數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)含圖形變換的全等探究.doc

含圖形變換的幾何綜合題探究（全等）一、復(fù)習(xí)回顧1如圖1，在ABC中，BAC=90，D是BC的中點(diǎn)，若C=，則ADB=_2如圖2，在ABC中，AB=5，AC=3，D是BC的中點(diǎn)，則AD的取值范圍為_(kāi)例：已知：在中，在中，連接，取的中點(diǎn)，連接和（1）若點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上且與點(diǎn)不重合，如圖，探索、的關(guān)系并給予證明；（2）如果將圖中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)小于45的角，如圖，那么（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請(qǐng)舉出反例；如果成立，請(qǐng)給予證明解：（1）與的關(guān)系是：，理由如下： ，即：，（2）解法一：（中線倍長(zhǎng)法）延長(zhǎng)至，使得，連接，延長(zhǎng)交于 又又解法二：（構(gòu)造中位線法）取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，是的中位線，是的中位線，又又 即解法三：（旋轉(zhuǎn)法）連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)，點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)，則 ， 又 ，三點(diǎn)共線是的中點(diǎn) 練習(xí)1已知：點(diǎn)P是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），分別過(guò)點(diǎn)A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)如圖1，易證OE=OF（不需證明）（2）直線BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)OFE=30時(shí)，如圖2、圖3的位置，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你對(duì)圖2、圖3的猜想，并選擇一種情況給予證明解：(2)圖2的結(jié)論為：CFOEAE.圖3的結(jié)論為：CFOEAE.選圖2的結(jié)論證明如下：延長(zhǎng)EO交CF于點(diǎn)G.AEBP，CFBP，AECF.EAOGCO.EOAGOC，OAOC，EOAGOC.EOGO，AECG.在RtEFG中，EOGO，OEOFGO.OFE30 ，OFG90 30 60 ，OFG是等邊三角形OFFG.OEOF，OEFG，CFFGCG，CFOEAE.選圖3的結(jié)論證明如下：延長(zhǎng)EO交FC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.AEBP，CFBP，AECF.AEOG.AOECOG，OAOC，AOECOG.OEOG，AECG.在RtEFG中，OEOG，OEOFOG.OFE30 ，OFG90 30 60 .OFG是等邊三角形，OFFG.OEOF，OEFG.CFFGCG，CFOEAE.2如圖1，ABC與CDE是等腰直角三角形，直角邊AC，CD在同一條直線上，點(diǎn)M，N分別是斜邊AB，DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，連接AE，BD.(1)猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論；(2)現(xiàn)將圖1中的CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(090)，得到圖2，AE與MP，BD分別交于點(diǎn)G，H.請(qǐng)判斷(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；解：(1)PMPN，PMPN.(2)成立，證明如下：ACB和ECD是等腰直角三角形，ACBC，ECCD，ACBECD90 .ACBBCEECDBCE，即ACEBCD.ACEBCD(SAS)AEBD，CAECBD.又AOCBOE，BHOACO90 .點(diǎn)P，M，N分別為AD，AB，DE的中點(diǎn)，PMBD，PMBD，PNAE，PNAE.PMPN，MGEMPN，MGEBHA180 .又BHA90 ，MGE90 .MPN90 .PMPN.(1)中的結(jié)論成立3如圖，已知BAD和BCE均為等腰直角三角形，BAD=BCE=90，點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N（1）當(dāng)A，B，C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)（如圖1），求證：M為AN的中點(diǎn)；（2）將圖1中的BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A，B，E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)（如圖2），求證：ACN為等腰直角三角形；（3）將圖1中BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，試證明之，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由（1）證明：如圖1，ENAD，MAD=MNE，ADM=NEM點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，DM=EM在ADM和NEM中，MADMNE，ADMNEM，DMEM，ADMNEM，AM=MNM為AN的中點(diǎn)（2）證明：如圖2，BAD和BCE均為等腰直角三角形，AB=AD，CB=CE，CBE=CEB=45ADNE，DAENEA=180DAE=90，NEA=90NEC=135A，B，E三點(diǎn)在同一直線上，ABC=180CBE=135ABC=NECADMNEM（已證），AD=NEAD=AB，AB=NE在ABC和NEC中，ABNE，ABCNEC，BCEC，ABCNECAC=NC，ACB=NCEACN=BCE=90ACN為等腰直角三角形（3）ACN仍為等腰直角三角形證明：如圖3，此時(shí)A、B、N三點(diǎn)在同一條直線上ADEN，DAB=90，ENA=DAN=90BCE=90，CBNCEN=3609090=180A、B、N三點(diǎn)在同一條直線上，ABCCBN=180ABC=NECADMNEM（已證），AD=NEAD=AB，AB=NE在ABC和NEC中，ABNE，ABCNEC，BCEC，ABCNECAC=NC，ACB=NCEACN=BCE=90ACN為等腰直角三角形4已知ABC中，M為BC的中點(diǎn)，直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，過(guò)B、M、C分別作BDm于D，MEm于E，CFm于F（1）當(dāng)直線m經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，如圖1，易證EM=CF（不需證明）（2）當(dāng)直線m不經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)到如圖2、圖3的位置時(shí)，線段BD、ME、CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，并選擇一種情況加以證明（1）如圖1，MEm于E，CFm于F，MECFM為BC的中點(diǎn)，E為BF中點(diǎn)，ME是BFC的中位線，EM=CF（2）圖2的結(jié)論為ME=（BDCF），圖3的結(jié)論為ME=（CFBD）圖2的結(jié)論證明如下：連接DM并延長(zhǎng)交FC的延長(zhǎng)線于K，又BDm，CFm，BDCF，DBM=KCM在DBM和KCM中，DBMKCM，BMCM，BMDKMC，DBMKCM（ASA），DB=CK，DM=MK，由題意知EM=FK，ME=（CFCK）=（CFD