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簡(jiǎn)單形式的柯西不等式 設(shè)為任意實(shí)數(shù) 聯(lián)想 證法一 如圖 設(shè)是平面上任意的兩個(gè)向量 的夾角為 那么 上式兩邊同時(shí)取絕對(duì)值 得 又 所以 顯然 等號(hào)成立的條件是 向量共線 將 式用坐標(biāo)表示 可得 即 證法 三 利用比較法 所以 顯然 上式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) 號(hào)成立 二維形式的柯西不等式是向量形式的柯西不等式的坐標(biāo)表示 例題講解 例題講解 規(guī)律方法1 二維形式的柯西不等式可以理解為四個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的一種不等關(guān)系 對(duì)誰與誰組合是有順序的 不是任意的搭配 因此要仔細(xì)體會(huì) 加強(qiáng)記憶 例如 a2 b2 d2 c2 ac bd 2是錯(cuò)誤的 而應(yīng)有 a2 b2 d2 c2 ad bc 2 2 柯西不等式取等號(hào)的條件也不容易記憶 如 a2 b2 c2 d2 ac bd 2等號(hào)成立的條件是ad bc 可以把a(bǔ) b c d看作成等比 則ad bc來聯(lián)想記憶 例題講解 規(guī)律方法2利用柯西不等式求最值 先變形湊成柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征 是利用柯西不等式求解的先決條件 有些最值問題從表面上看不能利用柯西不等式 但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的各項(xiàng) 就可以應(yīng)用柯西不等式來解 這也是運(yùn)用柯西不等式解題的技巧 而有些最值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的 但在運(yùn)用過程中 每運(yùn)用一次前后等號(hào)成立的條件必須一致 不能自相矛盾 否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤 多次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式的方法也是常用技巧之一 例4已知a b R 且a b 1 求證 ax by 2 ax2 by2 例題講解 定理1 簡(jiǎn)單形式的柯西不等式

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