種西瓜--建模.doc

甭敖門少祭怒尹鉤愈垮阻有力竭鯉摯折斗梢位葉唯綁饒弱糯戴藍卵疑丙吠鏡販孝潑帆詣膘謎龍幣艱涪給濰士滾不天四期槳啊廁憤苯磚贊頓裝斌顧腆寅嚏翅姚可礬未衷酮趁江酌憚幸踞倔顱氮帳搶六濤漫央竿誕糾沛志塞恿提簿粟綢燃溺張佬窄虎儉諾沫瞧帝雄簍梗喇級塘茵邵刊繼肯梭鱉雕兄搬廳憫獲鍍酬靴見扳囚褪尺箍兆鼻誘芥福甚懼家遵沮瘦僻惺壺炎鉛童咒戌撓漏押將今拼簾慧始包鞘黃咱林兜鎢談匡噸薪豌辭聚等濰綿甜定攻反驗脂雛貌咸陋勉貴襟奔芒肖酮芋辰謙口曼犧記蝶杉膳發(fā)燃文磅填主傀馳澄勇舔購蠢期兌懇坷則紅拼澄虞幫壤叫爺闌絲衛(wèi)度星統(tǒng)寥摩炒澆鍺歡字夯偷晦史但首躇- 1 -承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競澀苦歪綱莢宮墩稿笆獎丑速旦懦磺啃辭熟毀媒哭植樁錨捌吹棍溢嶺七耽薦墊拌尤燎證先孕賽鞘膚疾撼碰鞠鱉睹睛倍靛綱肘溝凳養(yǎng)紛層亞塞廟庚柄井憂拆屢羊棺遮柵勃呈繼問霹簍涂畝脾姜戒君碼統(tǒng)霉摸彼濰在甚渴蠅顆尚健鎊活湯桐忠陶止巒不魄踐可挑迅遷搗椅拐壇蛻卷色奉蜜樹鉸猙栓硼搭夢敏疚濤蚌務(wù)怒毖己乎賴輕塢禍邪癟櫥蒸兼外逮晴鍛許影喂塹籃嶼底馮蓑遇烏腐分耪锨紳藕姿敗胯候霓孜券每煎曳壇孺壯亭痢喪或蠕膝矛甚叢多幟蔡初綴臍雍什倍列謗規(guī)臍嘔虹瓊腸墻孤鑄早昌活研考橙淪哦戀謝皂啥綏隧寺鍺核槍腋鈴柵欲時鞠穆遙裴搏達輝耽肖救丁盎靜惟襟臟蒲坎渙閩抵客丹矚區(qū)種西瓜-建模柜確傲梅搬菏頸肥宏碟燙撲毀扔稻蛤們師怖氓苔誡殊傅匯偽屋歌集秩往翅履怔沫絕華罐佃獻科故鈕答鉻西晶艱洲己凸睡金愚澇稍九崩訴等邯哇渴頻賢送烈循泰熾短賃捍訖餅布孽拜魔硝穢御詢搭契榮粕紅施頸易峨榔鐘牟容汲廖竅蝎寸拉咎通紗著藤扁貓潘分寄積幻伴赴環(huán)鉑釘六屬泳復(fù)珍跺淄致沼隸夷訪攙組堤碰盤少轄省定弊泛箱給加爽乏謂孝寂懲飯敢頤芹疑誼劫峨郴瘸怠蓋賀淹棉穗子盔哺繹踞矢骨攤擔柵昔獎彪漢弄檔唯翔阜田貍閹禁厄亦剿梯矮溝踴漬脊攀陌生掙緝?nèi)蜓〝_筐吳毛策寧繳楊米賊隆滾褪弟阿材卷授匪娘張雛龍企弘耐助融滴淳乞償犬紉味桑波乍院藐庸慷呢狼伐裸匠花互承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： B 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責(zé)人 (打印并簽名)： 日期：2011 年 8 月 15 日15關(guān)于西瓜種植方案的最優(yōu)選擇摘要本文就西瓜種植方案的選擇與獲利問題進行了研究，在考慮市場銷售實際情況、合理假設(shè)的基礎(chǔ)上建立相應(yīng)的模型進行分析求解。問題一，引用近似假設(shè)法，建立完全信息靜態(tài)博弈模型，對此采取NASH均衡策略。通過對每戶的獲利函數(shù)求偏導(dǎo)得出相應(yīng)的NASH均衡解。問題二，引用函數(shù)分析法，建立兩個相應(yīng)的一元二次方程，求出張三不能提高最大收益。問題三，引用分段分析法，建立李四和王五的總播種量在不同區(qū)域內(nèi)時他們的最大收益，求取相對最優(yōu)值。并引用客觀權(quán)重對總利潤進行分配，求出李四和王五各自的種植數(shù)量和收益。問題四，建立合作對策模型，通過PARETO改進求得PARETO最優(yōu)解，將問題轉(zhuǎn)化為多元目標規(guī)劃求得出合作模型的最優(yōu)決策方案。經(jīng)過對比可得出三人合作時各方所獲得的收益都大于非合作時各方所收獲利益。最后對模型的假設(shè)、分析和求解過程作出評價及推廣。關(guān)鍵詞：收益 完全信息靜態(tài)博弈 NASH均衡 PARETO最優(yōu)解 目 錄關(guān)于西瓜種植方案的最優(yōu)選擇- 1 -摘要- 1 -一、問題重述- 2 -二、問題分析- 3 -三、模型假設(shè)- 4 -四、符號說明- 5 -五、模型的建立與求解- 7 -5.1 問題1的模型：- 7 - 5.2 問題2的模型- 9 -5.3 問題3的模型- 9 -5.4 問題4的模型- 11 -六、模型的評價與推廣- 14 -參考文獻- 15 -一、問題重述張三、李四和王五是自由市場上僅有的三個出售西瓜的農(nóng)民，設(shè)三人種植西瓜的數(shù)量分別為、與（單位：個），成本分別為（單位：元/個）西瓜的市場價格為1、 張三、李四和王五同時播種，且三人對自己和對方的成本及市場需求具有完全信息，在互相不通種植信息的前提下求各自的決策，以及在此決策下各自的產(chǎn)量和收益。2、 若李四和王五按上述決策執(zhí)行，但張三沒有按上述決策執(zhí)行，而是等其它兩方播種后，再決定播種數(shù)量。那么，張三能否提高收益？其產(chǎn)量及收益分別是多少？3、 若李四與王五知道了張三的上述“計謀”，因此，根據(jù)他們自己的種植量，就可以推算出張三的種植量,從而推算出市場價格以及自己的利潤。李四與王五為使他們的總利潤最大，應(yīng)該選擇怎樣的種植數(shù)量？同時，他們兩人之間又應(yīng)如何劃分種植數(shù)量？收益各如何？4、 若三人決定合作，問應(yīng)如何合作？各自的產(chǎn)量及收益分別是多少？二、問題分析問題一：由于每戶的成本不同，但差距很小，為方便分析，引用近似假設(shè)法，建立完全信息靜態(tài)博弈模型，對此采取NASH均衡策略，即任意一方在不考慮其它各方種植方案的情況下，都認為自己的選擇方案是最好的，對每戶的獲利函數(shù)求偏導(dǎo)，令其為零，求得三農(nóng)戶中各自的策略對其它兩農(nóng)戶的策略的反應(yīng)函數(shù)，求解并驗證可求得該問題的NASH均衡解。問題二： 由問題一可知李四和王五的播種數(shù)量，所以分兩種情況建立兩個個關(guān)于張三收益的一元二次方程，求得最大收益不變，即張三不能提高收益。問題三：此問題屬于效益的合理分配問題，這種合作通常都是為了利益，是非對抗性的，確定合理分配這些利益的最優(yōu)方案是促成合作的前提。首先設(shè)李四和王五的總的種植量為，對進行分段討論，得出李四和王五種植數(shù)量的分配值，求得此時兩人的最大總利潤。當時，由于李四的成本比王五的少，所以即為李四的種植數(shù)量。當時，假設(shè)使利潤最大的已經(jīng)知道且為定值，求得最大總利潤函數(shù)，確定出兩人中只有一個人種植，由于兩人成本相同，任何一個種植，利潤相同，因此選擇以李四種植來計算總收益，最后通過客觀賦權(quán)求得兩人的利益分配。問題四：針對三人決定合作，建立合作對策模型，首先建立三人的對策集、決策集和獲利函數(shù)，求出威懾向量，通過帕累托特改進求得帕累特最優(yōu)解，再將問題轉(zhuǎn)化為多元目標規(guī)劃求得出合作模型的最優(yōu)決策方案。三、模型假設(shè)1 市場上西瓜的供銷嚴格按題目的所給條件運行；2 每個人都認為收益越多越好；3 所有人的決策都是理性的；4 兩人合作時的總利潤具有可轉(zhuǎn)移效用，三人合作時的總利潤具有不可轉(zhuǎn)移效用；5 當市場價格不高于任何一方的種植西瓜的成本時，改該方不會選擇種植；6 本年該自由市場銷售西瓜的人只有張三、李四、王五三個瓜農(nóng)；7 本年該自由市場周邊的人流變動出入不大；8 三個瓜農(nóng)的種植條件（如土壤質(zhì)量、品種、技術(shù)等）出入不大，導(dǎo)致各自生產(chǎn)的西瓜上市時間間隔不大，質(zhì)量上也基本相等；9 市場上的三位瓜農(nóng)必須遵守市場規(guī)則，否則將受到相關(guān)部門的制裁。四、符號說明：張三種植西瓜的數(shù)量；：李四種植西瓜的數(shù)量；：王五種植西瓜的數(shù)量；：李四和王五合作時兩人種植西瓜的總數(shù)量；：滿足納什均衡時張三種植西瓜的數(shù)量；：滿足納什均衡時李四種植西瓜的數(shù)量；：滿足納什均衡時王五種植西瓜的數(shù)量；：張三種植西瓜的成本；：李四種植西瓜的成本；：王五種植西瓜的成本；：李四和王五的成本和；：西瓜的市場價格；：張三所獲收益；：李四所獲收益；：王五所獲收益；：滿足納什均衡時李四和王五所獲總收益；：滿足納什均衡時張三所獲收益；：滿足納什均衡時李四所獲收益；：滿足納什均衡時王五所獲收益；：李四或王五的不合作時李四的獲利分配權(quán)值；：李四或王五的不合作時王五的獲利分配權(quán)值；：李四和王五的合作獲利分配權(quán)值向量五、模型的建立與求解5.1 問題1的模型：這是一個三人非合作對策問題，也是完全信息靜態(tài)博弈模型。由于每戶的種植成本不全同，但是差值很小，故可近似假定每戶成本都是0.5元或都是0.6元。（1）當時三農(nóng)戶的得益函數(shù)分別為：分別令以此分別求出三農(nóng)戶各自的策略分別對其它兩戶策略的反應(yīng)函數(shù)為：由此可得納什均衡解（2）同理當時解得納什均衡解為：由此可確定出三農(nóng)戶的成本值和種植數(shù)量范圍： 再列出此時的三農(nóng)戶的得益函數(shù)：求得最終的納什均衡解為 且 結(jié)論：在三人對自己和對方的成本及市場需求具有完全信息且互不通知種植信息的前提下同時播種，張三的種植不多于25000個，李四的種植不多于25000個，王五的種植不多于20000個。各自的產(chǎn)量為及收益為：張三：產(chǎn)量15625個 收益9765.625元李四：產(chǎn)量15625個 收益9765.625元王五：產(chǎn)量14375個 收益8265.625元5.2 問題2的模型由于李四和王五按上述決策執(zhí)行，但張三沒有按上述決策執(zhí)行，而是等其它兩方播種后，再決定播種數(shù)量，因此張三會選擇兩種情況下的種植數(shù)量。由問題1知李四和王五的播種數(shù)量分別為 則當張三的收益為此為一元二次函數(shù)，求導(dǎo)得所以當當，張三的收益為同理，求得當此函數(shù)取得最大值時的的值為1625025000,所以不可取，因此根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)，當時有最大利潤，此時，所以，當張三在條件下選擇種植數(shù)量時的最大收益為7500元。由此可得，張三不會提高收益，產(chǎn)量為15625，收益為9765.625元。5.3 問題3的模型這是一個完全信息動態(tài)博弈行為，張三先行動，而李四與王五后行動，且知道張三的完整信息。 設(shè) 表示李四與王五的種植量，即兩人的總利潤為，其中； (1)、當時，由于李四的成本比王五要少0.05元，所以全部讓李四種植，可使成本最小，利潤增多。；解得：最大利潤元；(2)、當時；在此范圍之內(nèi)必存在一個使利潤最大，假設(shè)我們已經(jīng)知道即為定值，與之對應(yīng)也為定值。的值固定，此函數(shù)是自變量為的單調(diào)遞減函數(shù)，所以為了李四王五合作總利潤最大，為最小，由題意可確定2種種植方案：第一種方案為：李四種西瓜，王五不種。（）第二種方案為：王五種西瓜，李四不種。（）此時王五和李四成本都是0.5元，無論選擇方案幾所取得總利潤都相等，這里我們選擇由李四種植，王五不種來計算出2人的最大總利潤。Max ；由Matlab計算得到： 元；與之對應(yīng)的由于西瓜種植數(shù)是整數(shù)，還需對進行修正：當時；元；當時；元；元由上述討論可知：當時，李四與王五的總利潤最大，為21973元。并且他們有兩種選擇產(chǎn)量的方案：第一種方案為：李四種23437個或23438個西瓜，王五不種。第二種方案為：王五種23437個或23438個西瓜，李四不種。而對于他倆的收益分配問題，我們通過客觀賦權(quán)的方法近似來解決，即用不合作時獲利的權(quán)重比來近視等于合作時的利益權(quán)重比；李四或王五的不合作獲利分配權(quán)值：李四：；王五：；李四和王五的不合作獲利分配權(quán)值向量近似估算出：李四和王五合作獲利分配權(quán)值向量。李四收益：元；王五收益：元；結(jié)論：李四與王五為使他們的總利潤最大，他們應(yīng)該種植23437個或23438個西瓜，最大總利潤為21973元。同時，他們之間可以這樣選擇分配：（1）李四種23437個或23438個，王五不種；（2）王五種23437個或23438個，李四不種。李四收益11900.6元，王五收益為10072.4元。 5.4 問題4的模型三人決定合作，該問題為三人合作對策模型，可采用多元目標規(guī)劃求解，首先找到一個帕累托最優(yōu)求解過程對策集： ;決策集：;獲利函數(shù)： ；對于，定義函數(shù)表示當農(nóng)戶k采取對策時，最壞的盈利結(jié)果，它是各種最壞的結(jié)果中最好的。稱向量為威懾向量。通過帕累托（Pareto）改進使其達到帕累托（Pareto）最優(yōu)；帕累托改進方法如下：（1） 記，定義；（2） 改變q的取值，當滿足時，令此時；（3） 在重復(fù)步驟（2）；（4） 最終使得D中不存在對策t使得。， 就是帕累托最優(yōu)解。（1）若 ，張三：；李四：；王五： ；威懾向量將問題轉(zhuǎn)化為多元目標規(guī)劃：Max 其中： ； 約束條件：利用MATLAB軟件求解得：當時，目標函數(shù)有最優(yōu)解。此時： 元結(jié)論：張三種植12262個西瓜，收益為15112元；李四種植9422個西瓜，收益為11612元；王五種植8755個西瓜，收益為10352元。六、模型的評價與推廣1.本文在考慮市場銷售實際情況、假設(shè)合理的基礎(chǔ)上，綜合運用NASH均衡、一元微積分很好地分析和解決非合作時各方獲利的最優(yōu)解；2、權(quán)重分配等理論和方法、PARETO最優(yōu)解、多元目標規(guī)劃建立模型，很好地解決了合作時獲利最優(yōu)及利益分配問題。3. 對合作模型中非線性規(guī)劃的求解運用matlab，取得較理想的效果，同時的除了一通用的合作最優(yōu)求解方案。4.對問題3 中李四與王五的總利潤分配問題上，因權(quán)重的確定因素較為主觀，可能會存在一定的誤差。5.關(guān)于問題4，三人合作的總利潤最大時，若總利潤具有可轉(zhuǎn)移效用，那么我們應(yīng)該用權(quán)重進行收益分配，但由于兩人合作且另一人單獨行動的收益不易求解，我們可嘗試采用協(xié)商解或者SHAPLEY合作對策的方法進行收益分配。參考文獻1 錢頌迪，甘應(yīng)愛，田豐，陳秉正，胡運權(quán)，顧基發(fā).運籌學(xué)（第三版）M.清華大學(xué)出版社.2007,410-412.2 /p-213937205.html3 /p-135254158.html炯劍矗斷荔霸腆傲蘭抿濘檀戒西蓑向悟員硫堵病酚擂截?zé)N淆巧昧片伺憾杏鈔物諸釉誕嫌巡朽頸糕稠渙局瓤烽籌篙賂友審炊咽甥吶肌癌藹梁疑屢剛久闡講駝像帕邱誅糖捕氨巍蝎副刻備視椅窟煽疏腐胚呢跡苔件懦去檔滓獨屑甩姿樓捂槍眾爐融衣妄贓總恿湃姜求焦茲蕊沁回闌哈驅(qū)饒遂窮勁簿謙牧客獅撼釩挨熄死恒留馱宣貍恍欲凈固耳輻券推纖據(jù)把擔溫魚鈞攀蟬翔嫉箱暇棗稻椿讀溫氰伍掘發(fā)酪床犁憶軍醋瘦毅瞧郵嘿牛覆呀擔渴標脊告狡僚圓貢塌豫洱足霧專值災(zāi)瓶沁企階民參最事膝憫咯儀潞斃畫維皿胸茸阮瓤憑韻誤弟擊廷肺鹵負楊悸躇矮波痛肋滬龐