2012年新課標版高考題庫考點25 數(shù)列求和及綜合應用.doc

溫馨提示： 此題庫為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，關閉Word文檔返回原板塊。 考點25 數(shù)列求和及綜合應用一、選擇題1. （2012新課標全國高考文科12）數(shù)列an滿足an+1(1)n an 2n1，則an的前60項和為（ ）（A）3 690 （B）3 660 （C）1 845 （D）1 830【解題指南】依次寫出數(shù)列的項，直至發(fā)現(xiàn)規(guī)律，一般這類數(shù)列具有周期性或者能直接求出通項公式，找到規(guī)律后，可直接求和.【解析】選D. ，119，1 830.二、填空題2.（2012新課標全國高考理科T16）數(shù)列滿足=2n-1，則的前60項和為_.【解題指南】依次寫出數(shù)列的項，直至發(fā)現(xiàn)規(guī)律，一般這類數(shù)列具有周期性或者能直接求出通項公式，找到規(guī)律后，可直接求和.【解析】，119，1 830.【答案】1 8303. （2012湖北高考文科17）傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經(jīng)常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù).他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1,3,6,10，記為數(shù)列an，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列bn，可以推測：（1）b2 012是數(shù)列an中的第_項.（2）b2k-1=_（用k表示）.【解題指南】本題考查求數(shù)列通項公式的方法，解答本題可先根據(jù)數(shù)列an前項與后項的關系，求出數(shù)列an的通項，再結合數(shù)列bn與an的關系求出數(shù)列bn的通項解答本題.【解析】數(shù)列an滿足:a1=1,an-an-1=n(n2).所以an=an-an-1+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=n+n-1+2+1=(n2),當n=1時,也符合上式,則an=.當n=4,5,9,10,14,15,19,20,時,構成數(shù)列bn的第1,2,3,4,項,則可以看出n=5,10,15,20,時,分別對應著bn的第2,4,6,8項.(1)b2 012是數(shù)列an中的第5 030項.(2)b2k-1=.【答案】(1)5 030 (2)4.（2012湖南高考文科16）對于，將n表示為,當時，當時為0或1，定義如下：在的上述表示中，當，a2，ak中等于1的個數(shù)為奇數(shù)時，bn=1；否則bn=0.中國教#*育&出版網(wǎng)（1）b2+b4+b6+b8= .（2）記cm為數(shù)列bn中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數(shù)，則cm的最大值是 .【解題指南】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識，考查運算能力，創(chuàng)造性解決問題的能力.需要在學習中培養(yǎng)自己動腦的習慣，才可順利解決此類問題.本題實際是描述的將一個十進制的數(shù)轉(zhuǎn)化為二進制，然后找出規(guī)律.【解析】（1）觀察知；依次類推；，b2+b4+b6+b8=.（2）由（1）知cm的最大值為.【答案】（1）3 （2）2三、解答題5.（2012湖北高考文科20）已知等差數(shù)列an前三項的和為-3，前三項的積為8.（1） 求等差數(shù)列an的通項公式.（2）若a2,a3,a1成等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項和.【解題指南】本題考查兩類數(shù)列的基本運算與性質(zhì),解答本題可先設出首項和公差,再代入求解.【解析】(1)設等差數(shù)列an的公差為d,則，由題意知解得，故等差數(shù)列an的通項公式為：.（2）當時，a2,a3,a1分別為-1，-4，2，不是等比數(shù)列，所以.當n=1時，數(shù)列的前n項和為：S1=4；當n=2時，數(shù)列的前n項和為：S2=4+1=5；當n3時，Sn= =當n=2時,符合上式，所以6.（2012湖南高考文科20）某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當年年底資金增長了50.預計以后每年資金年增長率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元.（1）用d表示a1，a2，并寫出與an的關系式.（2）若公司希望經(jīng)過m（m3）年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值（用m表示）.【解題指南】本題考查遞推數(shù)列在實際問題中的應用，考查運算能力和使用數(shù)列知識分析解決實際問題的能力.第一問建立數(shù)學模型，得出與an的關系式，第（2）問，只要把第（1）問中的迭代，即可以解決.【解析】（1）由題意得，=4500-d，.（2）由（1）得.整理得.由題意，解得.故該企業(yè)每年上繳資金的值為時，經(jīng)過年企業(yè)的剩余資金為4 000萬元.7.（2012江蘇高考20）已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列和滿足：（1）設，求證：數(shù)列是等差數(shù)列（2）設，且是等比數(shù)列，求和的值【解析】（1），. . . 數(shù)列是以1 為公差的等差數(shù)列.（2），從而.（）設等比數(shù)列的公比為，由知，下面用反證法證明.若則，當時，與（）矛盾.若則，當時，與（）矛盾.綜上所述，.，.又，是公比為的等比數(shù)列.若，則，于是.又由，得.中至少有兩項相同，矛盾.8.（2012廣東高考理科19）設數(shù)列的前n項和為Sn，滿足且成等差數(shù)列.（1） 求a1的值.（2） 求數(shù)列的通項公式.（3） 證明：對一切正整數(shù)n，有.【解題指南】(1)根據(jù)利用,可得到,從而得到令n=1，,再根據(jù)成等差數(shù)列得,三個方程聯(lián)立可解出.(2)在（1）的基礎上對的兩邊同除以得,再驗證：也滿足上式，因而對都成立，然后再利用疊加求和的方法確定,進而確定的通項公式.(3)解本題的關鍵是當時，然后放縮再利用裂項求和的方法證明即可.【解析】（1）兩式相減得,又成等差數(shù)列，即.(2)由（1）得時，,兩邊同除以得.又時，,也滿足上式，時，.(3)當n=1時，;當n=2時，.當時，9.（2012廣東高考文科19）設數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，滿足，.(1)求的值.(2)求數(shù)列的通項公式.【解題指南】 (1)根據(jù)，利用,可建立關于的方程，即可求出.(2)解答本題的關鍵是,因為當n=1時，也滿足上式，所以，然后轉(zhuǎn)化為常規(guī)題型來做即可.【解析】（1）令n=1時， (2) 則.因為當n=1時，也滿足上式，所以，當兩式相減得所以，所以，因為,所以數(shù)列是以3為首項，公比為2的等比數(shù)列，所以所以.10.（2012安徽高考理科21）數(shù)列滿足：（1）證明： 是遞減數(shù)列的充分必要條件是.（2）求的取值范圍，使是遞增數(shù)列.【解題指南】（1）要證明充分性和必要性.（2）由（1）知需要討論，利用作差法求得c的范圍.【解析】（1）（充分性） 當時，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列 （必要性） 數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列. 由此得：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是. （2）由（1）知需要討論c. 當時，不合題意; 當時， 當x2時， .當時，與同號， ， 是遞增數(shù)列. 當時，且是遞增數(shù)列，則存在，使與異號，與數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列矛盾，得：當時，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.11.（2012安徽高考文科21）設函數(shù)=+的所有正的極小值點從小到大排成的數(shù)列為.（1）求數(shù)列的通項公式.（2）設的前項和為，求.【解題指南】（1）根據(jù)導數(shù)，的左側(cè)導函數(shù)小于0，的右側(cè)導函數(shù)大于0，求出極小值點.（2）由（1）求出的前項和為，再代入.【解析】（1）， ， ， 當時，取極小值. （2）由（1）得：， ， 當時， 當時， 當時，.12.（2012浙江高考文科19）（本題滿分14分）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn=2n2+n，nN，數(shù)列bn滿足an=4log2bn3，nN.（1）求an，bn.（2）求數(shù)列anbn的前n項和Tn.【解題指南】由前n項和Sn可求出通項公式，而數(shù)列anbn的通項符合等差與等比數(shù)列乘積的形式,故可用錯位相減法求出.【解析】（1）由Sn=2n2+n，可得當時，當時，符合上式，所以(nN).由an=4log2bn3可得=4log2bn3，解得.（2） ， -可得.13.（2012山東高考理科20）在等差數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項公式.（2）對任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù)記為，求數(shù)列的前項和.【解題指南】（1）可利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解，再利用求出公差d，利用求出通項公式.（2）利用數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù).可求得數(shù)列為兩個等比數(shù)列.【解析】(1) 由得，所以，.(2)對任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù)為，則，即，所以，于是，即.14. （2012山東高考文科20）已知等差數(shù)列的前5項和為105，且a10.(1)求數(shù)列的通項公式.(2)對任意，將數(shù)列中不大于的項的個數(shù)記為.求數(shù)列的前m項和.【解題指南】（1）可利用等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式列出方程組求出首項和公差；進而求得通項公式.（2）利用數(shù)列中不大于的項的個數(shù).可求得數(shù)列為等比數(shù)列.利用等比數(shù)列的前n項和公式求解.【解析】(1)由已知得：解得,所以數(shù)列的通項公式為.(2)由，得，即.是公比為49的等比數(shù)列，.15. （2012江西高考理科16）已知數(shù)列an的前n項和（其中）,且Sn的最大值為8.（1）確定常數(shù)k，求an.（2）求數(shù)列的前n項和Tn.【解題指南】（1）先求得的值，再利用求，注意驗證首項.（2）用錯位相減法求和.【解析】（1）當時，取最大值，即，故，因此，從而