖，已知梯形ABCD中 ，點E分有向線段 所成的比為 ，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點當 時，求雙曲線離心率 的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標法、定比分點坐標公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運算能力和綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。建立直角坐標系 ，如圖，若設C ，代入 ，求得 ，進而求得 再代入 ，建立目標函數(shù) ，整理 ，此運算量可見是難上加難.我們對 可采取設而不求的解題策略,建立目標函數(shù) ，整理 ,化繁為簡. 解法一：如圖，以AB為垂直平分線為 軸，直線AB為 軸，建立直角坐標系 ，則CD 軸因為雙曲線經(jīng)過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于 軸對稱 依題意，記A ，C ，E ，其中 為雙曲線的半焦距， 是梯形的高，由定比分點坐標公式得 ， 設雙曲線的方程為 ，則離心率 由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和 代入雙曲線方程得 ， 由式得 ， 將式代入式，整理得 ，故 由題設 得， 解得 所以雙曲線的離心率的取值范圍為 分析：考慮 為焦半徑,可用焦半徑公式, 用 的橫坐標表示，回避 的計算, 達到設而不求的解題策略 解法二：建系同解法一， ，又 ，代入整理 ，由題設 得， 解得 所以雙曲線的離心率的取值范圍為 5、判別式法例3已知雙曲線 ，直線 過點 ，斜率為 ，當 時，雙曲線的上支上有且僅有一點B到直線 的距離為 ，試求 的值及此時點B的坐標。分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點B作與 平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式 . 由此出發(fā)，可設計如下解題思路： 解題過程略.分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應當把距離用代數(shù)式表達，即所謂“有且僅有一點B到直線 的距離為 ”，相當于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設計出如下解題思路： 簡解：設點 為雙曲線C上支上任一點，則點M到直線 的距離為： 于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關于 的方程.由于 ，所以 ，從而有于是關于 的方程 由 可知：方程 的二根同正，故 恒成立，于是 等價于.由如上關于 的方程有唯一解，得其判別式 ，就可解得 .點評：上述解法緊扣解題目標，不斷進行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.例4已知橢圓C: 和點P（4，1），過P作直線交橢圓于A、B兩點，在線段AB上取點Q，使 ，求動點Q的軌跡所在曲線的方程.分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學生往往不知從何入手。其實，應該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設法將點Q的橫、縱坐標用參數(shù)表達，最后通過消參可達到解題的目的.由于點 的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率 作為參數(shù)，如何將 與 聯(lián)系起來？一方面利用點Q在直線AB上；另一方面就是運用題目條件： 來轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點共線，不難得到 ，要建立 與 的關系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù). 在得到 之后，如果能夠從整體上把握，認識到：所謂消參，目的不過是得到關于 的方程（不含k），則可由 解得 ，直接代入 即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。簡解：設 ，則由 可得： ，解之得： （1）設直線AB的方程為： ，代入橢圓C的方程，消去 得出關于 x的一元二次方程： （2） 代入（1），化簡得： (3)與 聯(lián)立，消去 得： 在（2）中，由 ，解得 ，結(jié)合（3）可求得 故知點Q的軌跡方程為： （ ）.點評：由方程組實施消元，產(chǎn)生一個標準的關于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達定理模塊思維易于想到. 這當中，難點在引出參，活點在應用參，重點在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.6、求根公式法例5設直線 過點P（0，3），和橢圓 順次交于A、B兩點，試求 的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學不難得到： = ，但從此后卻一籌莫展, 問題的根源在于對題目的整體把握不夠. 事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關于某個（或某幾個）參數(shù)的函數(shù)關系式（或方程），這只需利用對應的思想實施；其二則是構(gòu)造關于所求量的一個不等關系.分析1:從第一條想法入手， = 已經(jīng)是一個關系式，但由于有兩個變量 ，同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個變量直線AB的斜率k. 問題就轉(zhuǎn)化為如何將 轉(zhuǎn)化為關于k的表達式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關于 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出. 簡解1：當直線 垂直于x軸時，可求得 ;當 與x軸不垂直時，設 ，直線 的方程為： ，代入橢圓方程，消去 得 解之得 因為橢圓關于y軸對稱，點P在y軸上，所以只需考慮 的情形.當 時， ， ，所以 = = = .由 , 解得 ，所以 ，綜上 .分析2: 如果想構(gòu)造關于所求量的不等式，則應該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負性可以很快確定 的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與 聯(lián)系起來. 一般來說，韋達定理總是充當這種問題的橋梁，但本題無法直接應用韋達定理，原因在于 不是關于 的對稱關系式. 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關于 的對稱關系式. 簡解2：設直線 的方程為： ，代入橢圓方程，消去 得 （*）則 令 ，則， 在（*）中，由判別式 可得 ，從而有 ，所以 ，解得 .結(jié)合 得 . 綜上， .點評：范圍問題不等關系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不能說明問題，有時甚至會被局部所糾纏而看不清問題的實質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運籌帷幄，方能決勝千里.第三、推理訓練：數(shù)學推理是由已知的數(shù)學命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學求解的核心。以已知的真實數(shù)學命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當?shù)慕忸}方法，達到解題目標，得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。例6橢圓長軸端點為 ， 為橢圓中心， 為橢圓的右焦點，且 ， （）求橢圓的標準方程；（）記橢圓的上頂點為 ，直線 交橢圓于 兩點，問：是否存在直線 ，使點 恰為 的垂心？若存在，求出直線 的方程;若不存在，請說明理由。思維流程： 解題過程： （）如圖建系，設橢圓方程為 ,則 又 即 ， 故橢圓方程為 （）假設存在直線 交橢圓于 兩點，且 恰為 的垂心，則設 ， ，故 ，于是設直線 為 ，由 得， 又 得 即 由韋達定理得 解得 或 （舍） 經(jīng)檢驗 符合條件點石成金：垂心的特點是垂心與頂點的連線垂直對邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零例7、已知橢圓 的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過 、 、 三點（）求橢圓 的方程：（）若點D為橢圓 上不同于 、 的任意一點， ，當 內(nèi)切圓的面積最大時，求 內(nèi)心的坐標；思維流程：（） 解題過程： （）設橢圓方程為 ，將 、 、 代入橢圓E的方程，得解得 .橢圓 的方程 （） ，設 邊上的高為 當點 在橢圓的上頂點時， 最大為 ，所以 的最大值為 設 的內(nèi)切圓的半徑為 ，因為 的周長為定值6所以， 所以 的最大值為 所以內(nèi)切圓圓心的坐標為 .點石成金： 例8、已知定點 及橢圓 ，過點 的動直線與橢圓相交于 兩點.（）若線段