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第一章整式的運(yùn)算1.平方差公式(一)教學(xué)設(shè)計(jì)一、 學(xué)生起點(diǎn)分析學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ):學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中,已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式的有關(guān)內(nèi)容,并經(jīng)歷了用字母表示數(shù)量關(guān)系的過程,有了一定的符號(hào)感。經(jīng)過一個(gè)學(xué)期的培養(yǎng),學(xué)生已經(jīng)具備了小組合作、交流的能力。學(xué)生剛學(xué)過多項(xiàng)式的乘法,已具備學(xué)習(xí)并運(yùn)用平方差公式的知識(shí)結(jié)構(gòu),通過創(chuàng)造問題情境,讓學(xué)生在探究相應(yīng)問題,建立并運(yùn)用公式從而拓展學(xué)生知識(shí)技能結(jié)構(gòu)成為可能.學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ):通過實(shí)際問題的探究,學(xué)生已感受到多項(xiàng)式乘法運(yùn)算的重要性,同時(shí),有了對(duì)式的運(yùn)算,“快”,“準(zhǔn)”的積極心理,學(xué)生已具備學(xué)習(xí)公式的知識(shí)與技能結(jié)構(gòu),通過新課程教學(xué)的實(shí)施,學(xué)生已具有獨(dú)立探索,合作交流的習(xí)慣。因而讓學(xué)生獨(dú)立探索,合作交流得出并運(yùn)用平方差公式就有了可能.由于學(xué)生初次學(xué)習(xí)公式,只有原始的的換元思想,雖然在學(xué)習(xí)過程中有進(jìn)一步的感悟和深化。同時(shí),在運(yùn)用公式時(shí),認(rèn)清結(jié)構(gòu)不易,而且本課節(jié)所學(xué)的公式運(yùn)用僅是局部的,因此,教學(xué)時(shí)不可撥高要求追求一步到位,而應(yīng)在今后滾動(dòng)式逐步達(dá)到靈活運(yùn)用的目的,使之與學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)同步發(fā)展完善。二、教學(xué)任務(wù)分析一方面由于本課內(nèi)容的特點(diǎn)所決定,運(yùn)用平方差公式的關(guān)鍵是認(rèn)清兩個(gè)多項(xiàng)式相乘是否具有(a+b)(a-b)的形式,由于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘的形式復(fù)雜多變,學(xué)生較易被假象所述惑,另一方面學(xué)生初學(xué)公式只有原始的換元思想,有些同學(xué)多項(xiàng)式相乘還不夠熟練,我校生源不夠好. 由此,根據(jù)課標(biāo)要求,我確定本節(jié)課的目的如下:(1)知識(shí)與技能:經(jīng)歷探索平方差公式的過程,進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)感和推理能力;會(huì)推導(dǎo)平方差公式,并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。(2)過程與方法:通過創(chuàng)設(shè)問題情境,讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中建立平方差公式模型,感受數(shù)學(xué)公式的意義和作用。(3)情感與態(tài)度:讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)既來源于生活實(shí)際,又是解決生活中許多問題的工具,從而促使學(xué)生熱愛數(shù)學(xué).三、教學(xué)設(shè)計(jì)分析本節(jié)課的設(shè)計(jì)理念是:遵循“教學(xué)、學(xué)習(xí)、研究”同步協(xié)調(diào)的原則,重組教材,恰當(dāng)?shù)貏?chuàng)設(shè)情境、激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲,通過獨(dú)立思考,不斷發(fā)現(xiàn)和提出問題,分析并創(chuàng)造性地解決問題,教師為學(xué)生構(gòu)建開放的學(xué)習(xí)環(huán)境引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)探索、研究的過程,通過學(xué)生的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造活動(dòng),體驗(yàn)“數(shù)學(xué)化”的過程,使學(xué)生在領(lǐng)悟數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)的同時(shí),真正經(jīng)歷知識(shí)的“生長(zhǎng)過程”.讓學(xué)生在探究合作交流的過程中,展示思維過程,讓學(xué)生的思維全過程得到充分暴露,學(xué)生在再發(fā)現(xiàn)、再發(fā)明的過程中,思維火花發(fā)生強(qiáng)烈碰撞,數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)、生成為自然的事情.第一環(huán)節(jié) 發(fā)現(xiàn)特征、探索規(guī)律,親歷建構(gòu)過程。活動(dòng)內(nèi)容:我們已經(jīng)學(xué)過了多項(xiàng)式的乘法,兩個(gè)二項(xiàng)式相乘,在合并同類項(xiàng)前應(yīng)該有幾項(xiàng)?合并同類項(xiàng)以后,積可能會(huì)是三項(xiàng)嗎?積可能是二項(xiàng)嗎?請(qǐng)舉出例子讓學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)筆進(jìn)行探討,并發(fā)表自己的見解,教師根據(jù)學(xué)生的回答,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考:兩個(gè)二項(xiàng)式相乘,乘式具備什么特征時(shí),積才會(huì)是二項(xiàng)式?為什么具備這些特點(diǎn)的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘,積會(huì)是兩項(xiàng)呢?而它們的積又有什么特征?(當(dāng)乘式是兩個(gè)數(shù)之和以及這兩個(gè)數(shù)之差相乘時(shí),積是二項(xiàng)式這是因?yàn)榫邆溥@樣特點(diǎn)的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘,積的四個(gè)項(xiàng)中,會(huì)出現(xiàn)互為相反數(shù)的兩項(xiàng),合并這兩項(xiàng)的結(jié)果為零,于是就剩下兩項(xiàng)了而它們的積等于乘式中這兩個(gè)數(shù)的平方差)學(xué)生思考后出示題目,看誰(shuí)算得快:(1) (x+2)(x-2)(2) (1+3a)(1-3a)(3) (x+5y)(x-5y)(4) (-m+n)(-m-n)提出問題:你們能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?在多項(xiàng)式的乘法中,對(duì)于某些特殊形式的多項(xiàng)式相乘,我們把它寫成公式,并加以熟記,以便遇到類似形式的多項(xiàng)式相乘時(shí)就可以直接運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算以后經(jīng)常遇到(a+b)(a-b)這種乘法,所以把(a+b)(a-b)a2-b2作為公式,叫做乘法的平方差公式在此基礎(chǔ)上,讓學(xué)生用語(yǔ)言敘述公式.總結(jié)公式結(jié)構(gòu)特征: (1) 公式左邊兩個(gè)二項(xiàng)式必須是相同兩數(shù)的和與差相乘;相同兩數(shù)的和與差相乘;且左邊兩括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)相等、第二項(xiàng)符號(hào)相反互為相反數(shù)(式);(2) 公式右邊是這兩個(gè)數(shù)的平方差;即右邊是左邊括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的平方減去第二項(xiàng)的平方. (3) 公式中的 a和b 可以代表數(shù),也可以是代數(shù)式活動(dòng)目的:在這設(shè)計(jì)過程中,我充分考慮發(fā)揮的學(xué)生主體作用。首先,這節(jié)課的主題兩數(shù)和與兩數(shù)差的積等于兩數(shù)的平方差及其特點(diǎn),應(yīng)該由學(xué)生發(fā)現(xiàn)得出結(jié)論。其次,學(xué)生的活動(dòng)不能停留在簡(jiǎn)單的、機(jī)械的操作活動(dòng)上,而是要立足于復(fù)雜的思維活動(dòng),學(xué)生根據(jù)公式特點(diǎn),自己去尋找對(duì)象,發(fā)散性大,這樣學(xué)生的創(chuàng)造的自由度大,使得在這過程中,學(xué)生一方面要?jiǎng)佑盟康闹R(shí)經(jīng)驗(yàn);另一方面,要運(yùn)用許多思維操作,如比較、類比、觀察、想象、分析、綜合等等。第三,教師隨著學(xué)生的思路,及時(shí)的加以引導(dǎo),而不是把學(xué)生的思路、想法,強(qiáng)拉到自己的思路上來,這也是由數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)決定的。將“兩個(gè)二項(xiàng)式相乘,積可能有幾項(xiàng)”的問題作為課題引入,目的是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,使學(xué)生能在兩個(gè)二項(xiàng)式相乘其積可能為四項(xiàng)、三項(xiàng)、兩項(xiàng)中找出積為兩項(xiàng)的特征,上升到一定的理論認(rèn)識(shí),加以實(shí)踐檢驗(yàn),從而培養(yǎng)學(xué)生觀察、概括的能力實(shí)際教學(xué)效果:學(xué)生議論、討論,各抒己見。通過學(xué)生自己的試算、觀察、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納,得出為什么有的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘,其積為兩項(xiàng),因?yàn)槠渲袃身?xiàng)是兩個(gè)數(shù)的平方差,而另兩項(xiàng)恰是互為相反數(shù),合并同類項(xiàng)時(shí)為零,即(a+b)(a-b)a2+ab-ab-b2a2-b2這樣得出平方差公式,并且把這類乘法的實(shí)質(zhì)講清楚了第二環(huán)節(jié) 運(yùn)用知識(shí),解決問題,形成數(shù)學(xué)意識(shí)?;顒?dòng)內(nèi)容:(1)直接運(yùn)用新知,解決第一層次問題。例1計(jì)算:(2x +3 ) (2x3) (2 a +3b ) (2 a3b) ( 1 + 2a ) ( 1 2a)(2)間接運(yùn)用新知,解決第二層次問題。例2計(jì)算:(2x +3 ) (3+2x) (3b+2a) (2 a3 b) 例3計(jì)算:(-4a-1)(-4a+1)活動(dòng)目的:教學(xué)不僅使學(xué)生掌握在日常生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)和基本技能,還要在學(xué)生獲取知識(shí)和技能的同時(shí),激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,并使智力得到發(fā)展,能力得到培養(yǎng)。但是,知識(shí)的掌握,技能的形成,智力的開發(fā),能力的培養(yǎng),以及良好學(xué)風(fēng)的養(yǎng)成,必須通過一定量的練習(xí)才能實(shí)現(xiàn)。練習(xí)的設(shè)計(jì)要遵循:由易到難,由簡(jiǎn)到繁,由基本到變式,由低級(jí)到高級(jí)的發(fā)展順序;要從數(shù)量和質(zhì)量這兩個(gè)方面去考慮,盡力做到在有限的時(shí)間里,取得最佳的練習(xí)效果,這是我們優(yōu)化課堂教學(xué)始終要追求的一個(gè)目標(biāo)。實(shí)際教學(xué)效果:例1教學(xué)中教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目條件是否符合平方差公式特征,并讓學(xué)生說出本題中a,b分別表示什么;例2教學(xué)中教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn),需將其中一個(gè)括號(hào)中的兩項(xiàng)交換位置,就可用平方差公式進(jìn)行計(jì)算;例3教學(xué)中讓學(xué)生在練習(xí)本上計(jì)算,教師巡視學(xué)生解題情況,讓采用不同解法的兩個(gè)學(xué)生進(jìn)行板演解法1:(-4a-1)(-4a+1)-(4a+1)- (4a-1)(4a+1)(4a-1)(4a)2-1216a2-1解法2:(-4a-1)(-4a+1) (-4a)2-12 16a2-1根據(jù)學(xué)生板演,教師指出兩種解法都很正確,解法1先用了提出負(fù)號(hào)的辦法,使兩乘式首項(xiàng)變成正的,而后看出兩數(shù)的和與這兩數(shù)的差相乘的形式,應(yīng)用平方差公式,寫出結(jié)果;解法2把-4a看成一個(gè)數(shù),把1看成另一個(gè)數(shù),直接寫出(-4a)2-12后得出結(jié)果。采用解法2的同學(xué)比較注意平方差公式的特征,能看到問題的本質(zhì),運(yùn)算簡(jiǎn)捷。第三環(huán)節(jié) 鞏固深化,拓展思維活動(dòng)內(nèi)容:例4 計(jì)算:(1)(xyz)(xyz);(2)(abc)(abc)活動(dòng)目的:讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到平方差公式中的a、b可以是單項(xiàng)式,也可以是多項(xiàng)式,在平方時(shí),應(yīng)把單項(xiàng)式或多項(xiàng)式加括號(hào);學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用平方差公式。實(shí)際教學(xué)效果:(1)題中可利用整體思想,把xy看作一個(gè)整體,則此題中相同項(xiàng)是(xy),相反項(xiàng)是z和z;(2)題中的每個(gè)因式都可利用加法交換律寫成(acb)(acb)的形式,則(ac)是相同項(xiàng),相反項(xiàng)是b和b第四環(huán)節(jié) 感受問題、體驗(yàn)探索成功。活動(dòng)內(nèi)容:練習(xí)11(+) (-) = _2(+3) (-3) = ( ) 2( )= _3(+) (-) = ( ) 2( )= _4(-) (1+)=( ) 2( ) = _5 (2a+5b) (2a-5b) = ( ) 2( ) = _6 (-2b-5) (-2b+5) = ( ) 2( ) = _7 (-1+4x) (-1-4x) = ( ) 2( ) = _練習(xí)2 下列式子可用平方差公式計(jì)算嗎? 為什么? 如果能夠,怎樣計(jì)算? (1) (a+b)(-ab) ; (2) (ab)(ba) ;(3) (a+2b)(2b+a); (4) -(ab)(a+b) ;(5) (-2x+y)(y2x). 練習(xí)3 填空(1) ( x+2y) ( -x+2y) =_(2) (3m-5n)(5n+3m)=_(3) ( -1 + x) (-1- x ) = _(4) (-2b- 5) (2b -5) =_練習(xí)4 提高題(1)(m+2)(m-2)(m2+4) (2)(a+b+2)(a+b-2)活動(dòng)目的:由于初學(xué)公式等原因出錯(cuò)是正?,F(xiàn)象,但在問題討論,引導(dǎo)發(fā)現(xiàn),鞏固訓(xùn)練的過程中,學(xué)生與學(xué)生積極交流,討論、思維活躍,師生的信息交流暢通,反饋評(píng)價(jià)及時(shí),實(shí)際教學(xué)效果:通過練習(xí)學(xué)生學(xué)會(huì)如何正確應(yīng)用平方差公式但還要特別要求學(xué)生注意公式的結(jié)構(gòu),教師可以用對(duì)應(yīng)思想來加強(qiáng)對(duì)公式結(jié)構(gòu)的理解和訓(xùn)練,如計(jì)算(1+2x)(1-2x),(1+2x)(1-2x) 12-(2x)21-4x2 (a+b)(a-b) a2-b2 這樣,學(xué)生就能正確應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算,不容易出差錯(cuò)另外,在計(jì)算中不一定用一種模式刻板地應(yīng)用公式,可以結(jié)合以前學(xué)過的運(yùn)算法則,經(jīng)過變形后靈活應(yīng)用公式,培養(yǎng)學(xué)生解題的靈活性第五環(huán)節(jié) 歸納總結(jié),形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)活動(dòng)內(nèi)容:小結(jié)1 敘述公式(B,C組學(xué)生回答) 2公式中的字母可以代表什么?(A組
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